Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Vật lý 2007 - No 3

Phần một: mở đầu
Như chúng ta đã biết, cho đến thế kỉ XIX thì
một chuyên ngành vật lí mới đã ra đời, đánh dấu
mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học, đó
chính là Vật lý lí thuyết. Chuyên ngành vật lý lí
thuyết ra đời đã nâng cao và khái quát những định
luật Vật lý thành những quy luật, những học thuyết
hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa
học, đời sống và kỹ thuật .Bằng những phương pháp
toán học hiện đại, phát triển cao, Vật lý lí thuyết còn
tìm ra những quy luật mới chưa hề được tìm ra bằng
thực nghiệm và tiên đoán trứơc được mối quan hệ
giữa các hiện tượng vật lý.

Trong quá trình tìm nghiệm của các phương
trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách
biến, sẽ gặp các phương trình vi phân thông thường
mà nghiệm của chúng là các hàm đặc biệt như hàm
Delta, hàm Gamma, hàm Bessel, hàm cầu,
Từ đó mà vấn đề đặt ra là phải tìm hiểu và nắm vững nội
dung các hàm đặc biệt
Từ những suy nghĩ trên, em đặt ra mục đích là phải
nghiên cứu về một số hàm đặc biệt trong vật lí để làm
đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình


Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương I: Hàm Delta
Chương II: Hàm Gamma
ChươngIII: Hàm Bessel.

Phần hai: Nội dung
Chương 1: Hàm DELTA
1. Hàm Delta:
1.1. Định nghĩa:
Các giá trị của hàm Delta không phải được xác
định theo các giá trị của đối số như các hàm thông thư
ờng mà bằng biểu thức định nghĩa ( cho hàm Delta một
biến) như sau:

Với (1.1)

1.2. Tính chất cơ bản:
Từ định nghĩa, ta dễ dàng rút ra được 7 tính
chất của hàm Delta:
(2.1); (2.2); (2.3); .(2.7)
1.3. Các bài toán liên quan:
1.3.1. Dùng hàm Delta để biểu diễn ý nghĩa vật lí của
nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt một
chiều trong thanh dài vô hạn.
0, x 0
(x)
, x 0





=
=
xdx 1.

=



Bằng phương pháp Fourier ta đã tìm được nghiệm của
phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô
hạn.

Vậy nghiệm cơ bản (I.6) cho ta thấy phân bố nhiệt trong thanh
lúc t > 0 nếu lúc t = 0 có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ

đặt tại điểm
( )
1.5
2
( x)
1
2
4a t
u(x, t) f ( )U(x,t, )d f ( )e d
2a t





+ +
= =

2
( x)
1
2
4a t
U(x, t, ) e d (1.6)
2a t





=
Q c= r
x =x

Sử dựng hàm deta tìm được ý nghĩa vật lí của nghiệm
(I.5): nếu nhiệt độ trong thanh lúc t = 0 được cho bởi
hàm thì nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi
hàm:
2.2. Vận dụng trong lí thuyết trường để nghiên cứu
trường vô hướng tự do.
Bài toán: Chứng minh biểu thức của năng xung
lượng qua ảnh Fourie và là:
2
( x)
1
2

4a t
u(x,t) f ( )e d
2a t





+
=


dk
*
P dxT k a (k)a(k)
0
2
à à
à

= =

ur
ur ur
ur

Lời giải.
Ta có:
Để tìm được biểu thức ta tìm biểu thức của và
.

1 dk 1 dk
ikx ikx *
(x) e a(k) e a (k)
3 3
2 2
2 2
(2 ) (2 )



= +

ur ur
ur ur
P
m
0
P
i
P
Từ biểu thức của P0 và ta có biểu thức của năng xung
lượng qua ảnh Founer và như sau:
dk
*
P dxT k a (k)a(k)
o
2
ur
ur ur
ur

à à
à

= =

2.3. Bài toán trong cơ học lượng tử:
2.3.1 Bài toán chuẩn hóa các hàm số ( dùng cho các
hàm ứng với phổ liên tục)
* Bài toán : Chuẩn hóa hàm số sau:

vÒ - hµm
víi , vµ trong tr­êng hîp tæng qu¸t
d
i
Aexp Px
p
ϕ
 
 
 
=
h
( p )−∞ < < +∞

i
Aexp Pr
p
ϕ
 
 

 
=
uur
ur
r
h
Lêi gi¶i:
Hµm sau khi ®­îc chuÈn hãa vÒ - hµm cã d¹ng
p
j
d
,
1 1
exp Px p ( , )
p
2
h
h
ϕ
π
 
 
 
= ∈ −∞ +∞
Trong tr­êng hîp tæng qu¸t
( )
3
1
2
i

exp pr ,p ( , )
p
uur
urr
h
h
π
ϕ
 
 
 
= ∈ −∞ +∞
p RÎ

23.2. Chứng minh các hệ hàm là trực giao:
* Bài toán : Chứng minh rằng hệ các hàm
là các hệ trực giao
Lời giải:
Sử dụng hàm Delta ta chứng minh được hệ các hàm
trên là hệ các hàm trực giao
2.3.3. Tìm hàm sóng của hạt.
* Bài toán: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng
biểu diễn đối với hạt ở trạng thái trong tọa độ biểu
diễn dạng
Lời giải:
( )
, P - ,
i
Aexp Px
h

i
P x
1
0
(x) e
2



=
h
h