Tương tác của các Boson chuẩn trong mô hình đối xứng trái phải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

PHAN VĂN HIỆN

TƯƠNG TÁC CỦA CÁC BOSON
CHUẨN TRONG MÔ HÌNH
ĐỐI XỨNG TRÁI PHẢI
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phùng Văn Đồng

HÀ NỘI, 2017


Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phùng Văn Đồng,
người thầy trực tiếp hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn
này. Em xin cảm ơn thầy không chỉ vì sự quan tâm, tận tình chỉ bảo,
cung cấp tài liệu và phương thức nghiên cứu trong chuyên môn mà còn
vì những lời khuyên, những định hướng quý báu trong cuộc sống.
Em cũng xin cảm ơn sâu sắc GS.TS Hoàng Ngọc Long, TS.Lê Thọ
Huệ và các anh chị trong nhóm vì đã cho em một môi trường học tập
và làm việc chân thành, cởi mở như những người thân.
Em xin cảm ơn các thầy cô tại Viện Vật Lí - Viện Khoa Học và
Công Nghệ Việt Nam, các thầy cô trong khoa Vật Lí - Trường Đại Học
Sư Phạm Hà Nội 2 vì đã tận tình chỉ dạy, trang bị những nền tảng kiến

thức quý báu cho quá trình học tập và nghiên cứu của em.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng sau đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học
tập và làm việc.
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì
đã luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Phan Văn Hiện


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được
cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Phan Văn Hiện


Mục lục

Mở đầu

1

1 Mô hình đối xứng trái phải tối thiểu

4

1.1

Đối xứng chuẩn và sắp xếp các fermion . . . . . . . . . .

4

1.2

Phần vô hướng và phá vỡ đối xứng tự phát . . . . . . . .

6

1.3

Lagrangian toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Xác định khối lượng và đồng nhất các hạt

10

2.1

Khối lượng fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Khối lượng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Khối lượng trường chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Tương tác của các boson chuẩn

23

3.1

Tương tác của dòng mang điện . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2

Tương tác của dòng trung hòa . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3

Một số quá trình điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3.1

Rã của W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3.2

Tìm kiếm Z ở LEP II (Linear electron - position
colistion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31

0

1

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Mô hình chuẩn cho mô tả thành công thế giới vi mô gồm các hạt
cơ bản (lepton, quark, higgs) và các tương tác giữa chúng (điện từ, yếu,
mạnh).
Tuy nhiên mô hình chuẩn không giải thích được những vấn đề sau.
• Tại sao khối lượng neutrino khác không (mν = 0) .
• Tương tác yếu bất đối xứng R-L, ba thế hệ fermion, lượng tử hóa
điện tích.
• Vật chất tối, bất đối xứng số baryon, ....
Giữa nhiều mở rộng khác nhau của mô hình chuẩn SM (đối xứng
ngoài..., supersymmetry, gauge symmetry), chúng tôi xét mô hình đối
xứng trái phải (Left-Right symmetric model) với nhóm SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗
SU (2)R ⊗ U (1)B−L .
Ta thấy nhóm trái (L) và nhóm phải (R) cũng như các thành phần
Z

2
vật chất trái - phải tương ứng (L-R), đối xứng dưới biến đổi : L ←→
R,

Z2 : chuyển vị bậc hai.
Chúng tôi chọn mô hình đối xứng trái - phải vì nó cho:


2

• Giải thích khối lượng neutrino và trộn lẫn thông qua các cơ chế
see-saw.
• Bất đối xứng trái - phải như quan sát thấy trong mô hình chuẩn
(SM) là do phá vỡ nhóm SU (2)R tự phát. [Năng lượng cao thì trái
- phải đối xứng, năng lượng thấp bất đối xứng do phá vỡ tự phát].
• Lý thuyết có thể cho giải thích các vấn đề khác như: bất đối xứng
số baryon, các quá trình rã neutrino majorana và rã beta không
neutrino, lượng tử hóa điện tích, R-parity.
Vì vậy luận văn tìm hiểu về mô hình đối xứng trái - phải và xác định
các hệ quả cở sở của nó. Luận văn có tiêu đề như sau "Tương tác của
các boson chuẩn trong mô hình đối xứng trái - phải".
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về mô hình đối xứng trái phải tối thiểu, khối lượng boson
chuẩn và tương tác của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Giới thiệu đối xứng chuẩn.
Sắp xếp các hat.
Phá vỡ đối xứng chuẩn.
Xác định ma trận khối lượng boson chuẩn và chéo hoá.
Tính các tương tác giữa boson chuẩn với fermion và với vô hướng.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối xứng trái phải, boson chuẩn mới, và tương tác mới.
5. Phương pháp nghiên cứu
Lý thuyết trường lượng tử và phần mềm hỗ trợ tính toán mathematica.
6. Bố cục luận văn:
Mở đầu
Nội dung (gồm 3 chương)


3

• Chương I: Mô hình đối xứng trái phải tối thiểu
• Chương II: Xác định khối lượng và đồng nhất các hạt
• Chương III: Tương tác các boson chuẩn
Kết luận
Tài liệu tham khảo


4

Chương 1
Mô hình đối xứng trái phải tối thiểu
1.1

Đối xứng chuẩn và sắp xếp các fermion

Những tiền đề cơ bản của đối xứng trái phải là Lagrangian tương tác
yếu bất biến dưới đối xứng chẵn lẻ khi năng lượng lớn so với SM và
không đối xứng chẵn lẻ được quan sát trong tự nhiên. Một hệ của trực
tiếp của giả thuyết này là trong tự mhieen phải có neutrino phải, do đó
neutrino phải lớn. Như vậy khối lượng neutrino và đối xứng trái phải
của tương tác yếu dường như sẽ đi đôi với nhau.
Đối xứng chuẩn [1] :
SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ SU (2)R ⊗ U (1)B−L .
Đối xứng trái phải:
Z

2
Lef t ←→
Right

SU (2)L ←→ SU (2)R
ψL

ψR

φL

φR .

Toán tử điện tích và siêu tích:
Q = T3L + T3R +

B−L
,
2

(1.1)


5

trong đó: TiL ∼ vi tử SU (2)L

(Isospin trái)

TiR ∼ vi tử SU (2)R

(Isospin phải)

B-L—U (1)B−L

(số baryon-lepton).

Siêu tích yếu
B−L
.
2

(1.2)

B−L
T r1.
2

(1.3)

Y = T3R +

T rQ =

B−L=

2T rQ
.
d

(1.4)

trong đó d là chiều biểu diễn.

Đơn tuyến(d=1):
B − L = 2Q.

(1.5)

B − L = Q.

(1.6)

Lưỡng tuyến(d=2):

Sắp xếp fermion:
ψaL ≡
ψaR ≡

νaL
eaL
νaR
eaR

∼ (1, 2, 1, −1),

∼ (1, 1, 2, −1),

(1.7)

trong đó số baryon = 0, số lepton = 1 và a=1,2,3 là chỉ số thế hệ.
Quark
QaL ≡
QaR ≡

uaL
daL
uaR
daR

∼ (3, 2, 1, 1/3),

∼ (3, 1, 2, 1/3).

(1.8)


6

1.2

Phần vô hướng và phá vỡ đối xứng tự phát

Chúng tôi xét
φ≡

φ011 φ+
12
φ−
21

∼ (1, 2, 2∗ , 0) ∼ bi − doublet.

φ022

Z

2
φ ←→
φ+ (trường liên hợp)

(1.9)

(1.10)

UL ∈ SU (2)L ,
UR ∈ SU (2)R .

(1.11)

φ −→ φ = UL φUR+ .

(1.12)

ψL −→ UL ψL ,
QR −→ UR QR .

(1.13)

Để có phá vỡ đối xứng B − L, sinh khối lượng neutrino ta đưa thêm:


−
1
0

√ ∆
∆R
2 R12  ∼ (1, 1, 3, −2).
(1.14)
∆R =  1 11
−−
√ ∆−
∆
R22
2 R12
(Trường ∆R có dạng: ψRC ∆+
R ψR )
Qua đối xứng Z2 :

∆L ≡ 

∆0L11
√1 ∆−
2 L12

√1 ∆−
2 L12
∆−−
L22


 ∼ (1, 3, 1, −2).

(1.15)

Z

2
∆L −→
∆R ,

U

L
∆L −→
UL ∆L ULT ,

U

R
∆R −→
UR ∆R URT .

(1.16)


7

Trung bình chân không (giải từ thế vô hướng):
∆L

= (0),

∆R

1
= √
2

∧ 0

φ

1
= √
2

u 0

,

0 0

.

0 v

(1.17)

Chân không không đối xứng Z2 .
Phá vỡ đối xứng theo sơ đồ sau:
SU (3)C ⊗ SU (2)L

⊗

SU (2)R ⊗ U (1)B−L

↓

∧ (thang vật lý mới)

SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗U (1)Y

SU (3)C

↓

u, v

⊗

U (1)Q

(thang điện yếu)
(1.18)

Lưu ý:
• ∧: phá vỡ đối xứng mới và cho khối lượng neutrino phải và các
boson chuẩn mới.
• u, v: phá vỡ đối xứng SM và cho khối lượng các hạt SM.
• Điều kiện: ∧

1.3

u, v.

Lagrangian toàn phần

Lagrangian toàn phần có dạng :
L = Lkinetic + LY ukawa − Vscalar .

(1.19)


8

F iγ µ Dµ F +

Lkinetic ≡

T r(Dµ Φ)+ (Dµ Φ)
Φ

F

1
1
1
µν
−
− Gnµν Gµν
−
A
A
AiRµν Aµν

iLµν
n
iL
iR
4
4
4
1
− Bµν B µν .
4

(1.20)

Với
n = 1, 2, ..., 8 ∈ SU (3)L ,
i = 1, 2, 3 ∈ SU (2).

LY ukawa = hlab (ψ aL φψbR + ψ aR φ† ψbL )
+ hqab (QaL φQbR + QaR φ† QbL )
c

c

R
+
+ hLab ψ aL ∆+
L ψbL + hab ψ aR ∆R ψbR + h.c.

(1.21)

Đối xứng Z2 −→ hL = hR = hν .
Chú ý: ∆L,R : rất nặng so với φ −→ thế có thể tách.
Vscalar = V (∆L , ∆R ) + V (φ),

(1.22)

trong đó
+
V (∆L , ∆R ) = µ2 [T r(∆+
L ∆L ) + T r(∆R ∆R )]
2
+
2
+ λ1 [(T r∆+
L ∆L ) + (T r∆R ∆R ) ]
+
+ λ2 (T r∆+
L ∆L )(T r∆R ∆R )
2
+
2
+ λ3 [T r(∆+
L ∆L ) + T r(∆R ∆R ) ]
|

+ 2
+
2
+ λ4 [T r||∆+
L ∆L || + T r||∆R ∆R | ]

+
+ λ4 [(T r∆+
L ∆L )(T r∆L ∆L )
+
+ (T r∆+
R ∆R )(T r∆R ∆R )].

(1.23)


9

Kiểm tra bất biến:
∆L −→ UL ∆L UL+
∗ + +
+
T r∆+
L ∆L −→ UL ∆L UL UL ∆L UL
+
+
−→ T rUL∗ ∆+
L ∆L UL = T r∆L ∆L

∆L ∆L −→ UL ∆L ULT UL ∆L ULT .

(1.24)

∆L ∆L ≡ ∆L ∆L ,

(1.25)

∆L = iσ2 ∆L iσ2 ∼ ∆+
L.

(1.26)

với

V (φ) = µ2φ T rφ+ φ + f1 (T rφ+ φ)2 + f2 T r(φ+ φ)2 + V (φ, ∆L,R ). (1.27)
Các số hạng trộn cho đóng góp nhỏ và ta sẽ bỏ qua trong tính toán.


10

Chương 2
Xác định khối lượng và đồng nhất
các hạt
2.1

Khối lượng fermion

Ta viết lại tương tác Yukawa như sau:
LY ukawa = hlab ψ aL φψaR + hlab ψ aL φψaR + hqab QaL φQaR + hqab QaL φQaR
c

c

L
+
+ fab

(ψ aL ∆+
L ψbL + ψ aR ∆R ψbR ) + H.c.

(2.1)

φ ∼ (1, 2, 2∗ , 0),
φ ≡ iσ2 φ∗ iσ2 ∼ φ.
e
e+ q
q+
do Z2 −→ hlab = he+
ba ←→ h ≡ h ; h ≡ h .

Khối lượng quark:

(2.2)


11

Trung bình chân không
φ

1
= √
2

u 0

φ

1
= √
2

0

1
= √
2
1
= √
2
LY ukawa ⊃
=
−
=

,

0 v
1

u∗ 0

−1 0

0 v∗

0

v∗

0

−u∗ 0

0

1

−1 0
1

−1 0

−v ∗

0

0

−u∗

.

(2.3)

u 0
v∗ 0

1 q
1 q
√ hab QaL
QbR − √ hab QaL
QbR + H.c.
2
2
0 v
0 u∗
u
v
√ hqab U aL UbR + √ hqab daL dbR
2
2
∗
v
u
√ hqab U aL UbR − √ hqab daL dbR + H.c
2
2
1
1
√ (uhqab − v ∗ hqab )U aL UbR + √ (vhqab − u∗ hqab )daL dbR
(2.4)
2
2

Lagrangian khối lượng có dạng
Lmass = −mψ ψ L ψR + H.c.

(2.5)

1
⇒ [mu ]ab ≡ − √ (uhqab − v ∗ hqab ),
2
1
[md ]ab ≡ − √ (vhqab − u∗ hqab ),
2


mu

[mu ]ab


= VuL 


 +
V ,
 uR

mc
mt


[md ]ab


= VdL 





md

 +
V .
 dR

ms
mb

(2.6)


12

Nhận xét: các quark u, d, s, c, t, b nhận khối lượng trong thang điện yếu
u, v. Với các trạng thái riêng khối lượng
 
 
u
d
 
 

 
u =
 c ; d =  s ,

t
b

(2.7)

thỏa mãn
uL,R = VuL,R uL,R ,
dL,R = VdL,R dL,R .

(2.8)

Khối lượng lepton:
LY ukawa ⊃ heab ψ aL φψbR + heab ψ aL φψbR
c

+ fab (ψ aL ∆+
L ψbR + (L → R))
= −[mD
ν ]ab V aL VbR − [me ]ab eaL ebR
∧∗ c
+ fab √ V aR VbR + H.c,
2

(2.9)

trong đó
1
= √ (uheab − v ∗ heab ),
2
1

[me ] = √ (uheab − v ∗ heab ).
2

mD
ν

(2.10)

Trường trung hòa hệ số khối lượng: − 21 mψψ.
√
mM
≡
−
2fab ∧∗ .
ν

(2.11)

Đối với lepton mang điện


[me ]ab = VeL 




me


 VeR .



mµ
mτ

(2.12)


13

Khối lượng e, µ, τ tỉ lệ với u, v và các ma trận lepton mang điện là VeL,R .
Khối lượng neutrino :
LY ukawa ⊃ −[mD
ν ]ab νaL νbR
1
= −ν L mD νR − ν cR mM
ν νR + H.c.
2

(2.13)

Chú ý: mD
ν trộn νL và νR
mM
ν chỉ trộn νR






ν1L



νL = 
 ν2L  ;
ν3L

LY ukawa

1
⊃ −
2

ν cL



ν1R



νR = 
 ν2R  .
ν3R
mD
ν

ν cL

T
mM
(mD
ν
ν )

νR

0

νR

(2.14)

+ H.c.

(2.15)

χc M ψ c = ψM T χ.

(2.16)

Xét heab thực : mD+
= mD
ν
ν
mM
ν luôn đối xứng, ta xét nó thực.
Dạng khác:

1
LY ukawa ⊃ − χc Mν χ + H.c,
2

(2.17)

trong đó
χ ≡

Mν ≡

νL
νRc
0

m0ν

T
(mD
mM
ν )
ν

=

0

A

AT B

(2.18)


14

với
A ∼ u, v

B∼∧

(2.19)

−→ νL gần như không trộn với νR vì góc trộn
tan ϕ = tϕ = B −1 AT ∼

(u, v)
∼ 0.
∧

=⇒ Neutrino được quan sát tỉ lệ với νL .
Công thức see-saw (cơ chế see-saw)
Chéo hóa ma trận Mν ta được
f
mef
ν

(u, v)2
= AB A ∼
∼ eV.

∧
−1

T

(2.20)

Suy ra: Nếu u ∼ v ∼ 100GeV → ∧ ∼ 1014 GeV .
Vậy ∧ phải lớn.
Kết luận:
• Khối lượng neutrino được giải thích nhờ cơ chế see-saw chính tắc.
• Mô hình đối xứng L-R dự đoán khối lượng neutrino nhỏ tự nhiên
trùng với thực nghệm và nó cung cấp cơ chế see-saw như chúng ta
thực nghiệm hôm nay.

2.2

Khối lượng vô hướng

Thế vô hướng có dạng:
V = V (φ) + V (∆L , ∆R ).

(2.21)

Do trường ∆L,R rất nặng nên chéo hóa (xét) thế lớn
V (∆L , ∆R )

µ2L T r(∆+
L ∆L ) + ...
+ µ2R T r(∆+

R ∆R ) + ....

(2.22)


15

Số hạng tương tác ∆L,R với φ bỏ qua

∆011L

∆L =
√1 ∆−
2 12L

= 


∆R = 

= 

λ+S√
L +iAL
2
1
√ ∆−
2 12L

∆011R

√1 ∆−
2 12R
λ+S√
R +iAR
2
1
√ ∆−
2 12R

√1 ∆−
2 12L
∆−−
22L




√1 ∆−
2 12L
∆−−
22L

√1 ∆−
2 12R
∆−−
22R


,

(2.23)




√1 ∆−
2 12R
∆−−
22R


,

(2.24)

trong đó λ, ∧ là các trung bình chân không.
SL,R và AL,R là các trường thành phần.
Từ (1.23) ta có
V (∆L , ∆R ) = Vmin + Vlinear + Vmass + Vint .

(2.25)

Nhận xét :
Vlinear không bất biến chuẩn nên các hệ số theo trường triệt tiêu và
điều kiện cực tiểu
λ = 0,
∧2 ∼ µ2 .
Chú ý : ∆L , ∆R cho phá vỡ đối xứng trái phải bởi ∧ chi tiết:
SU (2)R ⊗ U (1)B−L −→ U (1)Y
Sau phá vỡ SU (2)R ⊗U (1)B−L −→ U (1)Y có 3 Goldstone boson tương

ứng được ăn bởi WR± ∼ ∆±
12R và ZR ∼ AR .
Có 3 trường trung hòa vật lý : 2 vô hướng SL , SR và 1 giả vô hướng
∼ AL .


16

Có 2 trường mang điện đơn : ∆±
12L .
Và 4 trường mang điện đôi : ∆±±
22L,R .
Các trường trên nặng, trong hoặc trên thang TeV.
Còn lại thế nhẹ V (φ)

φ=

φ11
φ−
21

V (φ) = µ2φ T rφ+ φ + ...


u+S√
+
+
1 +iA1
φ12
φ12

2
.
=
v+S√
−
0
2 +iA2
φ21
φ22
2

(2.26)
(2.27)

Thay trở lại thế và tách ra như đã làm ở trên
Điều kiện cực tiểu
0 = u ∼ µφ ,
0 = v ∼ µφ ,

(2.28)

u, v là thang điện yếu thỏa mãn u2 + v 2 = (246GeV )2 , từ khối lượng của
W.
Phổ khối lượng:
Có 3 trường Goldstone boson tương ứng của ZL và WL±
ZL ∼ (A1 , A2 ),
±
WL± ∼ (φ±
12 , φ21 ).

(2.29)

Chúng là các vô hướng có khối lượng triệt tiêu.
Có 5 trường Higgs có khối lượng, trong đó 1 hạt h ∼ (S1 , S2 ) là Higgs
mô hình chuẩn và 4 hạt còn lại có khối lượng lớn.
Kết luận
• λ = 0, ∧ = 0 ∼ thang lớn.
• u, v là thang điện yếu.
• Có 14 trường Higgs vật lý trong đó có 1 trường nhẹ h ∼ (S1 , S2 ) là
Higgs mô hình chuẩn.
±
• Có 6 Goldstone boson ứng với các trường chuẩn ZL,R và WL,R
.


17

2.3

Khối lượng trường chuẩn

Lagrangian động năng có dạng[2]:
T r(Dµ S)+ (Dµ S),

LKinetic ⊃

S ∼ ∆L,R , φ.

(2.30)

S

T r(Dµ S )+ (Dµ S ).

Lmass
gauge ⊃

(2.31)

S

φ −→ φ = UL φUR+ .

(2.32)

+
Dµ φ = ∂ µ φ + igL AµiL TiL φ − igR φA+
iR TiR ,

(2.33)

trong đó: gL = gR = g : do đối xứng trái phải.
φ ∼ (2, 2∗ );

Dµ φ

=

ig 
√

2 2


− 

Aµ3L
Aµ1L


√u
2

0

0

√v
2

ig
⇒ Dµ φ = √
2 2

TiL = TiR =

√



+

Aµ1L

− iAµ2L
−Aµ3L

iAµ2L
Aµ3R
Aµ1R

+

2(uWL− − vWR− )

(2.34)



√u
2

0

0

√v
2

Aµ1R

− iAµ2R
−Aµ3R

iAµ2R

vAµ3L − uAµ3R

±
WL,R
≡

σi
2

√





.

2(vWL+ − uWR+ )

−vAµ3L + uAµ3R

A1L,R ∓ iA2L,R
√
.
2

(2.35)

. (2.36)

(2.37)

Xét
g2
(vAµ3L − uAµ3R )2 + (−vAµ3L + uAµ3R )2
8
+ 2(uWL+ − vWR+ )(uWL− − vWR− )

T r(Dµ φ )+ (Dµ φ ) =

+ 2(vWL− − uWR− )(vWL+ − uWR+ ) .

(2.38)


18

→ Dµ ∆R

= ∂ µ ∆R + igR AµiR TiR ∆R + igR ∆R AµiR TiR
+ ig(B−L) Bµ ∆R
ig
=
2
+

√
√∧
2

2WR−µ

0

√

0 0
√∧
2

− 2ig Bµ

−Aµ3R
Aµ3R
2WR+µ

√∧
2

0

0 0
√

2WR−µ

−Aµ3R

0

√

√

2 ∧ Aµ3R

2 ∧ WR+µ
√∧
2

− 2ig Bµ

2 ∧ WR−µ
0

0

0 0
√

ig∧
=
2

2WR+µ

0 0

√
ig
=
2

√

Aµ3R

2(Aµ3R − 2tB µ ) WR−µ
WR+µ

0

,

(2.39)

với
∆R → ∆R = UR ∆R UR+ ;

∆R ∼ (1, 1, 3, −2).

Suy ra:
g 2 ∧2
2(Aµ3R − 2tB µ )2
4

+ 2WR+µ WR−µ
g 2 ∧2
=
(Aµ3R − 2tB µ )2
2
+ WR+µ WR−µ .

T r(Dµ ∆R )+ (Dµ ∆R ) =

(2.40)


19

Lmass
gauge

=
+
+
=

+

×

g 2 ∧2 +µ −µ g 2 2
WR WR + (u + v 2 )WL+ WL−
2
4

2
g 2
g2
g2
2
+
−
−
+
(u + v )WR WR − uvWL WR − uvWR− WL+
4
2
2
2
2 2
g ∧
g
(A3R − 2tB)2 + (A3L − A3R )2 (u2 + v 2 )
2
8
g2
g2
2
2
WL+
(u
+
v
)
−

4
2 uv
−
−
WL WR
2
g2
2
2
2
WR+
− g2 uv
4 (u + v + 2∧ )
 g2

2
2
2
− g4 (u2 + v 2 )
0
4 (u + v )
1
2
2
A3L A3R B  − g4 (u2 + v2 ) g4 (u2 + v2 + 2∧2 ) −2g2 t∧2 
2
0
−2g 2 t∧2
4g 2 t2 ∧2



A3L


 A3R  .


B
(2.41)

Trường chuẩn mang điện ta tìm được
WL − WR trộn với 1 góc θ thỏa mãn
−g 2 uv

t2θ =
do u, v

g2

2
4 (2∧ )

=−

2uv
∧2

1,

(2.42)

∧ nên trộn nhỏ.

Trường vật lý
W = cθ WL − sθ WR

WL ,

W

WR .

= s θ WL + c θ WR

(2.43)

Khối lượng
m2W
m2W

g2 2
(u + v 2 ),
4
g2
g 2 ∧2
2
(2∧ ) =
,
4
2

trong đó : W, W lần lượt là trường chuẩn và trường vật lý.

(2.44)


20

Trường trung hòa:
A3L , A3R , B sẽ trộn lẫn theo ma trận khối lượng M 2 .
M 2 luôn có 1 trị riêng bằng 0.
→ mA = 0,

(2.45)

A3L A3R
B
Aµ
=
+
+
,
e
g
g
2g

(2.46)

với vector riêng

trong đó
e = gsW ,
1
1
1
1
=
+
+
,
e2
g 2 g 2 4g 2
→
⇒

1
g2

1
−2
s2W

=

1
4g 2

g
sW

=
,
g
2 1 − 2s2W
1 − 2s2W Bµ ,

⇒ A = sW A3L + sW A3R +
hay
A = sW A3L + cW

tW A3R +

1 − t2W Bµ .

(2.47)

Các trường trực giao với photon
ZL ≡ cW A3L − sW
ZR ≡

tW A3R +

1 − t2W A3R − tW B.

1 − t2W B ,
(2.48)

Ta đổi cơ sở :








A3L
A




 A3R  = U  ZL  ,




B
ZR

(2.49)


21

trong đó U có dạng


U =


sW

cW

cW tW

−sW tW

1 − t2W −sW

cW

0


1 − t2W 
.
−tW

1 − t2W


Lmass
gauge ⊃

1
2

A3L A3R B

=

1
2

A Z L ZR





A3L

(2.50)






M2 
A
 3R 
B


A




U T M 2U 
 ZL  .
ZR

(2.51)



0 0
0


2
2

⇒M2≡
0
m
m
LL
LR  ,

0 m2LR m2RR

(2.52)

trong đó:
m2LL
m2RR

g2 2
(u + v 2 ),
=
2
4cW
g2
=
4 ∧2 c4W + (1 − 2s2W )2 (u2 + v 2 ) ,
2
2
4cW (1 − 2sW )

m2LR = 2g 2

1 − t2W (u2 + v 2 ).

(2.53)