Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh nguyên hàm – tích phân – Nguyễn Vũ Minh (Tập 1)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.22 MB, 75 trang )

PHÂN LOẠI DẠNG VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH

Chuyeân ñeà
TẬP 1

BIÊN HOÀ – Ngày 27 tháng 11 năm 2017

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

Phần 01 : NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH)
1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b)  ................................
2) Họ nguyên hàm :

, với C là ............................

3) Bảng nguyên hàm :
Hàm cơ bản :

Hàm chứa (ax + b)

 dx  x  C
α
 x .dx 



  ax  b  dx 
α

 ax  b  a ln ax  b  C

dx

 (ax  b)

2



1
C
x

dx
 2 x C
x

dx

1 (ax  b)α 1
C
a α 1

dx
 ln x  C

x

x



x α 1
C
α 1

dx


a

ax  b

 e dx  e

e

ax  b

x

x

C

2

1 1
 .
C
a ax  b

dx
2

ax  b  C
ax  b a

ax
 a dx  lna  C
x

1

1 a ax  b
dx 
C
a lna
1
dx  eax  b  C
a
1

 sinx.dx  cosx  C

 sin(ax  b).dx   a cos(ax  b)  C

 cosx.dx  sinx  C

 cos(ax  b).dx  a sin(ax  b)  C

dx

 cos x  tanx  C
2

dx

 sin x  cotx  C
2

1

dx

1

 cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C
2

 sin

2

dx
1

  cot(ax  b)  C
(ax  b)
a

1
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

x

2018

dx
1
x a
 ln
C
2
a
2a x  a

2

Công thức chú ý :

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thƣơng, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa
thức<.. Căn thức thành lũy thừa :

n

m
n

x x ;
m

m
1
n x

x
;
 x mn
xn
xn

5) Công thức thường dùng :

1  cos2u
2
1  cos2u
sin 2 u 
2
cos 2 u 

3cosu  cos3u
4
3sinu  sin3u

sin 3u 
4

1
 1  tan 2 u
2
cos u
1
 1  cot 2 u
2
sin u

cos3u 

sin2u  2sinu.cosu
cos2u  cos 2 u  sin 2 u
cos2u  2cos 2 u  1
cos2u  1  2sin 2 u

Ví dụ 01: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/ f(x)  (2x 2  1)3

b/ f(x)  (tan x  cot x)2

α
♥ Giải : a/ Ở đây ta sử dụng công thức :  x .dx 

c/ f(x) 

2x 3  5x  2

x2

d/ f(x) 

e2x  3e x  2
ex  1

x α 1
 C Ta có f(x)  8x 6  12x 4  6x 2  1 ,
α 1

Suy ra :  f(x)dx  8 x 6dx  12 x 4dx  6 x 2dx   1dx 

8 7 12 5
x  x  2x 3  x  C
7
5

2
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

1
1
 1
  1


 2
b/ Ta có f(x)  tan 2 x  cot 2 x  2  
 1   2  1  2 
2
2
cos x sin x
 cos x   sin x 
Suy ra:  f(x)dx  

1
1
dx   2 dx  tan x  cot x  C
2
cos x
sin x

c/ Ta có f(x)  2x 

5 2
 . Suy ra:
x x2

d/ Ta có f(x) 

1

 f(x)dx  2 xdx  5 x dx  2 x

2

dx  x 2  5ln x 

2
C
x

e2x  ex  2(e x  1) e x (e x  1)  2(e x  1) (e x  1)(e x  2)


 ex  2
x
x
x
e 1
e 1
e 1

Suy ra:  f(x)dx   ex dx   2dx  ex  2x  C
Ví dụ 02 (THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2):
Biết hàm số F  x   ax3   a  b  x 2   2a  b  c  x  1 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   3x 2  6 x  2 . Tổng a  b  c là:
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

♥ Giải : Đạo hàm : F   x   3ax2  2  a  b  x   2a  b  c  .

3a  3
a  1


Ta có: F   x   f  x   2  a  b   6  b  2  a  b  c  5 . Chọn đáp án D


 2 a  b  c  2 c  2
Ví dụ 03 (Cụm 1 – Tp.HCM): Biết một nguyên hàm của hàm số y  f  x  là F  x   x 2  4 x  1 .
Khi đó, giá trị của hàm số y  f  x  tại x  3 là.
A. f  3  30 .

B. f  3  22 .

C. f  3  10 .

D. f  3  6 .

♥ Giải :
Cách 1 : Ta có: F   x   f  x   f  x    x 2  4 x  1  2 x  4 .

f  3  2.3  4  10 . Chọn đáp án C
Cách 2 : sử dụng máy tính Casio.

3
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

Bài Tập 1: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
3 7 9 20
1
1/ f(x)  x 5  3x 2  5 
2/ f(x)  5  4  3  2
x x x x
x
3/ f(x) 

x 5  4x 7  2x  8  7x 9
x2

5/ f(x)  ( x  1)(x  x  1)

4/ f(x)  x  3 x  4 4 x


e x 
6/ f(x)  e x  2  2 
sin x 


♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

4
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

Bài Tập 2 (SỞ GD ĐT HÀ TĨNH): Biết rằng F  x   m.x 4  2 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   x3 , giá trị của m là. A.

1
.
4

B. 1.

C. 0.

D. 4.

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
1
Bài Tập 3: a/ Nguyên hàm của hàm số f ( x)  x 2  3x  là:
x
3
2
3
2
x 3x
x 3x
1
x3 3x 2

 ln x  C

 2 C
 ln x  C
A.
B.
C. x3  3x2  ln x  C .
D. 

3
2
3
2
x
3
2
b/ Họ nguyên hàm của f ( x)  x2  2 x  1 là
1
A. F ( x)  x3  2  x  C
B. F ( x)  2 x  2  C
3
1
1
C. F ( x)  x3  x 2  x  C
D. F ( x)  x3  2 x 2  x  C
3
3
1 1
c/ Nguyên hàm của hàm số f ( x)   2 là :
x x
1
1
1
A. ln x  ln x2  C
B. lnx – + C
C. ln|x| + + C
D. ln x   C
x
x

x
♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài Tập 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x)  ex (7  3e x 

e x
)
cos2 x

b/ f(x)   2x  3x  .22x 1

c/ f(x)  ex (5  3e x )

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

5
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

6
sin x.cos 2 x
2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

6
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

C. F  x  

22x.3x.7 x
C
B.
ln 4.ln 3.ln 7

C. 84x  C

x
C
2

3
 
4
D. F  x   3    C
3
ln
4

b/  22x.3x.7 x dx là

84x
C
A.
ln 84

D. 84x ln 84  C

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài Tập 6: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ f(x)  x3  3x 2  4x  3 ;

2/ f(x)  2x(x 2  3x)2

x
x
3/ f(x)  4sin cos
2
2

4/ f(x)  2sin x  3cos x  5ex

5/ f(x)  tan x 2  3

1
6/ f(x)  (2  ) 2
x

( x  2)3
x

8/ f(x)  22x 1.33x 2

9/ f(x)  (3x  2)2

7/ f(x) 
♥ Giải :

.................................................................................................................................................................................

7
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài Tập 7: Chứng minh F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trong các trường hợp sau:
a/ F ( x)  5x3  4 x2  7 x  120 và f ( x)  15x 2  8x  7.
b/ F ( x)  ln( x  x 2  3) và f ( x) 
Phƣơng pháp: Đ F ( x) à

1

x 3
2

.

t nguyên hà

c/ F ( x)  (4 x  5)  e x và f ( x)  (4 x 1)  e x .
c a hà

s

f ( x), ta cần chứng minh:

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

8
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

Ví dụ 03: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/ f(x)  (2x  1)3 ; b/ f(x)  cos  3x  2  ; c/ f(x) 

Giải : a/ sử dụng công thức

  ax  b  dx 
α

2
; d/ f(x)  e x ; e/ f(x)  (7  3x)10
7x  1

1 (ax  b)α 1
C
a α 1

1 (2x  1)4
3
f(x)dx

(2x

1)
dx

.
C


2

4
1

1

b/ sử dụng công thức

 cos(ax  b).dx  a sin(ax  b)  C  f(x)dx   cos 3x  2dx  3 .sin 3x  2   C

c/ sử dụng công thức

 ax  b  a ln ax  b  C

2

dx

1

dx

2

 f(x)dx   7x  1dx  2 7x  1  7 .ln 3x  2  C
d/ sử dụng công thức

 f(x)dx   e

x

dx 

e

ax  b

1
dx  eax  b  C
a

1 x
e  C  e x  C
1

e/ giống bài a/  f(x)dx   (7  3x)10dx 

( chú ý hệ số a trong bài này là -1 )

1 (7  3x)11
.
C
3
11

Điền vào ô trống
a/  (7  4x)5dx =
dx

c/

  4 x  1

e/

e

x

5

dx =

=

dx

b/

 2x  7 =

d/

e

f/

8x  7

dx =

dx

 cos   x  =
2

9
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

Bài tập 01 (THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e2017x .
A.

 f  x  dx  e

C.

 f  x  dx   2017 e

2017 x

1

C .
2017 x

C .

B.

 f  x  dx  e

D.

 f  x  dx  2017.e

2017 x

.ln 2017  C .
2017 x

C .

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 02 (THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   32 x 1 .
A.
C.



f  x  dx  32 x 1 ln 3  C .



f  x  dx 

32 x 1
C .
ln 9

f  x  dx 

32 x 1
C .
ln 3

B.



D.

 f  x  dx   2x  1 3

2x

C .

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 03 (THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định): Tìm nguyên hàm F x của hàm số
f x

1000x.

A. F x

1000x

C. F x

1000 x 1
x 1

C
C

B. F x

3.103 x ln10

D. F x

103 x
3ln10

C

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 04 (Sở GD-ĐT Long An): Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x 4  e3 x  cos 2 x .
A. F  x  

x5 e3 x sin 2 x



C
5
3
2

B. F  x   4 x3 

C. F  x  

x5 e3 x sin 2 x


C
5
3
2

D. F  x  

e3 x sin 2 x

C
3
2

x5
sin 2 x
 3e3 x 
C
5

2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 05 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ f(x)  sin 2 x

2 / f(x)  sin 2 7x

3/ f(x)  cos2 4 x

4/ f(x)  cos4 x

5/ f(x)  sin 4 2 x

6/ f(x)  7sin 2 x.cos 2 x

♥ Giải : Lưu ý các công thức sử dụng cho phần này là : HẠ BẬC

10
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
Bài tập 06: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ f(x)  sin 2 x.cos x

2/ f(x)  sin 4 x.sin 6x

3 / f(x)  cos 6 x.cos 2 x

11
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

♥ Giải : Lưu ý các công thức sử dụng cho phần này là :TÍCH THÀNH TỔNG

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 07: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

x 3  3x 2  6x  5
1 / f(x) 
x 1
4/ f(x) 

3
π

cos 2  2x  
4


1
2/ f(x) 

x 9  x
5 / f(x) 

6x  5
2x  5

3x 2  6x  5
3/ f(x) 
2x  1
6/ f(x)  cos4 x  sin 4 x

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................

12
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 08: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

x4  x2 1
1/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A) f(x)  2
x  x 1

13
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
2/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D) f(x) 

x 4  2x 2  2  x
x2  x 1

3/ (ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) f(x) 

cos2x

sinx  cosx

2018

 x 1 
4 / f(x)  

 x2

2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 09 (THPT chuyên Hưng Yên lần 2): Tìm giá trị của m để hàm số
F  x   m2 x3   3m  2  x 2  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  10 x  4. .

14
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
A. m  2

2018
D. m  1

C. m  1

B. m  1

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................


e x 
Bài tập 10 (THPT chuyên Thái Bình): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 
?
cos 2 x 

A. F  x   2e x  tan x

B. F  x   2e x  tan x  C

C. F  x   2e x  cot x  C

D. F  x   2e x  tan x  C

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 11: Hàm số F  x   e x là một nguyên hàm của hàm số:
2

2

ex
B. f  x  
2x

A. f  x   x e  1
2 x2

C. f  x   e2x

D. f  x   2 xe x

2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 12 (Cụm 1 HCM): Nguyên hàm của hàm số f  x   x  2 x là:
A.

C.



f  x  dx 

x2 2x

C
2 ln 2

B.



f  x  dx 

x2
 2x  C
2

D.



f  x  dx  1 



f  x  dx 

2x
C
ln 2

x2
 2 x ln 2  C
2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
Bài tập 13: a/ Nguyên hàm của hàm số f  x   e13x là:
A. F  x  

3
13x

e

C

e13x
C
B. F  x  
3

C. F  x   

3e
C

e3x

D. F  x   

e
C
3e3x

15
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
b/ Nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x  

5
e25x

B. F  x   

C

1
e

2 5x

5
e25x

2018

là:
C

C. F  x   

e25x
C
5

D. F  x  

e5x
C
5e2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

PHƢƠNG PHÁP XÊ HẮC E
Bài tập minh họa cho phương pháp :
a/ Tìm A, B sao cho
b/ Tính I  
Giải : a/

3x  7

A
B


x  4x  3 x  1 x  3
2

( x  1; 3 )

3x  7
dx
x  4x  3
2

3x  7
A
B


 3x  7  A  x  3  B  x  1
x  4x  3 x  1 x  3
2

A  B  3
A  2
 3x  7   A  B .x  3A  B  

3A  B  7
B  1

Phương pháp Xê Hắc E :

Hai công thức cần chú ý cho dạng này

16
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
b/ I  

2018

3x  7
1 
 2
dx   

dx  2ln x  1  ln x  3  C
x  4x  3
 x 1 x  3 
2

Bài tập 7 : Tính các nguyên hàm số sau ( sử dụng pp Xê Hắc E )

A

3x  4
dx
x  4x  5

;

B

x7
dx
x  8x  9

D

dx
x  x  1

;

F

x
dx
x  x 6

2

2

2

C

;
;

1
dx
x x2

G

2

3
dx
x  7x  12
2

; F

8
dx
x  10x  9
2

♥ Giải :
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

1

 x dx  ln x  C

C.

1

 cos

TN2 : Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f ( x) 

x 2  3x
C
A. 2
x  4x  3
C.

B. 

1
 ln x  1  3ln x  3   C
2

TN3 : Xét các mệnh đề: (I)

2

x

dx  tan x  C

1
D.  sin 2 xdx   cos 2 x  C
2

2x  3
x  4x  3
2

x

x 2  3x
2

 4 x  3

2

C

D. (2 x  3) ln x 2  4 x  3  C

dx
 sin 2 x  cot x  C

(II)

e3 x  1
1 2x x

 e x  1 dx  2 e  e  x  C

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.(I) đúng , (II) sai

B. (I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng

D. Cả (I) và (II) đều sai

TN4 : Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) = cos 2x.



Khi đó, hiệu số F ( )  F (0) bằng:
4
A. 15

B.

1
2

C. 2

D.

2
4

TN5 (THPT Chuyên Tuyên Quang): Nguyên hàm của hàm số f  x   7 x5 là :
A. F  x   5x6  C

B. F  x   35x6  C

C. F  x   35x 4  C

D. F  x  

7 6
x C
6

TN6 (THPT Lý Nhân Tông): Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?
A.  0dx  C ( C là hằng số).

B.

x



dx 

1  1
x  C ( C là hằng số).
 1

18

Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
C.

1

 x dx  ln x  C

( C là hằng số).

D.  dx  x  C ( C là hằng số).

TN7 (THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5): Tính nguyên hàm
B. ln 1  x   C .

A. log 1  x  C .

TN8: Hàm số y 
A.

1

 1  x dx .

C. ln 1  x  C .

B. 3x3

3
2
x

C.

2 x3 3
 1
3
x

TN9 (THPT chuyên LTV): Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
3

D. 

1

1  x 

2

C .

2 x4  3
có một nguyên hàm là
x2

2 x3 3
 3

3
x

 f  x  dx  4x

2018

D.

x3 3
  2017
3 x

và thoả mãn

 3x 2  2 x  C . Hàm số f  x  là:

A. f  x   x 4  x3  x 2  Cx  C .
B. f  x   12 x 2  6 x  2  C .
C. f  x   x 4  x3  x 2  Cx .
D. f  x   12 x 2  6 x  2 .
TN10 (THPT chuyên Lê Thánh Tông): Biết f  x  có một nguyên hàm là 17 x .
Xác định biểu thức f  x  .
A. f  x   x.17 x 1 .

B. f  x   17 x ln17  C .

17 x
C. f  x  
.

ln17

D. f  x   17 x ln17 .

TN11 (THPT Tiên Du 1): Nguyên hàm của hàm số f  x   x3 

3
 2 x là.
2
x

A.

x4 3 x
  2 .ln 2  C .
4 x

B.

x4 3 2x
 
C .
4 x ln 2

C.

x3 1
 3  2x  C .
3 x

D.

x4
 3ln x 2  2 x.ln 2  C .
4

TN12 (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04): Nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2 

x
là:
2

19
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
x3 x 2
 C.
A.
3 4

x2
B. x   C .
4

x2
C. x   C .
2

3

3

2018
x2
D. x   C
2
3

TN13 (THPT Nguyễn Khuyến –NĐ): Hàm số F  x  là nguyên hàm của f  x   e x  3x 2 trên tập số
thực. Tìm F  x  .

3
A. F  x   e x  x3 .
2

B. F  x   e x  x 2  1 .

C. F  x   e x  x3  1 .

D. F  x   e x  x3  1 .

1
TN14 (THPT Hùng Vương–PT): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  .
x
2

 ln x  C .

B.

 f  x  dx  x

2



1
C .
x2

D.

 f  x  dx  x

A.

 f  x  dx  x

C.

 f  x  dx  x

2

2



1
C .
x2

 ln x  C .

TN15 (THPTQG – 2017): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2sin x .
A.  2sin xdx  2cos x  C .

B.  2sin xdx  sin 2 x  C .

C.  2sin xdx  sin 2 x  C .

D.  2sin xdx  2cos x  C .

TN16 (THPT chuyên Phan Bội Châu): Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số

f  x 

1
?.
1 x

1
A. F  x   ln( x 2  2 x  1)  5 .
2

B. F  x    ln 2 x  2  4 .

C. F  x   ln 1  x  2 .

1
D. F  x    ln 4  4 x  3 .
4

TN17 : Cho F(x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a,b). Khi đó
(I) F(x) = G(x) + C

(II) G(x) = F(x) + C

Với C là một hằng số nào đó. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. (I) đúng, (II) sai

B. (I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng

D. Cả (I) và (II) đều sai

 1 
TN18 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2): Tính nguyên hàm  
 dx .
 2x  3 

20
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
A.

1
ln 2 x  3  C
2

B. ln 2 x  3  C

C.

2018

1
ln  2 x  3  C
2

TN19 (THPT Nguyễn Tất Thành): Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1 x 3
ln
C .
2 x 1

1 x 3
C.  ln
C .
2 x 1

B.

1 x3
ln
C .
2 x 1

D.

1 x 3
ln
C .
2 x 1

D. 2ln 2 x  3  C

1
.
x  4x  3
2

TN20 (THPT chuyên LHP): Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
trên
2x 1

1 
\ .
2

Phát biểu nào sau đây sai ?

A. F  x  

ln 6 x  3
C.
2

B. F  x  

ln  2 x  1
C. F  x  
C .
4
2

ln 2 x  1
C .
2

D. F  x   ln 2 x  1  C .

TN21 (THPT chuyên Bến Tre): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1
.
1 2x

1
ln 1  2 x  C .
2

A.

 f  x  dx  2ln 1  2 x  C .

B.

 f  x  dx 

C.

 f  x  dx  ln 1  2x  C .

D.

 f  x  dx  2 ln 1  2 x  C .

1

TN22 (Sở GD-ĐT Đồng Nai): Tìm nguyên hàm của hàm số g  x  

5

5
.
4  3x

5
ln 4  3x  C .
3

A.

 g  x  dx  3 ln 4  3x  C .

B.

 g  x  dx 

C.

 g  x  dx  5ln 4  3x  C .

D.

 g  x  dx  5ln  4  3x   C .

TN23 (Cụm 7 – Tp.HCM): Tìm
A.

1
ln  2 x  1  C .
2

C. 

2

 2 x  1

2

C .

dx

 2 x  1 , ta được:
B.

1
ln 2 x  1  C .
2

D. ln 2 x  1  C .

TN24 (THPT chuyên LTV): Nguyên hàm của hàm số f  x   e2x là:

21
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
1

A.

 f  x  dx  2 e

C.

 f  x  dx  2e

2 x

2 x

1

C .

B.

 f  x  dx   2 e

C .

D.

 f  x  dx  e

2 x

2 x

2018
C .

C .

TN25 (THPT Tiên Lãng): Tìm nguyên hàm I    2  e3 x  dx .
2

4
1
A. I  4 x  e3 x  e6 x  C
3
6

4
5
B. I  4 x  e3 x  e6 x  C .
3
6
4
1
D. I  3x  e3 x  e6 x  C .
3
6

4
1
C. I  4 x  e3 x  e6 x  C .
3
6

TN26 (Sở GD-ĐT Đồng Nai): Cho hàm số h  x   15  12 x  . Tìm
8

A.  h  x  dx 

1

9
12 x  15  C .
108

C.  h  x  dx  96 15  12 x   C .
7

 h  x  dx .

B.  h  x  dx  8 15  12 x   C .
7

D.  h  x  dx  

1
9
15  12 x   C .
96

TN27 (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05): Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 .
5

1

5

C.

B.

 f ( x)dx  6 3x 1

1

6

C .

D.

 f ( x)dx  3 3x 1

A.

 f ( x)dx  18 3x  1

C.

 f ( x)dx  18 3x 1

1

6

1

6

C .
C.

TN28 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – KH): Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

y  ex  2 ?
A. y  e2 x  2 x .

B. y  e x  2 x  1.

C. y  e x  2 x  1 .

D. y  e x  x .

TN29 (Cụm 1 – Tp.HCM): Nguyên hàm của hàm số f  x   x  2x là:
A.
C.



f  x  dx 

x2 2x

C .
2 ln 2

B.



f  x  dx 

x2
 2x  C .
2

D.



f  x  dx  1 



f  x  dx 

2x
C .
ln 2

x2
 2 x ln 2  C .
2

TN30 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x .
A. 2cos 2x  C .

B.

1
cos 2 x  C .

2

C. 2cos 2x  C .

1
D.  cos 2 x  C .
2

22
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN

2018

TN31 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1): Hàm số y  sin x là nguyên hàm của hàm nào trong các
hàm sau ?
A. y  cos x .

B. y  tan x .

C. y  cot x .

D. y  sin x  1 .

TN32 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.  e x dx  e x  C .

B.  sin xdx  cos x  C .

C.  2 xdx  x 2  C .

D.

1

 x dx  ln x  C .

TN33 (THPT Nguyễn Tất Thành): Tính I   cos  4 x  3 dx .
A. I  sin  4 x  3  C .

B. I   sin  4 x  3  C .

C. I  4sin  4 x  3  C .

1
D. I  sin  4 x  3  C .
4

TN34 (Đề Minh Họa lần 2): Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x .

1

A.

 f  x  dx  2 sin 2 x  C .

C.

 f  x  dx   2 sin 2 x  C .

1

B.

 f  x  dx  2sin 2 x  C .

D.

 f  x  dx  2sin 2 x  C .

TN35 (THPT chuyên Võ Nguyên Giáp): Kết quả nào đúng trong các phép tính sau?
A.  cos 2 xdx  2cos2 x  C .

B.  cos 2 xdx  sin x cos x  C .

C.  cos 2 xdx  sin 2 x  C .

D.  cos 2 xdx  2sin 2 x  C .

TN36:

3

 2 x  5 dx bằng:

A. 2ln 2 x  5  C
TN37:
A. 

1

  5 x  3

2

3x  1

 x  2 dx

3
ln 2 x  5  C
2

C. 3ln 2 x  5  C

B.

1
C
5  5 x  3

C. 

D.

3
ln 2 x  5  C
2

dx bằng:

1
C
5  5 x  3

TN38:

B.

1
C
 5 x  3

D. 

1
C
5  5 x  3

bằng:

A. 3x  7 ln x  2  C

B. 3x  ln x  2  C

C. 3x  ln x  2  C

D. 3x  7 ln x  2  C

23
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN
TN39:

1

  x  1 x  2 dx bằng:
x 1
C
x2

A. ln x  1  ln x  2  C

B. ln

C. ln x  1  C

D. ln x  2  C

TN40:

x

2

x 1

dx bằng:
 3x  2

A. 3ln x  2  2ln x  1  C

B. 3ln x  2  2ln x  1  C

C. 2ln x  2  3ln x  1  C

D. 2ln x  2  3ln x  1  C

TN41:
A. ln

x

2

1
dx bằng:
 4x  5

x 5
C
x 1

1
x
ln
C

3 x 3

TN43:
A. 

x

2

C.

1 x 5
ln
C
6 x 1

1 x 5
D.  ln
C
6 x 1

1 x3
ln
C
3
x

C.

1

x
ln
C
3 x3

D.

1 x 3
ln
C
3
x

1
C
x 3

C. 

1
C
x 3

D.

1
C
3 x

B. 6 ln

x 5
C
x 1

1

 x( x  3)dx .

TN42: Tìm nguyên hàm:

A.

2018

B.

1
dx bằng:
 6x  9

1
C
x3

B.

TN44: Cho hàm f  x  

1

. Khi đó:
x  3x  2
2

A.

 f  x  dx  ln

x 1
C
x2

B.

 f  x  dx  ln

x 1
C
x2

C.

 f  x  dx  ln

x2
C
x 1

D.

 f  x  dx  ln

x2
C
x 1

TN45: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 

1
x 3
| C
A. F ( x)  ln |
2
x 1

1
là
x  4x  3
2

1
x 1
| C
B. F ( x)  ln |
2
x 3

24
Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh nguyên hàm – tích phân – Nguyễn Vũ Minh (Tập 1)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về