PTMP

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I- VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
1- Định nghĩa:
α
α α
r r
r
( ). 0
( ) ( ).
Cho mặt phẳng Nếu vectơ n khác và có giá vuông góc với
mặt phẳng thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của mp
 Chú ý:
≠
r r
. , ( 0) .Nếu n làvtpt của một mặt phẳng thì k n k cũng làvtpt của mặt phẳng đó
2- Tích có hướng của hai vectơ
a) Bài tốn:
α
α
α
= =
r r
1 2 3 1 2 3
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) và hai vectơ không cùng phương
( ; ; ); ( ; ; ), có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ).
Chứng minh rằng mp( ), nhận vecctơ

a a a a b b b b
= − − − −
r
2 3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 2 2 1
n ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến.a b a b a b a b a b a b a b

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
b) Định nghĩa:
r
b
r
a
r
n
α
a'
b'
•
 
= ∧
 
= ∧ =
1 2 3 1 2 3
Cho véctơ a =(a ; a ; a ); b =(b ; b ; b ).Tích có hướng của hai vectơ a vàb,
kí hiệu là n a b hoặc n = a,b được xác đònh bởi biểu thức sau:
a a a a
a a
n a b ; ;
b b b b b
2 3 3 1

1 2
2 3 3 1
ur ur r r
r r r ur r r
r r r
( )
 
= − − − −
 ÷
 ÷
 
a b a b ;a b a b a b ;a b a b
b
2 3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2
( )
α
•Vectơ n la ø vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
= − + − + −
− + − + − =
=
r r
r r
1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1
: . ( ) ( ) ( )
= 0
,
:

. 0
Tacó a n a a b a b a a b a b a a b a b
a a b a a b a a b a a b a a b a a b
Tươngtự b
ûi
n
Gia

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1
Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1),
C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ của một vtpt của mp(ABC)
( )
( )

= −


= −


Giải :
AB ; ; ,
Ta có:
AC

; ;
2 1 2
12 6 0
uur

uuur
II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
 
− −
⇒ = ∧ =
 ÷
− −
 
n AB AC ; ;

1 2 2 2 2 1
6 0 0 12 12 6
r uur uuur
( ) ( )
= =; ; ; ;12 24 24 12 1 2 2
( )
=Vậy vectơ pháp tuyếncủa mp(ABC)là n ; ;1 2 2
r
:Giải
0 0 0
0
α α
∈ ⇔ ⊂ ⇔ ⊥ ⇔ =
r uuuuur r uuuuur
( ) ( ) .M M M n M M n M M
0 0 0
0⇔ − + − + − =( ) ( ) ( )A x x B y y c z z
0 0 0 0
= − − −
uuuuur

( ; ; )Ta có M M x x y y z z
α
n
r
M
0
M
α
α
=
0
Trong không gian Oxyz cho mp ( ) đi qua điểm M (x ; y ;z )
và nhận vectơ n (A;B ;C) làm vtpt. Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp (
Bài toán1
) là :
A( x
:
x -
0 0 0
r
+ − + − =
0
) B(y y ) C(z z )
0 0
0

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
2
≠

=
r
2 2 2
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm
M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( với A +B +C 0)
là một mặt phẳng nhận vectơ n ( ; ; ) làm
:
vecA B
Bà oa
C
i t ùn
tơ pháp tuyến.
Giải
0 0 0 0 0 0 0
0+ + + =( ; ; )Lấy điểm M x y z saocho Ax By Cz D
0
α
=
r
( ) ( ; ; ) .Gọi là mpđi quiểm M vànhận n A B C làmVTPT
0 0 0
0
α
∈ ⇔ − + − + − =
:
( ) ( ) ( ) ( )
Tacó
M A x x B y y C z z
0 0 0
0 0 0

0
0
⇔ + + − + + =
⇔ + + + = = − + +
( )
, ( )
Ax By Cz Ax By Cz
Ax By Cz D với D Ax By Cz
Từ đó, ta có định nghĩa sau