ĐỀ THI ĐẠI HỌC (01) CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( ĐỀ SỐ 1)
A.PHẦN BẮT BUỘC
CÂU I:
Cho hàm số
3 2
2 3( - 3) 11- 3y x m x m= + +
(
m
C
)
1) Cho m=2 . T́m phương tŕnh các đường thẳng qua
19
( ,4)
12
A
và tiếp xúc với đồ t(
2
C
)
của hàm số .
2) T́m m để hàm số có hai cực tṛ. Gọi
1
M
và
2
M
là các điểm cực tṛ ,t́m
m để các điểm
1
M
,

2
M
và B(0,-1) thẳng hàng.
CÂU II:
Đặt
2
6
0
sin
sin 3 cos
xdx
I
x x
∏
=
+
∫
và
2
6
0
cos
sin 3 cos
xdx
J
x x
∏
=
+
∫

1) Tính I-3J và I+J
2) Từ các kết quả trên ,haơy tính các giá tṛ của I, J và

5
3
3
2
cos2
cos 3 sin
xdx
K
x x
∏
∏
=
−
∫
CÂU III:
1)Chứng minh rằng với mọi
[ ]
1,1t ∈ −
ta có:
2 2
1 1 1 1 2t t t t+ + − ≥ + − ≥ −
2)Giải phương tŕnh:
2 2 4 2
1 2 1 2 2( 1) (2 4 1)x x x x x x x+ − + − − ≥ − − +
.
CÂU IV:
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chủ số đôi một khác nhau ( chử số đầu tiên phải khác 0), trong đó

có mặt chử số 0 nhưng không có mặt chử số 1?
2) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chử số ( chử so áđầu tiên phải khác 0) biết rằng chư số 2 có mặt
đúng hai lần, chử số 3 có mặt đúng ba lần và các chử số còn lại có mặt không quá một lần?
B.PHẦN TỰ CHỌN
Thí sinh được chọn một trong 2 câu Va và Vb:
CÂU Va:
Cho h́nh chóp SABCD có đáy ABCD là h́nh vuông cạnh a,
( )SA ABCD⊥
và
2SA a=
.Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc
ˆ
ACM
α
=
.Hạ
SN CM⊥
.
1)Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố đ̣nh và tính thể tích tứ diện SACN theo
a
và
α
.
2) Hạ
AH SC⊥
,
AK SN⊥
. Chứng minh rằng
( )SC AHK⊥
và tính độ dài đoạn HK

CÂU Vb:
Trong mặt phẳng Oxy, xét đường thẳng
( )d
:
2 1 2 0x my+ + − =
và hai đường tròn:
2 2
1
( ) : 2 4 4 0C x y x y+ − + − =
và
2 2
2
( ) : 4 4 56 0C x y x y+ + − − =
.
1)Gọi I là tâm đường tròn
1
( )C
.T́m m sao cho
( )d
cắt
1
( )C
tại hai điểm phân biệt A
và B.Với giá tṛ nào của m th́ diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá tṛ đó.
2)Chứng minh
1
( )C
tiếp xúc với
2
( )C

.Viết phương tŕnh tổng quát của tất cả các tiếp
tuyến chung của
1
( )C
và
2
( )C
.
ĐÁP ÁN
CÂU I:
Cho hàm số
3 2
2 3( - 3) 11- 3y x m x m= + +
(
m
C
)
1. Cho m=2. T́m phương tŕnh các đường thẳng qua
9
( ,4)
12
A
và tiếp xúc với (C
2
).
Với m=2:
3 2
2 3 5y x x= − +
(C
2

).
Đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k:
19
( ) 4
12
y k x= − +
(d) tiếp xúc (C
2
)
⇔
19
3 2
2x 3 5 ( ) 4 (1)
12

2
6 6 (2)
x k x
x x k

− + = − +



− =

có nghiệm.
Thay (2) vào (1):
19
3 2 2

2 3 5 (6 6 )( ) 4
12
3 2
8 25 19 2 0
2
( 1)(8 17 2) 0
1 0
2 12
1 21
8 32
x x x x x
x x x
x x x
x k
x k
x k
− + = − − +
⇔ − + − =
⇔ − − + =


= ⇔ =

⇔ = ⇔ =


= ⇔ = −


Vậy phương tŕnh đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C

2
) là:
y=4 hay y=12x - 15 hay
21 645
32 128
y x= − +
2. T́m m để hàm số có 2 cực tṛ.
Ta có:
3 2
2 3( 3) 11 3y x m x m= + − + −


,
2
6 6( 3)y x m= + −

,
2
0 6 6( 3) 0y x m= ⇔ + − =
(1)

0
(1)
3
x
x m
=

⇔


= −

Hàm số có 2 cực tṛ
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
3 0 3m m
⇔ − ≠ ⇔ ≠
.
T́m m để 2 điểm cực tṛ M
1
, M
2
và B(0, -1) thẳng hàng.
Để t́m phương tŕnh đường thẳng qua 2 điểm cực tṛ M
1
, M
2
ta chia f(x) cho
'
( )f x
:
1 3
' 2
( ) ( ) ( 3) 11 3
3 6
m
f x f x x m x m
−
 
= + − − + −

 
 
Suy ra phương tŕnh đường thẳng M
1
M
2
là:
2
( 3) 11 3y m x m= − − + −
M
1
, M
2
, B thẳng hàng
B
⇔ ∈
M
1
M
2


⇔
-1=11-3m
⇔
m= 4
So với điều kiện m
≠
3 nhận m= 4
ĐS:m=4

CÂU II:
Đặt
2 2
/ 6
6
sin cos
,
sin 3 cos sin 3 cos
0 0
x x
I dx J dx
x x x x
π
π
= =
∫ ∫
+ +
1) Tính I - 3J và I + J.
π
2 2
6
sin x - 3cos x
• I - 3J= dx
sinx + 3cosx
0
π
6
(sinx - 3cosx)(sinx + 3cosx)
= dx
sinx + 3cosx

0
π
6
= (sinx - 3cosx)dx
0
π
6
=(-cosx - 3sinx) =1 - 3
0
∫
∫
∫
π
2 2
6
sin x + cos x
• I + J= dx
sinx + 3cosx
0
π
6
1
= dx
sinx + 3cosx
0
π
6
1
= dx
1 3

0
2( sinx + cosx)
2 2
π
6
1 1
= dx
π
2
0
sin(x+ )
3
π
π
sin(x + )
6
1
3
= dx
π
2
2
0
1 - cos (x + )
3
∫
∫
∫
∫
∫

Ñaët
cos( ) sin( )
3 3
t x dt x dx
π π
= + ⇒ = − +
Ñoåi caän :
1
0
2
0
6
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
0
1
2
2
1
1
2
1
2
1 1
2
2
1

0
1
2
1 1 1
4 1 1
0
1
1 1 1
2
ln ln3
4 1 4
0
dt
I J
t
dt
t
dt
t t
t
t
−
⇒ + =
∫
−
=
∫
−
 
= +

∫
 ÷
+ −
 
 + 
= =
 ÷
−
 
2. Tính I, J, K
5
3
cos2
cos 3 sin
3
2
x
dx
x x
π
π
=
∫
−
Ta có:
3 1 3
ln3
3 1 3
16 4
1

ln3
1 3 1
ln3
4
16 4
I
I J
I J
J

−

= +
− = −

 
⇔
 
+ =
−
 
= +



Đổi biến số cho tích phân K:
Đặt
3
2
t x dt dx

π
= − ⇒ =
Đổi cận:
3
0
2
5
3 6
x t
x t
π
π π
= ⇒ =
= ⇒ =