Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.91 MB, 64 trang )
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
Chủ đề
3
1
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ ∗ là đúng với mọi n mà không thể
thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp
quy nạp) như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 .
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp)
- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 .
Các kiến thức cần nhớ:
* Cách viết số tự nhiên:
Các số tự nhiên liên tiếp: n; n + 1; n + 2; …
Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n; 2n + 2; 2n + 4; …
Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; …
* Tính chất chia hết:
Các số chẵn thì chia hết cho 2.
Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8 .
* Tính chất lũy thừa:
n
a m .a n = a m + n
am : a n = a m– n
( ab ) = a n .b n
n
m
an
a
n
=
am = a n
n
b
b
2
* Phân tích đa thức ax + bx + c thành nhân tử:
Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x1 , x2 thì:
n
( a m ) = a m. n
ax 2 + bx + c = a ( x – x1 )( x – x2 )
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương
pháp quy nạp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp gồm ba bước trong phần tóm tắt lý thuyết
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
2
B. BÀI TẬP MẪU
2
Ví dụ 1. Chứng minh rằng 22 + 4 2 + 82 + ... + ( 2n ) =
2n ( n + 1)( 2n + 1)
3
, với. n ∈ ℕ ∗ .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Chứng minh rằng 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) =
n ( 3n + 1)
2
, với n ∈ ℕ ∗ .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
3
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1.
Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ :
a) 1 + 2 + 3 + ... + n =
n 2 ( n + 1)
b) 1 + 2 + 3 + ... + n =
4
d) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2
n ( n + 1)
3
2
c) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n + 1)
e) 1 + 4 + 7 + ... + ( 3n − 2 ) =
n ( 3n − 1)
f)
2
n
g)
1 1 1
1 2 −1
+ + + ... + n = n
2 4 8
2
2
n ( n + 1)( 2n + 1)
6
n) 1.4 + 2.7 + ... + n ( 3n − 1) = n ( n + 1)
2
2
2
2
q) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) =
2
2
3
1 1 1
1 2n + 3
+ 2 + 3 + ... + n =
3 3 3
3
4.3n
1 n +1
( 3 − 3)
2
n ( 3n + 1)
j) 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) =
2
l)
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1.2 2.3
n ( n + 1) n + 1
2
p) 22 + 4 2 + 6 2 + ... + ( 2n ) =
n ( 4n 2 − 1)
3
s) 1.2 + 2.5 + 3.8 +…+ n ( 3n –1) = n 2 ( n + 1)
m)
3
h) 3 + 9 + 27 + ... + 3n =
i) 1 – 2 + 3 – 4 + … – 2n + ( 2n + 1) = n + 1 .
k) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
3
r)1 + 3 + 6 + 10 + ... +
n ( n + 1)
2
2n ( n + 1)( 2n + 1)
3
=
n ( n + 1)( n + 2 )
6
n ( n + 3)
1
1
1
+
+ ... +
=
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1)( n + 2 ) 4 ( n + 1)( n + 2 )
o) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) =
n ( n + 1)( n + 2 )
3
với n ≥ 2 .
Bài 2.
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
Bài 3.
Cho tổng Sn =
n ( n − 3)
.
2
1
1
1
1
+
+
+ ... +
, với n ∈ ℕ ∗ .
1.3 3.5 5.7
2
n
−
1
2
n
+
1
(
)(
)
a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 .
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Bài 4.
Cho tổng Sn =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
, với n ∈ ℕ ∗ .
1.2 2.3 3.5
n ( n + 1)
a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 .
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Bài 5.
Cho Sn =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
, với n ∈ ℕ ∗ .
1.5 5.9 9.13
( 4n − 1)( 4n + 1)
a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 .
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp.
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
4
Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng
phương pháp quy nạp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết
• Nắm rõ kiến thức về chi hết
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: un = 4 n + 15n − 1 chia hết cho 9 , với n ∈ ℕ ∗ .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Chứng minh rằng: 13n − 1 chia hết cho 12 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 6. Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ :
a) n5 – n⋮ 5
b) n7 – n⋮ 7
e) 3n + 2n –1⋮ 4
f) 32 n –1⋮8
File word liên hệ:
c) 13n –1⋮ 6
d) n3 + 2n ⋮ 3
g) 32 n−1 + 2n +1 ⋮ 7
h) 4.32n + 2 + 32n – 36⋮ 64
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
5
Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài toán bất đẳng
thức bằng phương pháp quy nạp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết
• Lưu ý: Nguyên lý quy nạp toán học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự
nhiên n :
- Nếu bất đẳng thức được kiểm tra đúng với số tự nhiên n0 .
- Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng khi n = k ≥ n0 , từ đó là chứng minh được rằng bất
đẳng thức đúng khi n = k + 1 . Thế thì bất đẳng thúc đúng cho mọi số tự nhiên n ≥ n0 .
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọ i n ∈ ℕ* , ta có
a) 2n > 2n + 1 với n ≥ 3 .
b) 1 +
1
1
+ ... +
<2 n .
2
n
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
6
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 7.
Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ :
b) 2n > n 2 với n ≥ 5
a) 2n ≥ 2n + 1 với n ≥ 3
c) n n ≥ ( n + 1)
Bài 8.
n –1
d) n ! > 2n –1 với n ≥ 3
e) 3n > n2 + 4n + 5 với n ≥ 3
f) 2n+ 2 > 2n + 5
g) sin 2 n α + cos2 n α ≤ 1
h) 3n –1 > n ( n + 2 ) với n ≥ 4
i) 2n –3 > 3n –1 với n ≥ 8
j) 3n > 3n + 1 với n ≥ 2 .
Chứng minh rằng với mọ i n ∈ ℕ* , ta có
a) 1 +
1
1
1
+ ... + 2 < 2 − với n ≥ 2 .
2
2
n
n
b)
1 3 2n − 1
1
. ⋯
<
.
2 4
2n
2n + 1
n
Bài 9.
a n + bn a + b
∗
CMR:
≥
, trong đó a, b > 0 và n ∈ ℕ .
2
2
Bài 10.
CMR nếu ∆ABC vuông tại A , có số đo các cạnh là a , b , c thì với mọ i số tự nhiên n ≥ 2 , ta
có bất đẳng thức: b n + c n ≤ a n .
Bài 11.
Với giá trị nào của số nguyên dương n , ta có:
a) 2n+1 > n 2 + 3n
b) 2n > 2n + 1
c) 2n > n 2 + 4n + 5
d) 3n > 2n + 7n ?
Bài 12.
Cho n số thực a1 , a2 , a3 , …, an thỏa –1 < ai ≤ 0 với i = 1, n .
Bài 13.
Chứng minh rằng: ∀n ∈ ℕ∗ ta có: (1 + a1 )(1 + a2 ) …(1 + an ) ≥ 1 + a1 + a2 +…+ an .
Bài 14.
CMR với các số thực a1 , a2 , a3 , …, an , ( n ∈ ℕ ∗ ) , ta có: a1 + a2 +…+ an ≤ a1 + a2 + ... + an .
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
7
Vấn đề 2. DÃY SỐ
Định nghĩa:
Định nghĩa 1. Một hàm số u được xác định trên tập ℕ∗ các số nguyên dương được gọi là một
dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu: ( un ) hay ở dạng khai triển u1 , u2 , …, un , …
Cách cho một dãy số:
Cách 1. Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un .
Cách 2. Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp),
tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước
nó.
Cách 3. Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
Dãy số tăng, dãy số giảm:
Định nghĩa 2.
a. Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu ∀n ∈ ℕ∗ , un < un+1 .
b. Dãy số ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu ∀n ∈ ℕ∗ , un > un+1 .
Vậy, ta thấy:
Với dãy ( un ) tăng, ta có: u1 < u2 < u3 < …< un < …
Với dãy ( un ) giảm, ta có: u1 > u2 > u3 > … > un > …
Dãy số bị chặn:
Định nghĩa 3.
a. Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn trên nếu ∃M ∈ ℝ : un ≤ M , ∀n ∈ ℕ∗ .
b. Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn dưới nếu ∃m ∈ ℝ : un ≥ m , ∀n ∈ ℕ∗ .
c. Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vứa bị chặn dưới tức là:
∃m, M ∈ ℝ : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ℕ∗ .
Dạng 1. Mở đầu về dãy số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với giả thiết cho dãy số ( un ) dưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và
câu hỏi thường gặp là:
a. Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm uk . Câu hỏi này được thực hiện bằng
cách thế.
b. Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số. Câu hỏi này được thực hiện bằng
việc giải phương trình ẩn n : un = a .
B. BÀI TẬP MẪU
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
8
Ví dụ 6. Cho dãy số ( un ) , với un =
( −1)
n
+1
n
a) Tìm u9 , u12 , u2 n , u2 n+1 .
.
b) Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Ví dụ 7. Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗ i dãy sau:
2
a) Dãy số ( um ) xác định bởi: u1 = 0 và un = 2
với n ≥ 2 .
un −1 + 1
b) Dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2 và un = un−1 − 2un −2 với n ≥ 3 .
c) Dãy số ( vn ) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + 2 với n ∈ ℕ ∗
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 15.
Viết 5 số hạng đầu của mỗ i dãy số ( un ) , biết
n
a) un = n
2 −1
e) un =
Bài 16.
2n 2 − 3
n
f) un = sin 2
n
nπ
2nπ
+ cos
4
3
d) un =
n
n2 + 1
g) un = ( −1)
n
4n
Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số ( un ) cho bởi
2n 2 − 1
a) un = 2
n +1
Bài 17.
1
c) un = 1 +
n
2n − 1
b) un = n
2 +1
n + ( −1)
b) un =
2n + 1
n
c) un = n + cos 2 n
d) un =
( n + 1)! .
2n
Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ( un ) cho bởi
u1 = 2
a)
.
1
un +1 = 3 ( un + 1)
u1 = 0
b)
2 .
un +1 = u 2 + 1
n
File word liên hệ:
u = 15, u2 = 9
c) 1
.
un + 2 = un − un +1
u = 1, u2 = −2
d) 1
.
un + 2 = un +1 − 2un
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
9
Dạng 2. Xác định công thức của dãy số ( un )
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un.
Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:
Bước 1. Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un .
Bước 2. Chứng minh công thức dự đoán bằng pp quy nạp.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8. Cho dãy số ( un ) , với u1 = −1 và un+1 = un + 3 với n ≥ 2 .
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy.
b) Tìm công thức tổng quát của dãy.
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Ví dụ 9. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 2017 và un+1 = un + 2018 với n ∈ ℕ ∗ . Tìm un .
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Ví dụ 10. [NC] Cho dãy số ( un ) xác định bởi: un =
1
∀n ∈ ℕ∗ và dãy số ( vn ) xác định bởi:
n ( n + 1)
v1 = u1 , vn +1 = vn + un+1 . Xác định công thức của vn theo n .
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
10
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 18.
Cho dãy số ( un ) , biết: u1 = 1 và un = 2un −1 + 3 với n ≥ 2 .
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 2n +1 − 3 .
Bài 19.
Cho dãy số ( un ) , biết: u1 = 3 và un +1 = 1 + un2 với n ≥ 1 .
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng quy nạp.
Bài 20.
Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 3 và un +1 = un + 5 với mọ i n ≥ 1 .
a) Hãy tính u2 , u4 và u6 .
Bài 21.
Bài 22.
b) Chứng minh rằng un = 5n − 2 với mọ i n ≥ 1 .
Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 =
a) Cho dãy số ( un )
2
với mọ i n ≥ 1 .
u +1
2
n
1
22 n+1 − 7
u1 =
có
v
ớ
i
.
Ch
ứ
ng
minh
r
ằ
ng
u
=
với n ≥ 1 .
n
≥
1
3
n
3
un +1 = 4un + 7
u = 2
b) Cho dãy số ( un ) có 1
với n ≥ 1 . Chứng minh rằng un = 3n − n với n ≥ 1 .
u
=
3
u
+
2
n
−
1
n
n +1
Bài 23.
Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ( un ) , dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng
minh công thức đó bằng qui nạp
u = 1
a) 1
un +1 = 2un + 3
Bài 24.
u1 = 3
b)
2
un +1 = 1 + un
5
u1 = 4
c)
u = un + 1
n +1
2
π
Cho dãy số ( sn ) với sn = sin ( 4n − 1)
6
a) Chứng minh rằng sn = sn +3 với mọ i n ≥ 1 .
b) Hãy tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của ( sn ) .
Bài 25.
2x −1
2x2 + 1
a) Với mỗ i số nguyên dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng x = n .
Trong mặt phẳng tọa độ cho đồ thị hàm số y =
b) Xét dãy số ( un ) với un là tung độ của điểm An . Hãy tìm công thức xác định số hạng tổng
quát của dãy số đó.
Bài 26.
Cho dãy số ( un ) với un = 5.4 n −1 + 3 .
a) Chứng minh rằng un +1 = 4un − 9 với mọ i n ≥ 1
b) Dựa vào kết quả của phần a) hãy cho dãy số ( un ) xác định bởi hệ thức truy hồ i.
Bài 27.
Cho dãy số ( un ) và ( vn ) , với un = n, vn = 2n + n
a) Chứng minh rằng với mọ i n ≥ 1 ta luôn có un +1 = 2un − n + 1, vn = 2vn − n + 1
b) Từ kết quả của câu a), rút ra kết luận gì?
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
11
Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng
minh dãy số ( u n ) thỏa mãn tính chất K
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Chứng minh rằng số hạng u1 thỏa mãn tính chất K .
Bước 2.
Giả sử số hạng uk thỏa mãn tính chất K . Ta đi chứng minh uk +1 cũng thỏa
Bước 3.
mãn tính chất K .
Kết luận dãy số ( un ) thỏa mãn tính chất K .
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 11. Cho dãy số ( un ) , với u n = n 3 + 11n . Chứng tỏ rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết
cho 6 .
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 28.
Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ ℕ ∗ :
a) 4n + 15n –1⋮ 9
b) 16n –15n –1⋮ 225
c) n3 – n⋮ 3
d)
n3 + 11n ⋮ 6
e) n3 + 3n 2 + 5n ⋮ 3
f)
3n3 + 15⋮ 9
g) 62 n + 3n+ 2 + 3n ⋮11
h)
2n3 – 3n 2 + n⋮ 6
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
12
Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu)
và bị chặn của một dãy số ( u n )
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Tính tăng, giảm của dãy số:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Lập hiệu H = un+1 – un , từ đó xác định dấu của H .
Bước 2. Khi đó:
* Nếu H > 0 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) tăng.
* Nếu H < 0 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) giảm.
Cách 2: Nếu un > 0 , ∀n ∈ ℕ∗ ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Lập tỉ số P =
Bước 2. Khi đó:
un +1
, từ đó so sánh P với 1.
un
* Nếu P > 1 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) tăng.
* Nếu P < 1 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) giảm.
2. Tính bị chặn của dãy số:
• Sử dụng định nghĩa 3.
• Chú ý:
* Mọi dãy số ( un ) giảm luôn bị chặn trên bởi u1 .
* Mọi dãy số ( un ) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1 .
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12. Xét tính tăng giảm của dãy số:
a) un =
n
,
5n
b) un = 2n − 1
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
n2 + 1
Ví dụ 13. Xét tính bị chặn của dãy số: un =
.
n
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
Ví dụ 14. Chứng minh dãy số ( un ) với un =
13
2n + 3
là dãy số giảm và bị chặn.
3n + 2
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Ví dụ 15. Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) cho bởi
n2 + n + 1
a) un =
.
n2 + 1
4n − 1
b) un = n
.
4 +5
u1 = 3
c)
2un .
u
=
n
+
1
un + 3
u1 = 6
d)
.
6
u
=
+
u
n +1
n
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
14
Ví dụ 16. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( un ) cho bởi
a) un =
2n + 3
n+2
b) un =
d) un =
n 2 + 2n
n2 + n + 1
e) un =
1
n ( n + 1)
c) un = n 2 + 4
n
n
f) un = ( −1) cos
2
n + 2n + n
π
2n
.
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 29.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) , biết:
n −1
n +1
n +1
e) un = n3 − 3n 2 + 5n − 7 f) un = n
3
a) un =
1
−2
n
b) un =
n
c) un = ( −1) ( 2n + 1)
d) un =
2n + 1
5n + 2
g) un = n + 1 − n .
Bài 30.
Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un + ( n + 1) .2 n với mọ i n ≥ 1 .
Bài 31.
a) Chứng minh rằng ( un ) là một dãy số tăng.
b) Chứng minh rằng un = 1 + ( n − 1) .2 n với mọ i n ≥ 1 .
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
15
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2
Bài 32.
Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) :
a) u n = 10
b) u n = 3 – 7
2n + 1
c) un = 2
n
n
e) un = n
2 −1
2n − 1
f) un = n
2 +1
1
g) u n = 1 +
n
1–2 n
i) un =
n
5n
l) un = ( −1)
Bài 33.
Bài 34.
n
j) un = ( −1)
n
4n
n −1
sin
1
n
h) un =
n
n2 + 1
k) un = n + 1 − n
2n 2 − 3
nπ
2nπ
n) un = sin 2
+ cos
n
4
3
Đáp số: a) giảm b) tăng c) giảm d) tăng i) giảm j) ko tăng, ko giảm k) giảm
m) un =
a) u n = 2 n 3 − 5n + 1
b) u n = 3n − n
n
e) un = n
2
f) un =
2n. n
i) un = n
3
k) u n = n − n 2 − 1
3n
n2
c) un =
n
2
n +1
d) un =
3n
2n+1
g) un =
3n2 − 2n + 1
n +1
h) un =
n2 + n + 1
2n 2 + 1
n + 1 −1
1
m) un = 2n + n
n
5
Đáp số: a) tăng b) tăng c) giảm d) tăng e) giảm f) ko tăng, ko giảm
g) tăng h) giảm i) giảm k) giảm l) giảm m) tăng
l) un =
Trong các dãy số ( un ) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
b) un =
1
n ( n + 2)
c) un =
Chứng minh rằng dãy số ( un ) với un =
Bài 36.
Hãy xác định số thực a để dãy số ( un ) , với un =
a) Một dãy giảm.
1
d) un = sin n + cos n .
2n 2 − 1
2n + 3
là một dãy số giảm và bị chặn.
3n + 2
Bài 35.
b) Một dãy tăng.
an 2 + 1
, là:
2n 2 + 3
Đáp số: a) a < 2 / 3 b) a > 2 / 3
Tìm số hạng thứ 3, thứ 5 và thứ 7 của mỗ i dãy số sau:
u1 = 0
u = 1, u2 = −2
a)
b) 1
2 ( n ≥ 2)
( n ≥ 3)
un = un −1 − 2un − 2
un = u 2
n −1
u = 1
c) 1
( n ≥ 1)
un +1 = 3un + 10
Bài 38.
n
Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) :
a) un = 2n 2 − 1
Bài 37.
3n n
d) un = n
2
u = 5, u2 = 0
d) 1
un + 2 = un +1 + 6un
( n ≥ 1)
Cho dãy số ( un ) với un = n 2 – 4n + 3 .
a) Viết công thức truy hồ i của dãy số.
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới.
c) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy đã cho.
n ( n + 1)( 2n − 11) + 18n
u = 0
Đáp số: a 1
( n ≥ 1) b)
6
un +1 = un + 2n − 3
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
Bài 39.
16
Cho dãy số ( un ) với un = 1 + ( n –1) 2n .
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b) Tìm công thức truy hồ i.
c) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn dưới.
Đáp số: b) u1 = 1 vaø un +1 = un + ( n + 1) 2n ( n ≥ 1)
Bài 40.
Dãy số ( un )
u1 = 1
xác định bằng công thức:
( n ≥ 1)
3 2 5
un +1 = − 2 un + 2 un + 1
b) Chứng minh rằng u n + 3 = un , ∀n ∈ ℕ ∗ .
a) Tính u2 , u3 , u4 .
Đáp số: a) u2 = 2, u3 = 0, u4 = 1
Bài 41.
Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: un = sin
a) Tính u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 .
Đáp số: a) u1 =
Bài 42.
nπ
nπ
+ cos
3
6
b) Chứng minh rằng u n = u n +12 , ∀n ∈ ℕ ∗ .
1+ 3
−1 + 3
−1 − 3
1− 3
, u2 =
, u3 = −1, u4 =
, u5 =
, u6 = 1
2
2
2
2
u = 3
Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: 1
( n ≥ 1)
un +1 = un + 5
a) Tính u2 , u4 , u6 .
b) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
Đáp số: b) un = 5n − 2
Bài 43.
u1 = 1
Dãy số ( un ) được xác định bằng công thức:
( n ≥ 1)
3
un +1 = un + n
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
2
n 2 ( n − 1)
Đáp số: a) un = 1 +
b) u100 = 24.502.501
4
Bài 44.
u = 5
Dãy số ( un ) được xác định bằng công thức: 1
( n ≥ 1)
un +1 = un + 3n − 2
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Chứng minh dãy số tăng.
Đáp số: a) un = 5 +
Bài 45.
u1 = 1
Dãy số ( un ) xác định bằng công thức:
n
un +1 = un + ( n − 1) 2
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Chứng minh dãy số tăng.
( n − 1)( 3n − 4)
2
( n ≥ 1)
Đáp số: a) un = 1 + ( n − 1) 2n
Bài 46.
Chứng minh rằng các dãy số ( un ) sau là một dãy số không đổi:
u1 = 1
a)
2 ( n ≥ 1)
u
=
1
n
+
un2 + 1
File word liên hệ:
u1 = 2
b)
un2 + 4 ( n ≥ 1)
u
=
n +1
4
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
Bài 47.
17
Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: un = sin ( 4n − 1)
π
6
a) Chứng minh rằng un = un +3 với mọ i n ≥ 1 .
b) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài 48.
Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: un = sin ( 2n − 1)
π
3
a) Chứng minh rằng un = un +3 với mọ i n ≥ 1 .
b) Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài 49.
Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau:
u1 = 2
1
u1 =
a)
b)
1 ( n ≥ 1)
2
( n ≥ 1)
un+1 = 2 − u
un +1 = 3un
n
u = 2
c) 1
( n ≥ 1)
un +1 = un − 1
u = 1
d) 1
( n ≥ 1)
un +1 = un + 2n + 1
u = 1
e) 1
( n ≥ 2)
un = 2un −1 + 3
u = 1
f) 1
( n ≥ 1)
un +1 = 2un + 7
u = 2
g) 1
un +1 = 5un
Bài 50.
Đáp số:b) 3 2
u = 1
h) 1
( n ≥ 1)
un +1 = 3un + 10
n +1
1
Đáp số:a) un =
b) un = .3n −1 c) un = 3 − n d) un = n 2
n
2
n +1
e) u n = 2 − 3 f) un = 7n − 6 g) u n = 2.5 n −1 h) u n = 2.3n − 5
( n ≥ 1)
Cho dãy số ( un ) với un = 5.4 n −1 + 3 .
a) Chứng minh rằng: un+1 = 4un − 9 với n ≥ 1 .
Đáp số: b) u1 = 8, un+1 = 4un − 9, n ≥ 1
b) Dựa vào kết quả câu a), hãy viết công thức truy hồi của ( un ) .
Bài 51.
Chứng minh rằng:
2n + 3
là dãy số giảm và bị chặn.
3n + 2
7n + 5
b) Dãy số ( vn ) , với vn =
là dãy số tăng và bị chặn.
5n + 7
a) Dãy số ( un ) , với un =
Bài 52.
Dãy số ( xn ) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A :
A = { A0 , A1 , A2 , A3 , …, An , …}
Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lạ i
thuộc tập hợp A .
Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và n + 1 điểm trong A rồi lập dãy số ( un ) .
a) Tính u1 , u2 , u3 , u4 .
b) Chứng minh rằng: u n = C n2+1 và un+1 = un + n + 1 .
Đáp số: a) u1 = 1, u2 = 3, u3 = 6, u4 = 10
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
18
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2
−n
. Khẳng định nào sau đây là đúng
n +1
−1 −2 −3 −5 −5
A. Năm số hạng đầu của dãy là
;
;
;
;
.
2
3
4
5
6
−1 −2 −3 −4 −5
B. 5 số số hạng đầu của dãy là:
;
;
;
;
.
2
3
4
5
6
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1 .
Câu 1.
Cho dãy số (U n ) với U n =
Câu 2.
Cho dãy ( un ) xác định bởi un = 2.3n . Giá trị của u20 với mọ i số nguyên dương n là:
A. 2.319 .
B. 2.320 .
C. 320 .
D. 2.321 .
1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n +n
1 1 1 1
1
A. Năm số hạng đầu của dãy là ; ;
;
;
.
2 6 12 20 30
B. Là dãy số tăng.
1
C. Bị chặn trên bởi số M = .
2
D. Không bị chặn.
Câu 3.
Cho dãy số (U n ) với U n =
Câu 4.
Cho dãy số (U n ) với U n =
Câu 5.
Cho dãy số (U n ) với U n = a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 6.
2
−1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n
−1 −1 −1 −1
A. 5 số hạng đầu của dãy là: −1;
;
;
;
.
2
3
4
5
B. Bị chặn trên bởi số M = −1 .
C. Bị chặn trên bởi số M = 0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m = −1 .
A. Dãy số có U n +1 = a.3n +1 .
B. Hiệu số U n +1 − U n = 3.a .
C. Với a > 0 thì dãy số tăng.
D. Với a < 0 thì dãy số giảm.
Cho dãy số (U n ) với U n =
a −1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2
a −1
.
(n + 1)2
D. Là dãy số giảm với mọ i a .
a −1
.
n2 + 1
C. Là dãy số tăng với mọ i a .
A. Dãy số có U n +1 =
Câu 7.
Cho dãy số (U n ) với U n =
A. U n+1 =
B. Dãy số có U n+1 =
a −1
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
n2
a −1
.
(n + 1)2
C. Hiệu U n +1 − U n = ( a − 1) .
B. Hiệu U n +1 − U n = (1 − a ) .
2n − 1
( n + 1)
2
n2
File word liên hệ:
.
2n + 1
( n + 1)
2
n2
.
D. Dãy số tăng khi a < 1 .
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
Câu 8.
Cho dãy số (U n ) với U n =
2
a. ( n + 1)
A. U n +1 =
.
n+2
Câu 9.
Cho dãy số (U n )
19
a.n 2
( a : hằng số). U n +1 là số hạng nào sau đây?
n +1
2
a. ( n + 1)
B. U n +1 =
.
n +1
C. U n+1 =
a.n 2 + 1
.
n +1
D. U n+1 =
an 2
.
n+2
an2
với U n =
. ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n +1
2
a. ( n + 1)
A. U n +1 =
.
n+2
C. Là dãy số luôn tăng với mọ i a .
B. U n +1 − U n =
a. ( n 2 + 3n + 1)
(n + 2)( x + 1)
D. Là dãy số tăng với a > 0 .
.
Câu 10. Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; 25; … . Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. U n = 5 ( n − 1) .
B. U n = 5n .
C. U n = 5 + n .
D. U n = 5.n + 1 .
Câu 11. Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. U n = 7n + 7 .
B. U n = 7.n .
C. U n = 7.n + 1 .
D. U n không viết được dưới dạng công thức.
Câu 12. Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;
A. un =
n +1
.
n
B. un =
1 2 3 4
; ; ; ;... Số hạng tổng quát của dãy số này là
2 3 4 5
n
.
n +1
C. un =
n −1
.
n
D. un =
n2 − n
.
n +1
Câu 13. Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; .... Số hạng tổng quát của dãy số
này có dạng
1
1
A. un = 0,00...01 .
B. un = 0,00...01 .
C. un = n −1 .
D. un = n +1 .
10
10
n−1 so 0
n so 0
Câu 14. Trong các dãy số ( un ) sau đây, hãy chọn dãy số giảm.
A. un = sin n .
B. un =
n2 + 1
.
n
n
C. un = n − n − 1 . D. un = ( −1) .( 2n + 1) .
Câu 15. Trong các dãy số ( un ) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn.
A. un = n 2 + 1 .
B. un = n +
1
.
n
C. un = 2 n + 1 .
D. un =
n
.
n +1
Câu 16. Cho dãy số có các số hạng đầu là −1 , 1 , −1 , 1 , - 1 , ….Số hạng tổng quát của dãy số này có
dạng
A. un = 1 .
B. un = −1 .
n
C. un = ( −1) .
D. un = ( −1)
n +1
.
Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là −2; 0; 2; 4; 6;…. . Số hạng tổng quát của dãy số này có
dạng
A. un = −2n .
B. un = ( −2 ) + n .
C. un = ( −2 )( n + 1) . D. un = ( −2 ) + 2 ( n − 1) .
1 1 1 1 1
;
;
;
;
; .... Số hạng tổng quát của dãy số này là
3 32 33 34 35
1
1
1
B. un = n +1 .
C. un = n .
D. un = n −1 .
3
3
3
Câu 18. Cho dãy số có các số hạng đầu là
1 1
A. un = . n +1 .
3 3
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
20
k
(k: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai
3n
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n + 1 của dãy số là n +1 .
3
3
C. Là dãy số giảm khi k > 0 .
D. Là dãy số tăng khi k > 0 .
Câu 19. Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 20. Cho dãy số ( un ) với un
( −1)
=
n −1
n +1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
. Khẳng định nào sau đây là sai
1
.
10
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
C. Đây là một dãy số giảm.
−1
.
11
D. Bị chặn trên bởi số M = 1 .
u1 = 1
Câu 21. Cho dãy số ( un ) :
. Với mọ i số nguyên dương n . Giá trị của u20 là:
u
=
2
u
+
5
n
+
1
n
A. 220 − 5 .
B. 3.219 − 5 .
C. 3.2 20 − 5 .
D. 222 − 5 .
Câu 22. Cho dãy số ( un ) có un = n − 1 với n ∈ ℕ* . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 5 số hạng đầu của dãy là 0; 1;
2;
C. Là dãy số tăng.
3;
5.
B. Số hạng un +1 = n .
D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
Câu 23. Cho dãy số ( un ) có un = − n 2 + n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng
A. 6 số hạng đầu của dãy là −1; 1; 5; −5; −11; −19 .
B. un +1 = −n 2 + n + 2 .
C. un −1 − un = 1 .
D. Là một dãy số giảm.
u = 5
Câu 24. Cho dãy số ( un ) với 1
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây
un +1 = un + n
A. un =
( n − 1) n .
B. un = 5 +
2
( n + 1) n .
C. un = 5 +
2
( n − 1) n .
2
( n − 1)( n + 2 ) .
D. un = 5 +
2
u1 = 1
Câu 25. Cho dãy số ( un ) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây
2
un +1 = un + n
n ( n + 1)( 2n + 1)
n ( n − 1)( 2n + 2 )
A. un = 1 +
.
B. un = 1 +
.
6
6
n ( n + 1)( 2n − 1)
n ( n + 1)( 2n − 2 )
C. un = 1 +
.
D. un = 1 +
.
6
6
u = 2
Câu 26. Cho dãy số ( un ) với 1
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây
un +1 − un = 2n − 1
2
A. un = 2 + ( n − 1) .
B. un = 2 + n 2 .
Câu 27. Cho dãy số ( un ) với un =
A. un +1 =
−1
( n + 1)
2
2
C. un = 2 + ( n + 1) .
2
D. un = 2 − ( n − 1) .
−1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
2
.
+1
C. Đây là một dãy số tăng.
File word liên hệ:
B. un > un +1 .
D. Bị chặn dưới.
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
Câu 28. Cho dãy số ( un ) với un = sin
π
n +1
21
. Khẳng định nào sau đây là sai.
A. Số hạng thứ n + 1 của dãy: un +1 = sin
π
n +1
.
C. Đây là một dãy số tăng.
B. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không tăng không giảm.
1
, ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
n +1
1 1
1 1 1
1 1
B. 1, , .
C. , , .
D. 1, , .
2 3
2 4 6
3 5
Câu 29. Cho dãy số ( un ) , n ∈ ℕ* biết un =
A.
1 1 1
, , .
2 3 4
Câu 30. Cho dãy số ( un ) , n ∈ ℕ* biết un =
A.
1 1 3
, ,
.
2 4 26
3
1 1
, ,
2 4
B.
n
n
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
−1
1
1 1 1
1 2 3
.
C. , ,
.
D. , , .
8
2 4 16
2 3 4
u = −1
với n > 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
Câu 31. Cho dãy số ( un ) , biết 1
un +1 = un + 3
A. −1, 2, 5 .
B. 1, 4, 7 .
C. 4, 7, 10 .
D. −1, 3, 7 .
n
, n ∈ ℕ* . Chọn đáp án đúng:
n
2
1
1
B. u5 = .
C. u5 =
.
16
32
Câu 32. Cho dãy số ( un ) , biết un =
A. u4 =
1
.
4
n
Câu 33. Ba số hạng đầu của dãy ( un ) , biết un = ( −1) ⋅
1 2
A. 0; − ; .
2 3
1 2
3
B. − ; ; − .
2 3
4
n
với ∀n ≥ 3 là:
n +1
3 4
5
C. − ; ; − .
4 5
6
1
D. u3 = .
8
D.
3 4 5
; ; .
4 5 6
u = −1; u2 = 2
Câu 34. Ba số hạng thứ 3 , 4 , 5 của dãy ( un ) với 1
, ∀n ≥ 1 là:
un = −un −1 + 2un − 2
A. −4; 8; −16 .
B. 1; 3; 5 .
C. −2; 4; 6 .
D. −4; −8; −16 .
Câu 35. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Hãy chọn phương án đúng: Số hạng un +1 bằng:
A. 3n + 1 .
B. 3n + 3 .
C. 3n.3 .
D. 3 ( n + 1) .
Câu 36. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng u2 n bằng:
A. 2.3n .
B. 9n .
C. 3n + 3 .
D. 6n .
Câu 37. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng un −1 bằng:
A. 3n − 1 .
B.
1 n
.3 .
3
C. 3n − 3 .
D. 3n − 1 .
Câu 38. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng u2 n −1 bằng:
A. 32.3n − 1 .
B. 3n.3n−1 .
C. 32n − 1 .
D. 32( n −1) .
Câu 39. Cho dãy số ( un ) với un = 4 n + 2n . Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
A. u1 = 6; u2 = 20; u3 = 70 .
B. u1 = 6; u2 = 18; u3 = 72 .
C. u1 = 4; u2 = 20; u3 = 72 .
D. u1 = 6; u2 = 20; u3 = 72 .
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
22
Câu 40. Dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 0; un =
A. u5 =
1
.
2
B. u5 =
1
, ∀n ≥ 2 . Số hạng thứ 5 là:
un −1 + 2
2
.
5
C. u5 =
5
.
12
D. u5 =
12
.
29
Câu 41. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 = un + 2n, ∀n ≥ 1 . Ta có u9 bằng:
A. 57 .
B. 60 .
C. 56 .
Câu 42. Số hạng nào sau đây là một số hạng của dãy ( un ) với u1 = 2, un +1 =
A.
1025
.
1024
B.
2007
.
2006
C.
2006
.
2005
D. 73 .
un + 1
, ∀n ∈ ℕ* .
2
2005
D.
.
2007
Câu 43. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 = un + n, ∀n ≥ 1 . Ta có u11 bằng:
A. 36 .
B. 60 .
C. 56 .
D. 44 .
1
1
3
2
Câu 44. Cho dãy số ( un ) với u1 = 0 , u2 = , u3 = , u4 = , u5 = . Tıń h u10 .
3
2
5
3
7
2
3
9
A.
.
B. .
C. .
D.
.
13
3
7
11
2n
. Tıń h u10 .
n2
1
B. .
5
Câu 45. Cho dãy số ( un ) với un =
A.
256
.
5
C.
256
.
25
D.
512
.
81
1
Câu 46. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 3 và un +1 = un + 2, ∀n ∈ ℕ* . Mệnh đề nào sau đây sai
2
5
15
31
63
A. u2 = .
B. u3 = .
C. u4 = .
D. u5 = .
2
4
8
16
Câu 47. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 2 và un +1 = 2n.un , ∀n ∈ ℕ* . Ta có u5 bằng:
A. 10 .
B. 1024 .
C. 2048 .
D. 4096 .
1
và un = un −1 + 2n, ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2 . Ta có u50 bằng:
2
B. 2548,5 .
C. 5096,5 .
D. 2550,5.
Câu 48. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 =
A. 1274,5 .
Câu 49. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = −1 và un = 2n.un −1 , ∀n ∈ ℕ* , n ≥ 2 . Ta có u11 bằng:
A. 210.11!.
B. −210.11! .
C. 210.1110 .
D. −210.1110 .
Câu 50. Cho dãy số ( un ) xác định bởi un = 2n + 1, ∀n ∈ ℕ . Mệnh đề nào sau đây sai
A. Mọi số hạng của dãy ( un ) là số hữu tỷ.
B. Dãy ( un ) gồm các số 1, 3, 5, 9, 13, 17 .
C. Mọi số hạng của dãy ( un ) là số chẵn.
D. Mọi số hạng của dãy ( un ) là các số tự nhiên.
Câu 51. Cho dãy ( un ) xác định bởi: u1 =
A.
3
.
4
B.
1
1
và un =
, ∀n ∈ ℕ* , n ≥ 2 . Ta có u4 bằng:
2
2 − un −1
4
.
5
File word liên hệ:
C.
5
.
6
D.
6
.
7
MS: GT11-C3
GV.
GV TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm và biên tậ
tập)
n
Câu 52. Cho dãy số ( un ) với un = ( −1) cos
A.
1
.
2
3
.
2
B.
23
2π
. Khi đó u12 bằng:
n
1
C. − .
2
1− n
. Khi đó un −1 bằng:
2n +1
2−n
2−n
B. un −1 = n .
C. un −1 = n −1 .
2
2
D. −
3
.
2
Câu 53. Cho dãy số ( un ) với un =
A. un −1 =
1− n
.
2n
D. un −1 =
n
.
2n
Câu 54. Cho dãy số ( un ) có u1 = 1, un = 2un −1 + 3un − 2 ( n ∈ ℕ* ) . Khi đó số hạng thứ n + 3 là
A. un +3 = 2un + 2 + 3un +1 .
B. un +3 = 2un + 2 + 3un .
C. un +3 = 2un − 2 + 3un +1 .
D. un +3 = 2un + 2 + 3un −1 .
Câu 55. Cho dãy số ( un ) có công thức tổng quát là un = 2n thì số hạng thứ n + 3 là
A. un +3 = 23 .
B. un +3 = 8.2 n .
C. un +3 = 6.2n .
D. un +3 = 6n .
Câu 56. Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = 5.4 n −1 + 3 . Tìm mố i liên hệ giữa un +1 và un ( n ≥ 1)
A. un +1 = 2un − 5 .
B. un +1 = 3un − 7 .
C. un +1 = 4un − 9 .
D. un +1 = 5un − 11 .
Câu 57. Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy ( un ) với un = n 2 + 1, ∀n ∈ ℕ
A. 79 .
B. 89 .
C. 69 .
D. 99 .
Câu 58. Cho dãy số ( un ) có un = 5n + 9, ∀n ∈ ℕ* . Phát biểu nào sau đây sai?
A. Dãy ( un ) là cấp số cộng có công sai d = 5 và u1 = 14 .
B. Dãy ( un ) là cấp số cộng có công sai d = 5 và u4 = 29 .
C. Dãy ( un ) là dãy số tăng.
D. Dãy ( un ) là dãy số giảm.
Câu 59. Số 518 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy ( un ) với un = 2 n + 6, ∀n ∈ ℕ
A. 8 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 11 .
2n + 5
7
, ∀n ∈ ℕ* . Cho biết số hạng thứ n là
. Giá trị của n là
5n − 4
12
B. n = 8 .
C. n = 9 .
D. n = 10 .
Câu 60. Cho dãy số ( un ) với un =
A. n = 6 .
2n
9
, ∀n ∈ ℕ* . Số
là số hang
̣ thứ bao nhiêu trong dãy số ?
n +1
41
B. 10 .
C. 8 .
D. 11 .
Câu 61. Cho dãy số ( un ) với un =
A. 9 .
2
n +1
8
, ∀n ∈ ℕ* . Số
là số hang
̣ thứ bao nhiêu trong dãy số
2n + 1
15
B. 6 .
C. 8 .
D. 5 .
Câu 62. Cho dãy số ( un ) với un =
A. 7 .
Câu 63. Cho dãy số ( un ) với u1 = 1, un +1 = un + 2, ∀n ∈ ℕ* . Số 33 là số hang
̣ thứ bao nhiêu trong dãy
số ?
A. 17 .
B. 14 .
C. 15 .
D. 16 .
n −1
2
; biế t uk = . uk là số hang
̣ thứ mấ y củ a day
̃ số đã cho
2
n +1
13
B. thứ 6 .
C. thứ 5 .
D. thứ 4 .
Câu 64. Cho dãy số ( un ) với un =
A. thứ 3 .
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11
24
1 1 1 1
, , ,
,... là:
2 4 8 16
1
1
B. un =
.
C. un = 2 .
2n
n
Câu 65. Số hạng tổng quát của dãy số ( un ) :
A. un =
Câu 66.
1
.
2n
1
.
4n
Cho dãy số ( un ) với u1 = 1, un +1 = un + 2 , ∀n ∈ ℕ* . Số 33 là số hang
̣ thứ bao nhiêu trong daỹ số
A. 17 .
B. 14 .
C. 15 .
Câu 67. Số hạng tổng quát của dãy số ( un ) : 1,
A. un =
Câu 68.
D. un =
1
.
n
B. un =
D. 16 .
1 1 1
, , ,... là:
2 3 4
1
.
2n
C. un =
1
.
n2
D. un =
1
.
n +1
1 1 1
; ;
là ba số hạng đầu tiên của dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un bằng:
2 4 6
1
1
1
1
A.
.
B. .
C.
.
D. n .
2n
n
2n + 4
2
n
Câu 69. Cho dãy số ( un )
1
xá c đinh
̣ bởi u1 = 1, un +1 = un + , ∀n ∈ ℕ* .
2
Số hang
̣ un đươc̣ biể u diễn dưới dang
̣ un =
A. 2 .
B. 3 .
a.2n − b
thı̀ tổ ng a + b + c là :
c.2n
C. 4 .
D. 5 .
1
Câu 70. Dãy số số ( un ) xá c đinh
̣ bởi u1 = 2, un +1 = un + 1, ∀n ∈ ℕ* . Số hạng tổng quát của dãy số là:
2
A. un = 2 .
B. un = 3 .
C. un = n + 1 .
D. un = 3n − 1 .
Câu 71. Cho dãy số ( un ) xá c đinh
̣ bởi u1 = 11, un +1 = 10un + 1 − 9n, ∀n ∈ ℕ* . Số hang
̣ un đươc̣ biể u
diễn dưới dang
̣ ̉ u thức a.b − c là :
̣ un = a n + b.n + c . Giá tri biê
A. 10 .
B. 12 .
C. −12 .
D. −10 .
1
1
Câu 72. Cho dãy số ( un ) xá c đinh
̣ bởi u1 = 2, un +1 = un + , ∀n ∈ ℕ* . Số hang
̣ un đươc̣ biể u diễn
2
2
2n + a
dưới dang
thı̀ giá tri ̣ a là :
̣ un =
2n
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. −1 .
Câu 73. Cho dãy số ( un ) xá c đinh
̣ bởi u1 = 1, un +1 = 2un + 3, ∀n ∈ ℕ* . Số hang
̣ un đươc̣ biể u diêñ dưới
dang
̣ un = a.2n + b . Khi đó giá tri ̣ a.b là :
A. −6 .
B. 6 .
C. −3 .
D. −2 .
Câu 74. Cho dãy số ( un ) với u1 = 1, un +1 = un + 2n + 1, ∀n ∈ ℕ* . Số hạng tổng quát của dãy là
A. un = n 2 .
B. un = n 2 + 1 .
C. un = 2n 2 .
D. un = 3n 2 − 1 .
1
Câu 75. Cho dãy số ( un ) với u1 = , un +1 = 2un , ∀n ∈ ℕ* .Số hạng tổng quát của dãy là
2
1
1
A. un = −2 n −1 .
B. un = − n +1 .
C. un = − n .
D. un = 2n − 2 .
2
2
File word liên hệ:
MS: GT11-C3
