chuong 1 tap hop lop 10

Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Chuyên đề 1: MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP
Chủ
đềhoặc
1: MỆNH
1. Mệnh đề: là một khẳng
định
là đúngĐỀ
hoặc là sai và không thể
vừa đúng vừa sai.
Ví dụ:  “2 + 3 = 5” là MĐ đúng.
“ 2 là số hữu tỉ” là MĐ sai.
 “Mệt quá!” không phải là MĐ.
2. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ: Cho khẳng định “2 + n = 5”. Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n
vào khẳng định trên thì ta được một mệnh đề. Khẳng định có đặc
điểm như thế được gọi là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định của một mệnh đề
Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thoả mãn tính
chất nếu P đúng thì P sai, còn nếu P sai thì P đúng.
P : “3 không là số nguyên tố”.
Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”.
4. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P  Q.
Mệnh đềP  Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “1>2” là mệnh đề sai.
Mệnh đề “ 3 < 2 � 3 < 4 ” là mệnh đề đúng.
Trong mệnh đề P  Q thì

P: gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q).
Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P).
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P.
Chú ý: Mệnh đề đảo của một đề đúng chưa hẵn là một mệnh đề đúng.
Nếu hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng thì ta nói P và Q là hai
mệnh đề tương đương nhau. Ký hiệu P  Q.
Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q.
+ P là điều kiện cần và đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần và đủ để có P.
6. Ký hiệu , 
: đọc là với mọi
: đọc là tồn tại
2
Ví dụ: x  , x  0: đúng n  , n2 – 3n + 1 = 0: sai
1


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

7. Phủ đỉnh của mệnh đề với mọi, tồn tại
Mệnh đề P: x có mệnh đề phủ định là x
Mệnh đề P: x có mệnh đề phủ định là x
Lưu ý:
Phủ định của “a < b” là “a  b” Phủ định của “a = b” là “a  b”
Phủ định của “a > b” là “a  b”
BÀI TẬP
Bài 1: Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai và

lập mệnh để phủ định của chúng
a/
b/
c/
d/
e/
f/
f/
g/
h/
i/
g/
m/
n/
k/
l/
o/
p/
q/
r/
s/
t/
u/
v/
w/

2


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Chủ đề 2: TẬP HỢP
TẬP HỢP
Cho tập hợp A. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a  A.
Nếu a là phần tử không thuộc tập A ta viết a  A.
1. Cách xác định tập hợp
a. Cách liệt kê
Viết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa dấu {}, các phần tử cách nhau
bởi dấu phẩy (,)
Ví dụ: A = {1,2,3,4,5}
b. Cách nêu tính chất đặc trưng
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó.
Ví dụ: A = {x  |2x 2 – 5x + 3 = 0}
Ta thường minh hoạ tập hợp bằng
một đường cong khép kín gọi là
biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu .
2
Ví dụ: A = {xR | x  4  0 } thì được ghi là A = .
3. Tập hợp con của một tập hợp
A  B ⇔x : x A ⇒ x B
Ví dụ: A = {1, 3}, B = {1, 2, 3} thì A  B.

 Lưu ý:
 A  A, A.
 A  B, B  C thì A  C.
   A, A.
4. Hai tập hợp bằng nhau:

A = B  x : x A x B
Ví dụ: A = {nN | n là bội chung của 2 và 3};
3


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

B = {nN | n là bội của 6} là hai tập hợp bằng nhau, đều bằng {0; 6; 12;
18; 24; …}.
BÀI TẬP
Bài 1: Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho
các phần tử.
a/
b/
c/
d/ .
Bài 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a/
b/
c/
d/
e/
f/
g/
Bài 3: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A = {x  Q | (2x + 1)(x2 + x – 1)(2x2 – 3x + 1) = 0}
B = {x   | 6x2 – 5x + 1 = 0}
C = {x   | (2x + x2)(x2 + x – 2)(x2 – x – 12) = 0}

D = {x   | x2 > 2 và x < 4}
E = {x   | x  2 và x > –2}
F = {x   ||x |  3}
G = {x   | x2  9 = 0}
H = {x  R | (x  1)(x2 + 6x + 5) = 0}
I = {x  R| x2  x + 2 = 0}
J = {x   | (2x  1)(x2  5x + 6) = 0}
K = {x | x = 2k với k   và 3 < x < 13}
L = {x   | x2 > 4 và |x| < 10}
M = {x   | x = 3k với k   và 1 < k < 5}
N = {x  R | x2  1 = 0 và x2  4x + 3 = 0}
Bài 4:Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
B = {x  |6x2 – 5x +1 = 0} F = {x  |2x2 – 5x + 3 = 0}
x=

1

1
8

G = {x  |2x – 5x + 3 = 0} H={x  Q| 2 ,  , x  }
I là tập hợp các số chính phương không vượt quá 400
2

4

a


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

1. Phép giao:
AB
{x  xPHÉP
A vàTOÁN
x B} TRÊN TẬP HỢP
Chủ đề
3: = CÁC
hay x  AB
B
A

2. Phép hợp: AB = {x  x A hoặc x B}
hayxAB

B

A

3. Hiệu của hai tập hợp: A\B = {x x A và x B}
Hay x  A\B 
A

B

A\ B

4. Phần bù: Khi B  A thì A\B gọi là phần bù của B trong A. Ký hiệu

C AB
B

Vậy, C A = A\B khi B  A
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ba tập hợp :
,
a/ Xác đinh các tập hợp :
b/ Chứng minh rằng :
B

A

c/ Chứng minh rằng :
Bài 2: Mỗi học sinh lớp 10E đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền.
Biết rằng có 25 chơi bóng đá ,20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi
cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10E có bao nhiêu học sinh.
Bài 3:Cho các tập hợp
,
,
a/ Dùng kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên.
5


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số.
c/ Xác định các tập hợp sau :

d/ Xác định các tập hợp :

6


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221
N  {0;1;2;3...}

 Số tự nhiên
N: đề 4: CÁC TẬP HỢP SỐ
Chủ
 Số tự nhiên khác 0: N *  {1;2;3...}
 Số nguyên Z: Z  {...  3; 2; 1;0;1;2;3...}
 Nguyên Z: Z  {...  3; 2; 1;0;1;2;3...}

a
, a �Z , b �N *
b
.

 Hữu tỷ Q: Biểu diễn dưới dạng
 Số thực R: Là tập hợp các số có dạng thập phân
hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn (hữu tỷ) và dạng
thập phân vô hạn không tuần hoàn (vô tỷ).
1. Quan hệ giữa các tập số:     Q R
2. Các tập con của tập hợp số thực
Nửa khoảng [a ; b]

Khoảng(a ; b )
Khoảng (- ; a)

Tập hợp
xR/ a  x  b
xR/ a < x < b
xR/ x < a

Hình biểu diễn
//////////// [

////////////(

] ////////

) /////////

)/////////////////////
///////////////////(

Khoảng (a ; + )

xR/ a< x 

Nửa khoảng [a ; b)

R/ a  x < b

////////////[

) /////////

Nửa khoảng (a ; b]

xR/ a < x  b

////////////(

] /////////

Nửa khoảng (- ; a]
Nửa khoảng [a ;  )

xR/ x  a
xR/ a  x 

BÀI TẬP
Bài 1: Xác định mỗi tập hợp số sau :
7

]/////////////////////

///////////////////[


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Bài 2: Cho ba tập hợp

, và
Xác định tập hợp : ,.
Bài 3: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a.[–3;1)  (0;4]
b.[–3;1)  (0;4]
c.(–;1)  (2;+)
d.(–;1)  (2;+)
Bài 4: Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp A 
B, A  B, A\B, B\A
Bài 5: Cho A = {x  R | |x |  4} ; B = {x  R| –5 < x – 1  8}
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A  B ;
A\B ; B\A ; \(A B)
Bài 6: Cho A = {x  R | x2  4} ; B = {x  R | –2  x + 1 < 3}Viết các
tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng AB ; A\B ; B\A ;
\(AB)
Bài 7: Cho A = {x  R|– 3  x  5} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác
định các tập hợp A  B, A B, A\B, B\A
Bài 8: Cho hai tập hợp A = {x  R| x > 2} và B = {x  R| –1 < x  5}.
Xác định các tập hợp A B, A  B, A\B, B\A
Bài 9: Cho hai tập hợp A = {2,7} và B = (–3;5]. Xác định các tập hợp
A  B, A  B, A\B, B\A
Bài 10: Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng lên trục số
a.R\((0;1)  (2;3))
b.R\((3;5)  (4;6))
c.(–2;7)\[1;3]
d.((–1;2)  (3;5))\(1;4)
Bài11: Cho A = {x  R|1  x  5}, B = {x  R|4  x  7} và C = {x 
R|2  x < 6}
a.Hãy xác định A B, A C, B C, A C, A\(B C)
b.Gọi D = {x  R|a  x  b}. Hãy xác định a,b để D  A B C

Bài 12: Viết phần bù trong  của các tập hợp:
A = {x  R| – 2  x < 10}
B = {x  R | |x | > 2}
; C = {x  R |–4 < x + 2  5}
Bài 13: Cho A = {x  R | x  –3 hoặc x > 6}, B = {x  R | x2 – 25  0}
8


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

a.Tìm các khoảng, đoạn, nửa khoảng sau đây A\B ; B\A ; R\(AB); R\
(AB) ; R\(A\B)
b.Cho C = {x  R | x  a} ; D = {x  R | x  b}. Xác định a và b biết
rằng C B và D B là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9. Tìm C
D
Bài 14: Cho A = [a; a + 2] và B = [b; b + 1]. Các số a, b thỏa điều kiện
gì để A  B  .
Bài 15:Cho hai nửa khoảng A = (–; m] và B = [5; +). Tìm A  B
(biện luận theo m).
Bài 16: Cho hai khoảng A = (m; m + 1) và B = (3; 5). Tìm m để A  B
là một khoảng. Xác định khoảng đó.
Bài17: Cho A = {xR | x  –3 hoặc x > 6}; B ={xR |

x2 –

25  0}

a) Tìm khoảng, đoạn, nửa khoảng: A \ B; B \ A; R \ (A  B); R \ (A

 B); R \ (A \ B);
b) Cho C = {xR | x  a}; D = {xR | x  b}. Xác định a và b biết
rằng C  B và D  B là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9.
Tìm C  D.
Bài 18: Cho A = (–2; 3) và B = (a; b). Tìm điều kiện a và b để A \ B =
A; A \ B = .
TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng:
A. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9
B. Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c
C. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5
D. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
Câu 2: Cho 2 tập hợp A =  x �R / (2 x  x )(2 x  3x  2)  0 , B =  n �N / 3  n
chọn mệnh đề đúng?
A. A �B   2, 4
B. A �B   2
C. A �B   5, 4
D. A �B   3
Câu 3: Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai?
2

9

2

2

,

 30

Lớp 10- 2017-2018

A.

n �N

thì

x �R : x  x

n �2n

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

B.

C.

x �R : x  0
2

n �N : n 2  n

D.

2

Câu 4: Cho A = (-5; 1], B = [3; + � ), C = (- � ; -2) câu nào sau đây

đúng?
A. A �C  [  5; 2] B. A �B  (5; �) C. B �C  (�; �) D. B �C  
Câu 5: Cho A = (�; 2] , B = [2; �) , C = (0; 3); câu nào sau đây sai?
A. B �C  [2;3)
B. A �C  (0; 2]
C. A �B  R \  2
D. B �C  (0; �)
Câu 6 Cho 2 tập hợp A =  x �R / x  4 , B =  x �R / 5 �x  1  5 , chọn mệnh đề
sai:
A. A �B  (4;6) B. B \ A  [-4; 4] C. R \ ( A �B)  (�; 4) �[6; �)
D. R \ ( A �B )  
Câu 7: Tập hợp D = (�; 2] �(6; �) là tập nào sau đây?
A. (-6; 2]
B. (-4; 9]
C. (�; �)
D. [-6; 2]
Câu 8: Số tập con gồm 3 phần tử có chứa e, f của M =  a, b, c, d , e, f , g , h, i, j
là:
A. 8
B. 10
C. 14
D. 12
Câu 9: Cho tập hợp A =  x �R / x  3x  4  0 , tập hợp nào sau đây là đúng?
A. Tập hợp A có 1 phần tử
B. Tập hợp A có 2 phần tử
C. Tập hợp A = �
D. Tập hợp A có vô số phần tử
Câu 10: Cho A là tập các số nguyên chia hết cho 5, B là tập các số
nguyên chia hết cho 10, C là tập các số nguyên chia hết cho 15; Lựa
chọn phương án đúng:

A.
B.
C.
D.
Câu 11 : Cho tập hợp B=  x ��/(9  x )( x  3x  2)  0 , tập hợp nào sau đây
là đúng?
A. Tập hợp B=  3;9;1; 2
B. Tập hợp B=  3; 9;1; 2
C. Tập hợp C=  9;9;1; 2
D. Tập hợp B =  3;3;1; 2
Câu 12 : Phương trình |5x + 2| = -|5x - 2| có bao nhiêu nghiệm?
A.0
B.1
C. 2
D. Vô số nghiệm.
Câu 13 : Tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có bao nhiêu tập hợp con gồm 2
phần tử?
A.30
B.15
C. 10
D. 3
2

2

10

2

Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Câu 14 : Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X = { x ∈ R / 2x2 - 5x +
3 = 0}.
3
2}

3
;2

A.X = {0} B. X = {1}
C. X = {
D. X = { 1 }
Câu 15: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ?
A. Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2 .
B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3
C. Nếu em cố gắng học tập thì em sẽ thành công
D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 0 thì tam giác đó là tam
giác đều
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.∀ n ∈ N , 2n + 1 không chia hết cho 3.
C.∃ x ∈ R , | x | < 3
⇔x<3
B.∀ x ∈ R , ( x - 1 ) 2 ≠ x - 1
D.∃ n ∈ N , n 2 + 1 chia hết cho
4.
Câu 17: Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng ?
A.∀ x ∈ N : x chia hết cho 3.

B.∃ x ∈ R : x 2 < 0
C.∀ x ∈ R : x 2 > 0
D.∃ x ∈ R : x > x 2
Câu 18: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?
A. - π < - 2 <=> π 2 < 4
B. 23 < 5 => 2. 23 < 2.5
2
C.π < 4 <=> π < 16
C.23 < 5 => (-2) 23 > (-2)

11


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

1.Vectơ

CHUYÊN ĐỀ 2: VECTO
* Vecto là đoạn thẳng định hướng:
Chủ đề 1: VECTO- TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTO
-Một điểm được xác định là gốc( điểm đầu), còn điểm kia là điểm ngọn(
điểm cuối)
-Hướng từ điểm gốc đến ngọn là hướng của vecto
-Độ dài của đoạn thẳng gọi độ dài của vecto( mô đun)
* Kí hiệu: Vecto có điểm gốc A, điểm ngọn B kí hiệu
Độ dài vecto kí hiệu là
Đường thẳng AB gọi là giá của vecto
* Vecto không kí hiệu là vecto:

-Có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau
-Có hướng bất kì
-Độ dài bằng 0
2.Hai vecto cùng phương, cùng hướng:

 Giá của một véctơ là đường thẳng chứa véctơ đó.
 Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song
r
0
hoặc trùng nhau. Véctơ cùng phương với mọi véctơ.

12


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

 Hai véctơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Cùng hướng là mũi tên từ điểm đầu đến điểm cuối cùng chỉ về một
hướng.
* Hai vecto và được gọi là cùng phương kí hiệu:
//
* Hai vecto và được gọi là cùng hướng kí hiệu:
* Hai vecto và được gọi là ngược hướng kí hiệu:
3.Hai vecto bằng nhau, đối nhau:
* Hai vecto và được gọi là bằng nhau kí hiệu:
=
* Hai vecto và được gọi là đối nhau kí hiệu:
=4. Tổng và hiệu của hai vecto:

a. Định nghĩa tổng của 2 vectơ và quy tắc tìm tổng:
* Cho 2 vecto tùy ý và . Lấy điểm A tùy ý, dựng , . Khi đó + =
* Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta luôn có: (Quy tắc 3 điểm)
* Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có (Quy tắc hình bình hành)
 Tính chất phép cộng các vectơ: Với ,, là 3 vectơ bất kì ta có:
 + = + (tính chất giao hoán)
 ( + ) + = + (+) (tính chất kết hợp)
 + = + = (tính chất vectơ-không)
 + (-) = - + =
b. Vectơ đối:
r r

*Vectơ là vectơ đối của nếu b  a và , ngược hướng nhau. Kí hiệu = * Nếu là vectơ đối của thì là vectơ đối của hay –(–)=
* Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của AB là BA . Vectơ đối của 0 là
13


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

c. Định nghĩa hiệu và quy tác tìm hiệu:
* - = +(-)
* Với 3 điểm A, B, O bất kì ta có: (Quy tắc trừ)
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ
Phương pháp giải: Áp dụng các định nghĩa về các vecto cùng
phương, cùng hướng, vecto bằng nhau, đối nhau.
 Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc
biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt

A, B ta có 2 vectơ khác nhau là và
 Vectơ là vectơ-không khi và chỉ khi hoặc với A là điểm bất kì.
Bài tập:
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N,uuPuurlần lượt trung
điểm cạnh AB, AC, BC.
uuu
r uuur
uuur
Nhận xét và so sánh hai véctơ NM và PB ; NP và AB
Bài 2: Cho ABC có trực tâm H nội tiếp đường tròn (O). Gọi B ulàuur
uuur
C;
điểm
đối
xứng của B qua O. Nhận xét và so sánh hai véctơ AH và B�
uuur
uuur
AB�và HC .
Bài 3: Cho
tứ giác ABCD. Chứng minh ABCD là hình bình hành khi
uuu
r uuur
và chỉ khi AB  DC .
uuu
r uuur
uuur uuur
AB

DC
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu

thì AD  BC .
Bài 5:Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB vàuuuCD.
Đoạnr AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh
r uuur uuu
rằng DE  EF  FB
Bài 6: Hìnhubình
hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của C qua D.
uur uuur
Chứng minh AE  BD
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. M,N lần lượt là trung
điểm của AD và BC.
a. Xác định các vecto cùng phương với vecto
b. Xác định các vecto cùng hướnguuvới
vecto
ur
c. Xác định các vecto bằng vecto AB và
Bài 8: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm I
14


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu
Sương
-01206004221
uuu
r
phương với vecto AB

a. Xác định vecto cùng
b. Xác định các vecto cùng hương với vecto
c. Xác định các vecto bằng vecto
Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ.

Phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:
r r
�
a b
� r r
�� a  b
r
r
a và b cùng huong �
�
uuu
r uuur
AB
 DC
ABCD là hbh


uuur uuur

và BC  AD
 Nếu = , = thì =
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB. Tìm các vectơ bằng nhau và chứng minh.
Bài 2: Cho điểm M và . Dựng điểm N sao cho:

a.
b. cùng phương với và có độ dài bằng .
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng
nhau (khác ) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm
cuối.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AD, BC. Chứng minh rằng nếu và , thì ABCD là hình bình hành.
Bài 5: : Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu thì
Dạng 3: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ
Phương pháp giải:
 Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và
các tính chất của tổng các vectơ.
Bài tập:
Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của
BC và AD.
a. Tìm tổng của u2uuurvectơ
và
; và ; và
uuur uuu
r uuur
b. Chứng minh AM  AN  AB  AD
15


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài
2: Cho lục giácr đều

ABCDEFF tâm O. Chứng minh
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r
OA  OB  OC  OD  OE  OF  0

Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng

uuur uuur uuur uuur
AB  BC  CD  DE

Dạng 4: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ
Phương pháp giải:
 Theo định nghĩa, tìm hiệu - , ta làm hai bước sau:
- Tìm vectơ đối của
- Tính tổng
uuu
r uuu
r uuu
r
 Vận dụng quy tắc OA  OB  BA với ba điểm O, A, B bất kì.
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm
của AB, AC và BC
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r uuu
r

AM

AN
,
MN

NC
,
MN

PN
,
BP

CP
a. Tìm hiệu
b. Phân tích theo 2 vectơ và
uuu
r uuur uuur uuur
AB
Bài 2: Cho 4 điểmA, B, C, D. Chứng minh  CD  AC  BD
Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong
các điềuuuukiện
sau:r
uuur uuur r
r uuur uuu
uuur uuur uuur
a. MA  MB  BA
b. MA  MB  AB
c. MA  MB  0

Bài 4: Chứng
minh rằng điểm I là trung điểm của đoaạn thẳng AB khi
uu
r
uur
và chỉ khi IA   IB
Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức vecto
Phương pháp giải :
Để chứng minh một đẳng thức vecto ta chú ý sử dụng:
* Quy tắc ba điểm: và với mọi A,B,C
* Quy tắc hình bình hành : với ABCD là hình bình hành
Thực hiện các phép biến đổi theo những cách sau đây:
C1: Biến đổi vế này sang vế kia
C2: Biến đổi tương đương ( đưa ĐT chứng minh về một đẳng thức luôn
đúng)
C3: Xuất phát từ một ĐT đúng biến đổi về đẳng thức cần chứng minh
16


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

C4: Tạo dựng hình phụ
Bài tập:
Bài 1:uuuCho
tứ giác ABCD.
Chứng
minh: r
r uuur uuur uuu

r
uuur uuu
r uuur uuu
a) AB  DC  AD  CB b) BC  DA  DC  BA

c)

uuu
r uuur uuur uuu
r
AB  CD  AD  CB .

Bài 2: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt
trung
điểm rcácuuucạnh
AB, AC,
uuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuu
r
BC. Chứng minh rằng O ta luôn có OA  OB  OC  OM  ON  OP .
Bài 3:uuuCho
sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
r uuur uuur uuur uuur uuur
a) AC  BD  EF  AF  BC  ED ;
b)

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD  BF  EC  AC  BD  EF ;

c)

uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AE  BD  CF  AD  BF  CE ;

d)

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AF  BE  CD  AE  BD  CF ;

e)

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
AD  BE  CF  AE  BF  CD .

Bàir 4:rChứng
minh rằng với hai véctơ không cùng
r r r r

r r
a
phương , b ,

a  b  ab  a  b

có:

.
Bài 5:uuurCho
ABCD là hình bình
hành. Chứng
minh:
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur
a) AB  CB  DB ;
b) OA  OC  OB  OD với mọi điểm O.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a)

uuu
r uuu
r uuur uuur
AB  CB  AD  CD ;

b)

uuu
r uuur uuu
r uuur r
AB  DC  CB  AD  0 .

Bài 7:uuuCho
ngũ giác ABCDE. Chứng
minh:

r uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
a) AB  CD  AE  BC  DE ; b) AB  AC  DC  BE  ED .
Bài
8:
Cho lục giác ABCDE. Chứngrminh:
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu
AD  BE  CF  AE  BF  CD  AF  BD  CE

17

ta luôn


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Chủ đề 2: TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ
1. Định nghĩa:
r
r
 Tích của véctơ a với số thực k là một véctơ, ký hiệu ka .
r
r
ka
a

 Nếu k > 0 thì véctơ
cùng hướng với véctơ .
r
r
ka
a
 Nếu k < 0 thì véctơ
ngược hướng với véctơ .
 Độ dài của véctơ
2. Tínhr chất: r
k la   kl  a
  
r
r r
k

l
a

k
a
 la




r
ka

là

r
k a

r r
r
r
k a �b  k a �kb
r r
r
k a  0  k = 0 hoặc a


 
r
0

=
3. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm
tam
giác:
uuu
r uuu
r


uuuu
r OA  OB
OM 
2

M là trung điểm AB  O,
.
uuu
r uuu
r uuur
uuur OA  OB  OC
OG 
3
G là trọng tâm ABC  O,
.


4. Điều
kiện hai véctơ cùng phương:
r r
r
r
a
,
b
a

kb

cùng phương  tồn tại số thực k để
.
uuu
r
uuur
 A, B, C thẳng hàng  tồn tại số thực k để AB  k AC .

5. Biểu thị mộtr véctơ
qua hai véctơ không cùng phương:
r
r
a
,
b
 Cho véctơ
không cùng phương. Khi đó  x ta luôn có thể biểu
thị được một cách duy
nhất
qua
hai véctơ
r
r
r
cặp số m, n sao cho x  ma  nb .

r r
a, b ,

tức là có duy nhất

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto
Phương pháp giải : Vận dụng các quy tắc
- Quy tắc 3 điểm
18

Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

- Quy tắc hình bình hành
-

uuu
r uuu
r
uuuu
r OA  OB
OM 
2
M là trung điểm AB  O,
.r uuur
uuu
r uuu
uuur OA  OB  OC
OG 
3
G là trọng tâm ABC  O,
.

Bài tập:
Bài
1: Cho hình
bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
uuu
r uuur uuur

uuur
AB  AC  AD  2 AC

Bài 2: Cho M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD và
I là trung
điểm
MN. Chứng minh:
uuuu
r uuur uuur uuur uuur
uur uuu
r uuur uuur
2MN

AC

BD

AD

BC
4AI

AB
 AC  AD ;
a) uur uur uur uur r
;
b)
c) IA  IB  IC  ID  u0u.ur uuur uuuur r
Bài 3: Chứng minh AA '  BB '  CC '  0 khi và chỉ khi ABC và ABC
có cùng trọng tâm.

Bài 4: Cho ABC.
uuu
r
uuu
r uuu
r
 2GB  CB .
a) Tìm điểm G sao cho GA
uuur uuur
uuur r
MA

MB

2
MC  0
b) Tìm điểm M sao cho
Bài 5: Cho ABC, trực tâm H, trọng tâm G nội tiếp đường tròn tâm O.
Gọi D ulàuurđiểm
đốiuuuxứng
của
B qua O. Chứng
minh:
uuur
r
uuu
r uuur uuur
uuur
uuu
r uuu

r uuur uuur
HB

HD

2
HO
HA

HB

HC

2
HO
OA

OB
 OC  OH .
a) uuur uuur
;
;
b) OH  3OG và nhận xét về 3 điểm O, G, H.
Bài 6: Cho ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua
O. Chứng minh rằng:
a. + =
b. + +=2
c. - -= 2
d. ++=

e. =3
Bài 7: Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên
cạnh AC sao cho NC= 2NA. Gọi K là trung điểm của MN
19


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

a. Chứng minh rằng: =+
b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: =+
Dạng 2: Biểu thị vecto theo hai vecto không cùng phương và chứng
minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp giải : Sử dụng quy tắc 3 điểm phối hợp với các
tính chất của các phép toán vecto để biểu thị vecto cần biểu diễn theo
hai vecto không cùng phương cho trước.

 Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta cần chứng minh
uuu
r
uuur
AB  k AC .

Bài tập:

uuur 3 uuur
BD  BC
5

Bài 1: Cho ABC.
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
và
uuu
r
uuu
r uuur r
 0.
điểm E thoả 4 EA  2 EB u3uEC
uuur
ur
uuu
r
a) Biểu diễn véctơ ED theo EB và EC ; b) Chứng minh E, A, D
thẳng hàng.
uu
r uur uur r
2 IA  3IB  IC  0

Bài
2: Cho ABC và hai điểm I, J thoả hệ thức
uur uur r
2 JA  3JB  0 .
uuu
r uuur
uur
AB
a) Biểu diễn véctơ AI theo các véctơ , AC và véctơ
véctơ

uuu
r uuu
r
CA, CB .

b) P, Q là hai điểm thoả mãn hệ thức
minh P, I, Q thẳng hàng.

uuu
r
CJ

uuur
uuu
r uuu
r uuur
PQ  2 PA  3PB  PC .

và

theo các

Chứng

c) Gọi M là trung điểm đoạn CQ. Chứng minh P, J, M thẳng hàng.

20


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Chủ đề 3: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục:
 Trục toạ độ là đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và
r
r
i
một véctơ đơn vị có độ dài
bằng 1. Ký hiệu (O; i ).
r
 Cho điểm M trên trục (O; i ), khi đó có duy nhất một số thực m để
uuuu
r
r
r
OM  mi thì m được gọi là toạ độ điểm M trên trục (O; i ) hay véctơ
uuuu
r
r
OM có toạ độ m trên trục (O; i ).
r
 Cho điểm A, B trên trục (O; i ), khi đó có duy nhất một số thực a
uuu
r r
OA  ai ,

để
được gọi

uuu
r r
OB
số thực b để uuur bi
là toạ độ véctơ AB .

 (b  a) còn được
gọi là độ
r
uuur
có ABuu=ur AB . i
r
AB
Nếu
cùng hướng với i

và

uuu
r uuu
r uuu
r
r
AB  OB  OA  (b  a )i

dài đại số của véctơ
thì

AB >

0, nếu

uuur
AB

uuur
AB ,

thì

(b  a )

ký hiệu

AB . Ta

ngược hướng với

r
i

thì

AB <

0.
2. Hệ trục toạ độ:
rr
 Hệ trục toạ độ (O; i, j ) gồm hai trục (O;

r
(O; j )

) và
vuông góc nhau.
Điểm O được
r
gọi gốc toạ độ. Trục (O; i ) được gọi
là
r
trục hoành, ký hiệu Ox. Trục (O; j ) được
gọi là trục
tung, ký hiệu Oy. Hệ trục toạ
rr
độ (O; i, j ) còn được ký hiệu là Oxy. Mặt phẳng mà có chứa một hệ
trục toạ độ Oxy được gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy.
3. Toạ độ của điểm, véctơ trên hệ trục toạ độ Oxy:
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A, khi đó tồn tại duy nhất

r
i

r
r
uuu
r
xi

y
j thì cặp số (x; y) được gọi là toạ độ

OA =
cặp sốuthực
(x;
y)
để
uu
r
uuu
r
véctơ OA , ký hiệu OA = (x; y) và cặp số (x; y) cũng được gọi là toạ



độ điểm A, ký hiệu A(x; y).
uuu
r r
r
uuu
r
OA  xi  y j � OA   x; y  � A  x; y 

;

21

r r
r
r
u  xi  y j � u   x; y 

Lớp 10 –2017-2018



GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

r
r
r r
�x1  x2
u   x1; y1  , v   x2 ; y2  � u  v � �
�y1  y2
uuu
r
A  x A ; y A  , B  xB ; y B  � AB   xB  x A ; y B  y A 


.
4. Toạ độr của cácr véctơ tổng, hiệu và tích một số với véctơ:
u   x1; y1  , v   x2 ; y2 
Cho
r r
r
r
u
�
v

x

�
x
;
y
�
y
ku

kx
;
ky
,
hv
  hx2 ; hy2  .




1
2
1
2 ;
1
1

5. Toạ độ trung điểm, toạ độ trọng tâm tam giác:


x A  xB
y  yB

; yM  A
2
2
M là trung điểm đoạn thẳng AB thì
x  xB  xC
y  yB  yC
xG  A
; yG  A
3
3
G là trọng tâm ABC thì
.
xM 


6. Điều
kiện cùng
phương của hai véctơ:
r
r
 u   x1; y1  và v   x2 ; y2  cùng phương khi
x1

y1

x2

y2

r

r
u  kv

.



 x1 y2  x2 y1  0

.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng1: Xác định tọa độ của véctơ và của một điểm trên mp tọa độ Oxy
Phương pháp giải:
Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trêm
mp tọa độ Oxy.
* Để tìm tọa độ của véctơ ta làm như sau:
Vẽ
Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox,
Oy. Khi đó . Trong đó
* Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vectơ . Như vậy A(x;y).
Trong đó x=
A1, A2 là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy.
* Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính được tọa độ của
.
22


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

* Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a, b thì
Bài tập:
Bài 1: Cho các điểm A, B, C trên trục Ox như hình vẽ
a)Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
b)Tính
Bài 2: Trên trục (O, ) cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3.
tìm tọa độ điểm P trên trục sao cho
Bài 3: Cho hình vuông ABCD trong đó và cùng hướng; và cùng
hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường
chéo, trung điểm N của BC và trung điểm N của BC và trung điểm N
của CD.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh
AD=3. góc BAD=600, chọn hệ trục (A; ) sao cho và cùng hướng. Tìm
tọa độ các vectơ .
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm tọa
độ đỉnh D.
Bài 6: Cho ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 7: Cho ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 8: Cho ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm tọa độ
trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình
bình hành.
Bài 9: Cho 3 điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3).
a. Tìm tọa độ điểm D sao cho .
b. Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tìm
tọa độ tâm hình bình hành đó.
Bài 10: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và

trọng tâm G nằm trên Ox. Tìm tọa độ C.
Dạng 2: Tìm tọa độ của các vectơ
Phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ
23


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài tập:
Bài 1: Cho .
a)Tìm tọa độ của vectơ
b)Tìm tọa độ vectơ
c)Tìm hai số j; k sao cho
Bài 2: Cho
a)Tìm tọa độ các vectơ ; ; và xem vectơ nào trong các vectơ cùng
phương với véctơ và cùng phương với
b)Tìm các số m, n sao cho
Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương
a)
b)
c)
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau:
*Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi có số k để
*Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để
Bài tập:
Bài 1: Cho 3 điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Chứng minh rằng 3
điểm A; B; C thẳng hàng.

Bài 2: Cho 3 điểm M(); N(2;1) và P(1;3). Chứng minh rằng 3 điểm M;
N; P thẳng hàng.
Bài 3: Cho 3 điểm A(0; 1); B(-1; -2) và C(1; 5). Hỏi 3 điểm A, B, C
có thẳng hàng không.
Bài 4: Cho 3 điểm A(-4; 1); B(2; 4) và C(2; -2). Hỏi 3 điểm A, B, C
có thẳng hàng không.
Bài 5: Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x để (-7; x) thuộc
đường thẳng AB.
Bài 6: Cho 3 điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5).
a. Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
c. Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A; B; E thẳng hàng.
24


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

TRẮC NGHIỆM
Câuuu1:
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm
O. Khẳng định sai là :
ur uuur uuur
uuu
r uuur ur
 CD  BD
 OC  O
A. uBC
B. OA

uu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
C. AB  AD  AC
D. OA  OC  AC
Câu 2: Cho ABDC là hình vuông tâm O.Chọn khẳng định đúng:
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Vectơ tổng bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Điểm đối xứng của A(2;-1)
qua trục Ox là:
A.B(2;1)
B. C(-1;2)
C. C(4;3)
D. E(-2;1)
Câu 5: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Khẳng định đúng là :
A.Vectơ đối của là
B. Vectơ đối của là
C. Vectơ đối của là
D. Vectơ đối của là
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-1; 3), B(-3; 5) . Gọi I
là trung điểm của đoạn AB. Tọa độ điểm I là cặp số :
A. (2; -1)

B. (-1; 4)
C. (-2; 4)
D. (2; 0)
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có A (2; 1) , B (-1;
5), C(-3; 0). Tọa độ trọng tâm G của ABC là cặp số :
A.

2
(1; )
3
4
( ;1)
3

B.

4
( ;1)
3
2
( ; 2)
3

C.
D.
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có M(1; 0), N(2;
2), P(-1; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tọa độ
đỉnh B của tam giác là :
A. B(-1; 4)
B. B(-2;1)

C. B(0;5)
D.B(-1;3) r
r
a  (1; 2), b  (5; 3), . Vectơ
Câu 9:
Trong
mặt
phẳng
tọa
độ
Oxy,
cho
r r r
c  a  b có tọa độ là :
A. x  4; y  1
B. x  6; y  1
25