Khớp đường cong" bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất

LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay thế giới chúng ta đã và đang là kỷ nguyên của sự bùng nổ
thông tin. Trong thời đại ngày nay khoa học kỹ thuật ngày một được ứng
dụng rộng rãi khắp mọi nơi trong mọi lĩnh vực, mọi nghành nghề và tin học
phát triển không ngừng từng giây, từng phút.Máy tính điện tử đươc sử dụng
,khai thác triệt để trong mọi công việc , như trong hàng không , quân sự ,
ngân hàng ,đo lường , tính toán , và nó cũng được sử dụng để giải quyết các
bài toán từ đơn giản đến phức tạp.Đề tài thực tập tốt nghiệp này cũng đựơc áp
dụng để thực hiện , tên đề tài: Cài đặt bài toán:"Khớp đường cong" bằng
phương pháp bình phương nhỏ nhất.
Để hoàn thành đề tài tốt nghiệp này, bên cạnh nỗ lực của bản thân em
còn nhận được sự giúp quý báu của các thầy, cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Dương Thăng Long đã tận tình hướng
dẫn em trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Cảm ơn khoa Công nghệ tin học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập ở trường và các thầy cô đã hết lòng truyền đạt cho em
những kiến thức và kinh nghiệm quý giá. Cũng như tất cả các bạn đã cùng
trao đổi giúp đỡ nhau trong quá trình học tập.
1
CƠ SỞ VÀ CÁC THUẬT TOÁN TRONG ĐỀ TÀI
"KHỚP ĐƯỜNG CONG" BẰNG PHƯƠNG PHÁP
BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT
1. Cơ sở:
Khi những giá trị dữ liệu không chính xác, thường ta cần phải tưởng
tượng ra hình dạng của hàm khớp và dữ liệu. Hàm này có thể phụ thuộc một
tham số.
f(x) = f(c
1
,c
2
...., c

M
, x)
và thủ tục điều chỉnh đường cong là tìm cách chọn các tham số nào
khớp nhất với các giá trị quan sát được ở các điểm đã cho. Nếu hàm là một đa
thức (với tham số là những hệ số) và các giá trị là chính xác thì đây chính là
phép nội suy. Nhưng ta đang xét những hàm tổng quát hơn và dữ liệu không
đúng. Để giản đơn hoá vấn đề, ta tập trung vào việc nối những hàm là tổ hợp
tuyến tính của hàm đơn giản hơn, với các tham số ẩn là các hệ số:
f(x) = c
1
f
1
(x) + c2f
2
(x) + ........ +c
M
f
M
(x)
Hàm này bao hàm hầu hết các hàm mà ta quan tâm. Sau khi nghiên cứu
xong trường hợp này, ta sẽ xét đến những hàm tổng quát hơn.
Một các phổ thông để đo mức độ tốt của hàm nối là tiêu chuẩn bình
phương tổng quát. Ở đây sai số được tính bằng cách thêm vào bình phương
sai số ở mỗi điểm quan sát được.
E = Z (f(xj) - ỵ)
2
Đây là một phép đo rất tự nhiên: bình phương được thực hiện để làm
khử các ước lược giữa các sai số với các số hiệu khác nhau. Hiển nhiên, điều
người ta mong muốn nhất là tìm ra một phép chọn các tham số sao cho tối
thiểu hoá E. Điều này khiến phép chọn có thể được tính có hiệu qủa; đây là

phương pháp bình phương nhỏ nhất, phương pháp này đúng như định nghĩa
của nó. Để đơn giản hoá đạo hàm, xét trường hợp M=2, N=3. Giả sử có ba
điểm x
1
,

x
2
,x
3
và các giá trị tương ứng y
1
,y
2
,y
3
thoả hàm có dạng:
f(x) = (c
1
f
1
(x1) + c2f
2
(x1) - y
1
)
2
+ (c
1
f

1
(x2) + c2f
2
(x2) - y
2
)
2

+ (c
1
f
1
(x3) + c2f
2
(x3) - y
3
)
2

Để tìm các phép chọn của c
1
và c
2
sao chỏ tối tiểu hoá sao số này, đơn
gian chỉ cần gán zero các đạo hàm dE/dc
1
và dE/dc
2
Với c
1

ta có :
dE/dc
1
= 2(c
1
f
1
(x1) + c2f
2
(x1) - y
1
)
2
f
1
(x
1
)
2
1≤ j ≤N
+ (c
1
f
1
(x2) + c2f
2
(x2) - y
2
)
2

f
2
(x
2
)
+ (c
1
f
1
(x3) + c2f
2
(x3) - y
3
)
2
f
3
(x
3
)
Việc gán đạo hàm bằng zero cho ra phương trình có biến là c
1
và c
2
phải thoả (f1(x1), là các "hằng số" có trị biết trước).
c
1
(f
1
(x

1
)f
1
(x
1
) + f
1
(x
2
)f
1
(x
2
) + (f
1
(x
3
)f
1
(x
3
)
+ c
2
(f
2
(x
1
)f
1

(x
1
) + (f
2
(x
2
)f
1
(x
2
) + (f
2
(x
3
)f
1
(x
3
))
= y
1
f
1
(x
1
) + y
2
f
1
(x

2
) + y
3
f
1
(x
3
)
Ta có phương trình tương tự, khi gán đạo hàm dE/dc2 về zero
Giả sử đa thức xấp xỉ bậc m của f là P(x) = Σ
j=0
Cjx
với Cj (j = O
1
m) xác định từ hệ ∆
0
C
0
+∆
1
C
1
+ ...... + ∆
m
C
m
= t
0
∆
1

C
0
+∆
2
C
1
+ ...... + ∆
m+1
C
m
= t
1
..............
∆
m
C
0
+∆
m+1
C
1
+ ...... + ∆
2m
C
m
= t
m
Trong đó ∆
k
= Σ xγ (k= 0,2m)

ti = Σ xγ f (xγ) (i = o
1
m)
với Cj (j = 0,m) xác định từ hệ phương trình trên trong đó.
2. Các thuật toán dùng trong chương trình Cài đặt bài toán: "Khớp đường
cong" bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất
2.1. Nhập dữ liệu
+ nhập từ file:
Nhập các toạ độ x
i
, y
i
vào máy toạ độ, số điểm n, bậc m của đa thức.
- hỏi xem có ghi vào file không nếu hỏi nhập tên tên file ghi dữ liệu
vào file đó.
+ nhập từ file:
yêu cầu nhập vào tên file, đọc file Read (f,n,m) nạp các qt từ file vào
hai mảng toạ độ do x, toạ độ y
For i = 1-> n
Read (f, toạ độ x[i], toạ độ y[i])
2.2. Tính mảng
-Tính toán các hệ số của mảng
a[i] [j], b[i] theo hệ pt (1)
2.3.Dùng phương pháp gauss và thuật toán sytru giải hệ pt (1)
3
Thuật toán gauss (Đưa ma trận về dạng tam giác )

no

yes

4
Gauss
Input n, (ại)
1
n
; (b
i
)
1
n
IER = 0
a
kk
≠ 0
P
i
=a
ik
/a
kk
k= 1, 2,...,n
i= k + 1, ..., n
j= k + 1, ..., n
a
ỵj
= p
i
a
kj
b

i
= b
i
- p
i
b
k
Call Sytru
IER = 1
Print (x
i
)
1
n
End
thuật toán Sytru (giải hệ phương trình dạng tam giác)
no
yes
no
yes
2.4. Xây dựng hàm tính giá trị
5
IRE = 1
Procedure
Input n, {b
i
}
1
n
, a

ij
(1≤ i ≤ j ≤ n)
IER = 0
a
nn
≠ 0
x
n
= b
n
/ a
nn
i = n-1, n-2,...,1
S = b
i
j = i + 1, ..., n
S = S - a
ij
x
ij
a
ij ≠
0
x
i
= S/a
ij
Return
Procedure
Input n, {b

i
}
1
n
, a
ij
(1≤ i ≤ j ≤ n)
IER = 0
a
nn
≠ 0
x
n
= b
n
/ a
nn
i = n-1, n-2,...,1
S = b
i
j = i + 1, ..., n
S = S - a
ij
x
ij
a
ij ≠
0
x
i

= S/a
ij
Return