Chuyen de To Hop

Chuyờn II. I S T HP
A. KIN THC CN NH V I S T HP.
1. Quy tc cng 1: Gi s mt cụng vic cú th c thc hin bi k phng ỏn A
1
, A
2
, ..., A
k
. V cú n
1
cỏch thc hin phng ỏn A
1
, n
2
cỏch thc hin phng ỏn A
2
, ..., n
k
cỏch thc hin phng ỏn A
k
. Khi
ú cú n
1
+ n
2
.... +n
k
cỏch thc hin cụng vic.
Quy tc cng 2: Nu A, B l hai tp hp hu hn phn t khụng giao nhau thỡ
A B A B = +
Quy tc cng m rng: Cho A, B l hai tp hp hu hn phn t

A B A B A B = +
2. Quy tc nhõn: Gi s mt cụng vic cú th c thc hin bi k cụng on A
1
, A
2
, ..., A
k
. V cú n
1
cỏch thc hin cụng on A
1
, n
2
cỏch thc hin cụng on A
2
, ..., n
k
cỏch thc hin cụng on A
k
. Khi
ú cú n
1
n
2
....n
k
cỏch thc hin cụng vic.
3. Hoỏn v: S cỏc hoỏn v ca n phn t
1.2... !
n

P n n= =
4. Chnh hp: S cỏc chnh hp chp k ca n phn t (0kn)
!
.( 1).( 2)...( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
= + =


5. T hp : S cỏc t hp chp k ca n phn t:
!
(0 )
! ( )! !
k
k
n
n
A
n
C k n
k n k k
= =

6. Tớnh cht ca
k
n

C
:
1
1
; ,(0 )
k n k k k k
n n n n n
C C C C C k n

+
= = +
7. Nh thc Niuton:
Cụng thc khai trin:
( )
0 1 1
0 0
... ...
n n
n
n n k n k k n n k n k k k k n k
n n n n n n
k k
a b C a C a b C a b C b C a b C a b

= =
+ = + + + + + = =

S hng th k+1:
1
k k n k

k n
T C a b

+
=
H qu:
( )
0 1 0 1 1
1 ... ... ... ...
n
k k n n n n k n k n
n n n n n n n n
x C C x C x C x C x C x C x C

+ = + + + + + = + + + + +
.
Cho x nhng giỏ tr c bit ta c nhng ng thc c bn
x =1, x =-1, x = 2, x = -2,
B. BI TP VN DNG
I. Bi toỏn v sp xp v trớ.
V D
Vớ d 1. Cú bao nhiờu cỏch b 6 lỏ th vo 8 phong bỡ mi phong bỡ cha nhiu nht mt lỏ th
Vớ d 2. Cú bao nhiờu cỏch nht 5 con th vo 3 lng mi lng cú ớt nht 1 con
Vớ d 3. Cú bao nhiờu cỏch xp 5 hc sinh A, B, C, D, E vo mt hng ngang sao cho:
a. C ng chớnh gia
b. Hai hc sinh A, E ng hai u
Vớ d 4. Cú 12 cun sỏch ụi mt khỏc nhau, trong ú cú 5 cun sỏch vn hc, 4 cun sỏch õm nhc v 3
cun sỏch hi ha em cho 6 hc sinh A, B, C, D, E, F mi hc sinh mt cun.
a. Nu ch cho hc sinh nhng cun sỏch thuc th loi vn hc v õm nhc. Hi cú bao nhiờu cỏch
cho sỏch.

b. Cú bao nhiờu cỏch cho sỏch sau ú mi th loi sỏch cũn ớt nht 1 cun.
BI TP
Bài 1. Liệt kê tất cả các hoán vị của {a,b,c}
Bài 2. Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f}
Bài 3. Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} với phần tử cuối cùng là a.
Bài 4. Có 6 ứng cử viên chức thống đốc bang. Tính số cách in tên ứng cử viên lên phiếu bầu cử.
Bài 5. Có bao nhiêu cách xắp xếp 6 ngời ngồi xung quanh một bàn tròn "hai cách gọi là nh nhau nếu cách
này xoay bàn đi ta đợc cách kia".
Trang 1
II. Bi toỏn chn i tng s.
V D
Vớ d 1. Cú bao nhiờu s chn cú 6 ch s ụi mt khỏc nhau vi ch s ng u l s l
Vớ d 2. Cú bao nhiờu s cú 6 ch s khỏc nhau ụi mt trong ú cú 3 ch s chn. 3 ch s l
Vớ d 3. T cỏc ch s {0;1;2;3;4;5} cú th vit c bao nhiờu ch s:
a. Cú 8 ch s trong úch s 1 cú mt 3 ln cũn cỏc ch s khỏc cú mt ỳng mt ln
b. Cú 4 ch s khỏc nhau sao cho cỏc ch s 1 v 5 cú mt v ng cnh nhau.
Vớ d 4. T cỏc ch s {1,2,3,4,5,6,7,8,9} cú th vit c bao nhiờu ch s khụng ln hn 789
Vớ d 5. Vi cỏc ch s {1;3;4;5;6} cú th vit c bao nhiờu s
a. Cú 3 ch s khỏc nhau m ch s ng trc nh hn ch s lin sau ú
b. Cú 3 ch s phõn bit v chia ht cho 3.
c. Cú 3 ch s. Tớnh tng cỏc s ú.
Vớ d 6. Vi 8 ch s 0,1,2,3,4,5,6,7 cú bao nhiờu s gm 6 ch s khỏc nhau trong ú nht thit phi cú mt
ch s 4.
Vớ d 7. T cỏc s 0, 1, 3, 5, 7 cú th lp c bao nhiờu s, mi s gm 4 ch s khỏc nhau v khụng chia
ht cho 5.
Vớ d 8. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lp c bao nhiờu s chn cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau.
Vớ d 9. Cú bao nhiờu s gm 5 ch s sao cho tng cỏc ch s ca mi s l l.
Vớ d 10. Cú bao nhiờu s t nhiờn gm 4 ch s sao cho khụng cú s no lp lo ỳng 3 ln
BI TP
Bài 1. Cho tập S = {1, 2, 3, 4, 5}

a. Liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của S
b. Liệt kê các tổ hợp chập 3 của S
Bài 2. Từ các chữ số 1,2,5,7,8 lập đợc bao nhiêu số tự nhiêncó 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.
Bài 3. Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?
Bài 4. Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10
8
chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số: 0, 1, 2
Bài 5. Có bao nhiêu số có thể lập từ các chữ số: 2, 4, 6, 8 nếu
a, Số đó nằm từ 200 đến 600
b, Số đó gồm 3 chữ số khác nhau
c, Số đó gồm 3 chữ số.
Bài 6. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn mi s cú 5 ch s khỏc nhau
trong ú nht thit phi cú ch s 5.
Bài 7. Cho cỏc ch s 1,2,3,4,5,6. Lp ra cỏc s cú 5 ch s khỏc nhau. Hi
a. Cú bao nhiờu s trong ú phi cú mt ch s 2
b. Cú bao nhiờu s trong ú phi cú mt ch s 1 v 6.
Bài 8. Tớnh tng cỏc s cú 5 ch s khỏc nhau c vit t cỏc s 1,2,3,5,6,8
III. Bi toỏn chn i tng thc t.
V D
Vớ d 1. Mt lp hc cú 25 nam v 15 n. Cn chn ra mt ban cỏn s gm 3 ngi. Hi coa bao nhiờu cỏch
chn ban cỏn s cú ớt nht 1 nam.
Vớ d 2. Cú bao nhiờu cỏch chia mt lp 50 hc sinh (30 nam, 20 n) thnh 5 t mi t 6 nam, 4 n
Vớ d 3. Cú 5 hnh khỏch v 3 toa tu u cú ch trng. Cú bao nhiờu cỏch xp khỏch lờn cỏc toa tu mi
toa cú ớt nht 1 khỏch.
Vớ d 4. Mt i vn ngh cú 20 ngi trong ú 10 nam, 10 n. Cú bao nhiờu cỏch chn ra 5 ngi sao cho:
a. Cú 2 nam.
b. Cú ớt nht 2 nam.
c. cú ớt nht 2 nam v ớt nht 1 n.
Trang 2
Vớ d 5. Cú 9 bi xanh, 5 bi v 4 bi vng cú kớch thc khỏc nhau tng ụi mt. Cú bao nhiờu cỏch chn ra

6 bi sao cho
a. trong ú cú ỳng hai viờn bi
b. S bi xanh bng s bi
Vớ d 6. Mt i vn ngh cú 10 hs (6 nam, 4 n),
a. cú bao nhiờu cỏch chia i vn ngh thnh hai nhúm sao cho s ngi bng nhau v s n bng
nhau
b. Cú bao nhiờu cỏch chn ra nhúm 5 ngi trong ú cú khụng quỏ 1 nam.
Vớ d 7. Trờn mt phng cho 10 im phõn bit trong ú khụng cú ba im no thng hng. Cú bao nhiờu
tam giỏc to bi cỏc im ú.
Vớ d 8. Trờn mp cho 10 ng thng v 10 ng trũn. Tớnh s giao im ti a cú th cú gia cỏc ng.
Vớ d 9. Cho thp giỏc li. Cú bao nhiờu tam giỏc cú cỏc nh l nh ca a giỏc nhng khụng cú cnh no
l cnh ca a giỏc.
Vớ d 10. Cho a giỏc u 2n cnh ni tip ng trũn (O).
a. Cho n = 6. Tớnh s tam giỏc cú 3 nh l nh ca a giỏc v tớnh s hỡnh ch nht cú 4 nh l nh
ca a giỏc
b. Gi s n2 ta thy s tam giỏc cú 3 nh l nh ca a giỏc gp 20 ln s hỡnh ch nht cú 4 nh l
nh ca a giỏc. Tỡm n?
Vớ d 11. Cú 30 cõu hi khỏc nhau, trong ú cú 5 cõu khú, 10 cõu trung bỡnh v 15 cõu d. Cú bao nhiờu cỏch
to kim tra, mi gm 5 cõu khỏc nhau sao cho cú loi cõu hi v s cõu d khụng ớt hn 2.
Vớ d 12. i thanh niờn xung kớch ca trng cú 12 hc sinh gm 5 hs khi 12, 4 hs khi 11 v 3 hs khi
10.Cn chn 4 hs i lm nhim v sao cho trong 4 hs thuc khụng quỏ hai trong 3 khi.
BI TP
Bài 1. Nếu có 8 đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý hỏi học sinh có bao nhiêu cách m ợn một quyển sách từ th
viện.
Bài 2. Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lúc lắc, nớng mỡ chài, nớng lá cách có 3 món gà: xối mỡ,
quay tứ xuyên, rút xơng và 2 món cua : rang muối , rang me. Hỏi nhà văn Vơng Hà có mấy cách gọi món
lai rai.
Bài 3. Một bé có thể mang họ cha là Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ đệm có thể là Văn, Hữu, Hồng, Bích, hoặc
Đình, Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, TRí, Đức, Ngọc hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé.
Bài 4. Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho nam và nữ

đứng xen nhau.
Bài 5. Trong vòng đấu loại cuộc thi cờ vua có 2n ngời tham dự , mỗi ngời chơi đúng một bàn với ngời khác.
CMR có 1.3.5(2n-1) cách sắp đặt.
Bài 6. Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên.
Bài 7. Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì, ba trong cuộc đua có 12 con
ngựa.
Bài 8. Có 100 vé đánh số từ 1 tới 100 đợc bán cho 100 ngời khác nhau. Ngời ta sẽ trao 4 giải thởng kể cả
giải độc đắc. Hỏi
a. Có bao nhiêu cách trao giải thởng.
b. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng giải độc đắc?
c. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng một trong các giải?
d. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 không trúng giải?
e. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 2 ngời giữ vé 19 và 47 trúng giải?
f. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 3 ngời giữ vé19, 73 và 47 trúng giải?
g. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 4 ngời giữ vé19, 73, 97 và 47 trúng giải?
h. Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 4 ngời giữ vé19,73, 97 và 47 không trúng giải?
III. Phng trỡnh, BPT t hp.
Trang 3
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
a.
1 1
7 7 7
2
n n n
C C C
− +
= +
b.
6 5 4

n n n
A A A+ =
c.
1 2 3
7
2
n n n
C C C n+ + =
d.
2 2
2
2 50
x x
A A+ =
e.
( )
5
3
1
360 5 !
2
x x
P A x
+
= −
f.
4
3 4
1
24

23
n
n
n n
A
A C
−
+
=
−
g.
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C xC x x+ + = −
h.
( )
2 2
72 6 2
x x x x
P A A P+ = +
i.
3 3
8 6
5
x
x x
C A
+
+ +

=
k.
4
2 4
14.3!.
x
x x
C A
+ +
=
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình
a.
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =


b.
3 2
5 5

2 3
5 5
7
4 7
y y
x x
y y
x x
A A
C C
− −
− −

=


=


c.
1
1
2
126
720
x
y
y x
y
x

x
A
C
P
P
+
− −
+

+ =



=

d.
5
3 5
720
120
x y x y x y
x y
P A P
P
+ + + + −
−

=



=


e.
1 1
1
1 1
1 1
5
2
y y y
x x x
y y
x x
A yA A
A C
− −
+
− −
+ +

+ =


=


f.
4 3 2
1 1 2

5
4
2
x y x y x y
C C A
x y
+ − + − + −

− =



+ =

Ví dụ 3. Giải các BPT, hệ PT
a.
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
b.
4
5
15( 3)( 2)( 1)
x

A x x x
+
≥ + + +
c.
1 2 3
2 2 2
2 6 7
n n n
A A A n+ + ≤
d.
3
2
2
24
120
0 6
x y
x y
A
P
x
−
+

≤

≥


≤ ≤


e.
3
4
1
3
1
14
1
P
A
C
n
n
n
<
+
−
−
BÀI TẬP
Bµi 1. Gi¶i pt:
2
2 3
! ! !
, ( 2)! , 8 , 3
20 ( 2)! ( 1)!
n n n
a n b P x P x c
n n n
= − − = − =

− −
Bµi 2. T×m x tho¶ m·n:
10 9 8
8
x x x
A A A
+ =
Bµi 3. Gi¶i pt:
1 2 3
7
.
2
x x x
x
a C C C
+ + =
3 3
8 6
. 5
x
x x
b C A
+
+ +
=
1 2 3 10
. ... 1023
x x x x
x x x x
c C C C C

− − − −
+ + + + =
Bµi 4. Gi¶i pt:
2 2
2
,2 50
x x
a A A
+ =
3 2
, 5 2( 15)
n n
b A A n
+ = +
2 2
, 72 6( 2 )
x x x x
c P A A P+ = +
Bµi 5. Gi¶i bÊt pt:
3
!
, ! 999 , 10
( 2)!
n
a n b n
n
< + ≤
−
Bµi 6. Gi¶i bÊt pt:
1

1
2 1
143
, 0
4
n
n n
A
a
P P
+
+ −
− <
( )
4
4
15
,
( 2)! 1 !
n
A
b
n n
+
<
+ −
Bµi 7. a. T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè:
7
3
( )

x
x
f x A
−
−
=
Trang 4
b. Tớnh giỏ tr ca biu thc
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
bit
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
Bài 8. Giải bất pt:
2

13 13
,
m m
a C C
+
<
2
18 18
,
m m
b C C

>
6 4
,
n n
c C C<
2 1
1 1
, 100
n n
n n
d C C

+ +

4
1
3
3

1
, 14
n
n
n
A
e P
C
+


<
4 3 2
1 1 2
5
, 0
4
x x x
f C C A

<
IV. Bi toỏn xỏc nh h s trong khai trin nh thc thnh a thc.
V D
Vớ d 1. Khai triển: a/ (2x-3)
6
= ? b/

=
ữ

5
1
4x ?
2
Vớ d 2. Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển:


ữ

16
1
3x
x
Vớ d 3. Cho nhị thức :


ữ

9
3
x
x
. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
Vớ d 4. a. Cho a thc
20
( ) (1 3 )f x x= +
. Tớnh cỏc h s ca x
3
, x
18

khi khai trin a thc.
b. Tỡm h s ca x
25
y
10
trong khai trin (x
3
+ xy)
15
.
Vớ d 5. Cho
( )
7
8
( ) (1 ) 2 2
2
x
f x x= + +
.
a. Tớnh h s ca x, x
3
trong khai trin ca f(x)
b. Tớnh tng tt c cỏc h s ca x cú s m nguyờn
Vớ d 6. Cho khai trin:
( )
0 1 1 1 1
... ,
n
n n n n n n
n n n n

a b C a C a b C ab C b

+ = + + + +
trong ú
1
3
2
2 , 2 , .
x
x
a b x R


= =

Bit rng trong khai trin ú
3 1
5
n n
C C=
v s hng th t bng 20n. Tỡm x?
Vớ d 7. Tỡm h s ca x
8
trong khai trin ca
( )
8
2
1 1x x

+

Vớ d 8. Gi s biu thc P(x) =
( )
12
2 12
0 1 2 12
1 2x a a x a x ... a x+ = + + + +
. Tỡm h s ln nht trong khai trin
Vớ d 9. Cho P(x) = (1 + x + x
2
+ x
4
)
n.
Gi s khi khai trin P(x) cú dng P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2

++a
4n
x
4n
.
a. Cho n = 7. Tớnh
0 2 3 4

...
n
S a a a a= + + + +
b. Tỡm n bit
0 2 3 4
... 262144
n
S a a a a= + + + + =
c. Tỡm n bit
0 1 2 3 4
' ... 1024
n
S a a a a a= + + + =
BI TP
Bài 1. Khai triển: a/ (3a - 2b
2
)
4
= ? b/

=
ữ
ữ

6
3 2
?
2 3x
Bài 2. Cho nhị thức :

ữ

n
1
x
3
. Có hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5 . Tìm số hạng đứng giữa trong khai
triển trên.
Bài 3. Cho nhị thức :


ữ

n
3
2
1
x
x
. Có tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu là 11. Tìm hệ số của x
2
.
Trang 5