Thi thông tin phát hiện HSG toán 8 - GN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán lớp 8 (Thời gian 120’)
Câu 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: A = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng tỏ giá trị biểu thức A chia hết cho 24 với mọi giá trị n
∈
N.
Câu 2: (4 điểm)
So sánh hai số sau:
A =
2009 2008
2009 2008
−
+
và B =
2 2
2 2
2009 2008
2009 2008
−
×
+
Câu 3: (4 điểm)
Tìm các giái trị nguyên của x để giá trị tương ứng của biểu thức sau cũng có giá

trị nguyên.
3 2
x x 2
C(x) =
x 1
− +
×
−
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu
của H trên AB và AC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM
vuông góc với IK.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích tam giác
ABC là S.
Chứng minh rằng: 4S = (a + b + c)(b + c – a)
ĐÁP ÁN TOÁN 8
Câu 1:
a) A = n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n
= n(n
3
+ 6n
2
+ 11n + 6)

= n(n
3
+ n
2
+ 5n
2
+ 5n + 6n + 6)
= n[n
2
(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]
= n(n + 1)(n
2
+ 5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (2 điểm)
b) A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trong đó là tích 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3
A 3⇒ M
(1)
4 số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có
một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Nên tích 4 số tự nhiên liên
tiếp chia hết cho 8
A 8⇒ M
(2)
3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (3).
Từ (1), (2), (3)
A (3.8) A 24 n N.⇒ ⇒ ∀ ∈M M
(2 điểm)
Câu 2: (4 điểm)
Hai số đều là phân số có tử, mẫu là số dương.
A =

2009 2008
2009 2008
−
+
=
2 2
2 2
(2009 2008)(2009 2008) 2009 2008
(2009 2008) (2009 2008)
− + −
=
+ +
Hai số A và B là hai phân số dương có cùng tử, ta so sánh hai mẫu.
(2009 + 2008)
2
> 2009
2
+ 2008
2
2 2 2 2
2 2 2
2009 2008 2009 2008
(2009 2008) 2009 2008
A < B.
− −
⇒ <
+ +
⇒
Câu 3: (4 điểm)
3 2 2

2
x x 2 x (x 1) + 2 2
C(x) = x
x 1 x 1 x 1
− + −
= = + ×
− − −
Khi cho x một giá trị nguyên thì x
2
là một số nguyên, do đó biểu thức C(x) có
giá trị nguyên khi và chỉ khi
2
x 1−
nhận giá trị nguyên.
⇒
x – 1
∈
Ư(2) =
{ }
1; 2± ± ×
x – 1 = - 1
⇒
x = 0
⇒
C(0) = -2
x – 1 = 1
⇒
x = 2
⇒
C(2) = 6

x – 1 = -2
⇒
x = -1
⇒
C(-1) = 0
x – 1 = 2
⇒
x = 3
⇒
C(3) = 10
Câu 4:
GT
µ
0
ABC, A 90 ;AH BC, HI AB, HK AC; MB = MC.= ⊥ ⊥ ⊥V
KL
IK AM
⊥
H
O
K
I
N
M CB
A
Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Gọi O là giao điểm của AH và IK. N là giao điểm AM và IK.
AM = MC =
BC
2

(Tính chất trung tuyễn ứng với cạnh huyền của tam giác
vuông)
·
·
MAK = MCK⇒
· ·
OKA = OAK
(Tính chất đường chéo hình chữ nhật)
·
·
·
·
0
90

MAK + OKA = MCK + OAK
AM IK.
=
⇒
⇒
⊥
Câu 5: (4 điểm)
A
B C
b
a
c
S =
1
2

bc
⇒
4S = 2bc (1)
(a + b + c)(b + c – a)
= (b + c)
2
– a
2

= b
2
+ 2bc + c
2
– a
2

= (b
2
+ c
2
– a
2
) + 2bc
= 0 + 2bc (Định lí Pitago: b
2
+ c
2
= a
2
nên b

2
+ c
2
– a
2
= 0)
= 2bc (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4S = (a + b + c)(b + c – a).