BT: Khoảng cách và góc

Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng
Khoảng cách và góc trong hình học phẳng
I. Kiến thức cơ bản:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng

:ax+by+c=0 là:
d(

;M)=
0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
Chú ý: Nếu bài toán cho phơng trình đờng thẳng d dới dạng ptts thì ta chuyển sang
pttq rồi tính khoảng cách theo công thức
2. Điều kiện cần và đủ để hai điểm cùng phía, khác phía đối với một đ ờng
thẳng
Bài toán: Cho đờng thẳng

và hai điểm M
( ; )
M M
x y
và N
( ; )
N N
x y
không nằm trên

. Hãy xét vị trí tơng đối của hai điểm M,N đối với đờng thẳng

Kết luận:
+) Hai điểm M, N nằm về cùng phía đối với đờng thẳng


( ).( )
M M N N
ax by c ax by c + + + +
>0
+) Hai điểm M, N nằm khác phía đối với đờng thẳng


( ).( )
M M N N
ax by c ax by c + + + +
<0
3. Ph ơng trình đ ờng phân giác của góc tạo bởi hai đ ờng thẳng :
Bài toán: Cho hai đờng thẳng cắt nhau
1 1 1 1
: 0a x b y c + + =

2 2 2 2
: 0a x b y c + + =
Viết pt các đờng phân giác của các góc tạo bởi hai
hai đờng thẳng
1

;

2

Kết luận: Phơng trình hai đờng phân giác
1
d
;
2
d
của các góc tạo bởi hai đờng
thẳng
1

;
2

có dạng:

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
Chú ý: 1.Đờng phân giác có tính chất: Mỗi điểm nằm trên đờng phân giác của góc
tạo bởi hai đờng thẳng cắt nhau
1

;

2

đều cách đều hai đờng thẳng
1

;
2

2. Lấy một điểm bất kì M thuộc
1

. Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với đ-
ờng phân giác
1
d
cắt
2

tại điểm M. Khi đó ta có: M và M đối xứng với nhau
qua
1
d
4. PT đ ờng phân giác trong của góc A của
ABC
Để viết PT đờng phân giác trong của góc A của
ABC
ta có
các cách sau:
C1) Gọi D là chân đờng phân giác của góc A
Tính toạ độ điểm D theo hệ thức véc tơ:

AB
DB DC
AC
=
uuur uuur
Sau đó viết pt đờng phân giác đi qua hai điểm A, D
Nguyễn Thị Băng
Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng
C2, 1) Viết pt đờng phân giác
1
d
;
2
d
trong và ngoài của góc A trong tam giác
ABC
2)+ Nếu B và C nằm khác phía đối với đờng thẳng
1
d
thì
1
d
là đờng phân
giác trong của góc A
+ Nếu B và C nằm cùng phía đối với đờng thẳng
1
d
thì
2
d

là đờng phân
giác trong của góc A
5. Góc giữa hai đ ờng thẳng:
Góc giữa hai đờng thẳng :
1 1 1 1
: 0a x b y c + + =

2 2 2 2
: 0a x b y c + + =
Kí hiệu là: (
1

;
2

) hoặc
ã
1 2
( ; )
Khi đó:
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos( ; )
.
a a b b
a b a b
+
=

+ +
Chú ý: 1. Nếu
1
1
1
:
O
O
x x a t
y y b t
= +



= +

và
2
1
2
'
:
'
O
O
x x a t
y y b t
= +

= +



thì
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos( ; )
.
a a b b
a b a b
+
=
+ +
(Vì
1 2
cos( ; )
=
1 2 1 2
cos( ; ) cos( ; )n n u u=
ur uur ur uur
2. Nếu
1

:
1 1
y k x b= +

và
2

:
2 2
y k x b= +
thì ta có thêm công thức:
1 2
1 2
1 2
tan( ; )
1
k k
k k

=
+
II. Các dạng toán th ờng gặp:
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến khoảng cách
Bài 1: Tính d(M;

) biết:
a. M(1;1) và

: x-y-2=0
b. M(2;1) và

:
1 1
1 1

x y +
=

c. M(1;5) và

:
2
4
x t
y t
=


= +

Bài 2: Cho hai điểm A(1;1) và B(3;6). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và cách B một
khoảng bằng 2
Bài 3: Cho đờng thẳng d: 8x-6y-5=0. Viết pt đờng thẳng

song song với d và cách d một
khoảng bằng 5
Bài4: Cho 3 điểm A(1;1), B(2;0), C(3;4). Viết pt đờng thẳng đi qua A và cách đều hai điểm
B,C
Dạng 2: Các bài toán liên quan ĐK để hai điểm cùng phía, khác phía đối
với một đ ờng thẳng
Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;0), B(2;3),C(3;-6) và đờng thẳng

: x-2y-3=0
Nguyễn Thị Băng
Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng

a. Xét xem đờng thẳng

cắt cạnh nào của tam giác
b. Tìm điểm M trên

sao cho
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất
Bài 6: Cho hai điểm P(1;6) , Q(-3;-4) và đờng thẳng

: 2x-y-1=0
a. Tìm toạ độ điểm M trên

sao cho MP+MQ nhỏ nhất
b. Tìm toạ độ điểm N trên

sao cho
NP NQ
lớn nhất
Bài7: Cho đờng thẳng
m

: (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0 và hai điểm A(2;3), B(1;0)
a. CMR:
m

luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
b. Xác định m để
m

có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB
c. Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng
m

là lớn nhất
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến góc giữa hai đ ờng thẳng
Bài 8: Tìm các góc của một tam giác biết pt các cạnh tam giác đó là:
x+2y=0; 2x+y=0; x+y=1
Bài 9: Viết pt đờng thẳng :
a. Qua A(-2;0) và tạo với đờng thẳng d: x+3y-3=0 một góc
0
45
b. Qua B(-1;2) và tạo với đờng thẳng d:
2 3
2
x t
y t
= +


=

một góc
0
60
Bài 10: Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đờn thẳng
2
1 2
x at

y t
= +


=

và 3x+4y+12=0
bằng
0
45
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, biết pt các đờng thẳng AB, BC lần lợt là:
x+2y-1=0 và 3x-y+5=0. Viết pt đờng thẳng AC biết rằng đờng thẳng AC đi qua
điểm M(1;-3)
(Nêu các cách giải)
Bài 12: Cho hai đờng thẳng
1

: 2x-y+5=0 và
2

: 3x+6y-1=0 và điểm M(2;-1). Viết pt đờng
thẳng

đi qua M và tạo với hai đờng thẳng
1

;
2

một tam giác cân có đỉnh là

giao điểm của
1

và
2

(Nêu các cách giải)
Dạng 4: Các bài toán liên quan đến đ ờng phân giác của góc
Bài 13: Cho hai đờng thẳng
1

: 2x+3y+1=0 và
2

: 3x+2y-3=0
a. Viết pt đờng phân giác của góc tạo bởi
1

và
2

b. Viết pt đờng phân giác của góc nhọn tạo bởi
1

và
2

c. Viết pt đờng phân giác của góc tạo bởi
1

và
2

chứa điểm M(0;1) hoặc góc đối
đỉnh với nó
Bài 14: Cho ba điểm A(2;0); B(4;1); C(1;2)
a. CMR: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b. Viết pt đờng phân giác trong của góc A
c. Tìm toạ độ tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 15: Biết các cạnh của tam giác ABC có pt :
AB: x-y+4-0; BC: 3x+5y+4=0; AC: 7x+y-12=0
a. Viết pt đờng phân giác trong của góc A
Nguyễn Thị Băng
Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng
b. Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc toạ độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác
ABC
Bài 16: Viết pt các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đờng cao và đờng phân giác trong
qua đỉnh A và C lần lợt là
1

: 3x-4y+27=0 và
2

: x+2y-5=0
III. Bài tập về nhà:
Bài 17: Lập pt đờng thẳng qua điểm A(2;1) tạo với
1

: 2x+3y+4=0 một góc bằng
0

45
Bài 18: Cho hai đờng thẳng
1

: 2x-y+1=0 và
2

: x+2y-7=0. Lập pt đờng thẳng d đi qua gốc
toạ độ sao cho đờng thẳng d tạo với
1

và
2

một tam giác cân có đỉnh là giao điểm
của
1

và
2

. Tính diện tích tam giác cân đó
Bài 19: Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đờng chéo nằm trên đờng thẳng có pt 7x-
y+8=0. Lập pt các cạnh và đờng chéo thứ hai của hình vuông
Bài 20 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(
4
5
;
7
5

). Hai đờng phân giác trong của góc B và C lần l-
ợt có pt x-2y-1=0 và x+3y-1=0. Viết pt cạnh BC của tam giác.
Bài 21: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có pt theo thứ tự là: x+2y-1=0 và
3x-y+5=0. Tìm pt cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1;-3)
Bài 22: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3;1), pt đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ A
theo thứ tự có pt là: x+3y+12=0 và x+7y+32=0. Lập pt các cạnh của tam giác ABC
Bài 23: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập pt đờng thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q
tới đờng thẳng đó bằng 3
Bài 24: Cho P(3;0) và hai đờng thẳng
1

: 2x-y-2=0 và
2

: x+y+3=0. Gọi d là đờng thẳng
qua P cắt
1

và
2

lần lợt tại A và B.
Viết pt của d biết PA=PB
Bài 25: Cho hai điểm A(1;3) và B(3;2). Lập pt đờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B
tới đờng thẳng đó bằng 1
Bài 26: (B-05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;1); B(4;-3). Tìm điểm
C thuộc đờng thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6
Bài 27: (A-06) Cho các đờng thẳng

1

d
: x+y+3=0;
2
d
: x-y-4=0;
3
d
: x-2y=0
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng
3
d
sao cho: d(M;
1
d
)=d(M;
2
d
)
Bài 28: (B-07) Cho điểm A(2;2) và các đờng thẳng
1
d
: x+y-2=0;
2
d
: x+y-8=0
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lợt thuộc
1
d
và
2

d
sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A
Bài 29: (B-08) Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông
góc của C trên đờng thẳng AB là điểm H(-1;1), đờng phân giác trong của góc A có
pt x-y+2=0 và đờng cao kẻ từ B có pt 4x+3y-1=0
Bài 30: (Thử ĐH HH4-CTC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết
A(5;2). Phơng trình đờng trung trực cạnh BC, đờng trung tuyến CC lần lợt là
1
d
: x+y-6=0 và
2
d
: 2x-y+3=0.
Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Nguyễn Thị Băng
Trªn con ® êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l êi biÕng



NguyÔn ThÞ B¨ng