ĐỀ THI ĐAI HOC SỐ 6 ( Có đáp án)

ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 6)
CÂU I:
Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
(1)
a. Khảo sát hàm số (1) khi m=1
b. Chứng minh rằng ,
m
∀
hàm số (1) luôn đạt cực tṛ tại
1
x
,
2
x
với
1 2
x x−
không phụ thuộc m
CÂU II:
a. Giải hệ phương tŕnh
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 0
x xy y
x xy y

− + =



− + =


b. Tam giác ABC có 3 cạnh là a , b, c và p là nửa chu vi.Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
CÂU III:
a. Giải phương tŕnh :
2 2
cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = +
b. Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC và
( )
2
C
a b tg atgA btgB+ = +
th́ tam giác ABC cân
CÂU IV:
a. Có thể t́m được bao nhiêu số gồm 3 chươ số khác nhau đôi một?
b. Từ các chươ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chươ số
đôi một khác nhau?
Thí sinh chọn một trong 2 câu Va hoặcVb dưới đây
CÂU Va:
a. Nếu Elip
2 2
2 2
1

x y
a b
+ =
nhận các đường thẳng 3x-2y-20=0 và x+6y-20 =0 làm
tiếp tuyến,haơy tính
2
a
và
2
b
b. Cho Elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(E).T́m quan hệ giươa a,b,k,m để (E) tiếp xúc với
đường thẳng y=kx+m
CÂU Vb:
Trong không gian, cho đoạn OO’= h và 2 nửa đường thẳng Od, O’d’ cùng vuông
góc với OO’ và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od , điểm N chạy trên O’d’ sao
cho ta luôn có
2 2 2
'OM O N k+ = , k cho trước.
a.Chứng minh rằng đoạn MN có độ dài không đổi
b.Xác đ̣nh ṿ trí của M trên Od, N trên O’d’ sao cho tứ diện OO’MN có
thể tích lớn nhất.
Đáp án
CÂU I:

a) Khảo sát (1) khi m= 1:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + +
3 2
1: 2 9 12 1m y x x x= = − + +
• TXĐ: D= R
2
' 6 18 12
1 6
' 0
2 5
'' 12 18
3 11 3 11
'' 0 ,
2 2 2 2
y x x
x y
y
x y
y x
y x y
= − +
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ =

= −
 

= ⇔ = ⇒ = ⇒
 
 
điểm uốn I
• BBT:
• Đồ tḥ:
b) Chứng minh rằng
∀
m hàm số (1) luôn đạt cực tṛ tại x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không
phụ thuộc m.
Ta có:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)
2
' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2
(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m
y x m x m m

m m m
= − + + + +
= − + + +
= ⇔ − + + + =
∆ = + − + = >
⇒
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
⇒
Hàm số luôn đạt cực tṛ tại
1 2
,x x
.
Ta có:
2 1 1 2
1
2 1 1 2 2
2
2 2 2 2
2 1
x m m
x m m
x x m m
= + − =
= + + = +
⇒ − = + − = (hằng số)
Vậy:
2 1

x x−
không phụ thuộc m.
CÂU II:
a) Giải:
2 2
2 2
2 3 9 (1)
2 13 15 0 (2)
x xy y
x xy y

− + =


− + =


Cách 1:
V́ x = 0 không là nghiệm của hệ nên đặt y= kx.
Khi đó hệ trở thành:
2 2
(1 2 3 ) 9 (3)
2 2
(2 13 15 ) 0 (4)
x k k
x k k

− + =




− + =

Ta có: (4)
2
15 13 2 0k k⇔ − + =
(v́ x = 0 không là nghiệm)
1
5
2
3
k
k

=

⇔


=


thế vào (3) ta được:
5 2 2
2 2
25
2
5 2 2
2
2 2

2
9
3 2
3 2
x y
x
x y
x
x y
x y

= ⇒ =



=


⇔
= − ⇒ = −




=

= ⇒ =


= − ⇒ = −


Vậy hệ có 4 nghiệm
5 2 2 5 2 2
, , , ,(3, 2),( 3, 2)
2 2 2 2
   
− − − −
   
   
   
.
Cách 2: V́
0x ≠
nên chia 2 vế của (2) cho
2
x
ta được:
2
(2) 2 13 15 0
1 1
5 5
2 2
3 3
y y
x x
y
y x
x
y
y x

x
   
⇔ − + =
   
   
 
= =
 
⇔ ⇔
 
 
= =
 
 
Thế y vào (1) ta được đáp số trên.
b) Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
Nhận xét: Nếu M, N > 0 th́:
2M N MN+ ≥
1 1 1
2
M N MN
+ ≥
1 1
( ) 4
1 1 4

M N
M N
M N M N
 
⇒ + + ≥
 
 
⇒ + ≥
+
Do đó:
1 1 4 4
2
1 1 4 4
2
1 1 4 4
2
p a p b p a b c
p b p c p b c a
p c p a p a c b
+ ≥ =
− − − −
+ ≥ =
− − − −
+ ≥ =
− − − −
Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh.
CÂU III:
a) Giải:
2 2
cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = +

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có:
VT =
( )
2 2 2
1.cos3 1. 2 cos 3 1 1. cos 3 2 cos 3 2x x x x+ − ≤ + + − =
Mặt khác: VP
2≥
Do vậy:
Phương tŕnh
( )
2
cos3 2 cos 3 2
2
2 1 sin 2 2
2
2 cos 3 2 cos3
sin 2 0
cos3 1
sin 2 0
2
3
2
2 ( )
x x
x
x x
x
x
x
x k

x k
x k k
π
π
π

+ − =

⇔

+ =




− = −
⇔

=


=

⇔

=


=



⇔


=


⇔ = ∈ ¢
b)
Ta có:
( )
2
( )cot
2
( )
2
2 2
sin sin
2 2
cos cos cos .cos
2 2
sin .sin sin .sin
2 2
cos cos
sin (sin cos sin cos )
2
C
a b tg atgA btgB
C
a b g atgA btgB

A B
a b tg atgA btgB
A B A B
a tg tgA b tgB tg
A B B A
a b
A B A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A
+ = +
⇒ + = +
+
⇒ + = +
+ +
   
⇒ − = −
 ÷  ÷
   
− −
⇒ =
+ +
− −
⇒ =
−
⇒ − = 0
sin sin( ) 0

2
sin 0
2
sin( ) 0
A B
A B
A B
A B ABC cân
A B
−
⇒ − =
−

=

⇒ ⇒ = ⇒ ∆

− =

CÂU IV:
a) Có bao nhiêu số gồm 3 chươ số khác nhau đôi một.