HSG Khoi 12 nam 08 - 09 (co DA)

Trờng THPT cẩm thuỷ I đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 12
năm học 2008-2009 Môn : Toán
Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: (2,5 điểm)
Cho hàm số y = (m+3)x
3
- 3(m+3)x
2
- (6m+1)x + m + 1 (C
m
)
a) Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến?
b) Chứng minh rằng: họ đờng (C
m
) có 3 điểm cố định thẳng hàng.
Câu 2 : (3,0 điểm)
Cho (C): y=
2
1x
x
+
, M là điểm bất kỳ trên (C), (d) là tiếp tuyến với (C) tại M, (d)
cắt các đờng tiệm cận của (C) tại A và B. Chứng minh rằng:
a) M là trung điểm của AB.
b)Tìm diện tích tam giác OAB.
Câu 3 : (1,5điểm)
Giải hệ

+=
+=
x
xy
y
yx
1
2
1
2
2
2

Câu 4: (1,5 điểm)
Giải phơng trình:
2
1 cos
tan
1 sin
x
x
x

=


Câu 5: (2,0 điểm)

Tìm m để bất phơng trình:
3 1mx x m +
có nghiệm?
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho

ABC. Chứng minh rằng: cot
2
A
, cot
2
B
, cot
2
C
theo thứ lập thành cấp số
cộng khi và chỉ khi: sinA, sinB, sinC cũng theo thứ tự này lập thành cấp số cộng.
Câu 7: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng:
1
12
1
0
2...
2
)1(


=++++

n
n
n
n
n
n
n
n
CC
Cn
nC
với
*
n N

Câu 8: (2,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho: asinx + b = sin(ax+b) đúng với mọi
x thực?
Câu 9: (2,0 điểm)
Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
+ + < + +
+ + + + + +
.
Câu 10: (2,0 điểm)
Cho dãy vô hạn
{ }
n
u

, n =1, 2, 3, ... xác định nh sau:

1
1
1 2
1
1 ...
n n
u
u u u u
+
=



= +


với n =1, 2, 3, ... đặt
1
1
n
n
k
k
S
u
=
=

. Tìm
lim
n
n
S



Họ tên thí sinh Số báo danh.
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.
Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009
đáp án - Hớng dẫn chấm môn toán
(Thời gian làm bài: 180 phút )
Câu
Đáp án điểm
Câu 1:
(2,5đ)
a) 1,5 điểm
*) m=-3 (C
-3
):y=17x-2 đb với: x > 2/17 =>m=-3 loại
*) m

3 có y =3(m+3)x
2
- 6(m+3)x - 6m - 1 luôn đb

0 3 0
10

3
0 ( 3)(9 10) 0
9
a m
m
m m
> + >

<

+ +


0,75đ
0,75đ
b)1,0 điểm
+)M(x;y)
3 2 3 2
( ) ( 3 6 1) 3 9 1 0
m
C m x x x m x x x y m + + + =
3 2
3 2
3 6 1 0
3 9 1
x x x
x x x y

+ =

+ =


+) f(x)=x
3
- 3x
2
- 6x+1 có f(-10)=-1239; f(0)=1; f(1)=-7; f(10)=641
nên f(x) có 3 nghiệm p/b
+) y=3( x
3
-3x
2
-6x+1 )+17x-2 =17x-2 => 3 điểm cố định thẳng hàng.
0,5đ
0,5đ
Câu 2:
(3,0 đ)
a) 2 điểm
t/c đứng (d
1
): x=0 và t/c xiên (d
2
): y=x;
Tiếp tuyến tại M(x
M
;y
M

) là (d): :y=
2
2
1 2
M
M M
x
x
x x

+

Cắt (d
1
): ở A(0;
2
M
x
) và (d
2
): ở B(2x
M
;2x
M
)
do A,B,M nằm trên (d) mà x
A
+x
B
=2x

M
nên M là trung điểm của AB.
1,0đ
0,5đ
0,5đ
b)1 điểm

1
2
OAB
S OAh

=
với h=k/c(B;d
1
)=
B
x


1 1 2
2 2
2 2
OAB A B M
M
S y x x
x

= = =
(Đv diện tích)

0,5đ
0,5đ
Câu 3:
(1,5 đ)
ĐK x,y
1
;xy
1
1 0 1
xy
< <
Do đó:
2 2
1 1 1
2 2 ( )(2 2 1 ) 0x y y x x y x y
y x xy
= + + + =
y x
=

Khi đó 2x
2
=x+
3 2 2
1
2 1 0 ( 1)(2 1) 0 1x x x x x x
x
= + + = =

nghiệm (1;1)

1,0đ
0,5đ
Câu 4:
(1,5 đ)
2
1 1 1
tan 1 0
1 sin 1 1
cos x cos x cos x
x
x sin x sin x

+
= =
ữ
ữ
+

1,0đ
2
1
4
x k
cos x
k N
sin x cos x
x k

= Π


=

⇔ ⇔ ∈

Π

=
= + Π






2
,
4
x m
x n m n Z
= Π


⇔
Π

= + Π ∈

m
0,5®
C©u 5:

(2,0 ®)
t=
[
)
3 0;x − ∈ +∞
(1)
2
, ,
2 2 2
1 2 2
( ) ( ) ( ) 0
2 ( 2)
t t t
m f t f t f t
t t
+ − − +
⇔ ≤ = ⇒ = ⇒ =
+ +
1 3t⇔ = − +

f(t) ®b
) )
0; 1 3 & 1 3;nb
 
− + − + +∞
 
=>
[
)
0;

1 3
4
( )
t
Max f t
∈ +∞
+
=

Bpt cã nghiÖm khi ®êng y=m kh«ng n»m phÝa trªn ®êng y=f(t)
vËy m
1 3
4
+
≤

1,0®
0,5®
0,5®
C©u 6:
(2,0 ®)
÷
cot
2
A
, cot
2
B
, cot
2

C
⇔
cot cot 2 cot
2 2 2
A C B
+ =
s s
2 2
2
sin sin sin
2 2 2
B B
co co
A C B
⇔ =

sin 2 cos ( s s )
2 2 2
B A C A C
B co co
− +
⇔ = −
... 2sin sin sinB A C
⇔ ⇔ = +

1,5®
0,5®
C©u 7:
(1,5 ®)
f(x)=

0 1 1 1
...
n n n n
n n n n
C x C x C x C
− −
+ + + +
, 0 1 1
(1) ( 1) ...
n
n n n
f nC n C C
−
⇒ = + − + +
(1)
f(x)=(x+1)
n

, 1
(1) 2
n
f n
−
⇒ =
(2) Tõ (1)&(2) cã §pCM
0,75®
0,75®
C©u 8:
(2,0 ®)
víi x=0 b=sinb

Z∈
0b
⇔ =
=>
sin sina x ax
=
víi x=
0 sin a a k a k Z
Π ⇒ = Π ⇔ Π = Π ⇔ = ∈


sin 1
2
a a
Π
= ≤
nªn a=-1,a=0,a=1 thö l¹i ®îc (a,b)
{ }
( 1;0), (0;0),(1;0)∈ −

1,0®
1,0®
C©u 9:
(2,0 ®)
Víi x,y>0 tõ m>0 &
1
x x x m
y y y m
+
< ⇒ <

+

VT<
2 (1)
a c b a c b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + <
+ + + + + +
VP=
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
2 (2)
2 2 2
a b c
a b c a b c a b c
+ + =
+ + + + + +
Tõ (1) vµ (2) suy ra §PCM
1,0®
1,0®
C©u 10:
(2,0 ®)
u
k+1
=1+u
1

u
2
...u
k
=>u
k+1
-1=u
1
u
2
...u
k
=u
k
(u
1
u
2
...u
k-1
+1-1)=u
k
(u
k
-1)

1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 ( 1) 1 1 1
k k k k k k k k

u u u u u u u u
+ +
= = − ⇒ = −
− − − − −
1 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
( )
1 1
n n n
n
k k k
k k k k
S
u u u u u u
= = =
+
= = + = + −
− −
∑ ∑ ∑
=
1 2 1 1
1 1 1 1
2
1 1 1
n n
u u u u
+ +
+ − = −
− − −

Do u
n+1
-1=u
1
u
2
...u
n
=u
2
u
3
...u
n
>2
n-1

V×

u
2
=1+u
1
=2;

u
3
=1+u
1

u
2
>1+u
1
= 2;

u
4
=1+u
1
u
2
u
3
>1+u
1
=2...
mµ
1
lim 2
n
n
−
→∞
= +∞
nªn
1
1
lim 0
1

n
n
u
→∞
+
=
−
vËy
lim 2
n
n
S
→∞
=

1,0®
1,0®