Chuyên đề mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Goctoanhoc.net
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU
1. Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua các điểm của hình đó (O là tâm mặt cầu đó khi
O cách đều các đỉnh của hình đa điện đó; Bán kính của mặt cầu này là đoạn thẳng nối tâm mặt cầu đó và đỉnh
hình đa diện).
Chú ý:
+) Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn ngoại tiếp.
+) Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng và đáy có đường tròn ngoại tiếp.
2. Cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cách 1. Chọn điểm O hợp lý và chứng minh O cách đều các đỉnh hình chóp (Trong tam giác vuông thì trung
điểm cạnh huyền cách đều các đỉnh của tam giác đó)
Cách 2. Dựng I là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy; dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với đáy.
TH1: d đi qua đỉnh S của hình chóp, trong mặt phẳng (P) chứa cạnh bên SA và d, dựng đường trung trực của SA
cắt d tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
TH2: d song song với cạnh bên của hình chóp, trong mặt phẳng (P) chứa cạnh bên đó và d, dựng đường trung
trực của cạnh bên đó cắt d tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
TH3: d không song song với cạnh bên của hình chóp và không đi qua đỉnh S của hình chóp, dựng K là tâm đường
tròn ngoại tiếp 1 mặt bên và dựng đường thẳng a qua K và vuông góc với mặt bên đó.a cắt d tại O. O là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp.
3. Cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
Dựng I và K là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Gọi O là trung điểm của IK. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
lăng trụ đó.
4. Các ví dụ áp dụng
Câu 1. Cho hình chóp S .ABC có SA, SB, SC đôi một vuông, SA a, SB b, SC c. . Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC .

a2

b2 c2
a 2 b2 c2
.

A.
B.
C. a 2 b 2 c 2 .
D. 2 a 2 b 2 c 2 .
.
2
2
Câu 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB  a, AC  a 3 , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy  ABC  và SA  2a 3 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC theo a .
A. R  2a.
B. R  a.
C. R  a 3.
D. R  a 2.
Câu 3. (Đề thi thử chuyên Phan Bội Châu lần 4)
Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc với đáy. Biết

SA

a 2, AD

2AB

2BC

2a . . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BCD .

6a
a 10
.
.

B. a.
C.
D. 3 a .
2
2
Câu 4. (Đề thi thử Đô Lương 1 lần 3)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Biết SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi M,
N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện
CMNK.
16 a3
4 a 3
4 a 3
2 a 3
A. V 
;
B. V 
;
C. V 
;
D. V 
9
3
9
3
Câu 5 (Đề minh họa lần 1)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
5 15
5 15
5

4 3
A. V 
;
B. V 
;
C. V 
;
D. V 
3
18
54
27
Câu 6. (Đề minh họa lần 3)
A.


Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a , cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S .ABCD .
25a
.
A. R
B. R
C. R
D. R 2 a .
3 a.
2 a.
8
Câu 7. (Đề minh họa lần 2)
Cho hình hộp chữ nhật A B C D. A' B' C' D'có AB a, AD 2a, AA ' 2a. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABB 'C ' .

3a
3a
.
.
C. R
D. R 2 a .
4
2
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB 600, BSC 900, CSA 1200 . Tính bán kính

A. R

3a.

B. R

R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.