Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ

H

11
ÌNH HỌC


BÀI 3: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP
3
HÌNH CHĨP VÀ LĂNG TRỤ


Đường tự: Mặt cầu tiếp i tiếp
Tương tròn ngoại ngoạ1 đa
hình chóp c khi trụo? nào?
giá (lăng nà ) khi
Đường tròn ngoại tiếp
một đa giác khi các đỉnh của
đa giác nằm trên đường tròn


MẶT CẦU NGOẠI TIẾP
HÌNH CHĨP VÀ LĂNG TRỤ

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một
hình chóp (lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của
hình chóp (lăng trụ) đó.
1. Định nghĩa

A4
A1

S

I
A2

O

O

A4

A1

A’4
A’1

A2

A3

A3

A’2

J
A’3


Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp
S.A1A2 …An có tâm nằm ở đâu?

 >Tâm (S) nằm trên trục d của đường tròn
 ngoại tiếp đa giác đáy.

>Tâm (S) nằm trên mặt phẳng trung trực

 đoạn SA1.
Một hình chóp nội tiếp được một
mặt cầu khi nào?
>Đáy là một đa giác nội tieáp.


Một hình lăng trụ nội tiếp được một
mặt cầu khi nào?
>Đáy là đa giác nội tiếp


>Lăng trụ đứng


Cách xác định tâm của mặt cầu
ngoại tiếp lăng trụ ?

>Tâm (S) nằm trên trục d của đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy
>Tâm (S) nằm trên mặt phẳng trung trực
của cạnh bên


Ví dụ 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc ϕ
.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp? GIẢI
+ Gọi I là tâm của tam giác đều ABC
+ Vì S.ABC là hình chóp đều nên
SI ⊥ ( ABC )
+ Gọi O là tâm của mặt cầu cần tìm
IA = IB = IC nên O ∈ SI (1) A
+ Vì

S

M

O

I

Hay OA = OB = OC
B

C

ϕ
N


SI =

SM .SA SA2
=
SO
2 SO

+ Gọi M là trung điểm của của SA
+ Tứ giác AIOM nội tiếp nên ta coù:

SO = ON .tgα


Ví dụ 2 Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC vuông
góc với nhau từng đôi một và có độ dài lần lượt là a,
b, c. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện?
C
Giải
x

N

O

S
M

A! thấy rồi

A

B


GIẢI
Gọi Mx là trục đt ngoại tiếp tam giác SAB;
(α) là mp trung trực đoạn SC;
O là giao điểm của Mx và (α) thì:
OC=OS=OA=OB
Vậy O là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện S.ABC
Bán kính là R=OS

C

x
N

O

S
M

A

B


Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy
S
bằng a, cạnh bên baèng b.
Giải
Bài tập 1

M

SI SM
SM .SA
=
⇒ SI =
SA SO
SO
SM .SA
b2
=
=
2
2
SA − OA
a2
2 b2 −
3

I

A

C

O
B

N

b2

a2
2 b2 −
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 3
Tâm y rồ
A! thấmặt i
cầu ở đâu!!!


Hình chóp S.ABC có đường cao SA=a,
đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài tập 2

S

Gọi H là tâm của tg ABC

x

Gọi O là giao của mp
trung trực đoạn SA và Hx.

N

Vậy O là tâm m/c ngoại
tiếp hình chóp.
Bán kính:
R = OA

= OH + AH

2

2

2

O

C

2

a 21
a  a 
=   +
 =
6
2  3

A
H

B