Tổng hợp các dạng bài tập thi đại học môn Toán Phương trình, Hệ phương trình 1

Khóa h c LTðH môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Phương trình, h phương trình, b t phương trình

GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ
HƯ)NG D,N GI.I BÀI T0P T1 LUY4N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG

Bài 1: Gi i phương trình: 64 x − 641− x − 12 ( 4 x − 41− x ) = 27
Gi&i:
Phương trình ⇔ ( 4 x ) − ( 41− x ) − 12 ( 4 x − 41− x ) = 27
3

3

⇔ ( 4 x − 41− x ) + 3.4 x.41− x. ( 4 x − 41− x ) − 12 ( 4 x − 41− x ) = 27
3

⇔ ( 4 x − 41− x ) = 27 = 33
3

⇔ 4 x − 41− x = 3 ⇔ 4 2 x − 3.2 x − 4 = 0
 4 x = −1
⇔ x
⇔ x =1
4
4
=

2

x

Bài 2: Gi i phương trình 3x .2 2 x−1 = 6
Gi&i:
1
ði u ki n: x ≠
2

 2 x 
Phương trình ⇔ log 3  3x .2 2 x−1  = log 3 6


x2

⇔ log 3 3 + log 3 2

x
2 x −1

= log 3 6

x
.log 3 2 = log 3 (2.3)
2x −1
⇔ x 2 (2 x − 1) + x log 3 2 = (2 x − 1)(log 3 2 + 1)
⇔ x2 +

⇔ 2 x 3 − x 2 − ( x − 1) log 3 2 − 2 x + 1 = 0
⇔ 2 x 3 − 2 x − ( x 2 − 1).log 3 2 = 0
⇔ ( x − 1).  2 x 2 + x − 1 − log 3 2  = 0

x = 1
⇔
 x = −1 ± 9 + 8log 3 2

4

(

Bài 3: Gi i phương trình 7 + 4 3

) + (7 − 4 3 )
x

x

= 14

Gi&i:

(

) (
x

Do 7 + 4 3 . 7 − 4 3

)

x

(

= 1 nên ñ*t 7 + 4 3

)

x

(

= t (t > 0) ⇒ 7 − 4 3

)

x

=

1
t

t = 7 + 4 3
1
Thay vào phương trình ta ñư.c: t + = 14 ⇔ t 2 − 14t + 1 = 0 ⇔ 
t
t = 7 − 4 3

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58"58"12

Trang | 1


Khóa h c LTðH môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

(
)
3 ⇒ (7 + 4 3 )

+ V2i t = 7 + 4 3 ⇒ 7 + 4 3
+ V2i t = 7 − 4

x

x

Phương trình, h phương trình, b t phương trình

= 7 + 4 3 ⇔ x =1

(

=7−4 3 = 7+4 3

)

−1

⇔ x = −1

x = 1
ðáp s5: 
 x = −1

Bài 4: Gi i phương trình 4 x − 3.2 x+1 + 8 = 0
Gi&i:
Phương trình ⇔ 4 x − 6.2 x + 8 = 0
ð*t 2 x = t > 0 , thay vào phương trình ta có: t 2 − 6t + 8 = 0

2x = 4
t = 4
x = 2
⇔
⇔ x
⇔
t = 2
x =1
2 = 2

Bài 5: Gi i phương trình 9
Gi&i:

sin 2 x

2

+ 4.9

cos 2 x

= 13 + 9
3

2

Phương trình ⇔ 9sin x + 4.91−sin x = 13 + 9 2
2
36
27
3
⇔ 9sin x + sin 2 x = 13 + 2sin 2 x − sin 2 x
9
9
9
ð*t 9sin

2

x

− 2sin 2 x

1
+ cos2 x
2

− 3cos2 x

− 31− 2sin

2

x

= t (1 ≤ t ≤ 9 )

Thay vào phương trình ta có: t +

39 27
− 2 − 13 = 0
t
t

t = 1
⇔ t + 26t − 27 = 0 ⇔ t = 3

t = 9
3

2


sin 2 x = 0
 x = kπ
 x = kπ


1
π kπ

(k ∈ Z )
⇔ sin 2 x = ⇔  cos 2 x = 0 ⇔  x = +


2
4 2
 2

 cos x = 0
π
sin x = 1
 x = + kπ

2
6
Bài 6: Gi i phương trình 16sin x.cos x + 2  π  − 4 = 0
4

sin  x − 
 4

Gi&i:
Phương trình ⇔ 4

⇔ 4sin 2 x + 6.2
⇔4

sin 2 x

+ 3.2

sin 2 x

+ 6.2

π 


− 1− cos  2 x −  
2 



sin 2 x

 π
−2sin 2  x − 
 4

−4 = 0

−4=0

−4 = 0

 2sin 2 x = 0
kπ
⇔  sin 2 x
⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =
(k ∈ Z )

2
=1
2

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58"58"12

Trang | 2


Khóa h c LTðH môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Phương trình, h phương trình, b t phương trình

Bài 7: Gi i phương trình 3x.2 x = 3x + 2 x + 1
Gi&i:
1
Ta nh8n th9y x = không là nghi m c2
2x +1
Do ñó phương trình ⇔ 3x (2 x − 1) = 2 x + 1 ⇔ 3x =
(*)
2x −1
Ta th9y hàm s5 y = 3x luôn ñ>ng bi@n, còn hàm s5 y =

2x +1
nghBch bi@n trên mCi kho ng
2x −1

1 1


 −∞;  và  ; +∞  . Do ñó phương trình (*) có hai nghi m x = ±1
2
2

 


Bài 8: Gi i phương trình 4 x − ( x + 5).2 x + 4( x + 1) = 0
Gi&i:
ð*t 2 x = t , t > 0
Khi ñó ta có phương trình t 2 − ( x + 5)t + 4( x + 1) = 0
t = 4
⇔
t = x + 1
+ V2i t = 4 ⇒ 2 x = 4 ⇔ x = 2
+ V2i t = x + 1 ⇒ 2 x = x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 = 0
Ta nh8n th9y phương trình có hai nghi m là x = 0; x = 1
M*t khác xét hàm s5: f ( x) = 2 x − x − 1
 1 
Ta th9y: f '( x) = 2 x ln 2 − 1; f '( x) = 0 ⇔ x = log 2 
 = − log 2 ln 2
 ln 2 
f ''( x) = 2 x (ln 2) 2 > 0, ∀x ∈ R
Nên f '( x) = 2 x ln 2 − 1 ñ>ng bi@n trên R
lim f ( x) = lim ( 2 x − x − 1) = +∞

x →−∞

x →−∞

lim f ( x) = lim ( 2 x − x − 1) = +∞

x →+∞

x →+∞

B ng bi@n thiên:

∞

x
f '( x)
f ( x)

− log 2 ln 2
0

+∞
+

+∞

+∞

f ( − log 2 ln 2 )
TN b ng bi@n thiên ta th9y ñ> thB f ( x) cOt Ox không quá 2 ñiQm chRng tS phương trình
f ( x) = 2 x − x − 1 = 0 có không quá 2 nghi m.

x = 0
ðáp s5: 
x = 1

Bài 9: Gi i phương trình 3x + 5 x = 6 x + 2
Gi&i:
Phương trình ⇔ 3x + 5 x − 6 x − 2 = 0
Ta nh8n th9y x = 0; x = 1 là nghi m
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58"58"12

Trang | 3


Khóa h c LTðH môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Phương trình, h phương trình, b t phương trình

M*t khác xét hàm s5 f ( x) = 3x + 5 x − 6 x − 2
Ta có: f '( x) = 3x ln 3 + 5 x ln 5 − 6
f ''( x) = 3x ( ln 3) + 5 x ( ln 5 ) > 0, ∀x ∈ R
2

2

lim f '( x) = lim ( 3x ln 3 + 5 x ln 5 − 6 ) = +∞

x →+∞

x →+∞

lim f '( x) = lim ( 3x ln 3 + 5 x ln 5 − 6 ) = −6

x →−∞

x →−∞

Suy ra f '( x) là hàm liên tUc, ñ>ng bi@n và nh8n c giá trB âm, c giá trB dương nên f '( x) = 0 có nghi m
duy nh9t x0
Do ñó ta có b ng bi@n thiên:

∞

x
f '( x)

+∞

x0
0

+

f ( x)
TN b ng bi@n thiên ta th9y ñ> thB f ( x) cOt Ox không quá 2 ñiQm chRng tS phương trình f ( x) = 0 có t5i ña
hai nghi m. ChRng tS ngoài hai nghi m x = 0; x = 1 thì phương trình không còn nghi m nào khác.
Chú ý: Ta có thQ chRng minh phương trình f '( x) = 0 có nghi m như sau:
Ta có f '(0) = ln 3 + ln 5 − 6 < 0

f '(1) = 3ln 3 + 5ln 5 − 6 > 0

⇒ f '(0). f '(1) < 0 ⇒ phương trình f ( x) = 0 có nghi m x 0∈ (0;1)

Giáo viên: Lê Bá Tr&n Phương
Ngu,n:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58"58"12

Hocmai.vn

Trang | 4