Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh bai tap dstt nam 1

Bài tập Đại số tuyến tính
cho sinh viên năm thứ nhất

Ngày 18 tháng 3 năm 2014
The question you raise "how can such a formulation lead to computations" doesn’t bother
me in the least! Throughout my whole life as a mathematician, the possibility of making
explicit, elegant computations has always come out by itself, as a byproduct of a thorough
conceptual understanding of what was going on. Thus I never bothered about whether what
would come out would be suitable for this or that, but just tried to understand - and it always
turned out that understanding was all that mattered.
Alexander Grothendieck (in a letter to Ronnie Brown, 12.04.1983)

Mục lục
1 Áp dụng định lý Bernstein-Cantor-Schr¨
oder

2

2 Một số kết quả khó

2

3 Tập hợp, Ánh xạ, Quan hệ, Nhóm, Trường

3

4 Về không gian vector

5

5 Bài tập cơ bản

6

6 Các bài tập ít nhiều mang tính lý thuyết

7

7 Một số câu hỏi để ôn tập

7

8 Các bài tập cơ bản

8

9 Một vài bài tập khó

10

10 Ma trận

10

11 Ma trận chuyển cơ sở, ma trận của tự đồng cấu

11

12 Chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

12

13 Một số bài tập làm quen với ánh xạ tuyến tính

14

14 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu

16

15 Tính chất, cách tính định thức

17
1


16 Bài tập về Định thức

18

17 Hệ phương trình tuyến tính

19

18 Một số bài tập nâng cao

20

19 Vector riêng, giá trị riêng

21

20 Dạng chuẩn Jordan

23

21 Định lý Cayley-Hamilton. Đa thức tối tiểu.

24

22 Dạng song tuyến tính. Tính chất cơ bản của không gian vector Euclide

25

23 Ánh xạ tuyến tính trực giao

26

24 Bài tập tổng hợp

26

25 Dạng toàn phương

28

26 Nâng cao

29

27 Lấy từ nguồn bên ngoài

31

1

Áp dụng định lý Bernstein-Cantor-Schr¨
oder

Bài tập 1. Cho I là một tập đếm được, và Ui là tập đếm được với mọi i ∈ I. Khi đó chứng
minh tập ∪i∈I Ui cũng là tập đếm được.
Bài tập 2. Cho E là một tập vô hạn và D là tập hữu hạn. Khi đó E và E ∪ D có cùng bản
số. Một câu hỏi : nếu thay D bằng tập đếm được vô hạn, thì bài toán còn đúng không?
Bài tập 3. Chứng minh các tập sau là tập đếm được : Z, Q, N × N.
Bài tập 4. Một số α ∈ C được gọi là một số đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức không
đồng nhất 0, với hệ số là các số hữu tỷ. Chứng minh rằng tập các số đại số là tập đếm được.
Bài tập 5. Cho a < b là hai số thực. Khi đó chứng minh các tập sau tương đương với nhau:
(a, b), [a, b], (a, b], R, R+ .
Bình luận Tất cả các bài tập này lấy từ [2, 13]. Trong cuốn của Hewitt/Stromberg thì hầu
hết có lời giải.

2

Một số kết quả khó

Nếu các bạn biết Tiên Đề Chọn, Nguyên lý tối đại Hausdorff, Bổ đề Zorn thì các bạn có thể
chứng minh được các kết quả rất khó sau đây. Chứng minh các kết quả này đều có trong [2].
Kết quả 2.1. Cho X và Y là hai tập hợp. Khi đó hoặc X ≤ Y hoặc Y ≤ X.
Kết quả 2.2. Giả sử X và Y là hai tập hợp có cùng bản số và là các tập vô hạn thỏa mãn
X ∩ Y = ∅. Khi đó X ∪ Y có cùng bản số với X.
2

Kết quả 2.3. Giả sử X là một tập vô hạn. Khi đó tích Descartes X × X có cùng bản số với
X.
Hệ quả 2.4. Tập C có cùng bản số với R.

3

Tập hợp, Ánh xạ, Quan hệ, Nhóm, Trường

Bài tập 6. Cho A, B, C là các tập con của tập X. Chứng minh các đẳng thức sau:
(i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
(iii) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C),
(iv) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).
Bài tập 7. Cho f : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp. Cho A, B ⊂ X và C, D ⊂ Y.
Chứng minh
(i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
(ii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Đẳng thức có xảy ra không?
(iii) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D).
(iv) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D).
(v) f −1 (C − D) = f −1 (C) − f −1 (D).
f

g

Bài tập 8. Cho X −→ Y −→ X là các ánh xạ giữa các tập hợp thỏa mãn g ◦ f = Id. Chứng
minh rằng f là đơn ánh và g là toàn ánh.
Bài tập 9.

(i) Tồn tại hay không song ánh từ N → Z?

(ii) Cho 0 < n ∈ N cố định. Tồn tại hay không song ánh từ N → N × {1, 2, . . . , n}?
(iii) Tồn tại hay không song ánh từ N → N × N?
(iv) Tồn tại hay không song ánh từ N → Q?
Bài tập 10. Cho X là một tập hợp và f : X → P(X) là một ánh xạ từ X vào tập lũy thừa
của X. Chứng minh rằng f không thể là toàn ánh.
Bài tập 11. Xét các tập M cùng với quan hệ ∼ sau. Xác định xem quan hệ nào là tương
đương và khi đó chỉ ra các lớp tương đương của nó.
(i) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a| = |b|.
(ii) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a − b| < 1.
.
(iii) M = Z, a ∼ b ⇐⇒ a − b .. p với p là số nguyên cố định cho trước.
Bài tập 12. Show that if F and G are subsets of a set E then
(F ⊂ G ⇔ F ∪ G = G) and (F ⊂ G ⇔ F ∪ G = E).
3


Bài tập 13. Let f : X → Y and g : Y → Z be mappings. Let A be a subset of X and C
subset of Z. Prove that
(a) g(f (A)) = (g ◦ f )(A) and
(b) (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)).
Bài tập 14. Let E and F be sets. If A ⊂ E and B ⊂ F, then show that A × B ⊂ E × F.
Bài tập 15. If A is a set of n elements and B a set of m elements, what is the number of
elements of A × B? What is the number of elements of the power set P(A)?
Bài tập 16. Let A be a subset of a set E. We define the so-called characteristic function f
0 if x ∈ A
of A in E as follows: f takes values in {0, 1} ⊂ N such that f (x) =
. Prove
1 if x ∈ A

that the following functions are characteristic functions of some sets which we will determine
later:
(a) 1 − f,
(b) f g and
(c) f + g − f g.
Bài tập 17. Let A, B and C be subsets of a set E such that A∩B = A∩C and A∪B = A∪C.
Prove that B = C.
Bài tập 18. Is it true that P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)? And P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)?
f

g

Bài tập 19. Let X −→ Y −→ X be mappings between sets such that g ◦ f = Id, where Id
is the identity mapping. Prove that f is injective and g surjective.
Bài tập 20. Cho X là một tập hợp. Chứng minh rằng: Tập hợp Bij(X) các song ánh từ X
vào chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm. Chứng minh rằng
nhóm này không giao hoán nếu X có lớn hơn hoặc bằng 3 phần tử.
Bài tập 21. Cho G là một nhóm và H ⊂ G là một tập con. Chứng minh rằng H là nhóm
con của G khi và chỉ khi luật hợp thành của G cảm sinh một luật hợp thành trong H và H
cùng với luật hợp thành này tạo thành một nhóm.
Bài tập 22. Cho G là một nhóm và H là một tập con của G. Chứng minh rằng H là một
nhóm con của G nếu H thỏa mãn hai điều sau:
(i) H = ∅
(ii) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H.
Bài tập 23. Cho G là một nhóm cùng với các nhóm con H1 , H2 ⊂ G. Chứng minh rằng
H1 ∪ H2 là một nhóm con của G khi và chỉ khi hoặc H1 ⊂ H2 hoặc H2 ⊂ H1 .
Bài tập 24. Cho G là một nhóm và i : G → G là ánh xạ nghịch đảo (tức là i(g) = g −1 với
mọi g ∈ G). Chứng minh các điều sau.
(i) i là song ánh.
(ii) Cho A là một tập con của G. Nếu i(A) ⊂ A, thì ta có i(A) = A. Tập A như vậy được

gọi là đối xứng.
4


(iii) Với mỗi tập A ⊂ G, các tập A ∩ i(A) và A ∪ i(A) là đối xứng.
Bài tập 25. Cho G là một nhóm thỏa mãn a2 = 1 với mọi a ∈ G. Chứng minh rằng G là
nhóm abel.
g 2 = 1.

Bài tập 26. Cho G là một nhóm abel hữu hạn. Chứng minh rằng
g∈G

Bài tập 27. Cho G là một nhóm hữu hạn có n phần tử. Chứng minh rằng với mọi g ∈ G, ta
có g n = 1.
Bài tập 28. Cho G là một nhóm. Trên tập lũy thừa P(G), ta xét luật hợp thành sau.
(A, B) → A · B = {a · b ∈ G; a ∈ A, b ∈ B}.
Chứng minh rằng luật hợp thành này có tính kết hợp và có một phần tử trung lập. P(G)
cùng với luật này có là một nhóm không? Nếu không thì với phần tử A nào của P(G) thì nó
có phần tử nghịch đảo?
Bài tập 29. Cho K là một trường hữu hạn. Với n ∈ N và a ∈ K, ký hiệu na = a + a + . . . + a
tổng n lần của a.
1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho na = 0 với mọi a ∈ K.
2. Chọn số n nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (i), chứng minh rằng n là số nguyên tố. Số
n này được gọi là đặc số của trường K.
√
√
√
√
Bài tập 30. Chứng minh rằng Q( 2) := {a+b 2 : a, b ∈ Q} là một trường và 3 ∈ Q( 2).

4

Về không gian vector

Trường
Để định nghĩa không gian vector, ta cần khái niệm nhóm và trường. Tuần trước ta đã đề cập
khái niệm nhóm, tuần này ta sẽ đề cập một vài ví dụ về trường.
Bài tập 31. Chứng minh các tập hợp sau cùng các phép toán tương ứng (ta hiểu ngầm là
các phép toán cộng và nhân đã biết) là các trường :
1. Q, R, C với các phép cộng và nhân thông thường.
2. Z/pZ với p là số nguyên tố.
√
√
3. Q[ 2] := {a + b 2 : a, b ∈ Q} là trường với các phép toán cộng và nhân thông thường.
Câu hỏi 4.1. Cho K là một trường và a, b ∈ K là hai phần tử khác 0. Hỏi rằng a.b có khác
0 không? Nếu thay trường K bởi một vành (giao hoán hoặc không giao hoán) thì sẽ như thế
nào?

5


Khái niệm không gian vector
Trong mục này, ký hiệu K là một trường, và V là một K−không gian vector. Ký hiệu 0,1 là
phần tử trung lập và đơn vị của K như ở trên. Ký hiệu O là vector không trong V.
Bài tập 32. Cho x là một vector trong V. Chứng minh rằng 0.v = O.
Bài tập 33. Cho c là một vô hướng khác 0 và x là một vector trong V. Khi đó chứng minh
rằng: Nếu c.x = O thì x = O.
Bài tập 34. Cho x là một vector của V và −x là phần tử đối của x trong nhóm abel (V, +).
Chứng minh rằng (−1).x = −x.
Bài tập 35. Chứng minh tập số phức C là một R−không gian vector, và là một Q−không

gian vector. Tổng quát hơn, nếu K là trường con của trường L thì L là một K−không gian
vector.
Bài tập 36. Bài tập II.4, trang 31, giáo trình giản lược của [3]
Bình luận Đa số các bài tập này lấy ở [4] và nhiều bài là định lý, bổ đề có chứng minh
trong [3, 13].

5

Bài tập cơ bản

Bài tập 37 (lấy trong [4]). Chứng minh các vector sau là độc lập tuyến tính cả trên R và C.
(a) (1,1,1) và (0,1,-1)
(b) (-1,1,0) và (0,1,2)
(c) (π, 0) và (0,1)
(d) (1,1,0), (1,1,1) và (0,1,-1)
(e) (0,1,1), (0,2,1) và (1,5,3).
Bài tập 38 ([4]). Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính của hai vector A và B. Viết tọa độ
tương ứng của X đối với A và B.
(a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1).
(b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1).
(c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0).
Bài tập 39 ([4]). Cho (a, b) và (c, d) là hai vector trong mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu
ad − bc = 0 thì hai vector phụ thuộc tuyến tính. Nếu ad − bc = 0 thì hai vector này độc lập
tuyến tính.
Bài tập 40 ([3]+[4]). Xét trong không gian vector C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn
[a, b], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?
(a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 .
(b) 1, et , e−t
6

(c) sin x, sin 2x, . . . , sin kx với k là số nguyên dương.
(d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+ ) t, 1/t.
(e) et , log t.
Bài tập 41 ([13]). Trong không gian vector thực R4 , tìm hạng của các hệ vector sau.
(a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1).
(b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1).
Bài tập 42 ([3]). Trong C[a, b], tìm hạng của các hệ vector sau đây.
(a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t.
(b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x.
Bài tập 43 ([3]). Giả sử α1 , . . . , αn và β1 , . . . , βm là hai hệ vector của một không gian vector
V nào đó. Chứng minh rằng hạng của hệ vector
α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm
không vượt quá tổng hạng của hai hệ vector α1 , . . . , αn và β1 , . . . , βm .

6

Các bài tập ít nhiều mang tính lý thuyết

Bài tập II.28-II.34 [3].

7

Một số câu hỏi để ôn tập

Bình luận Để cho dễ suy nghĩ, ta quan tâm chủ yếu các không gian vector hữu hạn chiều.
Không gian vector vô hạn chiều cũng quan trọng, nhưng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về nó ở
những môn học khác như giải tích hàm.
Câu hỏi 7.1. Làm thế nào để tìm được hạng của một hệ vector và kiểm tra được tính độc
lập tuyến tính của một hệ vector trong một không gian vector hữu hạn chiều?

Câu hỏi 7.2. Cho V là một không gian vector, và E là một tập con của V. Có những tiêu
chuẩn nào để kiểm tra E có phải là không gian vector con của V ? Ta quan tâm tới những
tiêu chuẩn ngắn gọn và dễ sử dụng (dùng định nghĩa sẽ tương đối dài dòng!).
Câu hỏi 7.3. Làm thế nào để tìm được một cơ sở của không gian vector thương?
Câu hỏi 7.4. Cho V là một không gian vector và X là một tập con của nó. Có mối liên hệ
nào giữa hạng của hệ vector X với chiều của không gian con sinh bởi X (còn gọi là bao tuyến
tính của X)?

7


8

Các bài tập cơ bản

Bài tập 44. Cho V là một K-không gian vector và X ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector.
(a) Chứng minh rằng tồn tại một hệ con độc lập tuyến tính tối đại trong X.
(b) Chứng minh rằng : mọi hệ con của X mà độc lập tuyến tính đều nằm trong một hệ con
tuyến tính độc lập tối đại. Nghĩa là ta có thể bổ sung thêm các vector trong X để hệ đã
cho trở thành hệ độc lập tuyến tính tối đại.
(c) Giả sử Y ⊂ V là một hệ vector hữu hạn khác. Ký hiệu rank(Y ) là hạng của Y. Giả sử
mỗi vector của X đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong Y. Khi đó chứng minh
rank(X) ≤ rank(Y ).
Hệ quả : Nếu mỗi vector của X đều có thể biểu thị thành tổ hợp tuyến tính của các vector
trong Y và ngược lại, thì rank(X) = rank(Y ).
Bình luận Thật ra bài tập trên chỉ là phát biểu lại các kết quả đã được chứng minh trong
Giáo trình Đại số tuyến tính mà cô Thảo dạy, nhưng tôi ghi chép lại thành bài tập để các bạn
dễ dàng ôn tập.
Áp dụng bài tập trên, ta có thể giải quyết bài tập "Tìm hạng của một hệ vector cho trước"
bằng cách biến đổi hệ vector trở thành hệ vector khác dễ xử lý hơn, nhưng hạng không thay

đổi.
Bài tập 45. Cho V là K−không gian vector và {x1 , . . . , xk } ⊂ V là một hệ hữu hạn các
vector nào đó. Giả sử λ2 , λ3 , . . . , λk ∈ K là các vô hướng nào đó. Khi đó chứng minh
rank{x1 , . . . , xk } = rank{x1 , x2 + λ2 x1 , . . . , xk + λk x1 }.
Áp dụng bài tập này, ta sẽ giải quyết bài tập tìm hạng của một hệ vector bằng cách viết
các vector dưới dạng "vector hàng" và ta thu được một ma trận. Ta áp dụng các phép biến
đổi trên sao cho ma trận của ta trở thành ma trận "tam giác trên". Từ đó ta sẽ tính được
hạng của hệ đã cho.
Bình luận Bài tập 46 sau đây tương đối khó. Như tôi đã nói ở lớp, bạn nào làm được thì
có thể viết ra và gửi tôi lời giải, tôi sẽ đọc và kiểm tra tính đúng đắn. Nếu làm tốt thì bạn đó
xứng đáng 10 điểm thi giữa kỳ.
Bài tập 46. Dựa trên việc tính hạng của hệ vector như tôi đã nói ở trên lớp, hãy đề xuất
thuật toán tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn vector bất kỳ, và
chứng minh thuật toán của bạn là đúng.
Bài tập 47. Cho V là một K-không gian vector và X ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector. Ký
hiệu span(X) là không gian vector con của V sinh bởi tập X. Chứng minh rằng
dimK span(X) = rank(X).
Bài tập 48. Cho U, V1 , V2 là các không gian vector con của V. Chứng minh rằng
(U ∩ V1 ) + (U ∩ V2 ) ⊂ U ∩ (V1 + V2 ).
Tìm ví dụ để bao hàm thức xảy ra thực sự (nghĩa là vế trái là tập con thực sự của vế phải).

8


Bài tập 49. Cho U là một không gian vector con của V. Chứng minh rằng tồn tại không
gian con W của V sao cho V = U ⊕ W. Hỏi rằng W có duy nhất không?
Bài tập 50 (Định lý đánh tráo Steinitz). Mọi cơ sở của một không gian vector V hữu hạn
sinh có số vector như nhau. Số này được gọi là chiều của V.
Bài tập 51. Trong các hệ sau đây, hệ nào lập thành một cơ sở của R3 ?
(a) (2,4,-4), (3,5,-2).

(b) (1,0,-1), (3,2,0), (0,4,-3), (-2,1,3).
(c) (1,1,1), (1,2,3), (3,-2,1).
(d) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4).
Bài tập 52. Cho V là không gian vector con của R4 sinh bởi các vector sau
(1, −2, 5, −3), (2, 3, −1, 1), (1, 12, −17, 11).
Tìm một cơ sở của V và chiều của V. Mở rộng cơ sở đã tìm được thành cơ sở của R4 .
Bài tập 53. Cho V là không gian vector con của R[t], không gian các đa thức với hệ số thực,
sinh bởi các đa thức sau:
f1 = t3 − 2t2 + 4t + 1,
f3 = t3 + 6t − 5,

f2 = 2t3 − 3t2 + 9t − 1,
f4 = 2t3 − 5t2 + 7t + 5.

Tìm một cơ sở của V và chiều của V. Mở rộng cơ sở đó thành cơ sở của không gian vector
các đa thức bậc không vượt quá 3.
Gợi ý Nhận xét 1, t, t2 , t3 là một cơ sở của không gian vector các đa thức bậc không vượt
quá 3. Viết tọa độ của các đa thức trên theo cơ sở này và tiến hành tìm hạng của hệ vector
như ta đã làm trong R4 .
Bài tập 54. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian vector con V của Rn gồm các vector
mà tọa độ thỏa mãn
x1 + 2x2 + . . . + nxn = 0.
Bài tập 55. Cho U là không gian con của R4 sinh bởi
(1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1),
và V sinh bởi
(1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3).
Tính dim(U ∩ V ). Khó hơn, tìm một cơ sở của U ∩ V và của R4 /(U ∩ V ).
Bài tập 56. Cho U là không gian con sinh bởi
(1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9),
và V sinh bởi

(1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1).
Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R5 /(U ∩ V ).
Bài tập 57. Cho tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vr và cho Si là một cơ sở của Vi với
1 ≤ i ≤ r. Chứng minh rằng Si đôi một không giao nhau và ∪ri=1 Si là một cơ sở của V.
9


Gợi ý Trước tiên hãy làm bài toán trong trường hợp r = 2.

9

Một vài bài tập khó

Bài tập 58 (Một bài trong đề thi Cao học quốc tế 2010, ĐHSPHN). Cho V là một R−không
gian vector không tầm thường (tức là chiều ≥ 1). Chứng minh rằng V không thể là hợp hữu
hạn các không gian vector con thực sự của chính nó.
Bài tập 59. Chứng minh rằng dimQ R = ∞.
Bài tập 60. Chứng minh rằng không gian vector C([0, 1]) các hàm liên tục trên [0, 1] là một
R-không gian vector vô hạn chiều.
Bài tập 61 (Ma trận đường chéo trội). Trong Rn xét hệ vector v1 = (v11 , . . . , v1n ), . . . ,
vp = (vp1 , . . . , vpn ) có tính chất sau
|vii | >

|vji |
j=i

với mọi 1 ≤ i ≤ p. Chứng minh rằng hệ vector này độc lập tuyến tính.

10

Ma trận

Bài tập 62. Tính
1 −2 3 −4
7 8
+
0 2 1 3
9 −6

−2 3

1 −2 3 −4  2
1
(b)

0 2 1 3
0 −1
2 −1


2 −1
(c) Cho A = 3 4  và B =
1 0
(a)

−4 5
.
−5 −3

−4

3

1
3
1
2
3
. Tính AB, BA, AAt , At A.
−4 −5 −6

Bài tập 63. Xác định tất cả các ma trận A ∈ M(2 × 2, R) thỏa mãn A giao hoán với mọi
ma trận B ∈ M(2 × 2, R). Tổng quát hóa bài toán với A ∈ M(n × n, R).
Bài tập 64. Tính các lũy thừa sau


1
0

0


·

0
0

cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
0 ···
0 ···

1 ...
...
· ·
·
0 0 ··· 1
0 0 0 ···
1 0
1 1
0 1

10

n

,

λ 1
0 λ

n
0
0

0


·

1
1

n

,


Bài tập 65. Tìm tất cả các ma trận giao hoán

2 3
0 2
0 0

với ma trận sau

0
3 .
2

Bài tập 66 (Một bất biến đồng dạng của ma trận). Vết của ma trận vuông A là tổng các
phần tử đường chéo của nó, được ký hiệu là Tr(A). Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng
cấp. Chứng minh rằng
Tr(AB) = Tr(BA).
Một hệ quả đáng chú ý : nếu A và B là hai ma trận vuông đồng dạng, tức là tồn tại một ma
trận C khả nghịch sao cho A = C −1 BC, thì A và B có cùng vết. Điều đó giải thích cụm từ
"bất biến đồng dạng".
Bài tập sau giải thích một phần ý nghĩa của khái niệm vết.
Bài tập 67. Chứng tỏ rằng không tồn tại ma trận A và B vuông cùng cấp với hệ số thực
thỏa mãn AB − BA = I với I là ma trận đơn vị cùng cấp.
Bài tập 68. Ma trận A ∈ M(n × n, R) nào thỏa mãn
Tr(AAt ) = 0?

Bài tập 69. Ma trận A ∈ M(n × n, R) được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương r
sao cho Ar = 0. Chứng minh rằng nếu A, B là hai ma trận lũy linh giao hoán với nhau thì
AB và A + B cũng lũy linh.
Bài tập 70. Nếu A là ma trận vuông lũy linh thì I + A là ma trận khả nghịch. Ở đây I là
ma trận đơn vị cùng cấp tương ứng.
Bình luận Ma trận lũy linh sẽ đóng vai trò quan trọng trong chương 5, cấu trúc của một
tự đồng cầu, là chương khó nhất. Vì thế làm quen với những ma trận này từ sớm sẽ có lợi
hơn cho các bạn khi đọc chương 5.
Bài tập 71. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau


2 7 3
(a) 3 9 4 .
1 5 3


1 2 3
4
2 3 1
2

(b) 
1 1 1 −1 .
1 0 −2 −6

11

Ma trận chuyển cơ sở, ma trận của tự đồng cấu

Giả sử V là một không gian vector n chiều. Giả sử (α) = (α1 , . . . , αn ) là một cơ sở có thứ tự (1)

của V, và (β) = (β1 , . . . , βn ) là một cơ sở khác. Khi đó ký hiệu Cα,β là ma trận chuyển cơ sở
từ (α) sang (β), nghĩa là nếu Cα,β = (cij )n×n thì với mọi 1 ≤ j ≤ n, ta có
n

βj =

cij αi .
i=1

(1)

nghĩa là khi thay đổi thứ tự của các vector trong cơ sở thì cho ta một cơ sở khác.

11


Một cách lạm dụng ký hiệu, ta có thể viết biểu thức trên dưới dạng ma trận như sau
(β1 β2 . . . βn ) = (α1 α2 . . . αn )Cα,β
hay ngắn gọn hơn
(β) = (α)Cα,β .
Nói là lạm dụng đơn giản là vì đây không hẳn là phép nhân ma trận thông thường như lý
thuyết đã nói, ở đây có hai loại ma trận : một là nhận giá trị vector (ví dụ ma trận (α)), hai
là nhận giá trị vô hướng (tức là ma trận thông thường theo như giáo trình định nghĩa). Tuy
nhiên nhờ, cách viết này ta sẽ chứng minh được một số kết quả một cách dễ dàng hơn và cách
làm đó hoàn toàn tương đương khi ta thao tác trên các hệ số của ma trận. Tuy nhiên, cách
làm sau thì rất cồng kềnh.
Tiếp tục, giả sử ϕ là một tự đồng cấu của V. Khi đó ký hiệu Mϕ,α ∈ M(n × n, K) là ma
trận biểu diễn ϕ trong cơ sở (α), nghĩa là : Nếu Mϕ,α = (aij )n×n thì
n

ϕ(αj ) =

cij αi
i=1

với mọi 1 ≤ j ≤ n. Bắt chước cách viết như trên, ta có thể viết các đẳng thức này dưới dạng
tích của ma trận
ϕ((α)) = (ϕ(α1 ) ϕ(α2 ) . . . ϕ(αn )) = (α)Mϕ,α .
−1
Bài tập 72. (a) Chứng minh rằng Cα,β
= Cβ,α . Ở đây, sự kiện ma trận Cα,β là khả nghịch
là kết luận của bài toán. Nghĩa là các bạn phải chứng minh ma trận này khả nghịch và
nghịch đảo của nó là như trên.
−1
(b) Chứng minh rằng Mϕ,β = Cα,β
Mϕ,α Cα,β .

(c) Giả sử vector v ∈ V có tọa độ (x1 , x2 , . . . , xn )t(2) trong cơ sở (β). Khi đó, chứng minh
rằng tọa độ của v trong cơ sở (α) là Cα,β (x1 x2 . . . xn )t .
Gợi ý: Nhận xét rằng ta có thể viết v dưới dạng tích ma trận như sau
 
x1
 x2 
 
v = (β1 β2 . . . βn )  ..  .
.
xn
(d) Cho ϕ, ψ ∈ End(V ) và (α) là một cơ sở của V. Chứng minh rằng Mϕ+ψ,α = Mϕ,α + Mψ,α
và Mϕψ,α = Mϕ,α Mψ,α .

12

Chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

Phần này tôi đã trình bày cho lớp A,B và D, còn lớp C tôi chưa vì lúc ý tôi không nghĩ ra là
nên trình bày phần này. Có một sự thật là thường càng giảng các lớp sau thì bài giảng của
tôi càng tốt hơn. Mong các bạn lớp C thông cảm.
Trong phần này, ta sẽ mô tả cách chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Việc
mô tả này sẽ được biểu đạt bởi các bài tập.
(2)

Chữ t nghĩa là ma trận chuyển vị. Như tôi đã nói ở trên lớp (trừ lớp D, do tôi quên) : tọa độ vector cần
thiết được viết dưới dạng cột.

12


Trong giáo trình mà cô Thảo giới thiệu, có một phần giới thiệu cách tìm ma trận nghịch
đảo như sau : Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A cho trước (với điều kiện A là ma
trận khả nghịch) thì ta viết ma trận A và ma trận đơn vị cạnh nhau, sau đó ta thực hiện các
phép biến đổi sơ cấp trên hàng đồng thời của cả hai ma trận, sao cho ma trận A trở thành
ma trận đơn vị. Khi đó, ma trận I chuyển thành ma trận A−1 . Ta có thể tham khảo [6] về
chứng minh trọn vẹn cho chuyện này hoặc trang 132-133[7].
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng gồm các phép toán sau đây :
(1) Nhân một hàng với một vô hướng khác không.
(2) Đổi chỗ hai hàng.
(3) Cộng một hàng với λ lần của một hàng khác.
Bài tập 73. Giả sử A là ma trận vuông cấp n.
(1) Giả sử λ = 0 là vô hướng nào đó. Ký hiệu ma trận Eλi là ma trận chéo gồm các phần tử
như sau ajj = 1 nếu j = i và aii = λ. Chứng minh rằng ma trận tích Eλi A chính là ma

trận thu được từ A bằng cách nhân dòng i với λ và giữ nguyên các dòng khác.
(2) Giả sử i = j. Ký hiệu E ij = (akl )n×n là ma trận xác định như sau : akk = 1 nếu k = i và
k = j. aii = ajj = 0. aij = aji = 1. Các phần tử akl khác đều bằng 0.
Chứng minh rằng ma trận tích E ij A chính là ma trận thu được từ A bằng cách đổi chỗ
dòng i và j của A, còn các dòng khác giữ nguyên.
(3) Giả sử i = j là hai chỉ số, và λ là một vô hướng. Ký hiệu Eλij = (akl )n×n là ma trận được
định nghĩa như sau : akk = 1 với mọi 1 ≤ k ≤ n. aij = λ. Các akl khác đều bằng 0.
Chứng minh rằng ma trận tích Eλij .A chính là ma trận thu được từ A bằng cách cộng
hàng i với λ lần hàng j, các hàng khác giữ nguyên.
Bài tập 74. Chứng minh các ma trận Eλi với λ = 0, E ij với i = j và Eλij với i = j trong bài
tập trên đều là các ma trận khả nghịch. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận này.
Ta tạm gọi các ma trận được định nghĩa trong bài tập 73 là các ma trận sơ cấp. Chữ E
được lấy trong từ Elementary, nghĩa là sơ cấp. Khi nhân các ma trận này về phía bên trái của
ma trận A, ta thu được các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A. Hay nói cách khác, ta đã
phiên dịch được các phép biến đổi sơ cấp trên hàng sang ngôn ngữ của ma trận!
Bây giờ ta chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Giả sử sau k lần biến đổi
thì ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Điều đó tương đương với việc ta nhân vào phía bên
trái của A k ma trận sơ cấp : Ek Ek−1 . . . E1 A. Và điều đó cũng xảy ra với ma trận I, ma trận
được viết bên cạnh ma trận A. Cho nên, kết quả thu được là ma trận I trở thành ma trận
Ek Ek−1 . . . E1 . Ta có Ek Ek−1 . . . E1 A = I nên Ek Ek−1 . . . E1 = A−1 . Đây chính là đpcm.
Nhận xét 12.1. Nếu thay vì ta viết ma trận I ở bên cạnh ma trận A, thì ta viết ma trận
B nào đó. Ta vẫn thực hiện việc biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận A và chuyển A
thành ma trận đơn vị. Khi đó ma trận B trở thành ma trận A−1 B. Như vậy, ta thu được một
cách tính ma trận A−1 B nhờ việc hiểu chứng minh.
Tóm lại, nếu các bạn không biết cách chứng minh, các bạn sẽ không thể sáng tạo cách
làm mới.

13

13

Một số bài tập làm quen với ánh xạ tuyến tính

Có lẽ định lý quan trọng nhất trong phần này là định lý sau.
Định lý 13.1 (về đồng cấu các không gian vector). Giả sử f : V → W là một đồng cấu không
gian vector. Khi đó, ánh xạ f¯: V /Kerf → W xác định bởi f¯([v]) = f (v), là một đơn cấu. Nó
∼
=
cảm sinh đẳng cấu f¯: V /Kerf → Im f.
Các bạn nên tự chứng minh hoặc đọc hiểu chứng minh định lý này.
Bài tập 75. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính.
(a) Chứng minh rằng dim V = dim Kerf + dim Im f. Lưu ý: đẳng thức này đúng kể cả khi
chiều của V là vô hạn.
(b) Giả sử U là không gian vector con hữu hạn chiều của V. Chứng minh rằng dim U ≥
dim f (U ). Tức là ánh xạ tuyến tính làm giảm chiều không gian.
Bài tập 76. Cho f ∈ End(V ) với V là không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng
ba khẳng định sau là tương đương.
(a) f là đơn cấu.
(b) f là toàn cấu.
(c) f là đẳng cấu.
Bài tập 77. Chứng minh rằng khẳng định trong bài tập 76 không còn đúng nữa khi V có
chiều vô hạn. Hãy tìm một ví dụ về ánh xạ tuyến tính là đơn cấu nhưng không là toàn cấu,
và một ví dụ ánh xạ tuyến tính là toàn cấu nhưng không phải là đơn cấu.
Bài tập 78. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.
Giả sử f có ma trận biểu diễn A trong cặp cơ sở nào đó. Chứng minh rằng rankf = rankA.
Bài tập 79. Giả sử f ∈ Hom(V, W ) với V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều. Giả
sử (α) = (α1 , . . . , αn ) là một cơ sở của V và (β) = (β1 , . . . , βm ) là một cơ sở của W. Ký hiệu
Mf,α,β ∈ M(m × n, K) là ma trận biểu diễn f trong cặp cơ sở (α) và (β). Giả sử (α ) và (β )
là một cặp cơ sở khác. Chứng minh rằng

Mf,α ,β = Cβ,β Mf,α,β Cα,α .
Bài tập 80. Ma trận của tự đồng cấu trong cơ sở (α1 , . . . , αn ) thay đổi như thế nào nếu
(a) nếu ta đổi chỗ hai vector αi và αj ?
(b) nếu ta viết các vector cơ sở theo thứ tự ngược lại (αn , . . . , α1 )?
Bài tập sau giúp ta hợp lệ hóa các chứng minh ở mục đầu tiên.
Bài tập 81. Giả sử (α) = (α1 , α2 , . . . , αn ) là một hệ vector trong K−không gian vector V. Giả
sử A, B ∈ M(n × m, K) với m là số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng : Nếu (α) là hệ
n
độc lập tuyến tính và (α)A = (α)B thì A = B. Ở đây, (α)A = ( ni=1 ai1 αi . . .
i=1 aim αi ),
với A = (aij )n×m , như đã nói ở trên lớp.
Bài tập 82. Các ánh xạ từ K4 vào chính nó nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? Khi đó tìm
ma trận của ánh xạ tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc.
14


(a) (x, y, z, t) → (xy, y − x, z, t).
(b) (x, y, z, t) → (2y, y − x, 5x − 6t, 3z + 2t).
(c) (x, y, z, t) → (0, x, y, z).
Bài tập 83. Tìm một cơ sở của ảnh và hạt nhân của các ánh xạ tuyến tính từ K4 vào K5
sau.
(a) (x, y, z, t) → (5x − y, x + y, z, t, x)
(b) (x, y, z, t) → (x + y + 7z + t, 2z + t, x, y, y − x).
(c) (x, y, z, t) → (−x + y + z + t, z − y, 17x + 13y, 16x + 5t, y − t)
Bài tập 84. Cho f : E → F và g : E → G là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng điều
kiện cần để tồn tại ánh xạ tuyến tính h : F → G sao cho g = h ◦ f là ker f ⊂ ker g. Hỏi rằng
đây có phải là điều kiện đủ không?
Bài tập 85. Cho f, g : V → W là hai ánh xạ giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.
Chứng minh rằng :
|rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g.

Bài tập 86 (bất đẳng thức Sylvester). Cho f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tính
giữa các không gian vector hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
(a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) và
(b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F.
Nhận xét 13.2. Bất đẳng thức Sylvester thường được viết dưới dạng ma trận như sau. Giả
sử A, B ∈ M(n × n, K). Khi đó ta có bất đẳng thức sau
rank A + rank B ≤ rank(AB) + n.
Bài tập 87 (bất đẳng thức Frobenius). Cho A, B, C ∈ M(n × n, K). Chứng minh rằng
rank(AB) + rank(BC) ≤ rank B + rank(ABC).
Bài tập 88. Cho V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều. Hỏi chiều của Hom(V, W )
bằng bao nhiêu? Tìm một cơ sở của Hom(V, W ).
Bài tập 89. Tự đồng cấu ϕ ∈ End(R3 ) có ma trận


15 −11 5
20 −15 8
8 −7 6
trong cơ sở chính tắc. Hãy tìm ma trận của ϕ trong cơ sở gồm α1 = (2, 3, 1), α2 = (3, 4, 1),
α3 = (1, 2, 3).
Bài tập 90. Tự đồng cấu ϕ ∈ End(C3 ) có

1
−1
1

ma trận

−18 15
−22 20
−25 22

trong cơ sở gồm các vector α1 = (8, −6, 7), α2 = (−16, 7, −13), α3 = (9, −3, 7). Tìm ma trận
ϕ trong cơ sở gồm các vector β1 = (1, −2, 1), β2 = (3, −1, 2), β3 = (2, 1, 2).
15


Bài tập 91. Cho ϕ ∈ End(V ) là phép chiếu, tức là ϕ2 = ϕ. Chứng minh rằng
V = Im(ϕ) ⊕ Ker(ϕ)
và tồn tại một cơ sở của V sao cho ma trận biểu diễn của ϕ là ma trận chéo và đường chéo
chỉ chứa 0 hoặc 1.

14

Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối
ngẫu

Bài tập về đối ngẫu nói chung sẽ khó vì các bạn ... chưa quen với khái niệm trừu tượng này.
Bài tập 92. Cho f ∈ End(V ) với V là không gian vector hữu hạn chiều. Giả sử M là ma
trận của f trong một cơ sở nào đó. Khi đó ta định nghĩa vết của f là vết của M. Ký hiệu vết
của f là Tr(f ).
(a) Chứng minh rằng vết của f không phụ thuộc vào ma trận biểu diễn.
(b) Chứng minh rằng Tr(f ) = Tr(f ∗ ) với f ∗ là ánh xạ đối ngẫu của f.
Bài tập 93. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.
Chứng minh rằng:
(a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f ∗ là toàn cấu.
(b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f ∗ là đơn cấu.
(c) f là đẳng cấu khi và chỉ khi f ∗ là đẳng cấu.
Bình luận Tôi nghĩ là kết quả vẫn đúng khi V và W có chiều vô hạn, nhưng tôi chưa nghĩ
cẩn thận chuyện ý. Một hệ quả của bài tập này là bài tập sau.
Bài tập 94. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector hữu hạn chiều.

Chứng minh rằng
rank f = rank(f ∗ ).
Bình luận Bài tập trên cho ta một chứng minh của đẳng thức
rank(A) = rank(AT )
với A ∈ M(n × m, K) bất kỳ. Vì sao?
Bài tập 95. Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều và f1 , . . . , fn là một cơ sở của
V ∗ . Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở (e1 , . . . , en ) của V sao cho (f1 , . . . , fn ) là cơ sở đối
ngẫu của (e1 , . . . , en ).
Gợi ý: Sử dụng ánh xạ tự nhiên ΦV : V → V ∗∗ .
Bài tập 96. Chứng minh rằng ánh xạ sau
Φ : Hom(V, W ) → Hom(W ∗ , V ∗ )
f → f∗
là ánh xạ tuyến tính.
16


Bài tập 97. Cho V là không gian vector n chiều và f1 , . . . , fm ∈ V ∗ độc lập tuyến tính.
Chứng minh rằng
dim Ker(f1 ) ∩ . . . ∩ Ker(fm ) = n − m.
Bài tập 98. Cho V là không gian vector và f, f1 , . . . , fn ∈ V ∗ . Giả sử Ker(f ) ⊃ Ker(f1 ) ∩
. . . ∩ Ker(fn ). Chứng minh rằng f là một tổ hợp tuyến tính của f1 , f2 , . . . , fn .
Gợi ý : Dùng bài tập 84.

15

Tính chất, cách tính định thức

Trong mục này, tôi nhắc lại một cách rất sơ lược những nét cần chú ý về định thức. Các bạn
nên tham khảo [13] để có chứng minh đầy đủ và để hiểu chính xác khái niệm khó này.
Cho A là một ma trận vuông cấp n với hệ số trong trường K nào đó (ai cảm thấy khó thì

cứ coi K = R hoặc C). Khi đó ta gắn với A một con số gọi là định thức của A, ký hiệu là det A.
Nếu ký hiệu v1 , v2 , . . . , vn là các vector cột của A, (như vậy vi ∈ Kn với mọi i) thì ta có thể viết
det A = det(v1 , v2 , . . . , vn ). Tóm lại ta có thể coi det là một ánh xạ det : Kn × . . . × Kn → K.
n tập hợp

Lưu ý : ta hoàn toàn có thể coi det là ánh xạ của các vector hàng của A.
Tính chất 1 : det là ánh xạ đa tuyến tính Nghĩa là
det(av1 + bv1 , v2 , . . . , vn ) = a det(v1 , v2 , . . . , vn ) + b det(v1 , v2 , . . . , vn )
với mọi v1 , v1 , v2 , . . . vn ∈ Kn và a, b ∈ K. Nói cách khác, khi cố định n − 1 biến, thì det là ánh
xạ tuyến tính với biến còn lại.
Ở đây tôi chỉ viết tính chất này cho biến đầu tiên vì tiện, chuyện đó cũng xảy ra với các
biến khác.
Tính chất 2 : Tính chất thay phiên Nếu vi = vj với i = j nào đó thì
det(v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = 0.
Tính chất 3 : Tính chất phản đối xứng Tức là nếu đổi chỗ hai vector (hay đổi chỗ hai
dòng của ma trận) thì định thức đổi dấu. Cụ thể
det(v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = − det(v1 , v2 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn )
với mọi v1 , v2 , . . . , vn ∈ Kn và mọi i = j.
Nếu đặc số charK = 2 (tức là 2a = 0 với mọi a ∈ K) thì tính chất thay phiên mạnh hơn
tính chất phản đối xứng, vì trong trường hợp này, mọi vô hướng a ∈ K thỏa mãn a = −a.
Để tính định thức, ta có một vài cách. Các bạn có thể tham khảo [9], trong đó có tóm tắt
các cách làm, như vậy tiết kiệm thời gian tra cứu hơn. Tuy nhiên, ta ghi lại một vài cách sơ
lược
Cách 1 : Dùng định nghĩa Cách này dài dòng, và không có tính thực tế, nhưng trong các
bài tập lý thuyết thì cũng có thể dùng nhiều.

17


Cách 2 : Dùng biến đổi sơ cấp chuyển ma trận về tam giác trên Biến đổi sơ cấp ở

đây là biến đổi có dạng
v1 → v1 + a2 v2 + . . . + an vn
với ai ∈ K. Khi đó định thức
det(v1 + a2 v2 + . . . + an vn , v2 , v3 , . . . , vn ) = det(v1 , v2 , . . . , vn ).
Các bạn tự chứng minh sự kiện này bằng cách áp dụng tính chất thay phiên.
Như vậy biến đổi sơ cấp không làm thay đổi định thức, và ta biết rằng ta hoàn toàn có
thể dùng biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận về dạng tam giác trên. Khi đó, định thức của ma
trận tam giác trên chính là tích các phần tử đường chéo.
Cách 3 : Dùng khai triển Laplace Tức khai triển định thức theo dòng hay theo cột (một
hoặc nhiều). Đây là cách làm khá phổ biến.
Một số cách khác, nhưng mẹo mực Ví dụ : dựa vào tính chất det(AB) = det(A) det(B),
ta có thể tính định thức của ma trận nếu phân tích nó thành tích, hoặc nếu biết ma trận là
hạng tử nhân của một tích nào đó. Những bài tập kiểu này có khá nhiều trong [9] nhưng toàn
là bài khó.
Một cách khác là dùng khai triển Laplace để chuyển định thức về dạng truy hồi. Thuật
ngữ này hơi khó hiểu một chút, ta sẽ mô tả nó bằng bài tập.

16

Bài tập về Định thức

Bài tập 99. Tính hợp thành của các phép thế sau và viết phép thế thu được thành tích các
xích rời rạc và tính dấu của chúng.
1.

1 2 3 4 5
2 4 5 1 3

1 2 3 4 5
.

4 3 5 1 2

2.

1 2 3 4 5
3 5 4 1 2

1 2 3 4 5
.
4 3 1 5 2

3. (1, 2)(2, 3) . . . (n, n − 1).
Bài tập 100. Biết số nghịch thế của dãy a1 , a2 , . . . , an bằng k. Tìm số nghịch thế của dãy
an , an−1 , . . . , a1 .
Bài tập 101. Cho A ∈ M(n × n, K). Chứng minh rằng det A = 0 khi và chỉ khi các cột của
A độc lập tuyến tính.
Bài tập 102. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n với hệ số thực thỏa mãn aij = 1 − δij ,
với δij là ký hiệu Kronecker. Tính det A.
Bài tập
x a
a x
(a) · ·
· ·
a a

103. Tính các định thức sau
a ... a
cos(a1 − b1 ) cos(a1 − b2 ) . . . cos(a1 − bn )
a ... a
cos(a2 − b1 ) cos(a2 − b2 ) . . . cos(a2 − bn )

· , (b)
·
·
·
,
·
·
·
·
a ... x
cos(an − b1 ) cos(an − b2 ) . . . cos(an − bn )

18


a+b
b
a
a+b
·
·
(c)
·
·
·
·
0
0

0 0

b 0
·
·
·
0 ...

...
0
x1
...
0
a1
...
·
, (d) a1
...
·
·
...
·
a1
a a+b

a2
x2
a2
·
a2

a3 . . . an

a3 . . . an
x3
an .
·
a3 . . . xn

Bài tập 104. Tính det(|i − j|)n×n .
Bài tập 105. Tính định thức Vandermonde
1
a1
..
.

1
a2

...
1
. . . an−1

1
an

.

n−1
an−1
an−1
. . . an−1
1

2
n−1 an

Bài tập 106. Tính
1 cos ϕ1 cos 2ϕ1 . . . cos(n − 1)ϕ1
1 cos ϕ2 cos 2ϕ2 . . . cos(n − 1)ϕ2
.
..
.
1 cos ϕn cos 2ϕn . . . cos(n − 1)ϕn
Bài tập 107. Dùng định thức để giải bài tập 18 về ma trận đường chéo trội, tuần 5.
Bài tập 108. Tính các định thức sau.
1
2
3
...
n
1+x
1
1
1
1 x+1
3
...
n
1
1−x
1
1
2

x + 1 ...
n . (b)
(a) 1
.
1
1
1
+
y
1
..
.
1
1
1
1−y
1
2
3
... x + 1
a+b
b
0
...
a
a+b
b
...
0
a

a
+
b
.
..
Bài tập 109. Tính
..
.
0

0

...

a

0
0
0

.

a+b

Bài tập sau không liên quan tới định thức nhưng cũng thú vị.
Bài tập 110. Giả sử A ma trận vuông lũy linh. Chứng minh rằng I + A là ma trận khả
nghịch.

17

Hệ phương trình tuyến tính

Về hệ phương trình tuyến tính, các bạn cần đọc hiểu chứng minh định lý Kronecker-Capelli
về tiêu chuẩn tồn tại nghiệm, định lý Cramer về công thức nghiệm, phương pháp GaussJordan giải hệ phương trình tuyến tính (dùng biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận về tam giác
trên). Công thức nghiệm trong định lý Cramer ít có tính thực tiễn vì tính rất dài, nhưng sẽ
có ích trong những bài toán thuần túy lý thuyết. Vậy nên các bạn cần tránh suy nghĩ là công
thức ý ít có ứng dụng.
19


Bàitập 111. Giải các hệ phương
 trình sau


x1 + 3x2 + 4x3 = 1
x1 − x2 + 5x3
(a) x1 − 2x2 + x3 = 2 , (b) x1 + x2 − 3x3




x1 + x2 + 2x3
=3
2x1 − 3x2 + x3

=0
=1.
=6

Bài tập 112. Tìm số chiều của



x1 + 2x2 + 2x3 + x4 − x5
(a) x1 + x2 + x3 − 3x4 + 2x5


2x1 − x2 + x3 + 2x4 − 3x5

không gian
 nghiệm của các hệ phương trình sau.
3x1 + 2x2 + 3x4 − x5 = 0



=0
x − x + 2x − x
=0
1
2
3
4
.
= 0 , (b)
−3x2 + x3 + x4 + 2x5 = 0


=0

x1 − x3 + 4x4 − 3x5
=0

Bài tập 113. Tìm một nghiệm
hệ phương trình sau.


x1 + 2x2 + 2x3 + x4 − x5
(a) x1 + x2 + x3 − 3x4 + 2x5


2x1 − x2 + x3 + 2x4 − 3x5

riêng, một hệ nghiệm cơ bản và hệ nghiệm tổng quát của các


3x1 + 2x2 + 3x4 − x5 = 3



=1
x − x + 2x − x
=0
1
2
3
4
.
= 1 , (b)

−3x
=

−2
2 + x3 + x4 + 2x5


=2

x1 − x3 + 4x4 − 3x5
=4

ax1 + bx2 + bx3 + . . . + bxn = 0



cx + ax + bx + . . . + bx = 0
1
2
3
n
.
Bài tập 114. Cho hệ n phương trình

.
.
.



cx1 + cx2 + cx3 + . . . + axn = 0
Tìm điều kiện cần và đủ của a, b và c để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường.
Bài tập 115. Cho hệ phương trình Ax = b với A là ma trận vuông cấp n với hệ số hữu tỷ và

b là một vector thuộc Rn mà các tọa độ đều là số hữu tỷ. Giả sử Ax = b có nghiệm x ∈ Rn .
Chứng minh hệ phương trình này có nghiệm hữu tỷ (nghĩa là nghiệm mà các tọa độ đều là số
hữu tỷ).
Bài tập 116. Xét hệ phương trình tuyến tính sau


= b1
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
với aij , bi ∈ R với mọi i, j. Tìm điều kiện về hạng của
...


am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
ma trận A = (aij )m×n để hệ phương trình có nghiệm với mọi bi ∈ R.

18

Một số bài tập nâng cao

Mục này thêm vào để các bạn có thêm một danh sách bài tập khá thú vị để luyện tập với
kiến thức mà các bạn đã biết.
Bài tập 117. Giả sử A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I, với I là ma trận đơn vị.
Chứng minh rằng rank(A + I) + rank(A − I) = n.


λ 1
0
 λ 1





.
.
.. .. 
Bài tập 118. Cho ma trận 
 với λ = 0. Tính A−1 .



λ 1
0
λ
20


Bình luận Đây chính là khối Jordan mà các bạn sẽ học trong chương cấu trúc tự đồng cấu.
Bài tập 119. Cho ma trận vuông A có hệ số là các số nguyên. Tìm điều kiện cần và đủ để
A khả nghịch và A−1 cũng gồm các hệ số là số nguyên.
Bài tập 120. Giả sử trong ma trận A = (aij ) ∈ M(n × n, R) đã cho trước các phần tử aij
với i = j. Chứng minh rằng ta có thể điền vào đường chéo chính các phần tử 0 hoặc 1 để ma
trận A không suy biến.
Bài tập 121 (Định lý đẳng cấu Noether). Cho E1 và E2 là các không gian con của không
gian vector E nào đó. Chứng tỏ rằng không gian (E1 + E2 )/E2 đẳng cấu với không gian
E1 /(E1 ∩ E2 ).
Bài tập 122. Cho A và B là hai ma trận vuông giao hoán với nhau và B là ma trận lũy linh.
Chứng minh det(A + B) = det A.
Bình luận Đây là một bài thi cuối kỳ môn này ở ĐHSPHN. Có hai lời giải : một là trong
cuốn [8], hai là sử dụng định lý về tam giác trên đồng thời(3) .
Bài tập 123 (Định lý Schur). Giả sử ϕ là tự đồng cấu của không gian vector phức n chiều

V. Chứng minh rằng tồn tại các không gian vector con
0 = V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn = V
thỏa mãn ϕVk ⊂ Vk và Vk có chiều bằng k với mọi k.
Bình luận Theo bài tập này, mọi tự đồng cấu phức có một cơ sở sao cho trong cơ sở đó,
ma trận biểu diễn của tự đồng cấu có dạng tam giác trên.

19

Vector riêng, giá trị riêng

Bàitập 124. Tìmgiá trịriêng và vector
riêng của các ma trận hệ số thực sau

2 −1
2
4 −5 2
3 , (b) 5 −7 3 .
(a)  5 −3
−1
0 −2
6 9 4
Bài tập 125. Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, cùng có hệ số trong K, giao
hoán với nhau. Giả sử A có tất cả các giá trị riêng phân biệt. Chứng minh rằng mỗi vector
riêng của A là vector riêng của B và tồn tại một cơ sở gồm các vector riêng của A và B.
Bình luận Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán sau
Bài tập 126. Cho k ma trận vuông A1 , A2 , . . . , Ak giao hoán với nhau và các ma trận này
đều chéo hóa được. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch C sao cho C −1 Ai C là ma trận chéo với
mọi i.
Bài tập


−1

(a) −3
−3

127. Xác định xem các ma trận hệ
 số phức sau có chéo
 hóa được không?



1
1
1
1
3 −1
6 −5 −3
1

1
−1
−1
.
5 −1 , (b) 3 −2 −2 , (c) 
1 −1
1 −1
3
1
2 −2
0

1 −1 −1
1
Trong trường hợp ma trận A ở trên chéo hóa được, hãy tìm ma trận khả nghịch C sao cho
C −1 AC là ma trận chéo.
(3)

Ta sẽ giới thiệu sau: tiếng Anh là Simultaneous triangularization, xem [21]

21


Bài tập 128. Ký hiệu R[x]n là không gian vector các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n.
df
. Tìm các giá trị
Xét ϕ ∈ End(R[x]n ) là ánh xạ đạo hàm, tức là biến mỗi đa thức f →
dx
riêng và các vector riêng của ϕ.
Bài tập 129. Chứng minh rằng nếu mọi vector khác O của một tự đồng cấu đều là vector
riêng thì tự đồng cấu đó bằng k · Id với k ∈ K nào đó.
Bài tập 130. Cho tự đẳng cấu ϕ của K−không gian vector V. Chứng minh rằng nếu λ là
một giá trị riêng của ϕ thì λ−1 là một giá trị riêng của ϕ−1 .
Bài tập 131. Chứng minh rằng tổng và giao của các không gian con bất biến cũng là các
không gian con bất biến.
Bài tập 132. Cho A, B ∈ M(n × n, K). Chứng minh rằng hai ma trận AB và BA có cùng
tập các giá trị riêng. Khó hơn, chứng minh rằng hai ma trận đó có cùng giá trị riêng tính cả
bội (hay nói cách khác là có cùng đa thức đặc trưng).
Bình luận Các bạn hãy làm câu thứ hai của bài toán này trong trường hợp trường K = C
vì nó dễ hơn và ẩn chứa một kỹ thuật khá hay. Trong trường hợp trường K bất kỳ, hoặc thậm
chí vành giao hoán bất kỳ, thì bài toán, theo như tôi biết[10], vẫn đúng, nhưng tôi chưa có
thời gian đọc chứng minh. Bạn nào có thời gian thì nên nghĩ thử.

Bài tập 133. Giả sử ϕ là tự đồng cấu của không gian vector V. Giả sử U = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Us
là tổng trực tiếp các không gian con bất biến đối với ϕ. Chứng minh rằng
ϕ(U ) = ϕ(U1 ) ⊕ . . . ⊕ ϕ(Us ).
Bài tập 134. Cho ϕ là tự đồng cấu của Kn có n giá trị riêng phân biệt. Tìm số các không
gian con bất biến của ϕ.
Bài tập 135. Giả sử p > 0 là bội đại số của giá trị riêng λ0 của ma trận vuông A cấp n. Gọi
r là hạng của A − λ0 I. Chứng minh rằng
1 ≤ n − r ≤ p.
Bài tập 136. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A2 bằng bình phương của các
giá trị riêng của ma trận A kể cả bội.
Bài tập này là trường hợp riêng của bài tập sau.
Bài tập 137. Giả sử f ∈ C[X] là một đa thức. Giả sử λ1 , . . . , λn là tất cả các giá trị riêng
của A (kể cả bội). Chứng minh rằng f (λ1 ), . . . , f (λn ) là tất cả các giá trị riêng của f (A) kể
cả bội.
Bài tập 138 (Ma trận đồng hành). Tìm đa thức đặc trưng của ma trận vuông cấp n sau:


0
1
0


0
1


.. ..


.

.
0
A=
.


.
.. 1 

an−1 an−2 . . . . . . a0
Từ đó suy ra mỗi đa thức bậc n với với hệ số cao nhất là ±1 đều là đa thức đặc trưng của
ma trận nào đó. Trong trường hợp ma trận A ở trên, người ta gọi A là ma trận đồng hành
của đa thức đặc trưng đó. Những ma trận này xuất hiện trong dạng chuẩn hữu tỷ (còn gọi
là dạng chuẩn Frobenius), một loại dạng chuẩn khác của ma trận. Nhưng chúng ta chưa thể
chứng minh được loại dạng chuẩn này tồn tại vì thiếu kiến thức về module trên vành chính.
22


20

Dạng chuẩn Jordan

Cho ma trận vuông A với hệ số trong trường đóng đại số K (ví dụ trường C). Khi đó A luôn
có dạng chuẩn Jordan, tức là tồn tại ma trận khả nghịch C ∈ M(n × n, K) sao cho C −1 AC
là ma trận gồm các khối Jordan Jλ,s . Ở đây Jλ,s là ma trận vuông cấp s mà tất cả phần tử
đường chéo nhận giá trị λ và tất cả phần tử đường chéo trên nhận giá trị 1. Các vị trí khác
của Jλ,s nhận giá trị 0.
Hai câu hỏi sau nảy sinh, xếp theo trình tự độ khó.
(1) Làm thế nào để tính được số khối Jλ,s ?
(2) Làm thế nào để tìm được ma trận C ở trên?

Với câu hỏi (1), ta đã có công thức tính số khối, các bạn tự tra trong giáo trình. Với câu
hỏi (2), các bạn chỉ có một cách duy nhất là rà soát lại chứng minh xem họ đã làm như thế
nào.
Bàitập 139. Tìm
các
 dạng
 chuẩn Jordan
 của 
2 6 −15
1 −3 3
1





(a) 1 1 −5
, (b) −2 −6 13 , (c) 4
1 2 −6
−1 −4 8
6

ma trậnsau 

−3 4
a 0 0
−7 8 , (d) 0 a 0 với a = 0.
−7 7
a 0 a

Bài tập

3

A= 2
1

140. Các
sau
 ma trận 
2 −5
6


6 −10 và B = 6
2 −3
4

Bài tập

4

A= 1
1

141. Các
 ma trận
 sau có đồngdạng vớinhau
6 −15
1 −3 3

−13




3 −5
, B = −2 −6 13 , C = −4
2 −4
−1 −4 8
−4

có đồng dạng
 với nhau không?
20 −34
32 −51 .
20 −32
không? 
−70 119
−19 34  .
−20 35

Bài tập 142. Chứng minh rằng mọi ma trận lũy linh khác 0 đều không chéo hóa được.
Bài tập 143. Cho A là ma trận vuông phức. Hỏi rằng ma trận A và AT có đồng dạng với
nhau không?
Bài tập 144. Cho A là ma trận vuông phức. Chứng minh rằng A là ma trận lũy linh khi và
chỉ khi mọi giá trị riêng của A đều bằng 0. Hỏi nếu A là ma trận vuông thực thì điều đó có
còn đúng không?
Bài tập 145. Tìm dạng chuẩn Jordan của ma trận A lũy đẳng, tức là A2 = A.
Bài tập 146. Chứng minh rằng mọi ma trận đối hợp A, tức là A2 = I đều đồng dạng với
một ma trận chéo. Tìm dạng của ma trận chéo đó.

Bài tập 147. Chứng minh rằng mọi ma trận tuần hoàn A, tức là Ak = I với k là số nguyên
dương nào đó, đều đồng dạng với một ma trận chéo. Tìm dạng của ma trận chéo đó.
Bài tập 148. Cho A là một khối Jordan cấp

a 1
0 a

A =  ..
.
0 0

n

0 ... 0
1 . . . 0

.

0 ... a

23


Chứng minh rằng giá trị đa thức f (X) khi thay X = A được cho bởi công thức sau đây


(n−1)
f (a) f 1!(a) f 2!(a) . . . f (n−1)!(a)



f (n−1) (a) 
f (a)
 0
.
.
.
f
(a)
1!
(n−2)!  .
f (A) = 

 .
.
 .

0
0
0
...
f (a)
Bình luận Từ bài tập này, hãy đề xuất cách tính f (A) với ma trận A vuông bất kỳ.

21

Định lý Cayley-Hamilton. Đa thức tối tiểu.

Câu hỏi 21.1. Từ dạng chuẩn Jordan của ma trận A, ta tìm được đa thức tối tiểu của ma
trận A như thế nào?
Mấy bài sau tôi chép ở [11].

Bài tập 149. Trong M(n × n, C) ta xét hai ma trận A và B không có giá trị riêng chung.
(1) Cho PA là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh rằng PA (B) là ma trận khả nghịch.
(2) Cho M ∈ M(n × n, C) thỏa mãn AM = M B.
a. Chứng minh rằng với mọi k là số nguyên dương, ta có Ak M = M B k .
b. Từ đó suy ra M PA (B) = 0.
c. Chứng minh rằng M là ma trận không.
(3) Xét tự đồng cấu f của M(n × n, C) định nghĩa bởi f (M ) = AM − M B. Chứng minh
rằng f là một tự đẳng cấu của M(n × n, C).
Bài tập 150. Cho A là một ma trận vuông cấp n với hệ số trong K (K là R hoặc C), PA là
đa thức đặc trưng của A và P là một đa thức trong K[X].
(1) Chứng minh rằng nếu PA và P không nguyên tố cùng nhau thì P (A) không khả nghịch.
(2) Chứng minh rằng nếu các đa thức PA và P nguyên tố cùng nhau, thì P (A) khả nghịch.
(3) Xét ma trận A sau đây



1
0 0
A = 0 −1 1 .
0 −1 0
Các ma trận A, A2 + A và A2 − A có khả nghịch không?
Bài tập 151. Cho E là K−không gian vector chiều n (∞ > n ≥ 1, K là R hoặc C), f là một
tự đồng cấu của E và Pf (X) là đa thức đặc trưng của f. Ký hiệu P (X) là một ước bất khả
quy của Pf (X) và r là số nguyên lớn nhất sao cho P r chia hết P và R là đa thức thỏa mãn
Pf = P r .R.
a. Cho Pmin,f là đa thức tối tiểu của f. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên s với 1 ≤ s ≤ r
và một đa thức S chia hết R thỏa mãn Pmin,f = P s S.
b. Chứng minh các bao hàm sau
Ker(P s (f )) ⊂ Ker(P r (f )), Ker(S(f )) ⊂ Ker(R(f )).
24

c. Chứng minh các đẳng thức sau
Ker(P s (f )) = Ker(P r (f )), Ker(S(f )) = Ker(R(f )).
d. Chứng minh rằng s là số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn
Ker(P k (f )) = Ker(P r (f )).

22

Dạng song tuyến tính. Tính chất cơ bản của không
gian vector Euclide

Bài tập 152. Trong không gian vector thực R3 với cơ sở {e1 , e2 , e3 }. Dạng song tuyến tính
nào sau đây xác định một tích vô hướng?
(a) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 .
(b) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 − x2 y2 + 5x3 y3 .
(c) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = 5x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 − 2x1 y2 − 4x2 y3 .
Bài tập 153. Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c, d ∈ R sao cho dạng song tuyến tính trên
R2 sau ϕ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 là một tích vô hướng.
Bài tập 154. Cho V là một không gian vector Euclide hữu hạn chiều.
(a) Chứng minh rằng mọi hệ vector trực giao từng cặp mà không chứa vector 0 là độc lập
tuyến tính.
(b) Nếu W là một không gian vector con của V và W ⊥ là phần bù trực giao của W trong V.
Chứng minh rằng V = W ⊕ W ⊥ . Ta gọi phân tích như này là phân tích trực giao (đối với
tích vô hướng của V ).
(c) Cho W1 , W2 là hai không gian con của V thỏa mãn dim W1 < dim W2 . Chứng minh rằng
tồn tại vector khác 0 trong W2 trực giao với cả không gian W1 .
Bài tập 155 (Bất đẳng thức Bessel). Cho V là một không gian vector Euclide hữu hạn chiều
và e1 , . . . , ek là một hệ vector trực chuẩn. Chứng minh rằng với mọi v ∈ V, ta có bất đẳng
thức sau

k

| v, ei |2 ≤ v 2 .
i=1

Bình luận Bất đẳng thức này tuy không khó nhưng khi tổng quát lên cho không gian vô
hạn chiều thì lại có ứng dụng đặc sắc trong giải tích Fourier. Các bạn có thể tham khảo [17],
một cuốn sách rất hay.
Bài tập 156. Cho V1 , V2 là các không gian con của một không gian vector Euclide hữu hạn
chiều. Chứng minh rằng
(V1 + V2 )⊥ = V1⊥ ∩ V2⊥ và (V1 ∩ V2 )⊥ = V1⊥ + V2⊥ .

25