Giai bai tap hinh hoc lop 10 chuong 1 bai 2 tong va hieu cua hai vecto
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (252.8 KB, 8 trang )
Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 1 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
Hướng dẫn giải bài tập lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
I.KIẾN THỨC CƠN BẢN
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ
Vectơ
=
,
. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ
được gọi là tổng của hai vectơ
+
và
=
,
=
.
.
.
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì
+
=
.
3. Tính chất của tổng các vectơ
- Tính chất giao hoán
+
- Tính chất kết hợp (
- Tính chất của
:
+
+
=
+
)+
=
=
+
+(
+ )
.
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ
tơ đối của vec tơ , kí hiệu - .
Vec tơ đối của
là vectơ
.
b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ
-
là vectơ
được gọi là vec
,
. Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu
+ (- )
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
-
=
+ (- ).
c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có
+
=
-
=
(1)
(2)
(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.
(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.
5. Áp dụng
a) Trung điểm của đoạn thẳng:
I là trung điểm của đoạn thẳng⇔
+
=
b) Trọng tâm của tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ∆ABC ⇔
+
+
=
II. HƯỚNG DẪN LÀM BÀI
Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các
vectơ
+
và
Hướng dẫn giải:
Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có
Như vậy
+
=
Vậy vec tơ
=
chính là vec tơ tổng của
=
+
.
Ta lại có
-
=
-
+
=
+ (+
=
( quy tắc 3 điểm)
và
)
(vectơ đối)
Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
+
=
Vậy
+
-
=
(quy tắc 3 điểm)
=
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng
+
=
+
.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:
=
+
=
+
=>
+
=
+
+(
+
ABCD là hình bình hành, hi vec tơ
+
)
và
là hai vec tơ đối nhau nên:
=
Suy ra
+
=
+
.
Cách 2. Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ
=
-
=
=>
+
= (
+
)-(
ABCD là hình bình hành nên
+
Suy ra:
+
và
).
là hai vec tơ đối nhau, cho ta:
=
+
=
+
.
Bài 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có
a)
+
b)
-
+
+
=
-
=
;
.
Hướng dẫn giải:
a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có
+
=
;
+
=
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
Như vậy
+
mà
+
+
Vậy
+
=
+
=(
=
+
+
)+(
+
)=
+
.
+
=
b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có
-
=
(1)
-
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
-
=
-
.
Bài 4 .Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ,
CARS. Chứng minh rằng
+
+
=
Hướng dẫn giải:
Ta xét tổng:
+
+
+
+
+
=
=
(1)
Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:
=
=
=
=>
+
+
=
Từ (1) và (2) suy ra :
+
+
+
=
+
=
=
(2)
(dpcm)
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ
-
+
Hướng dẫn giải:
Ta có
+
=
=
Ta có:
-
=a
=
+
Trên tia CB, ta dựng
=>
-
.
=
=
+
=
Tam giác EAC vuông tại A và có : AC = a, CE = 2a , suy ra AE = a√3
Vậy
=
= a√3
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a)
-
=
;
b)
-
=
;
c)
-
=
-
d)
-
+
=
;
.
Hướng dẫn giải:
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
và
a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:
=
Mặt khác,
-
(1)
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
=
-
.
b) Ta có :
=
-
(1)
=
(2)
Từ (1) và (2) cho ta:
=
-
.
c) Ta có :
-
=
(1)
-
=
(2)
=
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
d)
=
)=
Bài 7. Cho
a)
b)
+
,
=
=
= (
-
) +
=
+
=
+
là hai vectơ khác . Khi nào có đẳng thức
+
;
.
Hướng dẫn giải:
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
( vì
a) Ta có
Nếu
=
coi
thì
hình
+
bình
hành
ABCd
có
=
là độ dài đường chéo AC và
= AB;
=
và
=
=
= BC.
Ta lại có: AC = AB + BC
Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điểm A, C.
Vậy
=
+
b) Tương tự,
khi hai vectơ
,
cùng hướng.
là độ dài đường chéo AC
là độ dài đường chéo BD
=
=> AC = BD.
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta
có AD
AB hay
Bài 8. Cho
= 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ
và
Hướng dẫn giải:
Từ
= 0, ta có
+
=0
=>
=-
Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài
hướng
Bài 9. Chứng minh rằng
AD và BC trùng nhau.
=
=
, cùng phương và ngược
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh hai mệnh đề.
a) Cho
=
thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm
của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
=
+
;
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
=
Vì
=
nên
+
=
+
=>
-
=
-
=>
+
=
+
Vì I là trung điểm của AD nên
Từ (1) và (2) suy ra
+
+
(1)
+
=
(2)
=
(3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.
b) AD và BC có chung trung điểm I, ta chứng minh
I là trung điểm của AD
=>
I là trung điểm của BC
=>
+
+
=>
Suy ra
=>
-
=
+
+
=
=
=
.
=>
-
=
=>
-
=
=
Bài 10. Cho ba lực
=
,
=
=
(đpcm)
và
=
tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của
=
Tìm cường độ và hướng của lực
cùng tác động vào một vât
,
đều là 100N và
.
Hướng dẫn giải:
Đáp số
= 100√3 và
hình bình hành MACB
ngược hướng với hướng
với E là đỉnh thứ tư của
Thư viện đề thi thử lớn nhất Việt Nam
