Bài giảng: Tổng và hiệu của hai vectơ (Hình học 10 - Chương I: VECTƠ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 10
CHƯƠNG I. VECTO

§2 Tổng và hiệu của hai vecto

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


Đ2 tổng và hiệu của hai vectơ
Với hai số thực a và b chúng ta đà định nghĩa đợc phép a b. Do vậy, vấn đề đặt b. Do vậy, vấn đề đặt
ra là cần xây dựng đợc phép cộng, trừ cho hai vectơ a và b cùng với việc xác định
các tính chất kèm theo.

bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn
1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a và b là một véctơ đợc xác định nh sau:

Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB = a .
Từ điểm B dựng vectơ BC = b .
Khi đó véctơ AC gọi là vectơ tổng của hai vectơ a và b , ta
viết
AC = a + b .
B

b

a

a

A

ab

b
C

Từ định nghĩa trên ta đợc quy tắc ba điểm:
AC = AB + BC , với ba điểm A, B, C bất
kì.
Hoạt động: 1. HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.

2. Mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm.
3. Cho tứ giác ABCD. HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y xác định các vectơ tæng sau:
AB

+ CB ,

AB

+

CD , AB

+ AD .

4. NÕu cã a + b = c th× cã thĨ suy ra  a  +  b  =  c đợc không ?
5. Giải thích tại sao ta có  a  +  b  ≥  a + b 
2. TÝnh chÊt cđa phÐp céng vÐct¬

Víi mäi vectơ a , b và c , ta có:
Tính chất 1:
(Tính chất giao hoán):
Tính chất 2:
(Tính chất kết hợp):
c ).
Tính chất 3:
(Tính chất của vectơ không):

+ b = b + a.
(a + b ) + c = a + (b +
a

a

+ 0 = 0 + a = a.

Hoạt động: 1. Sử dụng định nghĩa hÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y chứng minh tính chất 1).


2. Sử dụng bốn
điểm
A,
B,
C,
D
cho
tơng
ứng
các
vectơ
AB a,


BC b, CD c, hÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y chứng minh tính chất 2).

Thí dụ 1:

Giải
2

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chøng minh r»ng:

AB + CD + BC = AD .


Ta có thể trình bày theo ba cách sau:
Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD , đpcm.
Cách 2: Sử dụng quy tắc ba ®iÓm, ta cã:
VT = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD , đpcm.
Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
AD = AC + CD = AB + BC + CD , đpcm.
Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
AD = AB + BD = AB + BC + CD , đpcm.

Nhận xét:

Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh hoạ
cho những ý tởng sau:
1. Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của
vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử dụng
chiều thuận của quy tắc ba điểm.
2. Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ngợc lại của quy tắc ba
điểm, cụ thể "với một vectơ AB bất kì chúng ta đều có thể xen thêm
vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích đợc vectơ AB thành tổng
của hai vectơ".

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh r»ng AB + AD = AC .

ThÝ dô 2:

 Giải

Vì ABCD là hình bình hành, suy ra:
AD = BC ,
do ®ã:
AB + AD = AB + BC = AC .
A
Từ thí dụ trên ta đợc quy tắc hình bình hành:
AB + AD = AC , với ABCD là hình bình
hành.

AD BC


BC
AD

C

B

D

Hoạt động: 1. Dựa vào hình bình hành ABCD:

HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y xác định các vectơ tổng BA + BC , CB + CD .
Vectơ AC có thể là tổng của những cặp vectơ nào ?
2. HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y nêu phơng pháp xác định vect¬ tỉng cđa hai vect¬ cïng gèc.


ThÝ dơ 3:

Cho ABC đều cạnh bằng a. Tính độ dài vectơ tổng

AB

+

AC

.

Giải
Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A1 đối xứng với A qua M, ta có ngay ABA 1C
là hình bình hành, suy ra:
A1
B
AB + AC = AA 1
AB + AC  =  AA 1 

M

= 2AM = 2. a 3 = a 3 .
2

A

C

3

Chú ý: Với các em học sinh cha nắm vững kiến thức về tổng của hai vectơ thì thờng kÕt luËn ngay r»ng:
 AB + AC  =  AB  +  AC  = a + a = 2a.

Hoạt động: Cho ABC vuông tại A, biết BC = a. Tính độ dài vectơ tổng AB +

AC .

Thí dụ 4:

Giải

Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh r»ng:
MA + MB = 0 .

Ta cã:

 MB  AM


AM
 MB 

do ®ã:

 MB = AM ,

M

MA + MB = MA + AM = MM = 0 . A

B
Tõ thí dụ trên ta đợc kết quả:
Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0 .
Hoạt động: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh r»ng:

OA  OB  OC  OD  0 .

Thí dụ 5:

Giải

Gọi G là trọng tâm ABC. Chứng minh r»ng:
GA + GB + GC = 0 .

Träng t©m G thuộc trung tuyến AM, ta dựng hình bình
hành BGCA1 b»ng viƯc lÊy ®iĨm A1 ®èi xøng víi G qua M,
ta cã:
GB + GC = GA 1 ,

B
M

A1

G

A
C
 GA 1 = AG ,

GA + GB + GC = GA + GA 1 = GA + AG = GG = 0 , đpcm.
Từ thí dụ trên ta đợc kết quả:
Gọi G là trọng tâm ABC thì GA + GB + GC = 0 .

GA 1 2 GM AG


AG
GA 1 

3. Vect¬ đối của một vectơ

Định nghĩa: Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ không, thì ta nói
đối của b , hoặc b là vectơ đối của a .
Với vect¬ AB cho tríc, ta cã nhËn xÐt:
AB + BA = AA = 0 BA là vectơ đối của AB .
Hoạt động:

1. HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y nêu nhận xét về vectơ đối của vectơ AB .
2. Mọi vectơ đều có vectơ đối ?

Kí hiệu: Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là a .
4

a

là vectơ


Suy ra AB =  BA .

NhËn xÐt:
1. Ta cã a + ( a ) = ( a ) + a = 0 .
2. Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng ngợc hớng và cùng độ dài.
3. Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
Thí dụ 6: Ta đà biết rằng "Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0
", từ đó suy ra MB là vectơ đối của MA và ngợc lại.
Hoạt động:

1. Cho điểm O và vectơ AB . HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y dựng vectơ OM sao cho OM + AB = 0 .
2. Cho h×nh lục giác đều ABCDEF có tâm O. HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y chỉ ra các vectơ cùng ph ơng,
cùng hớng, ngợc hớng, bằng nhau, đối nhau.
4. Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a vµ b , kÝ hiƯu a  b , lµ tổng của vectơ a và
vectơ đối của vectơ b , nghÜa lµ:
a  b = a + ( b ).
PhÐp lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Để dựng vectơ a b khi biết các vectơ a và b ta lấy điểm A tuỳ ý, từ đó
dựng vectơ AB = a và AC = b , khi ®ã CB = a  b .

b

B

a

a b

C
A

a
Tõ c¸ch dùng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vectơ b
cùng gốc:
AB  AC = CB , víi ba ®iĨm A, B, C bất kì.
Hoạt động: HÃy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm.y chứng minh quy tắc trên.

Tính chất của phÐp trõ vÐct¬
a  b = c  a = b + c .
ThÝ dơ 7: Cho 4 ®iĨm A, B, C, D. Chøng minh r»ng:
AB + CD = AD + CB .
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
C¸ch 1: Ta cã:
VT = ( AD + DB ) + ( CB + BD ) = AD + CB + ( DB + BD )
= AD + CB = VP, đpcm.
Cách 2: Biến đổi tơng đơng đẳng thức về d¹ng:
AB  AD = CB  CD  DB = DB , luôn đúng.
Cách 3: Biến đổi tơng đơng đẳng thøc vỊ d¹ng:
AB  CB = AD  CD  AB + BC = AD + DC  AC = AC , luôn
đúng.

5


Nhận xét:
1. Trong bài học trớc chúng ta đà có 6 cách để chứng minh đẳng thức trên và ở đây
chúng ta ghi nhận thêm đợc những cách giải kh¸c, cơ thĨ:
 Trong c¸ch 1, ta sư dơng quy tắc ba điểm và tổng của hai vectơ đối nhau.
Trong cách 2, ta sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc.
Trong cách 3, ta sử dụng phép đổi dấu bằng việc đảo chiều vectơ.

2. Các em học sinh hÃy nêu thêm một cách giải khác dựa trên kết quả:
AB + BC + CD + DA = 0 .

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các
vectơ MA + MB và MA MB .
Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng:
MA + MC = MB + MD
Bµi tËp 3: Chøng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn cã:
a. AB + BC + CD + DA = 0 .
Bµi tËp 4:
Bµi tËp 5:
Bµi tËp 6:

Bµi tËp 7:

Bµi tËp 8:
Bµi tËp 9:
Bµi tËp 10:

b. AB  AD = CB CD .
Cho ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ,
CARS. Chứng minh rằng RJ IQ PS 0 .
Cho ABC đều, cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB + BC và
AB BC .
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chøng minh r»ng:
a. CO  OB BA .
b. AB  BC  DB .
c. DA  DB OD  OC .
d. DA  DB  DC 0 .

Cho a , b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức:
a. a + b = a  +  b .
b.  a + b  =  a  b .
Cho  a + b = 0. So sánh độ dài, phơng, hớng của hai vectơ a và b .
Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau.
Cho ba lực F1 = MA , F2 = MB , F3 = MC cïng tác động vào

một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cờng độ của F1 và F2
đều là 100N và AMB = 600. Tìm cờng độ và hớng của lực F3 .
Bài tập 11: Cho ABC đều có cạnh bằng a. Tính độ dài vectơ tổng AB + AC .
Bài tập 12: Cho ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O.
a. Chứng minh rằng:
OA OB OC 0 .

b. HÃy xác định các điểm M, N, P sao cho:
OM = OA  OB ; ON = OB  OC ; OP = OC  OA .

6


Bài tập 13: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng:
AD + BE + CF = AE + BF + CD .
Bµi tËp 14: Cho ABC. HÃy xác định điểm M thoả mÃn điều kiện:

MA MB + MC = 0

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao”.

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 850.000đ.

1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

7


bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a và b là một véctơ đợc xác định nh sau:
Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB = a .
Từ điểm B dựng vectơ BC = b .
Khi đó véctơ AC gọi là vectơ tổng của hai vectơ a và b , ta viết
AC = a + b .
B

b

a

b

a

C
A điểm:a b
Từ định nghĩa trên ta đợc quy tắc ba
AB + BC = AC , với ba điểm A, B, C bất kì.
Tính chất của phép cộng véctơ
Với mọi véctơ a , b và c , ta cã:
TÝnh chÊt 4:

(TÝnh chÊt giao ho¸n): a + b = b + a .
(TÝnh chÊt kÕt hỵp): ( a + b ) + c = a + ( b +

Tính chất 5:

c

).

Tính chất 6:
(Tính chất của vectơ không): a + 0 = 0 + a = a .
Ta có quy tắc hình bình hành:
AB + AD = AC , với ABCD là hình bình hành.
Ta có:
Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0 .
Ta có:
Gọi G là trọng tâm ABC thì GA + GB + GC = 0 .
2. hiƯu cđa hai vectơ

Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a và b , kí hiệu a b , là tổng của vectơ a và

vectơ đối của vectơ b , nghĩa là:
a b = a + ( b ).
PhÐp lÊy hiƯu cđa hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Để dựng vectơ a b khi biết các vectơ a và b ta lấy điểm A tuỳ ý, từ đó
dựng vectơ AB = a và AC = b , khi đó CB = a  b .
B

b
a

A

a b

a

C

b
8


Từ cách dựng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vect¬ cïng gèc:
AB  AC = CB , víi ba ®iĨm A, B, C bÊt k×.
TÝnh chÊt cđa phÐp trõ vÐct¬
a  b = c  a = b +

c

.

B. phơng pháp giải toán
Ví dụ 1:

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ
các vectơ MA + MB và MA MB .

Giải
a. Vẽ vectơ u = MA + MB :
Trên đoạn thẳng MA lấy điểm C sao cho AC = MB
Do đó:
u = MA + AC .
A
M
Theo quy tắc ba ®iĨm, ta cã:
B
C
u = MC .
VËy, MA + MB = MC
b. VÏ vect¬ v = MA  MB :
Ta cã:
v = MA + ( MB ) = MA + BM (vì BM là vectơ đối của MB )
= BM + MA (tính chất giao hoán) = BA (Quy tắc ba ®iĨm)
VËy, MA  MB = BA .
VÝ dơ 2: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tuỳ ý. Chøng minh r»ng:
MA + MC = MB + MD

 Giải
Gọi O là tâm của ABCD thì O là trung ®iĨm cđa AC vµ BD.
Gäi M' lµ ®iĨm ®èi xøng của M qua O thì:

A
M
AMCM' là hình bình hành, suy ra:
(1)
MA + MC = MM ' .
O
 BMDM' lµ hình bình hành, suy ra:
(2) D
MB + MD = MM' .
M'
C
Vậy, từ (1) và (2) ta đợc MA + MC = MB + MD .
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a. AB + BC + CD + DA = 0 .
b. AB  AD = CB  CD .

B

 Gi¶i  Bạn đọc tự vẽ hình
a. Ta có:
AB + BC + CD + DA = ( AB + BC ) + ( CD + DA )

= AC + CA = 0 .
9


b. Ta cã:
AB  AD = DB ,

CB  CD = DB .

(1)
(2)

Vậy, từ (1) và (2) ta đợc AB  AD = CB  CD .
VÝ dô 4: Cho ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hµnh ABIJ,
BCPQ, CARS. Chøng minh r»ng RJ  IQ  PS 0 .

Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Vì ABIJ là hình bình hành nên AJ BI
Mà RJ RA AJ RJ RA BI .
Mặt khác:
(1)
RA SC (CARS là hình bình hành) RJ SC BI
Lại có:
(2)
IQ IB BQ (theo quy tắc ba điểm)
(3)
PS  PC  CS = QB  CS
Céng (1), (2), (3) theo vế, ta đợc:
RJ IQ PS = SC  BI + IB  BQ + QB  CS
= ( SC + CS ) + ( BI + IB ) + ( BQ + QB )
= 0 + 0 + 0 = 0.
VÝ dơ 5: Cho ABC ®Ịu, cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB + BC
và AB BC .

Giải Bạn đọc tù vÏ h×nh
a. Ta cã:
AB + BC = AC (quy tắc ba điểm)

Suy ra, AB + BC = AC = AC.
Mà AC = a (theo giả thiết).
Vậy, độ dài vectơ AB + BC = a.
b. Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua B, ta cã:
BC 1 =  BC
Suy ra:
AB  BC = AB + BC 1 = AC 1   AB  BC  =  AC 1  = AC1
XÐt ABC1 có trung tuyến AB bằng nửa cạnh tơng ứng CC1 nên vuông tại A.
Do đó:
AC1 = CC 12 AC 2 a 3 .
Vậy, độ dài vectơ AB BC = a 3 .
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD cã t©m O. Chøng minh r»ng:
a. CO  OB BA .
b. AB  BC  DB .
c. DA  DB OD  OC .

10


d.

DA DB DC 0 .

Giải Bạn đọc tự vẽ hình
a. Vì O là trung điểm của BD nªn:  OB OD .
Suy ra:
CO  OB CO OD = CD .
Vì ABCD là hình bình hành nên CD = BA .
Vậy, ta đợc CO OB BA đpcm.
b. Ta có:

DA BC (ABCD là hình bình hành)
Suy ra:
AB BC = AB + DA = DB .
Vậy, ta đợc AB BC DB đpcm.
c. Ta có:
DA DB = BA (quy tắc ba điểm)
Mà BA = OA OB .
Suy ra, ta cã DA  DB OD  OC  ®pcm.
d. Ta cã:
DA  DB = BA .
Mµ:
BA =  DC  DA  DB =  DC  DA  DB  DC 0  ®pcm
VÝ dơ 7: Cho a , b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có ®¼ng thøc:
a.  a + b  =  a  +  b .
b.  a + b  = a b .

Giải
a. Đặt a = AB và b = BC .
Giả sử, a và b cùng hớng thì A, B, C thẳng hàng theo thứ tù ®ã.
Ta cã:

a  b  AB  BC  AC


a  b  AB  BC  AC



 a  b
 AC



 a  b
 AC


(1)

Tõ (1) vµ (2)   a + b  =  a  + b .
Vậy, có đẳng thức a + b  =  a  +  b  khi và chỉ khi
b. Đặt a = AB và b = BC
Cách 1: giả sử ABC vuông tại B, ta cã:
a + b = AB + BC = AC .
a  b = AB  BC = AB + ( BC ) .
Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua B, ta cã:
(1)  a  b = AB + BC 1 = AC 1 .
Do đó:

(2)

a

và b cùng híng.

(1)

11


 a + b  = AC.

 a  b = AC1,
Mà AC = AC1 (do ABC cân tại A)
Vậy, có đẳng thức a + b =  a  b  khi a vu«ng gãc víi b .
Cách 2: Giả sử BD là đờng chéo của hình bình hành vẽ trên hai véctơ AB và BC .
Ta cã:
(1)
a + b = AC   a + b  = AC.
Mµ, DC = a vµ CB =  b nªn:
(2)
a  b = DC + CB = DB   a  b  = DB.
Theo ®Ị bµi, ta cã:
 a + b  =  a b AC = BD
ABCD là hình chữ nhật a b .
Vậy, có đẳng thức  a + b  =  a  b  khi a  b .
VÝ dô 8:

Cho  a + b = 0. So sánh độ dài, phơng, hớng của hai vectơ

a

và b .

Giải
Vì a + b  = 0 
VËy, a vµ b cã:

a

+ b = 0 

a

=b .

  a  =  b .
Cùng phơng.
Ngợc hớng.
Ví dụ 9:

Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau.

Giải
Ta có:
Nếu AB = CD thì ABCD là hình bình hành. Do đó, AD và BC có trung
điểm trùng nhau.
Nếu AD và BC có trung điểm trùng nhau thì ABCD là hình bình hành. Do
đó: AB = CD
Ví dụ 10: Cho ba lùc F1 = MA , F2 = MB , F3 = MC cùng tác động vào

một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cờng độ của F1 và F2
đều là 100N và AMB = 600. Tìm cờng độ và hớng của lực F3 .

Giải Bạn ®äc tù vÏ h×nh
ABC cã MA = MB = 100N và AMB = 600 nên ABC đều
Đờng cao MH = MA 3 MH = 50 3 (N).
2

Vì F3 là lực tổng hợp của F1 và F2 nên

12


F3 = MC víi MC = MA + MB .

Suy ra, F3 có cờng độ bằng MC và F3 có hớng là tia phân giác trong của góc
AMB.
Vì AMBC là hình thoi nên MC = 2MH.
Do đó, MC = 100 3 (N).
VËy, F3 cã cêng ®é b»ng 100 3 (N) và có hớng là tia phân giác trong cảu góc
AMB.
Ví dụ 11: Cho ABC đều có cạnh bằng a. Tính độ dài vectơ tổng AB + AC .

Giải
Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A 1 đối xứng với A
qua M, ta có ngay ABA1C là hình bình hµnh, suy ra:
AB + AC = AA 1

A1

B
M

  AB + AC  =  AA 1  = 2AM = 2. a 3 = a 3 .
2
A
C
Chó ý: Víi các em học sinh cha nắm vững kiến thức về tổng của hai vectơ thì thờng
kết luận ngay rằng:
AB + AC  =  AB  +  AC  = a + a = 2a.

VÝ dô 12: Cho ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O.
a. Chứng minh rằng:
OA OB OC 0 .
b. HÃy xác định các điểm M, N, P sao cho:
OM = OA OB ; ON = OB  OC ; OP = OC OA .

Giải
a. Vì ABC đều nên O chính là trọng tâm ABC, do đó ta có ngay:
OA  OB  OC 0 .

b. Gäi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. M
Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy điểm M
đối xứng với O qua C1, ta có đợc OM = OA OB .
Các điểm N, P đợc xác định tơng tự.
B
Ví dụ 13: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng:
AD + BE + CF = AE + BF + CD .

A
C1

O

C

 Gi¶i
BiÕn đổi tơng đơng đẳng thức về dạng:

( AD AE ) + ( BE  BF ) + ( CF  CD ) = 0




 ED + FE + DF = 0  EF + FE = 0  EE = 0 , đúng.
Ví dụ 14: Cho ABC. HÃy xác định điểm M thoả mÃn điều kiện:

(*)
MA MB + MC = 0 .

13


Giải
Biến đổi (*) về dạng:

BA + MC = 0 MC = AB
ABCM là hình bình hành.
Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện:
Kẻ Ax // BC.
B
Kẻ Cy // AB.
Giao của Ax và Cy chính là điểm M cần tìm.

M

A

C

bài tập lần 2
Bài tập 1. Vectơ đối của vectơ a là vectơ nào ?

Bài tập 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chøng minh r»ng:
AB + CD = AD + CB .
Bài tập 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chøng minh r»ng:
a. BC + AB = DC +
b. CD + BC + AB =
AD .
AD .
Bµi tËp 4. Cho 6 ®iĨm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng:
AD + BE + CF = AE + BF + CD .
Bµi tËp 5. Cho ABC. Gäi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng
minh r»ng:

AM + BN + CP = 0 .
Bµi tËp 6. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai ®êng chÐo. Chøng minh r»ng:

a. OA + OB + OC + OD = 0 .
b. OA + OB = OC + OD .
Bài tập 7. Cho ABC vuông tại A, biết AB = a và AC = b. Tính độ dài vectơ tổng
AB + AC .
Bài tập 8. Cho ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O.
a. Chứng minh rằng OA OB OC 0 .
b. HÃy xác định các điểm M, N, P sao cho:
OM = OA OB ; ON = OB  OC ; OP = OC OA .

Bài tập 9. Cho hai vectơ tuỳ ý a và b . Các hệ thức sau đúng hay sai ?
a.  a + b  =  a  +  b .
b.  a + b    a  +  b .
Bµi tËp 10. Cho 6 ®iĨm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng:
AD + BE + CF = AE + BF + CD .
Bài tập 11. Cho hình bình hành ABCD.

Chứng minh rằng:

+
=
0.
AB
AC
AD
Bài tập 12. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng:
14


AD + BE + CF = AF + BD + CE .
Bài tập 13. Cho ABC. HÃy xác định điểm
M thoả mÃn điều kiện:


+
=
.
MA MB
0
MC
Bài tập 14. Cho hai điểmA và B phân biệt. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a. MA + MB = 0 .
c. MA  MB = AB .

b. MA  MB = BA .
d. MA  MB = 0 .

15