Nhi thuc Niu-Ton

Kỷ niệm 40 năm thành lập khoa Toán - ĐHSP Thái Nguyên


Kiểm tra bài cũ
1- Nêu công thức tính số tổ hỵp chËp k cđa n (0 k n)
n!
C 
k!(n  k)!
k
n

2- Nêu tính chất của các số Ckn
k
n

n-k
n

1) C C
k-1
n-1

k
n-1

(0 k  n)
k
n

2) C  C C

(1 k < n)


Đ3 Nhị thức Niu-Tơn
Tiết 27
I- Công thức nhị thức Niu-Tơn
Ta cã:
1 1 1
0 2
22
?
?
?
2
2
2
(a + b) = a + 2ab + b = C2a + C2a b + C2b
?3 3
1 2
?2 2
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3a b2 + b3 = C?0a3+ C ?
a b +C ab + C b
3

?

3

3

3

(a + b)4 = (a+b)(a + b)3

Tỉng qu¸t

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
= C04 a 4  C14 a3b  C24 a 2b 2  C34 ab 3  C44b 4

(a  b)n = Cn0an + C1nan 1 b +...+ Cknan kbk +...+ Cnn 1abn 1 + Cnnbn (1)

Công thức (1) gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn


Tiết 27

Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

I- Công thức nhị thức Niu-Tơn



Công thức nhị thức Niu-Tơn:
(a b)n Cn0an C1nan 1b  ...  Cknan kbk  ...  Cnn 1abn 1  Cnnbn

(1)

HƯ qu¶
n
0

1
n
2

C

C

...

C
1)
Víi
a=b=1,
ta
cã:
n
n
n

0 k n k1 k
0 n
1 n 1
nk1 k n  1
nn n n
n
n 2)(1Víi
0

C


C

...

(-1)
C

...

C
a=1;
b=
-1,
ta
cã:
2 =  1) = Cn 1 + Cn 1 1 +...+ Cnn 1 n1 +...+Cn 1.1
+ Cn n1(-1)
n
n
0 n
1 n 1
k n k
k
n 1
n 1
n
n
(11)
C

1
C
1
(-1)
C
1
(-1)
C
1(-1)
C
(-1)
0 =
+...+
+...+
+
= n + n
n
n
n


Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

Tiết 27

I- Công thức nhị thức Niu-Tơn
(a  b)n Cn0an  Cn1 an 1b  ...  Cknan kbk  ...  Cnn 1abn 1  Cnnbn

(1)

Chó ý: Vế phải của công thức (1):



n 1
n 0 n
n-1
Cn0 anb0 + C1n an-1 b +...+ Ckn an-k bk +...+C
a
b
a
C
b
+
n
n




1

2

k+1

n

n+1

a-Sè các hạng tử là: n + 1;
b- Các hạng tử có số mũ của b tăng dần từ 0 đến n,
các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
nhng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử
luôn bằng n (qui ớc a0=b0=1)
c- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử
đầu và cuối thì bằng nhau.


Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

Tiết 27

I- Công thức nhị thức Niu-Tơn
(a  b)n Cn0an  Cn1 an 1b  ...  Cknan kbk  ...  Cnn 1abn 1  Cnnbn

VÝ dụ 1:

(1)

Khai triển (x+y)5

Giải: Theo công thức nhị thức Niu – t¬n ta cã
(x+y)5 = C05 x 5 + C15 x 4 y + C52 x 3 y 2 + C35 x 2 y 3 + C54 x y 4 + C55 y 5
= x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
VËy (x+y)5 =x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
VÝ dô 2: Khai triĨn (3x-2)4
KÕt qu¶:

(3x-2)4 = 81x4 -216x3 +216x2 – 96x +16

Tiết 27

Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

I- Công thức nhị thức Niu-Tơn
(a  b)n Cn0an  Cn1 an 1b  ...  Cknan kbk  ...  Cnn 1abn 1  Cnnbn
n
0
1
n
1)
2

C

C

...

C
HÖ qu¶:
n
n
n
2) 0 Cn0  Cn1  ...  (-1)k Cnk  ...  Cnn (-1)n
VÝ dô 3: Chøng tá r»ng víi n≥4, ta cã 4, ta cã
Cn0  Cn2 + Cn4  ... = C1n  Cn3 + Cn5  ... = 2n-1
0

2
4
A
=
C

C
+
C
Gi¶i: KÝ hiƯu
n
n
n  ...
B = C1n  Cn3 + Cn5 ...
Theo hệ quả trên ta có A + B = 2n
A–B=0
Suy ra A = B = 2n-1

(1)


Tiết 27

Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

I- Công thức nhị thức Niu-Tơn
(a  b)n Cn0an  Cn1 an 1b  ...  Cknan kbk  ...  Cnn 1abn 1  Cnnbn

(1)

II- Tam gi¸c Pa-Xcan
0
,
(a+b)
=
1
n=0
1
,
(a+b)
=
1a + b1
n=1
2
2
2
,
(a+b)
=
a
+
2ab
+
b
2
1
1
n=2
3
,

(a+b)
=
3 2 + b13
n=3
a13 + 3a32b + 3ab
4
,
(a+b)
=
a14 + 4a43b + 6a62b2 + 4ab
4 3 + 1b4
n=4
?
?5
?
n=5
1? ?5
1?
10
10
?
n=6
?1
?6
?
?
?
15
15
20

6 ?1
n=7
7
21 35
1
35
21 7 1
n=8
56
28 8
1
1 8 28 56 70


Tiết 27

Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

II- Tam giác Pa-Xcan
1
n=0
1
n=1
1
2
1
n=2
1
n=3
1

3
3
1
n=4
6
4 1
1 4
n=5
10 5 1
1 5 10
n=6
1 6 15 20
15 6 1
n=7
1 7 21 35
35 21 7 1
n=8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
NhËn xÐt: Tõ c«ng thøc Ckn Ckn--11  Ckn-1
suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào dòng trớc nó
3
2
3
Chẳng hạn: C6 = C5 C5 =10+10=20


Tiết 27

Đ3 Nhị thức Niu-Tơn

II- Tam giác Pa-Xcan
1
n=0
1
n=1
1
2
1
n=2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
6
4 1
1 4
n=5
10 5 1
1 5 10
n=6
1 6 15 20
15 6 1
n=7
1 7 21 35
35 21 7 1
n=8
1 8 28 56 70 56 28 8 1

?

Dïng tam gi¸c Pa-xcan, chøng tá r»ng:
2
2
C
C
b)
1
+
2
+...
+
7
=
a) 1 + 2 + 3 + 4 = 5
8


Bài học hôm nay các em cần nắm đợc

+ Công thức nhị thức Niu Tơn
+ Tam giác Pa-xcan