DSpace at VNU: Bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia

Bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia
Mai Hải An
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Toán giải tích; Mã số 60.46.01.02
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Bá Minh
Năm bảo vệ: 2013

Abstract. Trình bày một số tính chất của ánh xạ đa trị: Một số khái niệm và tính chất
của nón, điểm hữu hiệu trong không gian Tôpô tuyến tính, một số tính chất của ánh xạ
đa trị từ một tập con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff vào không gian Tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff; Một số khái
niệm mới về tính liên tục, tính lồi (lõm) theo nón của ánh xạ đa trị, điều kiện cần và đủ
để ánh xạ đa trị là C-liên tục trên (dưới) và mối liên hệ với tính C-liên tục trên (dưới);
Mở rộng định lý Banach-Steihaus cho một họ các hàm lồi (lõm) trong không gian
thùng và dựa vào đó để xây dựng các điều kiện cần và đủ về tình C-liên tục trên hoặc
dưới của ánh xạ đa trị; Đưa ra một số điều kiện liên hệ giữa tính C-liên tục trên (dưới)
trong trường hợp ánh xạ đa trị là lồi (lõm) theo nón C. Nghiên cứu bài toán bao hàm
thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và ứng dụng: Trình bày bài toán trong lý thuyết
tối ưu vectơ đa trị đó là các bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia,
mỗi loại được phân thành hai lớp trên, dưới khác nhau. Phần cuối luận văn trình bày
các định lý về điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (UQVIP), bài toán (LQVIP), đồng
thừoi chỉ ra mối quan hệ giữa các bài toán bao hàm thức biến phân với các bài toán tựa
cân bằng lý tưởng trên, dưới, bài toán tựa cân bằng pareto và điều kiện đủ về sự tồn tại
nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng phụ vụ tham số.
Keywords. Toán giải tích; Biến phân; Bài toán.


Lời nói đầu
Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh
tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1906. Cơ sở toán
học của lý thuyết này là những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một

không gian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó đưa ra bởi Cantor và Hausdorff
vào cuối thế kỉ 19, đầu thế kỉ 20. Sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối
ưu của Kuhn-Tucker, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto trong thập niên 50 thế kỉ
20, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu mới thực sự được công nhận là một ngành Toán học
quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Ban đầu các nhà Toán học nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn
trị trong không gian Euclide hữu hạn chiều mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón
orthant dương. Sau đó mở rộng các bài toán trong không gian vô hạn chiều với nón
bất kì và những bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều.
Đầu thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển của toán học và nhiều lĩnh vực khoa học khác,
những định nghĩa, tính chất...của ánh xạ đơn trị dần dần được mở rộng cho ánh xạ đa
trị.
Đối với toán học, bài toán điểm cân bằng đơn trị, bài toán bất đẳng thức biến phân
được biết đến từ lâu, bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash... Sau đó bài toán
được mở rộng sang đa trị và phát triển thành các bài toán cân bằng đa trị, tựa cân
bằng, bài toán tựa tối ưu tổng quát, bài toán bao hàm thức tựa biến phân...
Đến nay, có nhiều nhà Toán học nghiên cứu về các bài toán này và đã có rất nhiều
công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín. Bài toán bao hàm thức
tựa biến phân có cách nhìn bao quát, thống nhất mối quan hệ giữa các bài toán khác
nhau trong lý thuyết tối ưu, do đó luận văn trình bày các bài toán bao hàm thức tựa
biến phân kiểu Stampacchia, đưa ra điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán
4


này dựa trên kĩ thuật vô hướng hóa hàm đa trị thông qua các phiếm hàm gξ và Gξ và
mối quan hệ của nó với các bài toán tựa cân bằng, bài toán tối ưu lý tưởng.
Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 1
Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập
hợp con khác rỗng, C ⊂ Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:Si : D → 2D ; i = 1, 2,
T : D → 2K , F : K × D × D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho:

• x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x)

(UQVIP1)

• x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x)

(LQVIP1)

Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2
Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập
hợp con khác rỗng, C ⊂ Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:Si : D → 2D ; i = 1, 2,
T : D × D → 2K , F : K × D × D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho:
• x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x, x)

(UQVIP2)

• x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x, x)

(LQVIP2)

Luận văn được hoàn thành dựa trên cơ sở hai bài báo: " On the existence of solutions
of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type" ([7]) và "On the existence
of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints" ([8]) của các tác giả Minh
N. B. và Tan N.X.. Luận văn có cấu trúc gồm 2 chương như sau:
Chương 1. Một số tính chất của ánh xạ đa trị:
Chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất của nón, điểm hữu
hiệu trong không gian tôpô tuyến tính, một số tính chất của ánh xạ đa trị từ một tập
con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, trình bày một số khái niệm mới về tính
liên tục, tính lồi (lõm) theo nón của ánh xạ đa trị, điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa

trị là C-liên tục trên (dưới)và mối liên hệ với tính C-liên tục trên (dưới). Tiếp theo,
luận văn mở rộng định lý Banach-Steihaus cho một họ các hàm lồi (lõm) trong không
5


gian thùng và dựa vào đó để xây dựng các điều kiện cần và đủ về tính C-liên tục trên
hoặc dưới của ánh xạ đa trị. Cuối chương, chúng ta đưa ra một số điều kiện liên hệ
giữa tính C-liên tục trên (dưới) trong trường hợp ánh xạ đa trị là lồi (lõm) theo nón
C. Một số các kết quả của chương này được sử dụng cho việc nghiên cứu và chỉ ra sự
tồn tại nghiệm của các bài toán ở Chương 2.
Chương 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và ứng
dụng
Trong chương này, luận văn trình bày bài toán trong lý thuyết tối ưu vectơ đa trị
đó là các bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, mỗi loại được phân
thành hai lớp trên, dưới khác nhau. Phần cuối, luận văn trình bày: các định lý về điều
kiện tồn tại nghiệm của bài toán (UQVIP); bài toán (LQVIP). Đồng thời, luận văn
cũng chỉ ra mối quan hệ giữa các bài toán bao hàm thức biến phân với các bài toán
tựa cân bằng lý tưởng trên, dưới, bài toán tựa cân bằng Pareto và điều kiện đủ về sự
tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng phụ thuộc tham số.

6


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu
đa trị, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[2] Berge (1959), Espaces Topologiques et Fontion Multivoques, Dunod, Paris.
[3] Fu J.Y (2000), Generalized vector quasi-equilibrium problems, Math.Methods
Oper.Res, 52,57-64.
[4] Guerraggio A and Tan N.X. (2002), On general vector quasi-optimization problems,

Math Methods Oper.Res, 55, 347-358.
[5] Luc D.T and Tan N.X. (2004), Existence condition in variational inclusions with
contraints, Optimization 53(5,6), 505-515
[6] Minh N.B. and Tan N.X. (2000), Some sufficient conditions for the existence of
equilibrium point concerning multivalued mappings, Vietnam J.Math, 28, 295-310.
[7] Minh N.B. and Tan N.X (2005), On the existence of solutions of quasivariational
inclusion problems of Stapachia type, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 8,1-16.
[8] Minh N.B. and Tan N.X. (2006), On the existence of solutions of quasi-equilibrium
problems with constraints, Math.Methods.Oper.Res, 64,17-31.
[9] Park S (2000), Fixed points and quasi-equilibrium problems, Nonliner operator
theory, Math.Comput.Model, 32,1297-1304.
[10] Tan N.X. and Tinh P.N. (1998) On the existence of equilibrium points of vector
functions, Numer.Funct.Anal.Optim, 19, 141-156
54


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[11] Tan N.X. (2004) On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 123, 169-638.
[12] Luc D.T., Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 319, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1989.
[13] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập môn giải tích lồi ứng
dụng, NXB ĐHQGHN, Hà Nội.
[14] Banach S., Theory of Operations Linear, Monography Mathematics, PWN 1932.
[15] Blum E. and Oettli W. (1994) From optimization and variational inequality to
equilibrium problems, The Math.Student 63, 127-149
[16] Rockafeller R.T. (1970) Convex Analysis, Princeton University Press.
[17] Tuy H. (2003) Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers.

55

MAI HẢI AN