DSpace at VNU: TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
*****

NGUYỄN HỌC THỨC

TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG
LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60460106
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội – 2014


Lý thuyết hệ động lực được khai sinh bởi nhà toán học nổi tiếng người Pháp,
Henri Poincaré cách đây một thế kỷ khi ông công bố tác phẩm nổi tiếng cuả mình
trình bày các nghiên cứu về lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Ngày nay,
từ những kết quả đạt được của nhiều nghiên cứu gần đây, lý thuyết hệ động lực đã trở
thành một nhánh nghiên cứu chính trong toán học được nhiều nhà khoa học quan
tâm. Điều quan trọng hơn là lý thuyết hệ động lực có mối liên quan chặt chẽ với
nhiều ngành toán học khác cũng như có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khoa Mục đích của luận văn là trình bày tính chất egodic của hệ động lực cũng
như của quá trình ngẫu nhiên và các hệ quả của các tính chất đó thông qua khái
niệm và các định lý liên quan đến trung bình theo thời gian và trung bình theo tập
hợp.
Luận văn được chia làm ba chương với các nội dung chính như sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trình bày về mô hình toán học cơ bản của quá trình ngẫu nhiên và đưa ra một số
khái niệm cơ bản về hệ động lực ngẫu nhiên.

Định nghĩa: Không gian xác suất là bộ ba (, B, m) , bao gồm không gian mẫu
,  - trường B các tập con của  và độ đo xác suất m xác định trên σ - trường;
nghĩa là m( F ) được gán cho một số thực với mọi phần tử F của B và thỏa mãn các
điều kiện sau:
 Không âm:
m( F )  0, F B.

 Chuẩn hóa:
m()  1.

 Cộng tính đếm được: Nếu Fi  B, i  1, 2,... là các tập rời nhau thì
  
m   Fi    m( Fi ).
 i 1  i 1

Định nghĩa: Cho (, B) và ( A, BA ) là hai không gian đo được. Một biến ngẫu
nhiên hay hàm đo được xác định trên (, B) và lấy giá trị trong ( A, BA ) là một ánh xạ
hoặc hàm f :   A với tính chất
Nếu F BA thì f 1 ( F )  {x : f ( x)  F}B.

1


Trong trường hợp A không được chỉ rõ thì ta coi f như là một biến ngẫu nhiên A giá trị. Nếu σ - trường không được cho một cách rõ ràng thì ta nói rằng f là B / BA - đo
được.
Định nghĩa: Một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, hoặc đơn giản là quá
trình ngẫu nhiên là một dãy các biến ngẫu nhiên { X n }nI , với I là tập chỉ số, xác định
trên không gian xác suất ( , B, m ).
Định nghĩa: Hệ động lực trừu tượng bao gồm một không gian xác suất (, B, m)
cùng với một phép biến đổi đo được T :    . Tính đo được theo nghĩa là nếu F B

thì ta cũng có T 1F B . Bộ bốn (, B, m, T ) được gọi là hệ động lực trong lý thuyết
egodic.
Mô hình quá trình ngẫu nhiên là một dãy hoặc một họ các biến ngẫu nhiên xác
định trên một không gian xác suất thông thường được xem như một biến ngẫu nhiên
cùng với một phép biến đổi được xác định trên một không gian xác suất. Nghĩa là qua
một phép biến đổi nào đó định trước thì từ biến ngẫu nhiên ban đầu sinh ra các biến
ngẫu nhiên tiếp theo và tạo thành dãy các biến ngẫu nhiên trên không gian ta đang
xét.
Chương 2. Trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian.
Trình bày khái niệm về trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian, từ đó
phát triển các tính chất liên quan đến hai loại trung bình này.
Định nghĩa 2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là hàm đo được f :   R, mỗi biến ngẫu
nhiên rời rạc bất kỳ được biểu diễn dạng
M

f ( x)   bi 1Fi ( x)
i 1

Với bi  R, Fi B tạo thành một phân hoạch của Ω và 1F là hàm chỉ tiêu của
i

Fi , i  1,..., M

Định nghĩa 2.2. Trung bình theo tập hợp của biến ngẫu nhiên f :   R, xác định
như công thức trên đối với độ đo xác suất m được xác định bởi công thức:
M

Em f   bi m( Fi )
i 0

Bổ đề sau chỉ ra rằng trung bình theo tập hợp của biến ngẫu nhiên rời rạc là định
nghĩa tốt.
Bổ đề 2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc f :   R, xác định trên không gian xác
suất (, B, m) , khi đó trung bình theo tập hợp là định nghĩa tốt.
2


Tiếp theo là các tính chất cơ bản của trung bình theo tập hợp của biến ngẫu nhiên
rời rạc.
Bổ đề 2.2.
(a) Nếu f  0 với xác suất 1 thì Em f  0
(b) Em1  1
(c) Trung bình theo tập hợp có tính chất tuyến tính, tức là với các số thực  ,  bất
kỳ và f, g là các biến ngẫu nhiên rời rạc bất kỳ thì
Em ( f   g )   Em f   Em g

(d) Nếu f là biến ngẫu nhiên rời rạc thì | Em f | Em | f |
(e) Nếu f, g là hai biến ngẫu nhiên rời rạc và f  g với xác suất 1 thì
Em f  Em g

Định nghĩa 2.3. Cho biến ngẫu nhiên f trên hệ động lực (, B, m, T ) , trung bình
theo thời gian cấp n,  f n được định nghĩa như trung bình số học của các biến ngẫu
nhiên tại các thời điểm 0, 1, …, n-1, tức là
n 1

 f n ( x)  n1  f (T i x)
i 0

Bổ đề 2.3. Trung bình theo thời gian có các tính chất sau với mọi n:
(a) Nếu fT i  0 với xác suất 1, i = 0,1,2,…,n-1 thì  f n  0

(b)  1 n  1
(c) Với các số thực bất kỳ  ,  và các biến ngẫu nhiên bất kỳ f, g ta có
  f   g n    f n    g  n

(d)  f n  f n
(e) Cho hai biến ngẫu nhiên f và g mà f  g với xác suất 1, khi đó
 f n  g n

Chứng minh.
Tất cả các tính chất được suy ra từ tính chất của phép lấy tổng. Chú ý rằng, đối
với (a) ta phải yêu cầu thêm điều kiện f không âm hầu khắp nơi để fT i không âm
3


hầu khắp nơi. Ngoài ra, đây là trường hợp đặc biệt của bổ đề 2.4.1 cho một x cụ thể
ta định nghĩa một độ đo xác suất trên các biến ngẫu nhiên lấy các giá trị f (T k x) với
xác suất 1/ n với k  0,1,..., n  1.
Định nghĩa 2.4. Cho biến ngẫu nhiên f trên hệ động lực (, B, m, T ) , gọi Ff là tập
tất cả các giá trị x  để giới hạn lim
n 

1 n 1
 f (T k x) tồn tại. Với các giá trị x như vậy ta
n k 0

định nghĩa trung bình theo thời gian hoặc giới hạn trung bình theo thời gian <f> bởi
giới hạn trên, tức là
 f  lim  f n
n 

Bổ đề 2.4. Trung bình theo thời gian có các tính chất sau khi chúng được định
nghĩa tốt; tức là khi giới hạn tồn tại:
(a) Nếu fT i  0 với xác suất 1, i  0,1,... thì  f  0
(b)  1  1
(c) Với  ,  là các số thực bất kỳ, f và g là các biến ngẫu nhiên bất kỳ ta có
  f   g    f     g 

(d)  f   f 
(e) Cho hai biến ngẫu nhiên f và g mà f  g với xác suất 1, khi đó ta có
 f  g 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đình Công (2002), Lý thuyết hệ động lực, Nhà xuất bản Đại học
quốc gia Hà Nội.
[2] ĐặngHùng Thắng (2001), Quá trình dừng và ứng dụng, Nhà xuất bảnĐại
học Quốc gia Hà Nội.
[3] ĐặngHùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bảnĐại học quốc
gia Hà Nội.
[4] P. Billingsley (1965), Ergodic Theory and Information, Wiley, New York.
4


[5] Michael Brin and Garrett Stuck (2002), Introduction to Dynamical Sys-tems,
Cambridge University Press.
[6] L. A. Bunimovich, S. G. Dani, R. L. Dobrushin, M. V. Jakobson, I. P.
Kornfeld, N. B. Maslova, Ya. B. Pesin, Ya. G. Sinai, J. Smillie, Yu. M.
Sukhov, A. M. Vershik (1999), Dynamical Systems, Ergodic Theory and
Applications, Springer.
[7] N. A. Friedman (1970), Introduction to Ergodic Theory, Van Nostrand

Reinhold Company, New York.
[8] R. M. Gray (1987), Probability, Random Processes and Ergodic Proper-ties,
Springer-Verlag.
[9] R. M. Gray and J. C. Kieffer (1980), Asymptotically mean stationary
measures, Ann. Probab.
[10] P. R. Halmos (1956), Lectures on Ergodic Theory, Chelsea, New York.
[11] D. Ornstein (1975), Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Sys-tems,
Yale University Press, New Haven.

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80
[12] K. Petersen (1983), Ergodic Theory, Cambridge University Press, Cam-bridge.
[13] Omri Sarig (2008), Lecture Notes on Ergodic Theory, Penn State, Fall.
[14] Ya. G. Sinai (1989), Ergodic Theory with Applications toDynamical Sys-tems
and Statistical Mechanics, Springer-Verlag.
[15] Peter Walters (1982), An Introduction to Ergodic Theory, Graduate Texts
in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin.

5