DSpace at VNU: Điểm osculation của sóng Rayleigh trong một số mô hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------

DOÃN THU HƢƠNG

ĐIỂM OSCULATION CỦA SÓNG RAYLEIGH
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------

DOÃN THU HƢƠNG

ĐIỂM OSCULATION CỦA SÓNG RAYLEIGH
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH

Mã số: 60 44 01 07
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN THANH TUẤN

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo hướng dẫn
TS. Trần Thanh Tuấn, người đã giao đề tài và quan tâm, tận tình hướng dẫn em
trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn Cơ
học do PGS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà
Nội đãdạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu tại khoa.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - Đại Học QuốcGia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong
quá trình thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, em cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện
cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên

Doãn Thu Hƣơng


Mục Lục

Mục Lục ...................................................................................................................... 4
Lời mở đầu .................................................................................................................. 5
Chương 1: Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm đàn hồi
trực hướng ................................................................................................................... 7

1.1. Các phương trình truyền sóng cơ bản .............................................................. 7
1.2. Trường hợp tấm có hai mặt tự do ..................................................................... 9
1.3. Trường hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dưới bị ngàm ................................... 10
Chương 2. Các công thức xác định điểm tiếp xúc .... Error! Bookmark not defined.
2.1. Trường hợp tấm có hai mặt tự do ................... Error! Bookmark not defined.
2.2. Trường hợp tấm có mặt đáy bị ngàm.............. Error! Bookmark not defined.
Trường hợp: C 2  A2  0  C 2  A2 ................ Error! Bookmark not defined.
Trường hợp C 2  1  A2 ..................................... Error! Bookmark not defined.
2.3. Tính trơn của đường cong phổ vận tốc tại điểm tiếp xúcError! Bookmark not defined.
Chương 3. Trường hợp đẳng hướng và ví dụ minh họa sốError! Bookmark not defined.
3.1. Tấm có hai biên tự do ..................................... Error! Bookmark not defined.
3.2. Trường hợp tấm có mặt trên tự do, mặt đáy ngàmError! Bookmark not defined.

3.3. Ví dụ minh họa số các tập nghiệm điểm tiếp xúc S1 , S2 và S3 Error! Bookmark not defi
Kết luận ..................................................................... Error! Bookmark not defined.
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 11
Các công trình khoa học đã công bố ......................................................................... 12


Lời mở đầu
Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong các mô hình khác nhau thường
dẫn về một phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến là vận tốc truyền sóng
và tần số sóng cùng với các tham số vật liệu của mô hình. Trong việc giải số tìm nghiệm
của phương trình tán sắc này, tần số sóng thường được cho trước và vận tốc truyền sóng
sẽ được tìm bằng các phương pháp số khác nhau. Nói chung, với một giá trị tần số sóng,
sẽ có nhiều nghiệm của vận tốc và các nghiệm vận tốc này sẽ ứng với các mode truyền
sóng khác nhau của sóng mặt Rayleigh. Khi các nghiệm vận tốc truyền sóng được tìm với
các giá trị khác nhau của tần số sóng thì bức tranh miêu tả sự phụ thuộc của chúng được
gọi là các đường cong phổ của các mode truyền sóng. Thông thường các đường cong phổ
này nằm xen kẽ nhau. Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt của giá trị tham số mô

hình, tồn tại các cặp đường cong (ứng với các mode khác nhau) có vẻ như là tiến gần về
nhau và “tiếp xúc” với nhau. Các điểm tiếp xúc này là những điểm thuộc hai mode khác
nhau của bài toán truyền sóng Rayleigh và chúng là những điểm tương ứng với các
nghiệm bội của phương trình tán sắc. Có nhiều thuật ngữ tiếng Anh cho điểm đặc biệt
này như là “osculation points” hay “avoided crossing points” và luận văn sẽ sử dụng
thuật ngữ “điểm tiếp xúc”.
Những điểm tiếp xúc như trên không những chỉ xuất hiện trong bài toán truyền sóng
Rayleigh mà còn xuất hiện trong nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau như trong
vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, cơ học,... cùng với nhiều thuật ngữ khác nhau (xem
Kausel cùng các cộng sự, 2015, cùng với các tài liệu tham khảo của bài báo). Nói chung
những điểm tiếp xúc này là những nghiệm bội của bài toán giá trị riêng tương ứng với các
lĩnh vực ở trên, do đó chúng có một số tính chất đặc biệt. Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể
là trong phương pháp tỷ số H/V-là một phương pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh,
một tính chất đặc biệt của đường cong tỷ số H/V được phát hiện tại điểm tiếp xúc này.
Đó là tại điểm tiếp xúc, đường cong này sẽ có một điểm cực đại chuyển thành một điểm
không (xem Trần Thanh Tuấn, 2009). Do điểm cực đại và điểm không là hai điểm quan
trọng trong phương pháp tỷ số H/V nên điểm tiếp xúc của tập đường cong phổ vận tốc
của sóng mặt Rayleigh cần được nghiên cứu.
Trong lĩnh vực địa chấn, mặc dù điểm tiếp xúc đã được quan sát thấy từ khá lâu (ví
dụ như trong Sezawa và Kanai, 1935) nhưng những công trình nghiên cứu lý thuyết về
các điểm này vẫn còn khá ít. Theo Kausel và các cộng sự (2015) thì có thể nói rằng điểm
tiếp xúc trong lĩnh vực địa chấn được đề cập rõ ràng đầu tiên trong một cuốn sách của
Levshin (1973) và sau đó được đề cập và nhắc đến trong một số công trình như của
Forbriger (2006) và của Liu và các cộng sự (2009). Gần đây, một số kết quả giải tích về


điểm tiếp xúc của sóng Rayleigh trong một tấm đàn hồi, cụ thể là các công thức xác định
điểm tiếp xúc, đã được công bố trong Trần Thanh Tuấn (2009) và được bổ sung trong
Kausel và các cộng sự (2015). Tuy nhiên các công thức này mới chỉ được tìm cho trường
hợp tấm đàn hồi là đẳng hướng. Nội dung chính của luận văn cao học này là đi tìm các

công thức của điểm tiếp xúc của sóng Rayleigh trong tấm với các điều kiện biên khác
nhau khi tấm được làm từ vật liệu trực hướng. Hơn nữa, tính chất trơn của phổ đường
cong vận tốc tại các điểm tiếp xúc cũng được khảo sát.
Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận thì có 3 chương. Nội dung của chương 1 là
đi tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong tấm trong trường hợp tấm có
hai biên tự do và trường hợp tấm có một biên tự do và một biên ngàm. Chương 2 sẽ khảo
sát các phương trình tán sắc tìm được để đi tìm các công thức xác định điểm tiếp xúc và
khảo sát tính trơn của phổ đường cong vận tốc tại các điểm tiếp xúc. Chương 3 sẽ trình
bày các kết quả nhận được trong trường hợp đẳng hướng và minh họa một vài kết quả ví
dụ số.


Chƣơng 1: Phƣơng trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền
trong tấm đàn hồi trực hƣớng
Chương này sẽ sử dụng phương pháp truyền thống để đi tìm phương trình tán sắc của
sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm trực hướng. Đầu tiên, các phương trình trạng thái và
các phương trình chuyển động được trình bày lại theo các sách chuyên khảo. Sau đó, tùy
vào điều kiện biên của tấm, các phương trình tán sắc của sóng Rayleigh sẽ được thiết lập.
Các phương trình tán sắc này sẽ được sử dụng trong việc nghiên cứu điểm tiếp xúc trong
chương tiếp theo.
1.1. Các phƣơng trình truyền sóng cơ bản
Xét bài toán một tấm trực hướng có độ dày là h và các thông số vật liệu là
c11 , c12 , c22 , c66 . Sóng mặt Rayleigh được truyền trong mặt phẳng của tấm theo trục 0x1
trùng với một hướng chính của tấm và tắt dần theo trục 0x2 vuông góc với mặt phẳng
tấm. Trục Ox1 nằm ở đáy tấm có phương trình x2  0 và do đó mặt trên của tấm có
phương trình x2  h . Do bài toán truyền sóng Rayleigh là biến dạng phẳng nên trường
chuyển dịch có dạng
ui  ui ( x1 , x2 , t ), (i  1, 2), u3 ( x1, x2 , t )  0,

(1.1)

trong đó t là thời gian. Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch được cho bởi (ví dụ
xem Ting, 1996)

 11  c11u1,1  c12u2,2
 22  c12u1,1  c22u2,2

(1.2)

 12  c66 (u1,2  u2,1 )
trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian. Trong trường hợp không xét đến
trọng lực thì phương trình chuyển động của sóng Rayleigh có dạng

 11,1   12,2  u1 ,
 12,1   22,2  u2 .

(1.3)

Giả sử sóng lan truyền theo phương 0x1 với vận tốc c và số sóng k , khi đó các hàm
chuyển dịch có thể được biểu diễn dưới dạng
ui  Ui  x2  eik ( x1 ct ) , (i  1,2).

(1.4)


Thay dạng của các hàm chuyển dịch này vào phương trình chuyển động (1.3) sau khi đã
sử dụng phương trình trạng thái (1.2), ta thu được một hệ phương trình vi phân chuyển
động đối với U i ( x2 ) . Giải hệ này ta có nghiệm tổng quát của các hàm chuyển dịch có
dạng (xem Phạm Chí Vĩnh và Ogden, 2004)

u1  B1e kb1x2  B2e  kb1x2  B3e kb3 x2  B4e  kb3 x2
u2  1B1e kb1x2  1B2e  kb1x2   3 B3e kb3 x2   3 B4e  kb3 x2

(1.5)

trong đó Bi (i  1,4) là các hằng số tích phân và b1 , b3 là nghiệm của phương trình

c22c66b4  (c12  c66 )2  c22 ( X  c11 )  c66 ( X  c66 )  b 2  (c11  X )(c66  X )  0 (1.6)
với X  c2 . Chú ý rằng đây là một phương trình trùng phương của b và nói chung là
nó có bốn nghiệm phức b1 và b3 . b12 và b32 có thể thực hoặc phức và b1 , b3 là các căn
chính của chúng. Nghĩa là, trong trường hợp bi2 (i  1,3) là phức, bi được chọn là số phức
có phần thực dương. Nếu bi2 là số thực dương, bi cũng là số thực dương và nếu bi2 là số
thực âm, bi là các số thuần ảo có phần ảo dương. Trong phương trình (1.5), ta ký hiệu

 k  ik  (U 2 / U1 )k

(1.7)

với

k 

bk (c12  c66 )
c11  X  c66bk2

, (k  1,3).
c22bk2  c66  X
(c12  c66 )bk

(1.8)

Sử dụng các đại lượng không thứ nguyên

e1 

c11
c
c
X
, e2  22 , e3  12 , x 
c66
c66
c66
c66

(1.9)

khi đó phương trình (1.6) có dạng

e2b4  (e3  1)2  e2 ( x  e1 )  ( x  1)  b 2  (e1  x)(1  x)  0

(1.10)

và (1.8) có dạng
bk (e3  1)
e1  x  bk2
k 

, (k  1, 2).
e2bk2  1  x (e3  1)bk

(1.11)


Theo công thức Viet ta có:

(e3  1) 2  e2 ( x  e1 )  ( x  1)
S ( x)  b  b  
,
e2
2
1

2
3

(e  x)(1  x)
P( x)  b  b  1
.
e2
2
1

(1.12)

2
3

Các số hạng trong công thức của các hàm chuyển dịch trong (1.5) tương ứng với
bốn thành phần của sóng gồm hai sóng đi lên và hai sóng đi xuống của sóng qP và qSV

trong tấm.
Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số sẽ được
xác định từ các điều kiện biên. Trong phần tiếp theo của chương này, hai trường hợp biên
của tấm sẽ được xem xét. Đó là trường hợp tấm có hai mặt biên tự do và trường hợp tấm
có mặt trên tự do và mặt dưới bị ngàm. Hai trường hợp này là các trường hợp tới hạn của
mô hình tấm đặt trên bán không gian. Trường hợp đầu là trường hợp tới hạn khi bán
không gian có độ cứng rất nhỏ, và trường hợp sau là trường hợp khi bán không gian có
độ cứng rất lớn so với độ cứng của tấm.
1.2. Trƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên và mặt dưới của tấm ta có

 12 (0)   22 (0)  0
 12 (h)   22 (h)  0

(1.13)

Sử dụng các công thức của chuyển dịch (1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện biên
trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số đối với các hằng số tích phân
B1 , B2 , B3 , B4 dưới dạng ma trận như sau:

M1  [B1 , B2 , B3 , B4 ]T  0

(1.14)

trong đó ma trận M1 có dạng
 c66b1
 c b
M1   22 1  b11
 c66b1e


 b1
c221b1e

c66b1
c221b1
c66b1e  b1
c221b1e  b1

c66b3
c22 3b3
c66b3e b3
c22 3b3e b3

c66b3 
c223b3 
c66b3e  b3 

c22 3b3e  b3 

(1.15)


với   kh . Để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường thì định thức tương
ứng của ma trận phải bằng 0. Từ đó ta thu được phương trình tán sắc của sóng mặt
Rayleigh như sau
2

B02  B0
cosh( b1 )cosh( b3 ) 
sinh( b1 )sinh( b3 )  1

2B0 B0

(1.16)

trong đó

B0  b3 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb12 
B0  b1 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb32 

(1.17)

với S được biểu diễn trong (1.12).
Khi được biểu diễn thông qua các tham số của tấm, phương trình tán sắc (1.16) có dạng

cosh( b1 )cosh( b3 )  B

sinh( b1 ) sinh( b3 )
1
b1
b3

(1.18)

với
( Se2  2e3  x) 2 (1  x) 2 S  e22 x 2 PS  4e2 x( Se2  2e3  x)(1  x) P
(1.19)
B
( Se2  2e3  x) 2 (1  x) 2  e22 x 2 P  e2 xS ( Se2  2e3  x)(1  x)

trong đó P và S được cho bởi phương trình (1.12).

1.3. Trƣờng hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dƣới bị ngàm
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên của tấm và điều kiện ngàm của mặt dưới
tấm ta có
u1 (0)  u2 (0)  0,

 12 (h)   22 (h)  0.

(1.20)

Tương tự như trường hợp hai biên tự do, sử dụng các công thức của chuyển dịch (1.5) và
ứng suất (1.2) vào các điều kiện biên trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại
số đối với các hằng số tích phân B1 , B2 , B3 , B4 dưới dạng ma trận như sau:


Tài liệu tham khảo
1.

2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.
9.
10.
11.

12.

13.

Doãn Thu Hương (2011) , “Sóng Rayleigh Lam truyền trong môi trường thuần nhất
và môi trường không thuần nhất theo phương z”. Khóa luận tốt nghiệp ngành cơ
học, Trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên.
Achenbach, J. D. "Waves in elastic solids." Nord Holland, Amsterdam (1973).
Forbriger, Thomas. "Einige Gedanken zu: Oskulationen von Dispersionskurven,
Entartung und Hybridisierung von Moden." (2006).
Kausel, Eduardo, Peter Malischewsky, and João Barbosa. "Osculations of spectral
lines in a layered medium." Wave Motion 56 (2015): 22-42.
Levshin, A. L. "Surface and channel seismic waves." Nauka, Moscow (1973).
Liu, Xue‐Feng, You‐Hua Fan, and Xiao‐Fei Chen. "Research on the Cross of the
Dispersion
Curves
of
Rayleigh
Waves
and
Multi‐ModesCoupling
Phenomenon." Chinese Journal of Geophysics 52.5 (2009): 994-1002
Sezawa, Katsutada, and Kiyoshi Kanai. "Discontinuity in Dispersion Curves of
Rayleigh-Waves." Proceedings of the Imperial Academy 11.1 (1935): 13-14.
Ting.T.C.T. (1996). Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford
Unversity Press NewYork.
Tolstoy, Ivan, and Eugene Usdin. "Dispersive properties of stratified elastic and
liquid media: A ray theory." Geophysics 18.4 (1953): 844-870.
Tran Thanh Tuan. "The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves." PhD
diss., 2009.
Vinh, Pham Chi, and Nguyen Thi Khanh Linh. "An approximate secular equation of
Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin

orthotropic elastic layer." Wave motion 49.7 (2012): 681-689.
Vinh, Pham Chi, and R. W. Ogden. "On formulas for the Rayleigh wave
speed."Wave Motion 39.3 (2004): 191-197.
Vinh, Pham Chi, and R. W. Ogden. "Formulas for the Rayleigh wave speed in
orthotropic elastic solids." Archives of Mechanics 56.3 (2004): 247-265.


Các công trình khoa học đã công bố
Trần Thanh Tuấn, Peter Malischewsky, Doãn Thu Hương (2013). Tính chất của tỷ số
H/V tại điểm osculation trong mô hình một lớp có đáy bị ngàm. Tuyển tập Hội nghị
Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 79/11/2013, p.1275-1282.

\