DSpace at VNU: Về phép biến đổi Fourier phân và ứng dụng

Về phép biến đổi Fourier phân và ứng dụng
Phạm Thị Thảo
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn Thạc sĩ ngành: Toán học tính toán; Mã số: 60 46 30
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
Năm bảo vệ: 2011
Abstract: Trình bày các kiến thức nền tảng về phép biến đổi Fourier phân bao gồm:
định nghĩa, biểu diễn tích phân, các tính chất và phép toán toán tử. Giới thiệu một vài
ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và xử lý tín hiệu. Xây
dựng các tích chập có trọng, tích chập suy rộng của phép biến đổi Fourier phân và
ngược của nó, đồng thời áp dụng các chập này để giải phương trình tích phân dạng
chập.
Keywords: Toán học tính toán; Tích chập; Phép biến đổi FOURIER phân; Phương
trình tích phân dạng chập
Content
Lời mở đầu
Phép biến đổi Fourier phân là sử tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier thông thường
có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Những kiến thức ban đầu liên quan đến phép
biến đổi Fourier phân đã được xây dựng từ những năm 1920-1930. Sau đó, phép biến đổi này
nhiều lần được phát triển. Trong suốt thập niên 1980, nó nhận được sự quan tâm của một số
nhà toán học. Các tác giả V. Namias, A.C. McBride và F.H. Kerr không chỉ đưa ra định nghĩa
chuẩn cho phép biến đổi Fourier phân như là sự tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier
thông thường mà còn phát triển các phép toán tử cho biến đổi này; đồng thời ứng dụng nó để
giải quyết các vấn đề trong cơ học lượng tử. Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier phân chỉ thực
sự được quan tâm mạnh mẽ từ sau loạt bài báo về ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu.
Từ đó đến nay, nó đã trở thành một một công cụ rất hiệu quả trong xử lý các tín hiệu có tần số
phụ thuộc thời gian và xử lý các tín hiệu quang học. Nhiều nghiên cứu trên phép biến đổi
Fourier phân đã được thực hiện nhằm giải quyết các bài toán ứng dụng trong quang học, xử lý
tín hiệu, hệ động lực học, quá trình ngẫn nhiên.
Trong thời gian gần đây lý thuyết về tích chập của phép biến đổi Fourier phân đã được
nhiều tác giả quan tâm. Dựa trên những kết quả đã có về tích chập của phép biến đổi Fourier,

các tác giả tập trung xây dựng các tích chập đối với phép biến đổi Fourier phân và ứng dụng
các tích chập trong thiết kế bộ lọc.
Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm hai
chương:
Chương 1. Phép biến đổi Fourier phân
Trình bày các kiến thức nền tảng về phép biến đổi Fourier phân bao gồm định nghĩa,
biểu diễn tích phân, các tính chất và phép toán toán tử. Trong chương này, luận văn cũng giới
thiệu một vài ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và xử lý số tín
hiệu. Phép biến đổi Fourier phân cung cấp một kỹ thuật tiện lợi để giải quyết lớp các phương
trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng nảy sinh từ cơ học lượng tử. Ngoài ra, phép biến
đổi còn được ứng dụng để lọc trong miền Fourier phân và thiết kế bộ lọc tần số quét. Trong
chương này gồm các mục
1.1. Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân
1.2. Biểu diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân
1.3. Phép tính toán tử tổng quát
1.4. Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân
Chương 2. Tích chập của phép biến đổi Fourier phân
Giới thiệu sơ lược về các định lý chập và tích được phát triển bởi Almeida, Zayed,
Deng et al và Wei at al. Tiếp theo, chương này tập trung xây dựng các tích chập có trọng, tích
chập suy rộng của phép biến đổi Fourier phân và ngược của nó đồng thời áp dụng các chập
này để giải phương trình tích phân dạng chập. Trong chương này gồm các mục
2.1. Về tích chập của phép biến đổi Fourier phân
2.2. Một số tích chập có trọng của phép biến đổi Fourier phân
2.3. Ứng dụng
Kết luận. Luận văn giới thiệu một cách tổng quan về biến đổi Fourier phân gồm định
nghĩa, các tính chất, các phép toán tử và một số ví dụ về ứng dụng của nó trong cơ học lượng

2


tử. Luận văn cũng xây dựng các tích chập suy rộng mới cho biến đổi Fourier phân và sử dụng
các chập này để khảo sát lớp phương trình tích phân dạng chập.

3