ĐỊNH LÍ DẤU TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

 TỔNG QUAN về giải các bài toán tìm tham số m để phương trình L  x , m   0 có nghiệm (có n
nghiệm) trong miền D .
-

Đặt ẩn phụ t    x  , chuyển điều kiện x  D thành điều kiên tương ứng t  D1 (với bài toán
hỏi số nghiệm, cần chỉ rõ với mỗi t  D1 tương ứng cho mấy giá trị x D ).

-

Chuyển bài toán đã cho thành bài toán tìm m để f  t , m  0 có nghiệm (có n1 nghiệm) thuộc

D1 .

-

Chú ý: Với bài toán tìm m để f  t , m  0 có nghiệm (có n1 nghiệm) thuộc D1 thông thường có
các cách làm như sau:


Nếu f  t , m  0 nghiệm chẵn, tính trực tiếp.



Nếu f  t , m  0 có thể đưa về dạng tách ẩn, ta dung phương pháp bảng biến thiên.



1.

Nếu hai phương pháp trên không dung được, ta dung phương pháp tam thức bậc hai.
ĐỊNH LÍ DẤU TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Định lí thuận:
Cho f  x   ax2  bx  c  a  0  .


Nếu   0 thì af  x   0 x 



Nếu   0 thì af  x   0 x  



Nếu   0 ta có quy tắc: “trong trái-ngoài cùng”. Tức là khi đó f  x   0 có hai nghiệm phân

( f  x  luôn cùng dấu với hệ số a )

 b 
b
, f    0
2a  2a 

biệt x1 , x2  x1  x2  và af  x   0 x   x1 ; x2  ; af  x   0  x1 ; x2  .
2.

Định lí đảo:
Cho f  x   ax2  bx  c  a  0  . Khi đó f  x   0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 khi và
chỉ khi af    0 .

3.

Hệ quả. Cho f  x   ax2  bx  c  a  0 
a) Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm nằm trong  ;   và một nghiệm nằm ngoài  ;  

 f   . f     0 .


  0

b) Phương trình f  x   0 có hai nghiệm x1 , x2   (tương ứng   )  af    0 af    0

S   b     
 2
2a

  0

c) Phương trình f  x   0 có hai nghiệm x1 , x2   (tương ứng   )  af    0 af    0

S   b     
 2
2a









  0

 af    0

d) Phương trình f  x   0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2     af     0

  S  

2


Chú ý: phần d) là hợp của hai phần b), c).
4.

Một số bài toán: (Trong phần này f  x  là một tam thức bậc hai.)


Bài toán 1: Tìm điều kiện để phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc  ;   .
Lời giải. Xét 4 trường hợp:

 TH1: Phương trình f  x   0 có một nghiệm x1   và nghiệm x2   ;   .
 TH2: Phương trình f  x   0 có một nghiệm x1   và nghiệm x2   ;   .
 TH3: Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm nằm trong  ;   và một nghiệm nằm ngoài

 ;    f   . f     0 .
  0

 af    0

 TH4: Phương trình f  x   0 có cả hai nghiệm cùng nằm trong  ;     af     0


  S  

2


Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc  ;   .
Lời giải: Xét 3 trường hợp

 f    0
 TH1: Phương trình f  x   0 nhận  hoặc  làm nghiệm  
 f     0

 TH2: Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm nằm trong  ;   và một nghiệm nằm ngoài

 ;    f   . f     0 .

 TH3: Phương trình f  x   0 có cả hai nghiệm cùng nằm trong  ;  

  0

 af    0

  af     0

  S  

2

Chú ý: Bài toán 2 có thể giải gọn hơn theo 2 trường hợp

+ TH1: f   . f     0

  0

 af    0

+ TH2: Phương trình f  x   0 có cả hai nghiệm thuộc  ;     af     0

  S  

2
Tuy nhiên, sự phân chia trường hợp như thế không triệt để!



Bài toán 3: Tìm điều kiện để f  x   0 có nghiệm thuộc  ;      ;   hoặc

 ;     ;  .
Lời giải: Đối với bài toán này, ta nên chuyển về bài toán đối, đưa về giải quyết các bài toán
trên.