Định lý về dấu tam thức bậc hai

Giáo viên: Đào Văn Thắng
Bµi gi¶ng :
§Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
0ac,bxax)y
2
++=+
0a0,cbx)ax
2
=+++
Hãy gọi tên các đối t ợng sau:
Là hàm số bậc hai
Là ph ơng trình bậc hai
Xét biểu thức:
0ac,bxax)f(x)
2
++=+
Là tam thức bậc hai
Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai
I. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
1. Tam thức bậc hai
45xxf(x)
2
+=
b)Ví dụ:
4xg(x)
2
=
2
2x3xh(x) +=
2
5xf(x) =

f(x) = 2x-
5
a)Định nghĩa:
cbxaxf(x)
2
++=
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng
0a
Trong đó a,b,c là những số đã cho,
0a0,cbxax
2
=++
c)Chú ý: Nghiệm của ph ơng trình
0ac,bxaxf(x)
2
++=
Cũng đ ợc gọi là nghiệm của tam thức
0
y
x
Hình 1
0
y
x
Hình 2
0
y
x
x
1

x
2
Hình 3
0
x
y
0
x
y
0
x
y
x
1
x
2
Hình 6
Hình 5Hình 4
Xác định dấu của a và cho phù hợp với đồ
thị minh họa hàm số y = ax
2
+ bx + c , ( a 0)
a > 0
< 0
{
a < 0
< 0
{
a > 0
= 0

{
a < 0
= 0
{
a > 0
> 0
{
a < 0
> 0
{
0
y
x
0
y
x
x
y=f(x)
- ∞ + ∞
-
b
2a
0
Cïng dÊu víi a Cïng dÊu víi a

a > 0
a < 0
-
b
2a

-
b
2a
•
•
-
-
-
-
- -
-
-
+
+
+
+
+ +
+
+
y =f(x)= ax
2
+ bx + c , ( a≠ 0)
∆ = 0
0
y
x
. .
0
x
.

y
.
x
1
x
2
x
1
x
2
Cïng dÊu víi a Cïng dÊu víi a
Tr¸i dÊu víi a
a > 0
a < 0
y =f(x)= ax
2
+ bx + c , ( a≠ 0)
•
•
+
+
+
+
-
- -
-
-
-
-
-

-
+
+
+
+
+
x
1
x
2
+ ∞
0 0
y=f(x)
x
- ∞
∆ > 0
2.Dấu của tam thức bậc hai
a) Định lý (SGK)
Cùng dấu a
Cùng dấu a Cùng dấu a
2a
b

x
f(x)

+
0
4acb0),(ac,bxaxf(x)
22

=++=
b) Bảng xét dấu:
0) <+
)(,
212
xxx <>+
1
x nghiệm2 có f(x)0,)
0) =+
Cùng dấu a
x
1
x
2
Cùng dấu aTrái dấu a0 0
x
f(x)

+
x
f(x)

+
Dấu của tam thức bậc
hai phụ thuộc vào
yếu tố nào?
Suy ra quy trình
xét dấu tam thức
bậc hai?
*)Quy trình xét dấu tam thức

f(x)=ax
2
+bx+b
+)Tính hoặc '
+)Xét hệ số a


+)Nếu < 0 hoặc = 0 dấu f(x)
+)Nếu > 0 t ì m nghiệm của f(x) và lập bảng
3. ¸p dông
VÝ dô1: XÐt dÊu c¸c tam thøc bËc hai sau
54xxa)f(x)
2
+−=
Δ = − <Ta cã ' 1 0
14x4xb)f(x)
2
−+−=
∆ =Ta cã 0
65x
2
xc)f(x) +−=
∆ = >Ta cã 1 0
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu
x
f(x)
∞−
∞+
2 3
00

)(3,,2)(-x víi0f(x) +∞∪∞∈∀>⇒
(2;3)x víi0f(x) ∈∀<
vµ a =1 > 0
⇒ ∀ ∈f(x) > 0 víi x R
vµ a = -4 < 0
⇒ ∀ ≠
1
f(x) < 0 víi x
2
2
2, 3x⇒ = =
1
f(x) cã hai nghiÖm x
vµ a = 1 > 0
Ví dụ 2: a) Lập bảng xét dấu các tam thức
4-xf(x) *)
2
=
43x-xg(x) *)
2
+=
x
g(x)

+
0 0
1-4
x
f(x)

+
-2 2
00
b) Từ đó suy ra tập xác định của các hàm số
4x*)y
2
=
43xx
2x
*)y
2
+
+
=
(
] [
)
+= ;2;-2-Dlà TXĐ
( )
4;1-Dlà TXĐ =
3. áp dụng
VÝ dô3: XÐt dÊu c¸c biÓu thøc
5)4x)(xx(4a)f(x)
22
−+−=
2x2,x0x4 :cãTa
2
=−=⇔=−
5x1,x054xx
2

−==⇔=−+
LËp b¶ng xÐt dÊu:
x
2
x4 −
54xx
2
−+
f(x)
0 0
00
0 0 0 0
∞+
-5
-2 1 2
∞−
3. ¸p dông
Bài tập trắc nghiệm

2
-2xf(x) thức Tam :1CÂU =
Hãy chọn đáp án đúng
a)Luôn d ơng b)Luôn âm d)không âmc)không d ơng
3+=
2
xf(x) thức Tam :2CÂU
a số hệ vớidấu cùng 3xxf(x) thức Tam :3CÂU
2
+=
)33(x0,b)f(x) ;<

Rx0,c)f(x)
Rx0,d)f(x) >
Rxa)
3xb)
)3;0( xc)
);3()0;( +xd)
c)không d ơng
Rx0,d)f(x) >
( ; 3) (0; ) +d) x
);3()3;(x0,a)f(x) +>
)3;(;1)(xa) +
)(1;;-3)(xc) +
3;1)(xd)
a số hệ vớidấu trái 64x
2
-2xf(x) thức Tam :4CÂU +=
1;3)(xb)
3;1)(xd)
2.Dấu của tam thức bậc hai
Cùng dấu a
Cùng dấu a Cùng dấu a
2a
b

x
f(x)

+
0
4acb0),(ac,bxaxf(x)

22
=++=
Bảng xét dấu:
0) <+
)(,
212
xxx <>+
1
x nghiệm2 có f(x)0,)
0) =+
Cùng dấu a
x
1
x
2
Cùng dấu aTrái dấu a0 0
x
f(x)

+
x
f(x)

+
Trong tr ờng hợp nào
dấu của tam thức bậc
hai không thay đổi?
Vậy điều kiện để
tam thức bậc hai
luôn d ơng là gì?

Vậy điều kiện để
tam thức bậc hai
luôn âm là gì?
4.Hệ quả: Điều kiện để tam thức không đổi dấu
0ac,bxaxf(x) haibậc thức tam Cho
2
++=



<
>
>
0
0a
Rx0,*)f(x)



<
<
<
0
0a
Rx0,*)f(x)

<

0
0a
Rx0,*)f(x)





>

0
0a
Rx0,*)f(x)

Cho
biết
đặc
điểm
chung
của 4
tr ờng
hợp
này?
Ví dụ:Tìm các giá trị của m để tam thức sau luôn d ơng?
m22xxf(x)
2
+=
Lời giải:

<
>
>
0
0a
x0,f(x)
'



<
<<
>
1m
1m01m
m0,1
Vậy với m<1 tam thức đã cho luôn d ơng
Củng cố và bài tập về nhà
*) Củng cố: - Định lý về dấu của tam thức bậchai
- Quy trình xét dấu tam thức bậc hai
*) Bài tập về nhà:
- Bài 1; 2 (105)
- Bài chép: Tìm m để biểu thức sau luôn d ơng
f(x) = (2-m)x
2
-2x+1

3xx
4)1)(2x3x3x(
b)g(x)
2
2
+
−−+−
=
nghiÖmv«0-3 cã 0,13x3x- :cãTa
2
⇒<=∆=−+
2x042x =⇔=−
0x-3,x03xx
2
==⇔=+
LËp b¶ng xÐt dÊu
∞−
∞+
0-3 2
0
00
x
g(x)
13x3x
2
−+−
42x −
3xx
2
+

0
Ho¹t ®éng 1
x
y
O
x
y
O
x
1
x
y
O
x
2
y
x
x
2
O
x
1
H·y nhËn xÐt vÒ dÊu cña a vµ
Tõ ®å thÞ hµm sè bËc hai
cbxaxy
2
++=
x
y
O

2a
b
−
x
y
O
2a
b
−
a > 0, > 0 a > 0, = 0 a > 0, < 0
a < 0, > 0
a < 0, = 0 a < 0, < 0
Ho¹t ®éng 1
x
y
O
x
y
O
y
x
1
xO
x
2
x
y
O
2a
b

−
y
x
x
2
O
x
1
a>0
a<0
<0 >0
=0
DÊu
f(x)
x
y
O
x
y
O
f(x) cïng dÊu
víi a,
Rx∈∀
x
y
O
2a
b
−
x

y
O
2a
b
−
x
y
O
2a
b
−
f(x) cïng dÊu víi a,
2a
b
x −≠∀
víi
y
x
x
2
O
x
1
x
1
y
xO
x
2
* f(x) cïng dÊu víi a,

),(x)x,(x
21
+∞∪−∞∈∀
* f(x) tr¸i dÊu víi a,
)x,(xx
21
∈∀