Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước

III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những
kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không
áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán được đặt
ra.
2. Nội dung.
2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
 Viết phương trình đường thẳng MH(qua
góc với (α))
 Tìm giao điểm H của MH và (α).
 Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua
(α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng
trung điểm suy ra tọa độ M’.

(α).
M và vuông

b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên
d:

đường thẳng






Viết phương trình tham số của d
Gọi H  d có tọa độ theo tham số t
H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d
Tìm t, suy ra tọa độ của H.

mặt
công

phẳng
thức

khi u d MH  0

2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0 và đường thẳng d hay
mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn
có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
 Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n  0
 Biến đổi

. k1 MA1 + k 2 MA2 +...+ k n MAn = (k1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI .
 Tìm vị trí của M khi MI đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  :

x- 4
y+1 z
=
=

và hai điểm A  0;1;5 , B  0;3;3 . Tìm điểm
1
1
1

M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I thỏa . IA + IB = 0 . thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4)


Khi đó MA + MB  MI + IA + MI  IB  2 MI có giá trị nhỏ nhất
<=> MI nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.

x = 4 + t

Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d:  y = -1 + t
z = t

Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì

IM.u  0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
Vậy M( 5; 0; 1).
2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0
Ta có: (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)
13 7
13
7
=>x = 0; y = , z = , vậy J(0; ; )

5 3
3
5
Khi đó MA - 4MB  MJ+ JA- 4(MJ  JB)  3MJ  3 MJ có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông
góc của J lên đường thẳng d.
Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t -

18
17
;t) khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng
5
5

d thì JM.u  0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A 1;0;1 , B  -2;1;2  , C 1;-7;0 
. Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
1) MA + MB  MC có giá trị nhỏ nhất.
2) MA -2MB  3MC có giá trị nhỏ nhất.

Giải:
1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1)
Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = 3 MG có giá trị nhỏ nhất khi M là hình
chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương

 x = 2t

Phương trình tham số MG  y = -2-2t

z = 1+3t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t  17  0  t  1
Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB  MC có giá trị nhỏ nhất.
2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB  3IC  0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)


 x = 4; y = -

23 3
23
3
; z = - , vậy I(4;  ;  )
2
2
2
2

Ta có: MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC) = 2MI có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu
vuông góc của I lên mặt phẳng (α)

 x = 4+2t

23

Phương trình tham số MI:  y =  -2t
2


3

z =  2 +3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
73
23
3
73
2(4  2t)  2(  2t)  3(  3t)  10  0  17t 
0t
2
2
2
34
5
245 135
;
) thì MA -2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy với M(  ; 
17
34
17
Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k . Tìm điểm M
thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho tổng T = k1MA12  k2 MA22  ...  kn MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất
hoặc giá trị lớn nhất
Lời giải:
- Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n  0
- Biến đổi : T = k1MA12  k 2MA22  ...  k n MA2n =
= (k1 +...+ k n )MI2 + k1IA12  k 2IA22  ..  k n IAn2 + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IA n )
= kMI 2 + k1IA12  k 2IA22  ...  k n IAn2

Do k1IA12  k 2IA22  ...  k n IAn2 không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình
chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.
Chú ý:
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn
nhất.

Giải:
1) Gọi điểm
I(x; y; z) thỏa
IA + IB = 0
thì I là trung
điểm AB và
3 3
I(2; ;  )
2 2

Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA)2 +(MI + IB)2

 IA2 + IB2 +2MI2 +2MI(IA + IB) = IA2 + IB2 +2MI2
Do IA2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông
góc của I lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α  (1;2;2)


 x = 2+t

3

Phương trình tham số MI:  y = + 2t
2

3

z =  2 +2t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3
3
2  t  2(  2t)  2(  2t)  7  0  9t  9  0  t  1
2
2
1 7
 M(1;  ;  )
2 2
1 7
Vậy với M(1;  ;  ) thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Nhận xét:
AB 2
Với I là trung điểm AB thì MA2 + MB2 = 2MI2 +
, do AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ
2
nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α).
2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0

Hay (1  x; 2  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0)

3  x  0

 3  y  0  J(3; 3;0)
z  0

Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA)2 - (MJ + JB)2  (MJ + JC) 2

 J A2  JB2  JC2  MJ 2 + 2MJ(JA  JB  JC)  JA 2  JB2  JC2  MJ 2
Do JA 2  JB2  JC 2 không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của
J trên mặt phẳng (α).
Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α  (1;2;2)
 x = 3+t

Phương trình tham số MJ:  y = -3+ 2t
z = 2t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4
3  t  2(3  2t)  2.2t  7  0  9t  4  0  t  
9
23 35 8
 M( ;  ;  )
9
9
9
23 35 8
Vậy với M( ;  ;  ) thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
9

9
9

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:

x-1 y-2
z-3
=
=
và các điểm A(0; 1; -2), B(
1
2
1

2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 0


Hay: ( x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y; 2  z)  (0;0;0)

4  x  0

 3  y  0  I(4; 3;6)
- 6+z  0

Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA)2  2(MI + IB)2

 IA2  2IB2  MI2 + 2MI(IA  2 IB)  IA2  2IB2  MI2
Do IA2 - 2 IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông
góc của I lên d.
 x = 1+t

Đường thẳng d có vtcp u  (1;2;1) , phương trình tham số d:  y = 2+ 2t
z = 3+ t

M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường
2
1 2 7
thẳng d thì IM.u  0  6t  4  0  t    M( ; ; )
3
3 3 3
1 2 7
Vậy với M( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
3 3 3
Nhận xét:
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M

Với M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t)
Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2
= - 6t2 – 8t +5
Xét hàm số f (t )   6t 2 – 8t  5, t  R
2
Có đạo hàm f '(t )   12t – 8t , f '(t )  0  t  
3
Bảng biến thiên
2




t
3
f’(t)
+
0
23
f(t)
3


2
Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi t  
3
1 2 7
Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất khi M  ; ; 
3 3 3
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm tam giác ABC và G(2; 1; 1).
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 +(MG + GC)2
= GA2  GB2  GC2 +3MG 2 + 2MG(GA  GB  GC)
= GA 2  GB 2  GC 2 +3MG 2
Do GA 2  GB2  GC2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu
vuông góc của G lên đường thẳng d.
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
1
1 5
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì GM.u  0  6t  3  0  t    M  ;1; 
2
2 2

1 5
Vậy với M( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2


Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B không thuộc (α) .
Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α). Để MA + MB nhỏ
nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB.
2. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α). Khi đó ta tìm điểm
A’ đối xứng với A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay
M là giao điểm của (α) và A’B.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y
– 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho
MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Giải:
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB  (1; 1;0) làm vecto chỉ phương

x  2  t

Phương trình tham số của AB:  y  t
z  2

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
 3t  2  0  t  

2
3

4 2
Hay M( ; ; 2) là điểm cần tìm.
3 3

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1), B(3;
1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2) MA - MC có giá trị lớn nhất.

Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A’B với
(α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n  (1; 1; 2) làm vecto chỉ phương

x  1 t

Phương trình tham số AA’:  y  2  t
 z  1  2t

Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình


1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =

1

3 3
 H( ; ;0)
2
2 2

 x A ' = 2x H  x A  2

Do H là trung điểm AA’ nên  y A ' =2y H  y A  1  A '(2; 1; 1)
z = 2z  z  1
H
A
 A'
A’B có vtcp A'B  (1;0; 3)

x  2  t

Phương trình tham số A’B:  y  1
z  1  3t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0  5t  3  0  t 

13
4
3
hay M( ;1;  )
5
5
5

13
4
;1;  ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
5
5
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C
nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C .

Vậy với M(

Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của
A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp A'C  (1; 3; 3)

x  2  t

Phương trình tham số A’C:  y  1  3t
z  1  3t

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0  4t  3  0  t 

5 5 5
3
hay M( ;  ;  )
4 4 4
4

5 5 5

Vậy với M( ;  ;  ) thì MA - MC có giá trị lớn nhất.
4 4 4

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm điểm M trên đường thẳng
d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu d và AB vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
- Tìm giao điểm M của AB và (α)
- Kết luận M là điểm cần tìm.
2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận.


Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  :

x-1
y+2
z-3
=
=
và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3). Hãy
2
2
1

tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 x  1  2t

Đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  2t
z  3  t

qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u  (2; 2;1) và CD  (7;5; 4)
Ta có u . CD = 14 -10 – 4 = 0  d  CD
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u  (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P).
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0  9t + 18  0  t  2
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2  2 17

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA +
MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
Ox có vtcp i  (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB  (1;1; 2) và i.AB  1  0  Ox và AB không
vuông góc.
Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau.

x  t

Phương trình tham số của Ox:  y  0
z  0


M  Ox  M(t;0;0)
S = MA + MB = (t -3)2  0  4  (t -2)2  1  0 = (t -3)2  4  (t -2)2  1
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0)  Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt +
MtBt
Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox.
Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0
7
7
S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và At'Bt  3t - 7 = 0 hay t  . Vậy M( ;0;0) là
3
3
điểm cần tìm.
Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.
 Từ biểu thức S =

(t -3)2  4  (t -2)2  1

Ta xét hàm số f  t   (t -3) 2  4  (t -2) 2  1 ( t  )


Có đạo hàm f   t  

 t  3

(t  3)

 t  3

2

 t  3

2

4

t 3

f t  0 


t 3

4



4

2



t  2

(t  2)

t  2

t  2

2

t 2



2

t 2

1

2

1

1
0

(*)

với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:
2
2
2
2
(*)   t  3 [ t  2   1]   t  2  [ t  3  4]

t  1 [2;3]
t  3  2(t  2)
 7
  t  3  4  t  2   
t 
t

3


2(
t

2)

 3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
7


t
3
f’(t)
0
+


f(t)
38  10
3

2

2

38  10
3
7
7
Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt được tại t  , tức là M( ; 0; 0)
3
3
7
Từ bảng biến thiên suy ra min f  t   f   =
3

Giải:

Ví dụ 3: Cho đường thẳng  d  :

x-2
y-2
z -1
=
=
và hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0). Hãy tìm
2
2
1

điểm M trên d sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

 x  1  2t

Đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  2t
z  1 t

qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u  (2;2;1) và AB  (2;3; 1)
Ta có u . CD = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0  d không vuông góc với AB và
[u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6  d và AB chéo nhau
- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ nhất khi MA +
MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét điểm M  d  M(1  2t; 2+2t;1  t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Xét f  t   MA + MB = (2t  2) 2  (2t  1) 2  t 2  (2t ) 2  (2t  2) 2  (t  1) 2
f  t  = 9t 2  12t  5  9t 2  6t  5 = (3t  2)2  1  (3t  1)2  4

Có đạo hàm f '(t ) 

3t  2
(3t  2)2  1



3t  1
(3t  1) 2  4


f '(t )  0 


3t  2
(3t  2)2  1

3t  2
(3t  2)  1
2

3t  1



(3t  1) 2  4
(3t  1)



(3t  1)  4
2

0
với 

2
1
t
3
3

 (3t  2) [(3t  1)  4]  (3t  1) 2 [(3t  2) 2  1]
2

2

 5
t  3
2(3
t

2)

3
t

1

1
2
2
 4(3t  2)  (3t  1)  

t 
3
 2(3t  2)  3t  1 t   1

3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
1



t
3
f’(t)

0
+


f(t)
3 2
1
3

Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t = 

2 4 1
Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2
3 3 3
Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm t sẽ đơn giản hơn.

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm M d1, N d2 là chân đoạn vuông góc
chung của hai đường trên.
Lời giải:
-

Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số
Lấy M  d1 và N  d 2 ( tọa độ theo tham số).

-

Giải hệ phương trình MN.u1  0 và MN.u 2  0 ( u1 , u 2 là các
véctơ chỉ phương của d1 và d2 ).
Tìm tọa độ M, N và kết luận.

-

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng
d1 :

x-5
y+1 z -11
x+ 4
y-3
z-4
=
=
=
=
, d2 :
1
2
-1
7
2
3

1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau
2) Tìm điểm M  d1 và N  d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1  (1; 2; 1)
d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u 2  (7; 2;3)
Ta có [ u1 , u 2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168  0
Hay d1 và d2 chéo nhau.

2). M  d1 và N  d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn vuông góc chung của
d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng
 x  4  7t
x  5  t


d1:  y  1  2t , d2:  y  3  2t
z  4  3t
z  11  t


M  d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N  d 2 nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)

MN  ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)

6t ' 6t  6  0
t  2
MN.u1  0
Ta có 


t '  1

MN.u 2  0 62t ' 6t  50  0
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21 .

x  2  t


Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:  y  4  t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm điểm M trên d sao cho tam
z  2

giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
-

Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB
1
Tam giác MAB có diện tích S = AB.MH đạt giá trị nhỏ nhất khi MH
2
nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d.
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u  (1;1;0)
AB qua A(1; 2; 3) và AB  (0; -2;-2) = 2u1

với u1  (0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB

x  1

Phương trình tham số AB  y  2  t '
z  3  t '

M(2 + t; 4+ t; -2)  d ,H(1; 2+ t’;3+t’)  AB , MH  ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5)


t ' 2t  3
t '  3
MH.u  0
Ta có 



2t ' t  3 t  3

MH.u1  0
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2
1
Diện tích S MAB  AB.MH  6
2

x  0

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:  y  t
. Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường
z  2  t

thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.


Giải:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N
Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ khi
MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox.
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u  (0;1; 1)
-

Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i  (1;0;0)
[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2  0 nên d và Ox chéo nhau.
Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và MN  ( t’; -t; t – 2)


t  t  2  0
t  1
MN.u  0
Ta có 


t '  0
t '  0

MN.i  0
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
1 1
MN
2
Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R =

2 2
2
2
1
1
1
Phương trình mặt cầu (S): x 2  ( y  ) 2  ( z  ) 2 
2
2
2
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết phương trình mặt phẳng
(α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.

Lời giải:
Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), khi đó tam
giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α))
lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông
góc với AB.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng
lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông góc với DI.
(α) nhận DI  (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0
 2x + y – 5z + 15 = 0
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A. Trong các mặt cầu tâm A và
tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất.

Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB
BA  (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α)
Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0  x + 2y + 2z – 1 = 0


1  1  6 1

3
12  22  22
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
R = d(A; (α))

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao

cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α), K là hình
chiếu vuông góc của A lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, khi đó (α) là mặt
phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc với
mp(∆, A).

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương
trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn
nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mp(ABC).
AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2)
(ABC) có véctơ pháp tuyến n  [AB, AC]  (1;4; 5)
(α) có véctơ pháp tuyến n  [n, AB]  (9  6; 3)  3(3; 2;1)
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 3x + 2y + z – 11 = 0

Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 :

x  2 y 1 z 1
x
y  3 z 1



, d2 : 
2

1
4
2
2
4

1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau.
2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) sao cho khoảng
cách giữa d2 và (α) là lớn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1  (1; 2; 2)
d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u 2  (2; 4; 4)
Ta thấy u 2  2u1 và M1  d 2 nên hai đường thẳng song song với nhau.
2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có véctơ pháp tuyến
n1  [u1 , M1M 2 ]  (8; 2;6)  2(4;1;3)  2n 2
Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải vuông góc với (α1).
Do đó (α) nhận [u1 , n 2 ]  (8; 11; 7) là véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1).
Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0
hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.


Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm
trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai
điểm A, K.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3).
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất .

2) Lớn nhất.
Giải:

Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n  (2; 2;1)
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
 x  2  2t

Phương trình BH:  y  3  2t
z  5  t

Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0  t  2 hay H(-2; 7; 3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy AH  (1;4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆.
x+3 y-3 z +3


Phương trình của ∆:
1
4
6
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương u   [AB, n ]  (16;11; 10)

x+3 y-3 z +3


Phương trình của ∆:
16
11 10
Giải:

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với đường
thẳng d:

x-3 y+2 z +5


và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất.
1
2
3

Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận u d  (1;2; 3) làm véctơ pháp tuyến, thì ∆ nằm trong
(α).
Do vậy d(D; ∆) lớn nhất khi ∆ nằm trong (α), qua C và vuông góc với CD.
∆ có véctơ chỉ phương u   [CD, n  ]  (1; 8;5)


Phương trình ∆:

x-2 y+1 z -3



1
8
5

x  1  t

Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:  y  0
z   t

1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A
đến ∆1 lớn nhất.
3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A
đến ∆2 nhỏ nhất.
Giải:
1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d  (1;0; -1) , MB  (2;2;0)

[u d , MB]  (2; 2; 2)  2(1;1;1)  2n
(α) đi qua B nhận n  (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm B,H.
x  2  t

Phương trình tham số AH:  y  1  t
z  1  t

Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:
1
5 2 4
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0  3t  1  0  t    H( ; ; )

3
3 3 3
8 4 4
4
4
BH  ( ; ; )  (2; 1; 1)  u1  ∆1 nhận u1 làm véc tơ chỉ phương
3 3 3
3
3
Ta thấy u1 và ud không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
Vậy phương trình ∆1:

x+1 y-2 z


2
1 1

3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất khi K ≡ B hay ∆2 nằm
trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có [n , AB]  (0; 4;4)  4(0;1; 1)  4u 2  ∆2 nhận u 2 làm véc tơ chỉ phương, mặt khác u 2 và

ud không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
x  1

Phương trình ∆2: y  2  t
z  t

Chú ý :
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý 2 và ý 3 trong ví dụ 3.

Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý đi qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), khi đó ∆ có véc
tơ chỉ phương NB  (2  t;2; t )
Ta có AB  (3;1;1) , [NB, AB]  (2  t;2  2t;4  t )
Và d(A;∆) =

[NB, AB]
NB



(2  t )2  (2  2t ) 2  (4  t ) 2
(2  t )2  22  (t ) 2

=

3t 2  10t  12
t 2  2t  4


16t 2  64t
3t 2  10t  12
có
, với mọi t  R
f
'(
t
)

t 2  2t  4
(t 2  2t  4)2

t  2
f '(t )  0  
t  2

Xét hàm số f (t ) 

Bảng biến thiên của f (t )

t
f’(t)
+

-2
0
11

-



2
0

+
3

f(t)

1
3

3

Từ bảng biến thiên ta thấy:
 d(A;∆) lớn nhất bằng 11 khi t = -2  N(-1; 0;2)

NB  (0;2; 2)  2(0;1; 1)

x  1

và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y  2  t
z  t



d(A;∆) nhỏ nhất bằng

1
khi t = 2  N(3; 0;-2)
3

NB  (4;2;2)  2(2; 1; 1)
và đường thẳng cần tìm có phương trình là :

x+1 y-2 z


2
1 1

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên (α)
và không đi qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao
cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Lời giải:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao
điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B
lên (P) và d1.
Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và BH ≤ BI nên BH
lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp u   [BI, n ] .

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d:

x-1 y-2 z -3


, mặt phẳng (α): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm
1
2
1

A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách
giữa ∆ và d là lớn nhất.

Giải:
Đường thẳng d có vtcp

u  (1; 2; -1), (α) có vtpt n  (2; -1; 1)

x  1  t

Phương trình tham số d: y  2  2t
z  3  t

Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0  t = -1  B(0; 0; 4)
Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d

x  1  t

Phương trình tham số đường thẳng d1:  y  1  2t
z  1  t

Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên d1
 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI  (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có

BI.u  0  -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0  t = -1  I(-2; -1; 2)

Đường thẳng ∆ có vtcp u   [BI, n ] = (-5; -10; 4)
Phương trình ∆:

x+1 y-1 z -1


5 10
4

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆

:

x+1 y
z-4
=
=
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song song với (P), hãy viết
2
1
3

phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= 0
=> d nằm trên (α).
Đường thẳng ∆ có vtcp

u  (2;1;-3), (α) có vtpt n  (1;1;-1)

x  1  2t

Phương trình tham số ∆: y  t
z  4  3t

Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
1
1 5
-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0  t =  B(0; ; )
2
2 2

Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆

x  1  2 t

Phương trình tham số đường thẳng ∆1:  y  1  t
z  2  3t

3
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1  H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t), BH  (1 + 2t; t - ; -3t)
2
1
3
Ta có BI.u  0  2 + 4t + t + 9t = 0  t = 
28
2
13
43 3
1
1
u1
) = (26; -43; 3) =
 BH =( ;  ;
14
28 28
28
28

Đường thẳng d có vtcp u d  [ u1 , n ] = (40; 29; 69)
Phương trình d :

x-1 y+1 z -2


40
29
69


Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình
mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất.
Lời giải:
Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M. Gọi I là điểm cố định trên ∆3 và H là hình
chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ  ∆1
Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH
Trong tam giác vuông HMJ có cos IMH =

HM MJ

IM IM

Suy ra góc IMH lớn nhất khi MJ = MI hay H ≡ J, khi đó
và (α) là mặt phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông góc với mặt
Khi đó (α) nhận [u 1 ,[u 1 , u  2 ]] làm véctơ pháp tuyến.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d:

không đổi

IMH =(∆1,∆2)
phẳng (∆1,∆2)

x-2 y+1 z-1


và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4). Viết
2
1
1

phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u  (2; 1; 1) , AB  (1;1;2)
=> n = [u, AB]  ( 3; 3;3)  3(1;1; 1)
Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận [n, AB]  (3; 3;0)  3(1; 1;0) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
Khi đó cos((α),d) =

2 1 2
5 5



3
5

Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Trong các mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy góc lớn
nhất
Giải:
Mp(p) có vecto pháp tuyến n P  (2; 1; 2) ,

Xét đường thẳng d qua A và vuông góc với (P),
d có véctơ chỉ phương n P  (2; 1; 2) , Oy có véctơ chỉ phương j  (0;1;0)
nên d và Oy không song song. Theo bài toán 4 nếu (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất thì (α) chứa d và vuông
góc với mp(d,Oy)
Do đó (α) nhận [ n P ,[ n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = 0 hay x + 4y + z – 4 = 0.


Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên (α).
Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d.
điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu
của B lên (α) và ∆.

Trên d1 lấy
vuông góc

Ta có góc (d, ∆) =

BAH
BH BK
và sin(d, ∆) = sin BAH =
≥
. Do vậy góc (d, ∆)
AB AB

nhỏ

khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK.

Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 khi ∆  d và ∆ có

nhất
vtcp

u   [ u d , n ]

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d:
x+2 y-1 z -3


.
1
1
1

1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc lớn
nhất.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc nhỏ
nhất.
Giải:
(α) có vectơ pháp tuyến n  (2;2; -1) , d có vectơ ud  (1;1;1) qua điểm
M(-2; 1; 3). Ta thấy A  (α) mặt khác n ud  0 nên d không song song hoặc
nằm trên (α).
1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất khi ∆1  d
Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương u1  [ u d , n ] = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)

x  1  t

Phương trình tham số của ∆1: y  2  t

z  2

2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d
Phương trình d1:

x-1 y-2 z +2
, lấy điểm B(2; 3; -1)  d1.


1
1
1

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α)

x  2  2 t

Phương trình tham số của BK y  3  2t , tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình : 2(2 + 2t)
z  1  t

+ 2(3 + 2t) – (- 1 – t) – 7 = 0

 9t + 4 = 0 hay t = 

4
10 19 5
 K( ; ; )
9
9 9 9

1 1 13
)
9 9 9

∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và K, AK  ( ; ;


∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương u 2  9.AK  (1;1;13)
Phương trình ∆2 :

x-1 y-2 z +2


1
1
13

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d:

x-1 y-2 z -3


. Viết
2
1
1

phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ ud  (2;1;1)

Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d  ∆ nằm trên (α)
(α) nhận ud  (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ ud  (2;1;1)

x  2 t

Phương trình tham số của BH y  2  t , tọa độ của H ứng với t là nghiệm của phương trình: 4t -2 + t +
z  t

t – 2 = 0  6t – 4 = 0  t 

4 4 2
2
hay H( ; ; )
3 3 3
3

1 4 2
; )
3 3 3

∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và H, AH  ( ;
∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương u   3.AH  (1; 4; 2)
Phương trình ∆ :

x-1 y z


1

4 2

2.3 Bài tập áp dụng.
Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + 1 =
0.
1) Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm điểm N trên (α) sao cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất.
3) Tìm điểm S trên (α) sao cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất.
4) Tìm điểm P trên (α) sao cho PA +2PB  4PC có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho đường thẳng  d  :

x-2
y + 1 z+2
=
=
và hai điểm A(3; 1; 1),
1
2
-1

B(-1; 2; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho đường thẳng  d  :

x-2
y - 1 z-2
=
=
và hai điểm A(0; 1; 1),
2
2

1

B(1; 2; 3). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

x  2  3t
x-1 y-2 z +1

Bài 4: Cho đường hai thẳng d1:  y  2t
d2:
. Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai


3
1
2
z  4  2t

đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình


x-1 y- 4 z +1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ C đến (P) là lớn nhất.


2
1
2
x  1  t


Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: y  1  (1  m)t , với t  và m là tham số.
z  1  mt

1)
2)
3)
4)

Chứng minh họ dm luôn đi qua một điểm cố định và nằm trong một mặt phẳng cố định.
Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất
Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn nhất.
Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình

x-3 y+2 z -1
. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), vuông góc với trục Oy và tạo với


1
2
1

d một góc
1. Nhỏ nhất

2. Lớn nhất

Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0 và đường thẳng d:

x-1 y-2 z -3
. Trong


1
2
1

các mặt phẳng đi qua B và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất
Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆ :
d1:

x
y 1 z
x+3 y+1 z-4
=
=
=
=
, d2:
.
1
1
1
2
3
3

x+1 y
z-4

= =
,
2
1
3

1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2.
2) Trong các đường thẳng đi qua A và nằm trên (P), hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng
cách giữa d và ∆ lớn nhất.
Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2).
1) Tìm điểm M sao cho MA + MB  MC  MD có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm điểm N trên mặt phẳng (ABC) sao cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn nhất
3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), trong các đường thẳng đi qua D trên mp(P).
Hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và trục Oz lớn nhất.
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d:

x-1 y-2 z-3
=
=
1
2
1

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất.
Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d:

x-2 y-2 z-3
=
=
2

2 1

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua C, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 sao cho khoảng cách
từ D đến ∆ là nhỏ nhất.
Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,
vuông góc với (α) và tạo với Oz một góc lớn nhất.
Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình
∆1:

x-2 y-1 z+3
x-1 y+1 z-1
=
=
=
=
, ∆2:
. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt ∆1 hãy viết phương
1
1 1
2
1
1

trình đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách giữa ∆ và ∆2 là lớn nhất.
Bài 15: Trong các mặt cầu đi qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y + z – 3 = 0. Hãy
viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 16: Cho đường thẳng

d  :

x y z
  và hai điểm A  0;0;3 , B  0;3;3 .
1 1 1


Tìm tọa độ điểm M   d  sao cho:

MA2  2MB2

1) MA  MB nhỏ nhất

2)

3) MA  3MB nhỏ nhất

4) MA  MB lớn nhất.

nhỏ nhất

Bài 17: Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho OA =
a;OB = b;OC = c
1) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
2) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA=OB + OC. Hãy xác định vị trí B,C sao
cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất.
Bài 18: Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt
Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C.Giả sử N nằm trong tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các
mp(OBC),(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c .
a
b
C



1
1) Chứng minh răng :
OA OB OC
2)
Tính
OA,OB,OC
để
thể
tích
tứ
diện
OABC
nhỏ
nhất
3) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất .
Bài 19: Cho tứ diện SABC có SC  CA  AB  a 2 ; SC  (ABC) ,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
1) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
2) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC.
Bài 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : AB  a ; AD  2a ;AA'=a 2 .Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối
tứ diện A’KID lớn nhất.