ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4. TÍCH PHÂN
Bài 1. NGUYÊN HÀM
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọ i x ∈ K .
Định lí:

1) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗ i hằng số C , hàm số

G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên
K đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.

Do đó F ( x ) + C , C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) trên K .

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

Ký hiệu

2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) và ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp ( u = u ( x ) )

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

∫x

α

dx =

1 α +1
x + C (α ≠ −1)
α +1

1

∫ x dx = ln x + C
∫ e dx = e + C
x

x

ax
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C

∫u

α

du =

1 α +1
u + C (α ≠ −1)
α +1

1

∫ u du = ln u + C
∫ e du = e + C
u

u

au
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
∫ sin udu = − cos u + C

x

∫ a dx =

u
∫ a du =

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

2

u

1
2

u

du = tan u + C
du = − cot u + C

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
∫ f ( u ( x ) ) u′ ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C

Hệ quả: Nếu u = ax + b ( a ≠ 0 ) thì ta có ∫ f ( ax + b ) dx =

1
F ( ax + b ) + C
a

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx
∫ udv = uv − ∫ vdu

Hay

B - KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC
Câu 1.

Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
x4 x 2
A. F ( x ) = + + 2 x + C .
4 2
x4 3x2
C. F ( x ) = +
+ 2x + C .
4
2

Câu 2.

Câu 3.

D. F ( x ) = 3 x 2 + 3 x + C .

Hàm số F ( x ) = 5 x 3 + 4 x 2 − 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x ) = 5 x 2 + 4 x + 7 .

B. f ( x ) = 15 x 2 + 8 x − 7 .

5 x2 4 x3 7 x2
C. f ( x ) =
+
−
.
4
3
2

D. f ( x ) = 5 x 2 + 4 x − 7 .

Họ nguyên hàm của hàm số: y = x 2 − 3 x +
x3 3 2
+ x + ln x + C .
3 2
x3 3
C. F ( x ) = − x 2 + ln x + C .
3 2
A. F ( x ) =

Câu 4.

x4
B. F ( x ) = + 3 x 2 + 2 x + C .
3

1
là
x

B. F ( x ) =

x3 3 2
− x + ln x + C .
3 2

D. F ( x ) = 2 x − 3 −

1

+C .
x2

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 1)( x + 2 )
x3 2 2
A. F ( x ) = − x + 2 x + C .
3 3
C. F ( x ) = 2 x + 3 + C .

x3 2 2
B. F ( x ) = + x + 2 x + C .
3 3
x3 3
D. F ( x ) = + x 2 + 2 x + C .
3 2

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 5.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

A. F ( x ) = − ln 5 − 2 x − 2 ln x +
C. F ( x ) = ln 5 − 2 x + 2 ln x −

2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
5 − 2x x x

3
+C .
x

3
+C.
x
3
D. F ( x ) = − ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
x

B. F ( x ) = − ln 5 − 2 x + 2 ln x +

3
+C .
x

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 6.

Câu 7.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x
1
A. ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C .
2

1
B. ∫ sin 2 xdx = cos 2 x + C .
2

C. ∫ sin 2 xdx = cos 2 x + C .

D. ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C .

π

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos  3x +  .
6

π

A. ∫ f ( x ).dx = sin  3 x +  + C .
B.
6

C.

Câu 8.

Câu 9.



1

π

∫ f ( x)dx = − 3 sin  3x + 6  + C .



π

1



π

D.

∫ f ( x)dx = 6 sin  3x + 6  + C .

x

B.

∫ f ( x)dx = tan 2 + C .

x

D.

∫ f ( x)dx = −2 tan 2 + C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + tan 2
1

1

∫ f ( x)dx = 3 sin  3x + 6  + C .

A.

∫ f ( x)dx = 2 tan 2 + C .

C.

∫ f ( x)dx = 2 tan 2 + C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

x
.
2

1

π

sin  x + 

3


x

x

.

2



π

A.

∫ f ( x)dx = − cot  x + 3  + C .

C.

∫ f ( x)dx = cot  x + 3  + C .



π



1

π

B.

∫ f ( x)dx = − 3 cot  x + 3  + C .

D.

∫ f ( x)dx = 3 cot  x + 3  + C .



1

π

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x.cos x .
A.

∫

C.

∫

sin 2 x
+C.
2
sin 4 x

f ( x )dx =
+C.
4
f ( x )dx =

B.

∫

D.

∫

sin 4 x
+C .
4
sin 2 x
f ( x )dx = −
+C .
2

f ( x )dx = −

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x − e − x .

∫ f ( x ) dx = −e + e + C .
C. ∫ f ( x ) dx = e − e + C .
A.

x

x

−x

−x

∫ f ( x ) dx = e + e + C .
D. ∫ f ( x ) dx = −e − e + C .
B.

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

−x

x

x

−x

3|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x.3−2x .
x

A.

∫

1
9
f ( x ) dx =   .
+C .
 2  ln 2 − ln 9

∫

1
2
f ( x ) dx =   .
+C .
 3  ln 2 − ln 9

x

B.

∫

1

2
f ( x ) dx =   .
+C .
 9  ln 2 − ln 9

∫

1
2
f ( x ) dx =   .
+C .
 9  ln 2 + ln 9

x

C.

x

D.

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x (3 + e − x ) là
A. F ( x ) = 3e x − x + C .
C. F ( x ) = 3e x −

B. F ( x ) = 3e x + e x ln e x + C .

1
+C .
ex

D. F ( x ) = 3e x + x + C .

Câu 14. Hàm số F ( x ) = 7e x − tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x ) = 7e x +


e− x 
B. f ( x ) = e x  7 −
.
2
cos
x


1 

D. f ( x ) = 7  e x −
.
cos 2 x 


1
.
cos 2 x

C. f ( x ) = 7e x + tan 2 x − 1 .
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 4x −2 .
1 2 x −1
A. ∫ f ( x ) dx =

e
+C .
2
1
C. ∫ f ( x ) dx = e 4x −2 + C .
2

B.

∫ f ( x ) dx = e

D.

∫ f ( x ) dx = 2 e

2x −1

1

+C .

2x −1

+C .

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
là

2x −1

A.

∫ f ( x ) dx =

2x −1 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = 2

C.

∫ f ( x ) dx =

2x −1
+C .
2

D.

∫ f ( x ) dx = −2

Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

2x −1 + C .
2x −1 + C .

1

.
3− x

∫ f ( x ) dx = −2 3 − x + C .
C. ∫ f ( x )dx = 2 3 − x + C .
A.

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 .
1
A. ∫ f ( x ) dx =
2x + 1 + C .
2
1
C. ∫ f ( x ) = −
2x +1 + C .
3

∫ f ( x ) dx = − 3 − x + C .
D. ∫ f ( x ) dx = −3 3 − x + C .
B.

2

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

D.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 5 − 3 x )

D.

∫ f ( x ) dx = − 3

1

2x +1 + C .
2x +1 + C .

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5 − 3x .
2

A.

∫ f ( x ) dx = − 9 ( 5 − 3 x )

C.

∫ f ( x ) dx = 9 ( 5 − 3 x )

2

5 − 3x + C .
5 − 3x .

2

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

2

5 − 3x .

5 − 3x + C .

4|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x − 2 .
A.

∫

C.

∫

2

1
−
( x − 2) 3 + C .
3
2
f ( x ) dx = ( x − 2 ) x − 2 .
3

f ( x ) dx =

3

B.

∫ f ( x ) dx = − 4 ( x − 2 )

D.

∫ f ( x ) dx = 4 ( x − 2 )

3

3

3

x−2 +C .

x−2 +C .

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 1 − 3 x .
−

A.

∫

C.

∫ f ( x ) dx = 4 (1 − 3x )

f ( x ) dx = − (1 − 3 x )
1

2
3

3

3

3

1 − 3x + C .

1

3

1 − 3x + C .

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = − 4 (1 − 3x )

1 − 3x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = − 4 (1 − 3x )

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3x .

2e

3x + 2
2

A.

∫ f ( x ) dx = 3x + 2 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = 2

C.

∫

3 e3 x
+C.
2

D.

∫

f ( x ) dx =

Câu 23. Hàm số F ( x ) = ( x + 1)

2

f ( x ) dx =

3
e3 x

+C .

2 e3 x
+C .
3

x + 1 + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

5

( x + 1) x + 1 .
2
2
C. f ( x ) = ( x + 1) x + 1 .
5

A. f ( x ) =

Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

B. f ( x ) =

5
( x + 1) x + 1 + C .
2

D. f ( x ) = ( x + 1) x + 1 + C .

1
2
+ 1 là hàm số F ( x ) thỏa mãn F ( −1) = .
3
1 − 3x

Khi đó F ( x ) là hàm số nào sau đây?
2
1 − 3x .
3
2
C. F ( x ) = x −

1 − 3x + 1 .
3

A. F ( x ) = 4 −

2
1 − 3x − 3 .
3
2
D. F ( x ) = x −
1 − 3x + 3 .
3

B. F ( x ) = x −

Câu 25. Biết F ( x ) = 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

1
.
6

B. 3 .

a
. Khi đó giá trị của a bằng
1− x

C. 6 .

D. −3 .

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 26. Tính F ( x ) = ∫ x sin xdx bằng
A. F ( x ) = sin x + x cos x + C .
C. F ( x ) = sin x − x cos x + C .
Câu 27. Tính

∫ x ln

2

xdx . Chọn kết quả đúng.

1 2
x 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
4
1 2
C. x 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
4

A.

B. F ( x ) = x sin x − cos x + C .
D. F ( x ) = x sin x + cos x + C .

(

)

(

)

1 2
x 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
2
1
D. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
2

B.

(

)

(

)

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

5|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 28. Tính F ( x ) = ∫ x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:
1
x
cos 2 x − sin 2 x + C .
4
2
1
x
C. F ( x ) = sin 2 x + cos 2 x + C .
4
8

A. F ( x ) =

1
x
B. F ( x ) = sin 2 x − cos 2 x + C .
8
4
−1
x
D. F ( x ) = sin 2 x − cos 2 x + C .
4
8

x
3

Câu 29. Tính F ( x ) = ∫ xe dx . Chọn kết quả đúng
x

x

A. F ( x ) = ( x + 3)e 3 + C .

B. F ( x ) = 3( x − 3)e 3 + C .

x − 3 3x
C. F ( x ) =
e +C .
3

x + 3 3x
D. F ( x ) =
e +C .
3

x
dx . Chọn kết quả đúng
cos 2 x
A. F ( x ) = − x tan x + ln | cos x | +C .
C. F ( x ) = x tan x + ln | cos x | +C .

B. F ( x ) = − x cot x + ln | cos x | +C .
D. F ( x ) = − x cot x − ln | cos x | +C .

Câu 30. Tính F ( x ) = ∫

Câu 31. Tính F ( x ) = ∫ x 2 cos xdx . Chọn kết quả đúng
A. F ( x ) = ( x 2 − 2) sin x + 2 x cos x + C .
C. F ( x ) = x 2 sin x − 2 x cos x + 2sin x + C .

B. F ( x ) = 2 x 2 sin x − x cos x + sin x + C .
D. F ( x ) = (2 x + x 2 ) cos x − x sin x + C .

Câu 32. Tính F ( x ) = ∫ x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng
1
A. F ( x ) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4
1
C. F ( x ) = − (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4

1
(2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4
1
D. F ( x ) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4

B. F ( x ) =

Câu 33. Hàm số F ( x ) = x sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. f ( x ) = − x sin x .
B. f ( x) = x sin x .
C. f ( x ) = − x cos x .
D. f ( x ) = x cos x .

1 + ln( x + 1)
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
x2
1 + ln( x + 1)
x
x +1
A. −
B. −
+ ln
+C .
(1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C .
x
x
x +1
−1 + ln( x + 1)
x
1 + ln( x + 1)
C.
+ ln
+C.
D. −
− ln x + 1 + ln x + C .
x
x +1
x

Câu 34. Tính

∫

BÀI TẬP ÔN TẬP
Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng
f ( x)
∫ f ( x ) dx .
A. ∫
dx =
g ( x)
∫ g( x)dx
C.

∫

f ( x ).g ( x)dx = ∫ f ( x)dx.∫ g( x )dx .

B.

α
∫ x dx =

D. ∫ a x dx =

xα +1
+ C , ∀α ∈ R .
α +1
ax
+ C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a

Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ∫ e x dx = e x + C .

C. ∫ a x dx =

ax
+ C , (0 < a ≠ 1) .
ln a

B.

1

∫ xdx = ln x + C , x ≠ 0 .

D. ∫ sin xdx = cos x + C .

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

6|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 37. Hàm số f ( x ) = x 3 − x 2 + 3 +

1
có nguyên hàm là
x

1

A. F ( x ) = 3 x − 2 x − 2 + C .
x
2

C. F ( x ) =

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

x 4 x3
− + 3x + ln x + C .
4 3

x3
B. F ( x ) = x − + 3 x + ln x + C .
3
4

D. F ( x ) = x 4 − x 3 + 3x + ln x + C .

Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x là
A. F ( x ) = tan x − x + C .

B. F ( x ) = − tan x + x + C .

C. F ( x ) = tan x + x + C .

D. F ( x ) = − tan x − x + C .

Câu 39. Hàm số F ( x ) = 7 sin x − cos x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f ( x ) = − sin x − 7 cos x .

B. f ( x ) = − sin x + 7 cos x .

C. f ( x ) = sin x − 7 cos x .

D. f ( x ) = sin x + 7 cos x .

Câu 40. Kết quả tính

∫ sin

2

A. cot 2x + C .

1
dx là
x cos 2 x
B. tan x − cot x + C .

C. tan 2x − x + C .

D. − tan x + cot x + C .

1
1
+ 2 − 1 có một nguyên hàm là
x x
1
1

A. f ( x ) = x 3 − 2 x + .
B. f ( x ) = x 3 − x − − x .
x
x
1
1
1
C. f ( x ) = x 3 − 2 x − − x .
D. f ( x) = x 3 −
x − − x.
x
2
x

Câu 41. Hàm số F ( x ) = 3 x 2 −

cos x
có một nguyên hàm F ( x) bằng
sin 5 x
1
1
4
A. −
.
B.
.
C.
.
4
4

4 sin x
4sin x
sin 4 x

Câu 42. Hàm số f ( x) =

D.

−4
.
sin 4 x

Câu 43. Kết quả tính ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx bằng
A. −
C.

1
6

1
12

2 3

(5 − 4x )
2 3

(5 − 4x )

3

8
1
D. −
6

B. −

+C.

+C .

(5 − 4x ) + C
2

2 3

(5 − 4 x )

.

+C .

Câu 44. Kết quả ∫ esin x cos xdx bằng
A. esin x + C .
Câu 45. Tính
A.

B. cos x.esin x + C .

C. ecos x + C .

D. e − sin x + C .

B. ln cos x + C .

C.

1
+C.
cos 2 x

D. − ln cos x + C .

B. ln sin x + C .

C.

−1
+C .
sin 2 x

D.

∫ tan xdx bằng

−1
+C.
cos 2 x

Câu 46. Tính ∫ cot xdx bằng

A. − ln sin x + C .

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1
−C .
sin 2 x

7|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

VẬN DỤNG THẤP
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC.
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y =

x3
là
x −1

1 3 1 2
x + x + x + ln x − 1 + C .
6
2

1
1
C. x 3 + x 2 + x + ln x − 1 + C .
3
2

1 3 1 2
x + x + x + ln x + 1 + C .
3
2
1
1
D. x 3 + x 2 + x + ln x − 1 + C .
3
4

A.

B.

Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x2 − 2 x + 3
là
x +1

x2
− 3x + 6 ln ( x + 1) .
2
x2

C.
+ 3x − 6ln x + 1 .
2

x2
+ 3x + 6 ln x + 1 .
2
x2
D.
− 3x + 6ln x + 1 .
2

A.

Câu 49.

Kết quả tính
A.

A.

1

∫ x ( x + 3) dx

2
x
ln
+C .
3 x+3

Câu 50. Kết quả tính

B.

bằng

1
x
B. − ln
+C .
3 x+3

C.

2 x+3
ln
+C .
3
x

D.

1
x
ln
+C.
3 x+3

C.

1
x
ln
+C.
3 x+3

D.

1
x
ln
+C .
3 x−3

1

∫ x ( x − 3) dx bằng

1 x+3
ln
+C.
x
3

B.

1 x−3
ln
+C .

x
3

Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
là
x + x−2
2

1 x −1
A. F ( x ) = ln
+C.
3 x+2
x −1
C. F ( x ) = ln
+C.
x+2

1 x+2
B. F ( x ) = ln
+C.
3 x −1
D. F ( x ) = ln x 2 + x − 2 + C .
2

 1− x 
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 
 là
 x 

1
A. F ( x ) = − − 2 ln x − x + C .
B.
x
1
C. F ( x ) = − 2 ln x + x + C .
D.
x
1
Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2
với a ≠ 0
x − a2
1 x−a
1
x+a
A. ln
+C .
B.
ln
+ C . C.
a x+a
2a x − a

Câu 54. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
F ( x ) = − − 2 ln x + x + C .
x
1
F ( x ) = − − 2 ln x + x + C .

x

là
1
x−a
ln
+C .
2a x + a
x
8 − x2

D.

1 x+a
ln
+C .
a x−a

thoả mãn F ( 2 ) = 0 . Khi đó phương

trình F ( x ) = x có nghiệm là
A. x = 1 − 3 .

B. x = 1 .

C. x = −1 .

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. x = 0 .
8|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN
1
và F ( 2 ) = 1 thì F ( 3) bằng
x −1
1
C. ln 2 .
D. .
2

Câu 55. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ln

3
.
2

B. ln 2 + 1 .

Câu 56. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln 2 x + 1.

ln x
1

thoả mãn F (1) = . Giá trị
x
3

của F 2 ( e ) là
A.

1
.
9

B.

8
.
9

C.

Câu 57. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x +
A. cot x − x 2 −

π2
16

.

B. cot x − x 2 +

π2

16

8
.
3

D.

1
.
3

1
π 
thỏa mãn F   = −1 là
2
sin x
4

.

C. − cot x + x 2 .

D. − cot x + x 2 −

π2
16

.

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x.sin x .
A.

∫

C.

∫

cos 3 x
+C .
3
sin 2 x
f ( x )dx = −
+C .
2
f ( x )dx =

Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

∫ f ( x)dx = ln sin 2 x + C .
C. ∫ f ( x )dx = − ln sin x + C .
A.

B.

∫

D.

∫

cos3 x
+C .
3
sin 2 x
f ( x )dx =
+C.
2

f ( x )dx = −

sin 2 x
.
cos 2 x − 1

∫ f ( x)dx = ln cos 2 x − 1 + C .
D. ∫ f ( x )dx = ln sin x + C .
B.

Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x.cos 2 x.dx .
A.

∫

C.

∫

1
1
f ( x )dx = cos 3x + sin x + C .
6
2
3
cos x
f ( x )dx =
+ cos x + C .
3

B.

∫

D.

∫

Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2sin x.cos 3x .
1
1
A. ∫ f ( x )dx = cos 2 x − cos 4 x + C .
B.
2
4
C. ∫ f ( x )dx = 2cos 4 x + 3cos 2 x + C .
D.

−2cos 3 x

+ cos x + C .
3
1
1
f ( x )dx = cos 3x − sin x + C .
6
2

f ( x )dx =

1

1

∫ f ( x)dx = 2 cos 2 x + 4 cos 4 x + C .
∫ f ( x)dx = 3cos x − 3cos x + C .
4

2

Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.sin 3x .
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
A. ∫ f ( x )dx = 
+
− x+
+C .
8 2
4  8
6 

3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
B. ∫ f ( x )dx = 
−
+ x−
+C .
8 2
4  8
6 
1  sin 2 x sin 4 x  3 
sin 6 x 
C. ∫ f ( x )dx = 
−
− x−
+C .
8 2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
D. ∫ f ( x )dx = 
−
− x−
+C .
8 2
4  8
6 
Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

9|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.cos 3x + cos 3 x.sin 3 x .
3
3
A. ∫ f ( x )dx = sin 4 x + C .
B. ∫ f ( x )dx = cos 4 x + C .
16
16
−3
−3
C. ∫ f ( x )dx =
D. ∫ f ( x )dx =
sin 4 x + C .
cos 4 x + C .
16
16
x
π  π
biết F   = .
2
2 4
x sin x 3

B. F ( x ) = +
+ .
2
2
2
x sin x 1
D. F ( x ) = −
+ .
2
2
2

Câu 64. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 2
x sin x 5
+
+ .
2
2
2
x sin x 1
C. F ( x ) = +
+ .
2
2
2

A. F ( x ) =

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.


e− x 
Câu 65. Hàm số f ( x ) = e x  ln 2 + 2  có họ nguyên hàm là
sin x 

A. F ( x ) = e x ln 2 − cot x + C .
B. F ( x ) = e x ln 2 + cot x + C .

C. F ( x ) = e x ln 2 +

1
+C .
cos 2 x

D. F ( x ) = e x ln 2 −

1
+C .
cos 2 x

Câu 66. Hàm số f ( x ) = 3x − 2 x.3x có nguyên hàm bằng

3x
6x
−
+C .
ln 3 ln 6
3x
6x
D.
+

+C.
ln 3 ln 3.ln 2

A. 3x ln 3(1 + 2 x ln 2) + C .
C.

B.

3x 3x.2 x
+
+C .
ln 3 ln 6

Câu 67. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = (e − x + e x )2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1 là
1
1
A. F ( x ) = − e −2 x + e 2 x + 2 x + 1 .
B. F ( x ) = −2e −2 x + 2e 2 x + 2 x + 1 .
2
2
1
1
1
1
C. F ( x ) = − e−2 x + e 2 x + 2 x .
D. F ( x ) = − e −2 x + e 2 x + 2 x − 1 .
2
2
2
2

Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

2 x −1
.
x +1

A. F ( x ) = 2 x+ ln x + 1 + C .

B. F ( x ) = 2 x + 3ln x + 1 + C .

C. F ( x ) = 2 x − ln x + 1 + C .

D. F ( x ) = 2 x − 3ln x + 1 + C .

2 x 2 + 2x + 3
Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
2x +1
1
5
1
2
2
A. F ( x ) = ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
B. F ( x ) = ( 2 x + 1) + 5 ln 2 x + 1 + C .
8
4
8
2
2

C. F ( x ) = ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
D. F ( x ) = ( 2 x + 1) − ln 2 x + 1 + C .
x3 − x
Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2
.
x +1
x2
A. F ( x ) = + ln ( x 2 + 1) + C .
2
C. F ( x ) = x 2 − ln ( x 2 + 1) + C .

B. F ( x ) =

x2
− ln ( x 2 + 1) + C .
2

D. F ( x ) = x 2 + ln ( x 2 + 1) + C .

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

10 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = ln ln x + 1 + C .

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN
1
.
x ln x + x
B. F ( x ) = ln ln x − 1 + C .

C. F ( x ) = ln x + 1 + C .

D. F ( x ) = ln x + 1 + C .

Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

e2 x
.
ex +1

A. F ( x ) = e x + ln ( e x + 1) + C .

B. F ( x ) = e x − ln ( e x + 1) + C .

C. F ( x ) = ln ( e x + 1) + C .

D. F ( x ) = e2 x − e x + C .

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

1
.
x +1

Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ f ( x )dx = 2 x − 2 ln (1 + x ) + C .
C. ∫ f ( x ) dx = ln (1 + x ) + C .

∫ f ( x ) dx = 2 x + 2ln (1 + x ) + C .
D. ∫ f ( x ) dx = 2 + 2ln (1 + x ) + C .

A.

x+2
.
x +1

Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

∫ f ( x ) dx = ( x + 4)

C.

∫ f ( x ) dx = 2 ( x + 1)

x +1 + C .
x

x +1

+C .

Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

C.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 2 x − 1)

2

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x + 4 )

x +1 + C .

D.

∫ f ( x )dx =

1
+C .
x +1

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 2 x + 1)

1− x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = −2

1
+C.
1− x

x +1 +

2x − 1
.
1− x

1− x + C .
1− x + C .

Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2

B.

x
3x2 + 2

2

1− x +

.

A.

∫ f ( x )dx − 3

1

3x 2 + 2 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = 3

C.

∫ f ( x )dx = 6

1

3x 2 + 2 + C .

D.

∫ f ( x ) dx = 3

+ 8) 4 − x2 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( x

4 − x2 + C .

D.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( x

Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
1

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x

C.

∫ f ( x ) dx = − 3

1

2

x3
4 − x2

1

3x 2 + 2 + C .

2

3x 2 + 2 + C .

.

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1

2

2

2

+ 8) 4 − x 2 + C .
+ 8) 4 − x2 + C .

11 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 78. Tính F ( x ) = ∫ (2 x − 1)e1− x dx = e1− x ( Ax + B) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng
A. 0 .

B. 3 .

C. −3 .

D. 5 .

Câu 79. Tính F ( x ) = ∫ e x cos xdx = e x ( A cos x + B sin x ) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng
A. −2 .

B. −1 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 80. Tính F ( x ) = ∫ 2 x (3 x − 2)6 dx = A(3x − 2)8 + Bx(3 x − 2)7 + C . Giá trị của biểu thức 12 A + 11B là
A. 1 .

B. −1 .

C.

12

.
11

D. −

12
.
11

Câu 81. Tính F ( x ) = ∫ x 2 x − 1dx = ax 2 ( x − 1) x − 1 + bx ( x − 1)2 x − 1 + c( x − 1)3 x − 1 + C . Giá trị của

biểu thức a + b + c bằng
142
−2
A.
.
B.
.
105
7

(

C.

2
.
7

D.

−142
.
105

)

Câu 82. Tính F ( x ) = ∫ ln x + 1 + x 2 dx . Chọn kết quả đúng:

(
C. F ( x) = x ln ( x +

)
1+ x ) +

A. F ( x) = x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C .
2

1 + x2 + C .

B. F ( x) =

1
1 + x2

(

+C .

)

D. F ( x) = ln x + 1 + x 2 − x 1 + x 2 + C .

2

Câu 83. Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) = x3e x và đồ thị hàm số f ( x ) đi qua gốc tọa độ O . Chọn kết
quả đúng:
2
2
1
1 2 1
1
1 2 1
A. f ( x) = x 2e x + e x + .
B. f ( x ) = x 2 e x + e x − .
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 2 1
1
1 2 1
C. f ( x ) = x 2 e x − e x − .
D. f ( x ) = x 2 e x − e x + .
2

2
2
2
2
2
Câu 84. Tính F ( x ) = ∫ x 2 − 1dx bằng
1
1
x x 2 − 1 + ln x − x 2 − 1 + C .
2
2
1
1
C. F ( x ) = x x 2 − 1 − ln x − x 2 − 1 + C .
2
2

A. F ( x ) =

1
1
x x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 + C .
2
2
1
1
D. F ( x ) = x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
2
2

B. F ( x ) =

BÀI TẬP ÔN TẬP
Câu 85. Kết quả của ∫ sin 2 x cos xdx bằng
1
A. − sin 3 x + C .
3
1
C. sin 3 x + C .
3

B. sin 3 x + C .
D. − sin 3 x + C .

Câu 86. Tính ∫ cos2 x sin xdx bằng
A.

1
cos3 x + C .
3

B. − cos3 x + C .

1
C. − cos3 x + C .
3

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. cos3 x + C .
12 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 87. Kết quả của ∫ sin 3 xdx bằng
A.

cos3 x
− cos x + C .
3

cos3 x
− cos x + C .
3
cos3 x
D.
− cos x + C .
6
B. −

C. 3sin 2 x.cos x + C .
Câu 88. Kết quả của ∫ cos3 xdx bằng
A. − sin x −

sin 3 x
+C .
3

sin 3 x
+C .
3
sin 3 x
D. sin x −
+C .
3
B. sin x +

C. 3sin 2 x.cos x + C .
Câu 89. Kết quả của ∫ sin 4 x cos xdx bằng
1
A. − sin 5 x + C .
5

e tan x
∫ cos 2 xdx bằng
A. e tan x + C .

1 5
sin x + C .
5

C. sin 5 x + C .

D. − sin 5 x + C .

B. tan x.e tan x + C .

C. e − tan x + C .

D. −e tan x + C .

B. 2 tan x + C .

C. tan 2 x + C .

D.

1
tan x + C .
2

4 x3
+C.
x4 + 4 x

C. ln x 3 + 1 + C .

D.

x3
+C .
x4 + x

B.

Câu 90. Tính

Câu 91. Tính

∫

1
dx bằng
x cos2 x

A. tan x + C .

3x2
Câu 92. Tính ∫ 3 dx bằng
x +1
A. ln( x 3 + 1) + C .

B.

6 x 2 − 12 x
Câu 93. Tính ∫ 3
dx bằng
x − 3x2 + 6
A. ln x 3 − 3 x 2 + 6 + C .
C.

1
ln x 3 − 3 x 2 + 6 + C .
2

4 x3 + 2 x
Câu 94. Tính ∫ 4
dx bằng
x + x2 + 3
1
A. ln x 4 + x 2 + 3 + C .
2
C. ln x 4 + x 2 + 3 + C .
x2 +1
Câu 95. Tính ∫ 3
dx bằng
x + 3x −1
1
A. ln( x 3 + 3 x − 1) + C .
3
C. ln x 3 + 3x − 1 + C .

B. 2ln x 3 − 3x 2 + 6 + C .
D. 2ln( x3 − 3x 2 + 6) + C .

B. 2ln x 4 + x 2 + 3 + C .
D. −2ln( x 4 + x 2 + 3) + C .

B. ln x 3 + 3x − 1 + C .
D.

1
ln x 3 + 3 x − 1 + C .
3

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

13 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 96. Tính ∫ e6 x −5dx bằng
A.

1 6 x −5
e
+C .
6

B. e6 x −5 + C .

C. 6e6 x −5 + C .

D. e6 x +5 − C .

B. −e − x −5 + C .

C. e x +5 + C .

D. −e x +5 + C .

Câu 97. Tính ∫ e − x −5dx bằng
A. e − x −5 + C .
Câu 98. Tính
A. −

∫ (5 − 9x)

12

dx bằng

(5 − 9 x )13
+C .
117

B.

(5 − 9 x)13
+C .
117

C.

(5 − 9 x)13
+C .
13

D.

(5 − 9 x)13
+C .
9

π

Câu 99. Tính ∫ cos  5 x + dx bằng
4

π

A. −5sin  5 x +  + C .
4

1 
π
C. sin  5 x +  + C .
5 
4
Câu 100. Tính

∫

1

π

cos  x + 

4


π

B. sin  5 x +  + C .
4

1 
π
D. − sin  5 x +  + C .
5 
4

dx bằng

2

π

A. − tan  x +  + C .
4


B.

π

C. tan  x +  + C .
4



D.

1
π

tan  x +  + C .
4
4


1
π

A. − cot  x +  + C .
4
4


B.

1
π

cot  x +  + C .
2
4


π

C. − cot  x +  + C .
4


1
π

D. − cot  x +  + C .
2
4


Câu 101. Tính

Câu 102. Tính

1

∫ (cos x + sin x) dx
2

∫

π

4 tan  x +  + C .
4


bằng

12 x + 5
dx bằng
3x + 1

A. 4 x + ln 3 x + 1 + C .
1
C. 4 x + ln 3 x + 1 + C .
3

2x2 + x
Câu 103. Tính ∫
dx bằng
2x −1
x2
1
A.
+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
2
2
x
1
C.
+ x + ln(2 x − 1) + C .
2
2

6 x2 + 5x
+C .
x3 + x
1
D. 4 x + ln(3 x + 1) + C
3
B.

.

x2
+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
x2
D.
+ x + 2 ln(2 x − 1) + C .
2
B.

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

14 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 104. Tính

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

−x

∫ ( x + 1) dx bằng
2

1
− ln x + 1 + C .
x +1
1
C. −
+ ln x + 1 + C .
x +1

1
− ln x + 1 + C .
x +1
1
D.
−
− ln( x + 1) + C .
x +1

A. −

B.

Câu 105. Tính ∫ sin x(2 + cos x )dx bằng
1

A. 2 cos x − cos 2 x + C .
4
1
C. 2 cos x + cos 2 x + C .
4

Câu 106. Tính

1
B. −2 cos x − cos 2 x + C .
4
1
D. 2 cos x + cos 2 x + C .
2

∫ x.2 dx bằng
x

A. 2 x ( x + 1) + C .

B.

2 x ( x − 1)
+C .
ln 2

C.

x.2 x
2x

− 2 +C.
ln 2 ln 2

D. 2 x ( x − 1) + C .

Câu 107. Tính ∫ ln xdx bằng
A.

1
ln x − x + C .
x

C. x ln x − x + C .

x2
ln x + C .
2
1
D. x ln x − + C .
x
B. x ln x −

Câu 108. Tính ∫ 2 x ln( x − 1)dx bằng

x2
+ x+C .
2
x2
C. ( x 2 + 1) ln( x − 1) − − x + C .
2

A. ( x 2 − 1) ln( x − 1) −

1 

Câu 109. Tính ∫  sin x +
 dx bằng
cos 2 x 

1
A. − cos x −
+C .
cos x
C. cos x − tan x + C .

x2
− x +C .
2
x2
D. ( x 2 − 1) ln( x − 1) − − x + C .
2
B. x 2 ln( x − 1) −

B. cos x + tan x + C .
D.

− cos x + tan x + C .

Câu 110. Hàm số F ( x ) = ln sin x − cos x là một nguyên hàm của hàm số
sin x − cos x
.

sin x + cos x
1
C. f ( x) =
.
sin x + cos x

A. f ( x) =

sin x + cos x
.
sin x − cos x
1
f ( x) =
.
sin x − cos x

B. f ( x) =
D.

Câu 111. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 x3 − 2 x 2 + 1 thỏa mãn điều kiện F (−2) = 3 là
3 4 2 3
37
x − x + x− .
4
3
3
3
2
C. F ( x ) = x 4 − x 3 + x .
4

3

A. F ( x ) =

3 4 2 3
x − x + x+C .
4
3
3
2
37
D. F ( x ) = x 4 − x 3 + x + .
4
3
3

B. F ( x ) =

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

15 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

VẬN DỤNG CAO
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC

− x3 + 5x + 2
∫ 4 − x2 dx bằng
x3
x2
x3
x2
A.
+ ln x − 2 + C .
B.
+ ln 2 − x + C . C.
− ln 2 − x + C . D.
− ln 2 − x + C .
3
2
3
2

Câu 112. Kết quả tính

5

Câu 113. Họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 ( x 3 + 1) là
A. F ( x ) =

6
1 3
x + 1) + C .

(
9

6

B. F ( x ) = 18 ( x 3 + 1) + C .

6

C. F ( x ) = ( x 3 + 1) + C .

D. F ( x ) =

6
1 3
x + 1) + C .
(
18

x 2 + x + x3 + 1
Câu 114. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là hàm số nào?
x3
1
1
1
1
A. F ( x ) = ln x + + x − 2 + C .
B. F ( x ) = ln x − + x − 2 + C .
x

2x
x
2x
3
2
3
2
x 3x
x 3x
C. F ( x ) = −
+ ln x + C .
D. F ( x ) = +
+ ln x + C .
3
2
3
2
Câu 115. Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx 3 + ( 3m + 2 ) x 2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 4 là

A. m = 1 .

B. m = 0 .

C. m = 2 .

D. m = 3 .

3
Câu 116. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 4 ( 2 x ) thoả mãn F ( 0 ) = . Khi đó F ( x ) là

8
3
1
1
3
1
1
A. F ( x ) = x − sin 4 x + sin 8 x .
B. F ( x ) = ( x + 1) − sin 4 x + sin 8 x .
8
8
64
8
8
64
3
1
1
3
3
C. F ( x ) = x − sin 2 x + sin 4 x + .
D. F ( x ) = x − sin 4 x + sin 6 x + .
8
8
64
8
8

Câu 117. Biết hàm số f ( x) = (6 x + 1)2 có một nguyên hàm là F ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d thoả mãn điều

kiện F (−1) = 20. Tính tổng a + b + c + d .
A. 54 .
B. 44 .

C. 36 .

D. 46 .

Câu 118. Hàm số f ( x ) = x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu F ( 0 ) = 2 thì F ( 3) bằng
A.

886
.
105

B.

116
.
15

C.

146
.
15

D.

105

.
886

Câu 119. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Khi đó phát biểu

nào sau đây đúng?
A. F ( x ) là hàm số lẻ.
B. F ( x ) là hàm số chẵn.
C. Hàm số F ( x ) tuần hoàn với chu kì là 2π .
D. Hàm số F ( x ) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

16 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

sin 2 x
thỏa mãn F ( 0 ) = 0 là
sin 2 x + 3
ln 2 + sin 2 x
sin 2 x
2
B. ln 1 + sin x .
C.

.
D. ln 1 +
.
3
3

Câu 120. Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) =
A. ln cos 2 x .
Câu 121. Cho f ( x ) =

4m

π
π  π

+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 1

và F   = .
4 8
4
A. − .
3

B.

3
.
4

3

C. − .
4

4
.
3

D.

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 122. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

1
là
sin x.cos x

1
1
ln sin x − ln 1 − sin 2 x + C .
2
2
1
C. F ( x ) = ln sin x − ln 1 − sin 2 x + C .
2
2sin 3 x
Câu 123. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
1 + cos x
1
A. ∫ f ( x )dx = cos 2 x − 2 cos x + C .

2

A. F ( x ) =

C.

∫ f ( x)dx = cos

2

x + cos x + C .

Câu 124. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
B. F ( x ) = ln sin x + ln 1 − sin 2 x + C .
2
1
D. F ( x ) = − ln sin x − ln 1 − sin 2 x + C .
2

B.

∫ f ( x)dx = cos

D.

∫ f ( x)dx = 2 cos

1

2

x − 2 cos x + C .
2

x + 2 cos x + C .

cos 3 x
.
sin 5 x

tan 4 x
cot 4 x
A. ∫ f ( x ).dx =
+C .
B. ∫ f ( x ).dx =
+C.
4
4
cot 2 x
− cot 4 x
C. ∫ f ( x ).dx =
+C.
D. ∫ f ( x ).dx =
+C .
2
4
Câu 125. Tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x) = cos 2 x ( sin 4 x + cos 4 x ) .
1

1

A.

∫ f ( x).dx = 2 sin 2 x + 12 sin

C.

∫ f ( x).dx = sin 2 x − 4 sin

1

3

3

2x + C .

B.

D.

2x + C .

1

1

∫ f ( x).dx = 2 sin 2 x − 12 sin

1

3

2x + C .

3

2x + C .

1

∫ f ( x).dx = 2 sin 2 x − 4 sin

Câu 126. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( tan x + e 2sin x ) cos x .
1

A.

∫ f ( x)dx = cos x + 2 e

C.

∫ f ( x)dx = − cos x + e

C.

∫

1

2sin x

B.

∫ f ( x)dx = − cos x + 2 e

2sin x

+C .

D.

∫ f ( x)dx = − cos x − 2 e

1
 x 3π
cot  −
2
2 8
1
 x 3π
f ( x )dx = −
cot  +
2
2 4

∫ f ( x)dx = −

2sin x

+C .

Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

1

2sin x

+C .
+C.

1
.
sin x + cos x + 2


+C .


+C .


1
 x 3π 
cot  +
+C .
2
2 8 

1
 x 3π 
f ( x )dx = −
cot  +
+C .
2
2 8 

B.

∫ f ( x)dx =

D.

∫

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

17 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT
Câu 128. Hàm số F ( x ) = ln sin x + cos x là một nguyên hàm của hàm số

sin x − cos x
.
sin x − cos x
1
D. f ( x ) =
.
sin x − cos x

1
.
sin x + cos x
sin x − cos x
C. f ( x) =
.
sin x + cos x

A. f ( x) =

B. f ( x) =

Câu 129. Kết quả tính ∫ 2 x ln( x − 1)dx bằng

x2
− x +C .
2
x2
C. ( x 2 + 1) ln( x − 1) − − x + C .
2

x2

− x +C.
2
x2
D. ( x 2 − 1) ln( x − 1) − + x + C .
2

A. x 2 ln( x − 1) −

B. ( x 2 − 1) ln( x − 1) −

e tan x
∫ cos 2 xdx bằng
A. e − tan x + C .
B. tan x.e tan x + C .

C. e tan x + C .

D. −e tan x + C .

C. e −2sin x + C .

D. −ecos x + C .

Câu 130. Kết quả tính

Câu 131. Tính ∫ e cos x sin 2 x dx bằng
2

A. −esin 2 x + C .

B. e − sin 2 x + C .

2

Câu 132. Tính ∫ esin x sin 2 x dx bằng
2

2

A. ecos x + C .

2

B. esin 2 x + C .

C. esin x + C .

D. e 2sin x + C .

C. −e− cos x + C .

D. −ecos x + C .

Câu 133. Kết quả ∫ e cos x sin xdx bằng
A. e − sin x + C .

B. ecos x + C .

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC
Câu 134. Biết hàm số F ( x ) = − x 1 − 2 x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

tổng của a và b là
A. 1 .

B. −2 .

Câu 135. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

C. 0 .

x 3 − 2x
x2 +1

1 2
x 1 + x2 + 8 1 + x2 + C .
3
1
C. F ( x ) = ( 8 − x 2 ) x 2 + 1 + C .
3

A. F ( x ) =

Câu 136. Tính F ( x ) = ∫

sin 2 x
2

4sin x + 2cos 2 x + 3

ax + b

. Khi đó
1 − 2x

D. 2 .

.
1 2
x − 8) x2 + 1 + C .
(
3
2
D. F ( x ) = ( x 2 − 8 ) 1 + x 2 + C .
3

B. F ( x ) =

dx . Hãy chọn đáp án đúng.

A. F ( x ) = − 6 − sin 2 x + C .

B. F ( x ) = 6 − sin 2 x + C .

C. F ( x ) = 6 + cos 2 x + C .

D. F ( x ) = 6 − cos 2 x + C .

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

18 | T H B T N

Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 137. Biết hàm số F ( x ) = ( mx + n ) 2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1− x
. Khi đó
2x −1

tích của m và n là
A. 0 .

2
C. − .
3

B. −2 .

Câu 138. Biết hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

( e; 2016 ) . Khi đó hàm số F (1)
A. 2 3 + 2016 .

B.

2
D. − .
9

ln x

có đồ thị đi qua điể m

x ln 2 x + 3

là

3 + 2016 .

C. 2 3 + 2014 .

D.

3 + 2014 .

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 139. Tính

∫ x e dx = e
3 x

x

(ax3 + bx 2 + cx + d ) + C . Giá trị của a + b + c + d bằng

A. −9 .
B. 10 .
C. 2 .
D. −2 .
2
2
2
2
Câu 140. Tính F ( x ) = ∫ x ln( x + 3)dx = A( x + 3) ln( x + 3) + Bx + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng
A. 1 .
B. 0 .
C. −1 .
D. 2 .
2
2
Câu 141. Tính ∫ x cos 2 xdx = ax sin 2 x + bx cos 2 x + c sin x + C . Giá trị của a + b + 4c bằng
1
3
−3
.
B. .
C.
.
2
4
4
Câu 142. Tính ∫ x 3 ln 2 xdx = x 4 ( A ln 2 x + B) + C . Giá trị của 5 A + 4 B bằng

A.

A.

1
.
4

B.

−1
.
4

C. 1 .

D. 0 .

D. −1 .

1+ x
dx . Chọn kết quả đúng:
1− x
x2 + 1 1 + x
x2 + 1 1 + x
A. F ( x ) =
ln
− x +C .
B. F ( x ) =
ln
+ x+C.
2

1− x
2
1− x
x2 − 1 1 + x
x2 − 1 1 + x
C. F ( x ) =
+ x +C .
D. F ( x ) =
− x+C .
ln
ln
2
1− x
2
1− x
Câu 144. Cho hàm số F ( x ) = ∫ x(1 − x)3 dx . Biết F (0) = 1 , khi đó F (1) bằng

Câu 143. Tính F ( x ) = ∫ x ln

21
19
−21
−19
.
B.
.
C.
.
D.
.

20
20
20
20
Câu 145. Tính ∫ (2 x + 1) sin xdx = a x cos x + b cos x + c sin x + C . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

A.

A. −5 .
B. 1 .
C. 5 .
D. −1 .
Câu 146. Cho hàm số F ( x ) = ∫ x ln( x + 1)dx có F (1) = 0 . Khi đó giá trị của F (0) bằng
−1
−1
.
D.
.
2
4
−5
Câu 147. Hàm số F ( x ) = ∫ ( x 2 + 1) ln xdx thỏa mãn F (1) =
là
9
1
x3 x
1
x3 x
A. ( x 3 + 3 x) ln x − − + 1 .
B. ( x 3 + 3 x) ln x − − − 1 .

6
18 2
6
18 2
3
1
x
x 10
1
x3 x
C. ( x 3 + 3x ) ln x − − + .
D. ( x 3 + 3x ) ln x − − .
6
18 2 9
6
18 2
x
xe
Câu 148. Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) =
và có đồ thị đi qua điểm A(0;1) . Chọn kết quả đúng
( x + 1) 2
ex
ex
ex
ex
A. f ( x) =
B. f ( x ) =
+1
C. f ( x ) =
−1

D. f ( x) =
+2
x +1
x +1
x +1
x +1

A.

1
.
2

B.

1
.
4

C.

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

19 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

(

)

Câu 149. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 thỏa mãn F (0) = 1 . Chọn kết quả đúng.

(
C. F ( x ) = x ln ( x +

)
x + 1) −

A. F ( x ) = x ln x + x 2 + 1 − x 2 + 1 − 2 .
2

x2 + 1 + 1 .

Câu 150. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) =

(
D. F ( x ) = x ln ( x +

)
x +1) −

B. F ( x ) = x ln x + x 2 + 1 − x 2 + 1 + 2 .
2

x2 +1 .

x
thỏa mãn F (π ) = 2017 . Khi đó F ( x ) là
cos 2 x

hàm số nào dưới đây?
A. F ( x ) = x tan x − ln | cos x | +2018 .

B. F ( x ) = x tan x + ln | cos x | +2017 .

C. F ( x ) = x tan x + ln | cos x | +2016 .

D. F ( x ) = x tan x − ln | cos x | +2017 .

Câu 151. Tính F ( x ) = ∫ x(1 + sin 2 x)dx = Ax 2 + Bx cos 2 x + C sin 2 x + D . Giá trị của biểu thức A + B + C bằng
A.

1
.
4

1
B. − .
4

C.

5

.
4

3
D. − .
4

1 + x sin x
dx . Chọn kết quả đúng
cos 2 x
x
1 sin x − 1
x
1
A. F ( x ) = tan x −
− ln
+C .
B. F ( x ) = tan x −
+ ln
cos x 2 sin x + 1
cos x 2
x
1 sin x − 1
x
1
C. F ( x ) = tan x +
− ln
+C .
D. F ( x ) = tan x +
+ ln

cos x 2 sin x + 1
cos x 2

Câu 152. Tính F ( x ) = ∫

sin x − 1
+C .
sin x + 1
sin x − 1
+C.
sin x + 1

BÀI TẬP ÔN TẬP

A. F ( x ) = − cos x + tan x + 1 − 2 .

2
1
π 
thỏa mãn điều kiện F   =
là
2
cos x
4 2
B. F ( x ) = cos x + tan x + 2 − 1 .

C. F ( x ) = − cos x + tan x + 2 − 1 .

D. F ( x ) = − cos x + tan x .

Câu 153. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x +

Câu 154. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = 2 sin 5 x + x +

3
thỏa mãn đồ thị của hai hàm số
5

F ( x) và f ( x ) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là
2
2
3
A. F ( x ) = − cos 5 x + x x + x + 1 .
5
3
5
1
3
+ x +1.
C. F ( x ) = 10cos 5 x +
2 x 5

2
2
3
B. F ( x ) = cos 5 x + x x + x + 1 .
5
3
5
2

2
3
D. F ( x ) = − cos 5 x + x x + x .
5
3
5

Câu 155. Hàm số F ( x ) = (ax 2 + bx + c )e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 e x thì a + b + c bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. −2 .
Câu 156. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = a + b cos 2 x thỏa mãn F (0) =
π  π
F   = là
 12  3
2
7π
A. F ( x ) = − x +
sin 2 x .
3
9
2
7π
π
C. F ( x ) = − x −
sin 2 x + .
3
9
2

π  π
, F = ,
2
2 6

π

2
7π
π
B. F ( x ) = − x +
sin 2 x + .
3
9
2
2
7π
π
D. F ( x ) = − x +
sin 2 x − .
3
9
2

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

20 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4

CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 157. Cho hàm số F ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn f (1) = 2,

f (2) = 3, f (3) = 4 . Hàm số F ( x) là
1 2
x + x +1.
2
1
C. F ( x ) = − x 2 − x + 1 .
2

1
B. F ( x ) = − x 2 + x + 1 .
2
1
D. F ( x ) = x 2 − x + 1 .
2

A. F ( x ) =

π 
Câu 158. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = tan x.sin 2 x thỏa mãn điều kiện F   = 0 là
4
1

π
1
1 π
A. F ( x ) = x + cos 2 x + − 1 .
B. F ( x ) = x − sin 2 x + − .
2
4
2
2 4
C. F ( x ) =

1
π
D. x + sin 2 x − .
2
4

2
2
cos 3 x +
.
3
2

Câu 159. Cho hàm số f ( x) = tan 2 x có nguyên hàm là F ( x) . Đồ thị hàm số y = F ( x) cắt trục tung tại
điểm A(0; 2) . Khi đó F ( x) là
A. F ( x ) = tan x − x + 2 .

B. F ( x ) = tan x + 2 .

1
C. F ( x ) = tan 3 x + 2 .
3

D. F ( x ) = cot x − x + 2 .

π 
Câu 160. Cho hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x . Giá trị của F   − F (0) bằng
4
A. 1 +

π
4

B.

.

π
4

C. 1 −

.

π
4

.

D.

3−

π
4

.

D - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
I. ĐÁP ÁN 1.2

1
C

2
B

3
C

4
D

5
D

6
A

7
B

8
C

9
A

10
C

11
B

12
B

13
D

14
B

15
D

16
A

17
A

18
D

19
A

20
D

21
D

22
D

23
A

24
D

25
D

26
C

27
A

28
B

29
B

30
C

31
A

32
A

33
D

34
C

35
D

36
D

37
C

38
A

39
D

40
B

41
C

42
A

43
D

44
A

45
D

46
B

47
C

48
D

49
D

50
B

51
A

52
D

53
C

54
A

55
B

56
B

57
D

58
B

59
C

60
B

61
A

62
D

63
D

64
D

65
A

66
B

67
A

68
D

69
A

70
B

71
A

72
B

73
A

74
B

75
B

76
B

77
B

78
C

79
D

80
A

81
C

82
A

83
D

84
D

85
C

86
C

87
A

88
D

89
B

90
A

91
B

92
C

93
B

94
C

95
D

96
A

97
B

98
A

99 100
C C

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
D C A A B C C D D B A D D B A B D C B D
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
C C B D B B D C B C D C D D B D D D D B
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
D C C A D D D A B B A D C A A B A B A C

Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

21 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn C.
Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 2.

Chọn B.
Lấy đạo hàm của hàm số F ( x ) ta được kết quả.

Câu 3.

Chọn C.
Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 4.

Chọn D.
f ( x ) = ( x + 1)( x + 2 ) = x 2 + 3 x + 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 5.

Chọn D.
Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 6.

Chọn A.

1

1

∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin 2 xd(2 x) = − 2 cos 2 x + C .
Câu 7.

Chọn B.
1



π 

π 1



π

∫ f ( x)dx = 3 ∫ cos  3x + 6  d  3x + 6  = 3 sin  3x + 6  + C .
Câu 8.

Chọn C.

 x
d 
x
1
dx
x
2

f ( x) = 1 + tan 2 =
nên ∫
= 2 ∫   = 2 tan + C .
x
x
2 cos2 x
2
cos 2
cos 2
2
2
2
Câu 9.

Chọn A.

π

dx+ 
π
dx
3


∫ 2  π  = ∫ 2  π  = − cot  x + 3  + C .
sin  x + 
sin  x + 
3
3



Câu 10. Chọn C.
3
3
∫ sin x.cos x.dx = ∫ sin x.d(sin x ) =

sin 4 x
+C .
4

Câu 11. Chọn B.

∫ (e

x

− e − x ) dx = e x + e − x + C .

Câu 12. Chọn B.
x

∫ 2 .3
x

−2 x

x

1
 2

2
dx = ∫   dx =   .
+C
9
 9  ln 2 − ln 9

Câu 13. Chọn D.

F( x ) = ∫ e x (3 + e − x )dx = ∫ (3e x + 1)dx = 3e x + x + C
Câu 14. Chọn B.

Ta có g '( x) = 7e x −

1
e− x 
x
=
e
7
−

 = f ( x)
cos 2 x
cos 2 x 


Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

22 | T H B T N

Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 15. Chọn D.

∫

e 4 x− 2 dx = ∫ e 2 x −1dx =

1 2 x −1
e +C.
2

Câu 16. Chọn A.
1
1 d ( 2 x − 1)
∫ 2 x − 1 dx = 2 ∫ 2 x − 1 = 2 x − 1 + C .
Câu 17. Chọn A.
d (3 − x )
1
∫ 3 − x dx = −∫ 3 − x = −2 3 − x + C .
Câu 18. Chọn D.
Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dx = tdt ⇒ ∫ 2 x + 1dx = ∫ t 2 dt =

t3

1
+ C = ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
3

Câu 19. Chọn A.
Đặt t = 5 − 3x ⇒ dx = −
Câu 20. Chọn D.

2tdt
. Khi đó
3

Đặt t = 3 x − 2 ⇒ dx = 3t 2 dt . Khi đó

∫

3

∫

5 − 3 x dx = −

x − 2dx =

Câu 21. Chọn D.
Đặt t = 3 1 − 3x ⇒ dx = −t 2 dt . Khi đó

∫

3

2
(5 − 3x ) 5 − 3x + C .
9

3
( x − 2) 3 x − 2 + C
4

1 − 3 x dx = −

1
(1 − 3x ) 3 1 − 3x + C
4

Câu 22. Chọn D.

∫

e 3 x dx =

2 32x  3 x  2 32x
2 e3 x
e
=
e
+
C
=

+C
.d
.
 
3∫
3
 2  3

Câu 23. Chọn A.
5
( x + 1) x + 1
2

F′( x) =

Câu 24. Chọn D.

1 d (1 − 3 x )
2
 1

F ( x) = ∫ 
+ 1dx = − ∫
+ x = x−
1 − 3x + C
3
3
1 − 3x
 1 − 3x 
2

2
F ( −1) = ⇒ C = 3 ⇒ F ( x ) = x −
1 − 3x + 3
3
3
Câu 25. Chọn D.

′
F ′( x ) = 6 1 − x =

(

)

−3
⇒ a = −3
1− x

Câu 26. Chọn C.
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
d
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập
( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một
dx
số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm của v
x

sin x
+
− cos x
1
0
− sin x
Vậy F ( x ) = sin x − x cos x + C .
Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

23 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 27. Chọn A.
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
u và đạo hàm của u

dv và nguyên hàm của v
2
x
ln x
+
2 ln x
x2
x
2
2
2
qua dv )
x (nhận từ u )
ln x (chuyển
x
x
2
1
x
x
2
1
x
1
1 (chuyển qua dv )
(nhận từ u )
x
2
x
+

2
0
x
4
1
1
1
1
Do đó ∫ x ln 2 xdx = x 2 ln 2 x − x 2 ln x + x 2 + C = x 2 ( 2 ln 2 x − 2 ln x + 1) + C .
2
2
4
4
Câu 28. Chọn B.
1
Phương pháp tự luận: Biến đổ i sin x cos x = sin 2 x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm
2
từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ′( x ) = f ( x ) ⇔ F ′( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 29. Chọn B.
x

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x, dv = e 3 dx .

Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ′( x ) = f ( x ) ⇔ F ′( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 30. Chọn C.
1
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x, dv =
dx
cos 2 x
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ′( x ) = f ( x ) ⇔ F ′( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

24 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 31. Chọn A.
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần vớ i
u = x 2 ; dv = cos xdx , sau đó u1 = x;dv1 = sin xdx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ′( x ) = f ( x ) ⇔ F ′( x) − f ( x) = 0
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.

Nhập máy tính

Câu 32. Chọn A.
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u = x;dv = sin 2 xdx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập
d
( F ( x)) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì
dx
chọn đáp án đó.
Câu 33. Chọn D.
Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F ′( x ) = f ( x ) ⇔ F ′( x) − f ( x) = 0
d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác định,
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.

Nhập máy tính

Câu 34. Chọn C.
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần vớ i
1
1
u = 1 + ln( x + 1); dv = − 2 dx hoặc biến đổ i rồi đặt u = ln( x + 1); dv == − 2 dx .
x
x
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
Câu 35. Chọn D.
D đúng. B sai vì thiếu điều kiện α =/ −1 ; A, C sai vì không có tính chất.
Câu 36. Chọn D.

∫ sin xdx = − cos x + C
Câu 37. Chọn C.

1
x4 x3

F ( x ) = ∫  x 3 − x 2 + 3 +  dx = − + 3x + ln x + C
x
4 3

Câu 38. Chọn A.



1

∫ f ( x)dx = ∫  cos

2


− 1 dx = tan x − x + C
x 

Câu 39. Chọn D.
F ′( x ) = 7 cos x + sin x
Câu 40. Chọn B.
1
1 
 1
∫ sin 2 x cos2 x dx = ∫  cos2 x + sin 2 x  dx = tan x − cot x + C
Chủ đề 4.1 – Nguyên hàm
Cần file Word vui lòng liên hệ:

25 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4
CD4