ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.

BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Kí hiệu: d (M , a ) = MH .

M
a

H

α
M

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là MH , với
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (α) .

(

H

α

)

Kí hiệu: d M , (α) = MH .
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.

d (a,b ) = d (M , b ) = MH

b
a

M

H

α

(M ∈ a )

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

a

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với

M

nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến
mặt phẳng (α) :

H

α

d a, (α) = d M , (α) = MH (M ∈ a )




⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
α
d (α), (β ) = d a, (β ) = d  A, (β ) = AH a ⊂ (α), A ∈ a







(

β

A

B

a

)
H

K

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là
đường vuông góc chung của a,b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a,b .
c
a
I
a
I
β

J
b
α
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
J

b

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

B. KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng (M , d ) hạ MH ⊥ d với H ∈ d .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
a

M

a

M

A

d

d

H

α

A

M

K

I

H K

Chú ý:
• Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:

d (M , d ) = d (A, d ) = AK

(A ∈ d ) .
d (M , d ) MI
=
.
• Nếu MA ∩ d = I , thì:
AI
d (A, d )
b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)

β O
∆

α

Các bước thực hiện:

O

d

H

Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên (α) .

H

α

- Tìm mặt phẳng (β ) qua O và vuông góc với (α) .
- Tìm ∆ = (α ) ∩ (β ) .
- Trong mặt phẳng (β ) , kẻ OH ⊥ ∆ tại H.

⇒ H là hình chiếu vuông góc của O lên (α) .

A

Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến (α) .

O

I

Chú ý:

α

• Chọn mặt phẳng (β ) sao cho dễ tìm giao tuyến với (α) .

H

• Nếu đã có đường thẳng d ⊥ (α ) thì kẻ Ox / /d cắt (α) tại H.

(

) ( )
d (O, (α )) OI
Nếu OA cắt (α) tại I thì:
=
d (A, (α)) AI

• Nếu OA// (α ) thì: d O, (α) = d A, (α) .
•

α

O

A

H

K

K

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b

b

Trường hợp a ⊥ b:
- Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.
- Trong (α) dựng BA ⊥ a tại A.

B

α

a

A

⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
- Dựng mp (α) chứa a và song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM′ ⊥ (α) tại M′

B

M

A

M'

b

- Từ M′ dựng b′// b cắt a tại A.
- Từ A dựng AB //MM ′ cắt b tại B.

a

b'

⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
α

Cách 2: (Hình b)

(Hình a)

- Dựng mặt phẳng (α ) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I
- Dựng hình chiếu vuông góc b′ của b lên (α)

- Trong mp (α) , vẽ OH ⊥ b′ tại H.

a
A

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b

b
B
b'

O
H

I

α

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của a,b .

(Hình b)

- d (a,b ) = AB

(

)
Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: d (a, b ) = d ((α), (β ))

Cách 2. Dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b. Khi đó: d (a, b ) = d b, (α)
Cách 3.

3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng (MNP ) đi qua 3 điểm M (x M ; yM ; z M ), N (x N ; yN ; z N ), P (x P ; y P ; z P ) :
+ Mặt phẳng (MNP ) đi qua điểm M (x M ; y M ; z M ) có vtpt n = MN ∧ MP = (A; B;C) có dạng:
A (x − x M ) + B (y − yM ) + C (z − z M ) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + D = 0

+ Khoảng cách từ một điểm I (x I ; y I ; z I ) đến mặt phẳng (MNP ) :
IH = d (I ,(MNP )) =

Ax I + ByI + Cz I + D
A2 + B 2 + C 2

MN ∧ MP ).MI
(
Công thức tính nhanh: d I ,(MNP ) =

(

)

MN ∧ MP

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB,CD là: d (AB,CD ) =

c) Góc giữa hai đường thẳng AB,CD theo công thức: cos (AB,CD ) =

(AB ∧ CD ).AC
AB ∧ CD

AB.CD
AB . CD

d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC ) và (MNP ) :

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

(ABC ) có vecto pháp tuyến n

(

)

cos (ABC ), (MNP ) =

1

= AB ∧ AC ; (MNP ) có vtpt n 2 = MN ∧ MP , khi đó:
n1.n 2

=

n1 . n2

A1A2 + B1B2 + C 1C 2
A12 + B12 + C 12 . A22 + B22 + C 22

(

)

⇒ (ABC ), (MNP ) ≃

e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (MNP ) :

(

)

Tính u = AB và (MNP ) có vtpt n = MN ∧ MP , thì: sin AB, (MNP ) =

u.n
u .n

(

)

⇒ AB, (MNP ) ≃

C. BÀI TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU
Câu 1.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
4
2

Câu 2.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và
SA bằng:

A.

Câu 3.

a 5
5

a 5
.
10

D.

a 2
.
5

85
.
17

B. arctan

10
.
17

C. arcsin

85

.
17

D. arccos

85
.
17

330
.
110

B. arccos

33
11

C. arccos

3
.
11

D. arccos

33
22

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh

BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A. arctan

Câu 6.

C.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A. arccos

Câu 5.

a
.
5

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A. arctan

Câu 4.

B.

2 11
.
110

B. arctan

110
.
11

C. arctan

2 110
.
33

D. arctan

2 110
.
11

Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam
giác SBC bằng
A.

a 330
.
33

a 2 33
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
6
B.

a 330
.
11

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

a 110
.
33

D.

2a 330
.
33

4|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Câu 7.

Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,
0

BA = BC = a , góc giữa mp( SBC ) với mp ( ABC ) bằng 60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
A.
Câu 8.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
2

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.

A. arctan

Câu 9.

93
.
6

B. arctan

31
.
3

B. arctan

93
.
3

D. arctan

31
.
2

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).
A. arcsin

1
35

B. arcsin

34
35

C. arcsin

14
35

D. arcsin

3
7

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)

bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3
1
3
1
A. arcsin
.
B. arcsin

.
C. arcsin
.
D. arcsin
.
4 7
7
2 7
2 7
Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và

mp(OBC ) bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa
hai mặt phẳng ( AMC ) và ( ABC ) bằng:
A. arcsin

3
32
1
34
.
B. arcsin
.
C. arcsin
.
D. arcsin
.
35
35
35
35

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD = 2a ,
AB = BC = SA = a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính

khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) .
A. h =

a 6
.
6

B. h =

a 6
.
3

C. h =

a 3
.
6

D. h =

a
.
3

Câu 13. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 . Cạnh OA

vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h
giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. h =

a 5
.
5

B. h =

a 3
.
2

C. h =

a 15
.
5

D. h =

a 3
.
15

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
( ABCD ) , SA = 2a . Gọi F là trung điểm SC, tính góc ϕ giữa hai đường thẳng BF và AC.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A. ϕ = 60 0 .

B. ϕ = 900 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 450 .

Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
SA = 2a . Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc ϕ giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

( ABC ) .
A. cos ϕ =

21
.
7

B. cos ϕ =

5

.
10

C. cos ϕ =

7
.
14

D. cos ϕ =

5
.
7

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và

SA = a . Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) .
A. ϕ = 900 .

B. ϕ = 60 0 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 450 .

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 1200 . Các mặt

phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọ i M là trung điểm SD, thể tích khố i
chóp S.ABCD là

A. h =

a 228
.
38

a3 3
. Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) theo a.
3
B. h =

a 228
.
19

C. h =

2 5a
.
5

D. h =

2 5a
.
19

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD = 1200 . Các mặt

phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khố i chóp S.ABCD là

2 3a 3
.
3

Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
A. h =

2 5a
.
5

B. h =

a 3
.
2

C. h =

a 6
.
2

D. h =

a 6
.
3

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a . Hai mặt phẳng ( SAB )

và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là

a 2
. Tính
2

góc ϕ tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
A. ϕ = 450 .

B. ϕ = 900 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 60 0 .

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng

vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khố i chóp S.ABCD là

a3
. Tính góc ϕ giữa đường thẳng
3

SB và mặt phẳng ( SCD ) .
A. ϕ = 450 .

B. ϕ = 60 0 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 900 .

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông

góc với mặt đáy và SA = a 3 . Tính côsin của góc ϕ giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) .
A. cos ϕ =

1
.
5

B. cos ϕ =

5
.
7

C. cos ϕ =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

7
.
7

D. cos ϕ =

1

.
3

6|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt
đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) là 450 , gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.
A. h =

a 5
.
2

B. h =

a 5
.
3

C. h =

a 3
.

2

D. h =

a 2
.
3

Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200 . Hai mặt phẳng

( SAB ) và ( SCD ) cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD )
là 450 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng ( SCD ) theo
a.
7a
21a
2 21a
3a
.
B. h =
.
C. h =
.
D. h =
.
14
7
21
7
KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
A. h =

Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt

phẳng ( SCD ) .
A. h =

a 21
.
7

B. h = a .

C. h =

a 3
.
4

D. h =

a 3
.
7

Câu 25. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường
thẳng SA, BC .
A. h =

a 3
.
2

B. h =

a
.
2

C. h =

a 3
.
4

D. h =

3a
.
4

Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a; SB = a 3 và mặt phẳng

( SAB )

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC .

Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM , DN .

A.

5
.
5

B.

5
.
4

C.

a 5

5

.

D.

a 5

4

.

Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Gọi H là trung điểm của AB .
Tính côsin của góc giữa SC và ( SHD ) .

15
.
5

A.

B.

3
.
5

C.

a 3
.
5

D.

2
5

.

Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 . Tam giác SBC vuông tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) , đường thẳng SD tạo với mặt phẳng

( SBC )
A.

π
2

.

một góc 600 . Tính góc giữa ( SBD ) và ( ABCD ) .
B.

π
.
3

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

π
6

.

D.

π
.

4
7|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD =

3a
, hình chiếu vuông góc
2

của S trên ( ABCD ) là trung điểm cạnh AB . Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng

( SBD ) .
A. h =

2a
.
3

B. h =

a
.
3

C. h =

a 3
.
3

D. h =

a 6
.
3

Câu 30. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB .

Góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .
A. h =

42a
.
8

B. h =

42a
.
12

C. h =

42a
.
12

D. h =

42a
.
12

Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, O là giao điểm hai đường chéo AC

và BD , có AB = a; AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên ( ABCD ) là trung điểm
H của OD , SH = 2a . Tính côsin của góc ( AB, SD ) .

A.

2
.
17

B. −

17
.
34

C.

17
.
34

D.

Câu 32. Cho tứ diện S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA = SB = SC =

1
.
34

a 3
, BC = a . Tính
2

cosin của góc giữa SA và ( ABC ) .
A.

3
.
3

B.

6
.
3

C.

6
.
2

D.

2
.
3

Câu 33. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A , cạnh BC = a , AC =

a 6
,
3

a 3
. Tính góc tạo bởi mặt bên ( SAB ) và mặt phẳng đáy ( ABC )
2
π
π
B. .
C. .
D. arctan 3.
3
4
CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG

các cạnh bên SA = SB = SC =

A.

π
.
6

Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có mặt đáy ABC

là tam giác vuông tại B có

AB = a, AC = a 3, A′B = 2a . Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến ( A′BC )

là:
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

3a
.
2

D.

3a
.
4

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều, cạnh A′A = 3a . Biết góc giữa
( A′BC ) và đáy bằng 450 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau A′B và CC ′ theo a là:
A. a .

B. 3a .

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3a 3
.
3

D.

3a 3
.
2
8|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 36. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh bên 2a , góc tạo bởi A′B và mặt đáy là 600
. Gọi M là trung điểm BC .Tính cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng A′C và AM .
A.

2
.
4

B.

3
.
2

C.

3
.
6

D.

3
.
4

Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = 5a , AC = 6 a, BC = 7 a; A′A = 3a . Tính góc tạo bởi

đường thẳng BC ′ và ( ACC ′A)
A. arctan

51
.
17

B. arctan

2 51
.
17

C. arcsin

2 51
.
17

D. arcsin

2 51
.
17

Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ với đáy ABC là tam giác vuông tại C có AB = 8cm

BAC = 600 ,diện tích tam giác A′CC ′ là 10cm 2 . Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (C ′AB )
và ( ABC ) .
A.

5 3
.
6

B.

5 3
.
2

C.

3
.
6

D.

3
.
2

Câu 39. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = 3a, AD = 5a , góc tạo bởi D′B và mặt đáy là
450 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và
B ′M

A.

a 661

.
20

B.

20a
.
661

C.

a 661
.
30

D.

30a
.
661

Câu 40. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có diện tích tam giác B ′AB bằng 2a 2 .hãy tính khoảng
cách giữa điểm B′ và mặt phẳng (C ′BD )
A. 2a 3 .

B.

2a 3
.
3

C.

a 3
.
3

D.

a 2
.
3

Câu 41. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = a, AD = a 2 , góc tạo bởi đường thẳng A′C

và mặt đáy là 600 .Gọi I là trung điểm của CD .Tính góc giữa hai đường thẳng BD′ và AI
A. arccos

3
.
6

B. arccos

3
.
3

C. arccos

3
.
4

D. arccos

2 3
.
3

Câu 42. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có thể tích là 27cm 3 . Tính tan góc tạo bởi đường thẳng
A′C và mặt phẳng ( BB′D′D ) .
A.

B.

2.

1
.
2

C.

2
.
4

D. 2 2 .

Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = a; AD = 2 a; A′A = 4 a . Tính góc tạo bởi hai mặt
phẳng (C ′BD ) và mặt đáy.
A. arccos

21
.
22

21
21
.
C. arccos
.
42
21
LĂNG TRỤ XIÊN

B. arccos

D. arccos

21
.
12

Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC . A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2 a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACC ′A′) theo a là:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

9|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A.

39
a.
13

B.

15
a.
5

C.

2 21
a.
7

D.

2 15
a.
5

Câu 45. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau AC và BB′ theo a là:
A.

15
a.
5

B.

2 15
a.
5

C.

2 21
a.
7

D.

39
a.
13

Câu 46. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc

của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau BC và AA′ theo a là:
A.

2 15
a.
5

B.

15
a.
5

C.

2 21
a.
7

D.

39
a.
13

Câu 47. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng AC và BB′ . Khi đó cos ϕ :
A. cos ϕ =

1
.
4

B. cos ϕ =

1
.
3

C. cos ϕ =

2
.
5

D. cos ϕ =

2
.
3

Câu 48. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính góc giữa hai đường thẳng A′C và ( ABC ) là:
A.

π
.
4

B.

π
.
6

C.

π
.
3

1
D. arcsin .
4

Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( BCC ′B′) và ( ABC ) là:
A. arctan

1
.
4

B. arctan 2 .

C. arctan 4 .

D. arctan 2 .

Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = 2 a

Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0 . Tính khoảng cách từ điểm C ′ đến ( ABB′A′) là:
A.

3 5
a.
2

B.

5
a.
5

B.

2 85
a.
17

D.

2 13
a.
3

Câu 51. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AC = a 3 .

Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AA′
và BC là:
A.

6
a.
4

B.

2
a.
2

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2 7
a.
7

D.

5 29
a.
7
10 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu
vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC , biết

AA′ = 3a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABB′A′) và ( ABC ) là:
A. arccos

2
.
3

1
B. arccos .
3

C. arccos

3
.

5

D. arccos

6
.
12

Câu 53. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = a , BC = 2 a . Gọi
H , M lần lượt là trung điểm của OA, AA′ . Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABCD )

trùng với điểm H . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm M
đến mặt phẳng ( CDD′C ′) :
A.

2 29
a.
13

B.

2 85
2 285
a.
C.
a.
17
19
CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP

D.

2 21
a.
7

Câu 54. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , đỉnh S cách đều các điểm A, B, C

Biết AC = 2 a , BC = a , góc giữa đường thẳng SB và mp ( ABC ) bằng 600 . Tính khoảng cách
từ trung điểm M của SC đến mp ( SAB ) theo a .
A.

a 39
.
13

B.

3a 13
.
13

C.

a 39
.
26

D.

a 13
.
26

Câu 55. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , ABC = 600 , SA = SB = SC = 2a .

Tính khoảng cách giữa AB và SC
A.

a 11
.
12

B.

a 11
.
4

C.

a 2 11
.
8

D.

3a 11
.
4

Câu 56. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a , I là trung điểm
của BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AI và OB .
1
1
A. arctan 5 .
B. arctan 5 .
C. arctan
.
D. arctan .
5
5
Câu 57. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng a. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm SB và CD . Tính góc giữa MN và mặt phẳng ( SAC ) .

A. arctan 2 .

B. arctan 2 .

C arctan 2 2 .

D. arctan

1
.
2

Câu 58. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên bằng 2a và

A ' A = A ' B = A ' C . Tính giá trị tan α với

α

là góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và mặt phẳng

( ABC ) .
A. 2 11 .

B. 2 5.

C. 2 a 1 1 .

D. 2a 5 .

Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2 a , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 6 0 0 . Gọi M , N là trung
điểm các cạnh bên SA và SB . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( DMN ) .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

11 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A.

a 31
.

2 5

B.

a 31
.
60

C.

a 60
.
31

D.

2a 5
.
31

Câu 60. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O . Góc giữa SB và mặt

phẳng ( SAC ) bằng 6 0 0 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính khoảng cách giữa AM và CD .
A.

a
.
2

B.

a 2
.
2

C.

a
.
4

D. a 2 .

Câu 61. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB
và CD . Tính khoảng cách giữa A' C và MN
A.

a 2
.
4

B.

a 2
.
2

C. a .

D. a 2 .

2

Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD //BC , AD = 2a , BC = CD = a .

Biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 3a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AD .
A.

B. 1 .

3.

C.

2

3
.
2

D.

3
.
4

Câu 63. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = CA = a , cạnh bên

SA ⊥ ( ABC ) , SA = a . Tính góc giữa SA và ( SBC ) .
A. arctan 2 2 .

B. arctan 2 .

C. arctan

2
.
2

D. arctan 2 .

D. ĐÁP ÁN VÀ
VÀ HƯ
HƯỚNG DẪ
DẪN GIẢ
GIẢI BÀI TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM
1
C

2
A

3
A

4
B

5
D

6
A

7
B

8
C

I – ĐÁP ÁN 3.5
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D A A C B A B A B D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
A D C

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

12 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
II –HƯỚNG DẪN GIẢI

KHỐI CHÓP ĐỀU
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
4
2
Hướng dẫn giải
S
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu
của S trên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm của BC
suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên GI =

1a 3 a 3
=
.
3 2
6

H

Theo bài SIG = 60 , suy ra
0

C

A
a 3
a
0
SG = GI .tan SIG =
tan 60 = .
G
6
2
 AG ∩ (SBC ) = I
Vì 
nên d ( A,(SBC )) = 3.d (G,(SBC )) .
AI
B

=3
GI


Gọi H là hình chiếu của G trên (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI). Suy ra

d (G ,(SBC )) = G H =

G S .G I
=
G S 2 +G I 2

I

a 3
.
a
a
2 6
= , suy ra
2
2
a
a
4
+
4 12

3a
.
4
[Cách 2] Phương pháp thể tích.

d ( A,(SBC )) = 3.d (G,(SBC )) =

1 1
a a3 3
GI
a 3
a2 3
Ta có: VS . ABC = . .a.a.sin 60 0. =
=
,
suy
ra
=
.
, SI =
S
∆SBC
3 2
2
24
cos 600
3
6
S
a3 3
z
3V
3a
Vậy d ( A;(SBC )) = S . ABC = 28 =
.

S∆SBC
4
a 3
6
[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I ≡ O ,
Ox ≡ IA,Oy ≡ IC ;Oz//GS. (Hình vẽ).
a 3

Khi đó, A 
;0;0 ,
 2


x

y

A

 a  a 3
a
;0;  , suy ra
C 0; ;0 ; S 
 2   6
2 

C
G

I

B

a 3

 a 
IA = 
;0;0 , IC = 0; ;0
 2 
 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

13 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

 IC , IS  .IA
a 3


a 
3a

IS = 
;0;  , suy ra d ( A,(SBC )) = 

=
.

 IC , IS 
2
4
 6


Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và
SA bằng:

a
a 5
a 5
a 2
B. .
C.
.
D.
.
5
5
10
5
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường

thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
A.

Khi đó, d (GC , SA) = d (GC ,(SAH )) = GK . Ta có: AG =

(SA,( ABC )) = SAG = 60
d (GC , SA ) = GK =

0

a 3
;
3

⇒ SG = AG.tan 600 = a, GH = AM =

GS .GH
GS 2 + GH 2

=

a
, suy ra
2

a 5
.
5
z

S

S

K

K

y
H

x

H
A

C
G

M

C

A
G

N

B

B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G ≡ O , Ox ≡ GA,Oy//NC ,Oz ≡ GS (Hình vẽ).

a 3
  a 3 a 
 a 3 a 
Khi đó, A 
;0;0 , C −
; ;0 ; S (0;0; a ) , suy ra GS (0;0; a ) , GC −
; ;0 ,
 3
 6 2 
  6 2 
GC , AS  .GS
 a 3



a 5

AS −
;0; a suy ra d (SA, GC ) = 
=
GC , AS 
 3
5




Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc
giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

14 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

85
10
85
.
B. arctan
.
C. arcsin
.
17
17
17
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),
A. arctan

(

D. arccos

85
.
17

S

)

suy ra BG,( ABCD ) = GBK .
Ta có: AO =

a 2
a 10
1
a 10
, SO =
, GK = SO =
,
2
2
3
6

2
a
a 34

vì OK = OM nên OK = , suy ra BK =
.
3
3
6

(

)

tan BG,( ABCD ) = tan GBK =

G
A

D

O

K

B

GK
85
=
.
BK
17

M

C

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.


a 2 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox ≡ OC ,Oy ≡ OD,Oz ≡ OS . Khi đó, B 0; −
;0 ,

2

 a 2 a 2 a 10  
a 10 
 ; S 0;0;
 .
G 
;
;
 6
6
6  
2 
 a 2 2a 2 a 10  a 2
a 2
 =
;
;
1;4; 5 =

.n ,
Suy ra BG 
 6
3
6 
6
6

(

)


a 10  a 10
a 10
 =
OS 0;0;
.k .
(0;0;1) =


2 
2
2

n.k
sin( BG,( ABCD )) =

=
n.k

5
17
85
⇒ cos( BG,( ABCD )) =
⇒ tan( BG,( ABCD )) =
.
22
22
17

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc
giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

330
33
.
B. arccos
110
11
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình

A. arccos

C. arccos

3
.
11

D. arccos

33
22

Gọi M là trung điểm CD. Gọi E = BD ∩ AM , suy ra GE //SA . Suy ra (BG , SA ) = (BG , GE ) .
1
a 3
Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD nên GE = SA =
.
3
3
Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,
suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD)

Ta có: AO =

a 2
a 10
1
a 10
2a 2
, SO =
, GK = SO =
. BE =
.
2
2
3

6
3

2
a
a 34
a 11
Vì OK = OM nên OK = , suy ra BK =
⇒ BG =
.
3
3
6
3
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Xét tam giác BEG , có BE =
GE =

2a 2
,
3

S

a 3
a 11
, BG =
,
3
3

BG 2 + GE 2 − BE 2
33
suy ra cos BGE =
=
.
2 BG.GE
11
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,
với Ox ≡ OC ,Oy ≡ OD,Oz ≡ OS .

G


a 2 
Khi đó, B 0; −
;0


2

A
O

 a 2 a 2 a 10 
 ;
G 
;
;
 6
6
6 

E

B

D
K

M

C


 a 2
a 10 
 ,
 , A −
S 0;0;
;0;0


 2

2 


 a 2 2a 2 a 10  a 2
a 2
 =
;
;
1;4; 5 =
.n ,
suy ra BG 
 6
3
6 
6
6

(

)

n.k
a 2
3
a 10  a 2
a 2
 =

=
AS 
;0;
1;0; 5 =
.k . Suy ra cos( BG , SA) =
.
2 
2
2
11
 2
n.k

(

)

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh BC.
Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:

2 11
110
2 110
2 110
.
B. arctan
.
C. arctan
.
D. arctan

.
110
11
33
11
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, Gọi E = AC ∩ DM suy ra E là trọng tâm tam giác BCD. Gọi
I là hình chiếu của O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy ra hình chiếu H của E
CH 2
= .
lên mặt phẳng (SBC) nằm trên đoạn thẳng CI và
CI
3
A. arctan

(

)

Kẻ HK ⊥ SM tại K ( HK / /CM ) , khi đó (SDM ),(SBC ) = ( HK , EK )
Ta có: SO = SA 2 −OA 2 =

a 10
2
2
SO.OM
a 110
, EH = OI =
.

=
2
3
3 SO 2 + OM 2
33

1
a
2 110
HK = CM = . Suy ra tan (SDM ),(SBC ) = tan( HK , EK ) = tan HKE =
3
6
11
[Cách 2] Phương pháp thể tích.

(

(

)

Đặt ϕ = (SDM ),(SBC ) suy ra sin ϕ =

)

d (C , (SDM ))
.
d (C , SM )

a

3V
Ta có d (C ; SM ) = CM = , d (C ;(SDM )) = C .SDM
2
SSDM
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

16 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

VS .CDM

S

1
a 3 10
.
= .SO.S∆CDM =
3
24

Tam giác SDM có SM =

a 11
a 5
, DM =
2

2

và SD = a 3 , suy ra S∆SDM
suy ra d (C , (SDM )) =

a 2 51
=
,
8

3VC .SDM
a 10
=
S SDM
51

d (C ,(SDM )) 2 10
=
d (C , SM )
51

suy ra sin ϕ =

I

H

K

A

B

2 110
.
11
D
[Cách 3]Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox ≡ OC ,Oy ≡ OB,Oz ≡ OS .

O
M

⇒ tan ϕ =


a 2 
Khi đó, D 0;−
;0 ,


2
 a 2 a 2  
 a  a

a 10 
 , B 0; ;0;C  ;0;0
M 
;
;0 ; S 0;0;





 
 2  2

 4
4
2 
 a 2 3a 2  a 2
a 2
suy ra DM = 
;
;0 =
1;3;0) =
.x ,
(

 4
4
4
4
 a 2 a 2 a 10 

SM = 
;
;−
 4
4

2 

C

z

S

B

A

a 2
a 2
O
1;1; −2 5 =
. y.
4
4
E
D
 a a  a
a
C
BC =  ; − ;0 = (1;−1;0) = .u ;
 2 2  2
2
a
a 10  a
a

 = 1;0; − 10 = .v , n = [ x , y ] = −6 5;2 5; −2 và
SC =  ;0;−
 2
2  2
2

=

(

)

(

k = [u, v ] =

(

)

(

)

10; 10; −1 . Suy ra cos ϕ =

n.k

=
n.k

y

M
x

)

11
2 110
⇒ tan ϕ =
.
51
11

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam

giác SBC bằng

a 2 33
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
6

a 330
a 330
a 110
.
B.
.
C.

.
33
11
33
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ AK vuông góc với SH tại K.
A.

D.

2a 330
.
33

Khi đó d ( A,(SBC )) = AK . Ta có BC = AB 2 + AC 2 = a 3 , và
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

17 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
S∆SBC

S

a 2 33
a 11

nên SH =
.
=
6
3

AH =

AC .AB
2

AC + AB

2

=

a 6
,
3

a 5
3

SA = SH 2 − AH 2 =

SA. AH a 330
=
.
SH

33
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
Ta có thể tích của khố i chóp S.ABC là
A
1
a 5 a 2 2 a 3 10
.
.
VS . ABC = SA.S∆ABC =
=
3
9
2
18

K

Suy ra d ( A,(SBC )) = AK =

Suy ra d ( A, (SBC )) =

C

H

3VS . ABC
a 330
.
=
33

S ∆SBC

B
[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với O ≡ A,Ox ≡ AB,Oy ≡ AC ,Oz ≡ AS . Khi đó,



a 5 
a 5 
 suy ra BC −a; a 2;0 , BS −a;0;
 , BA (a;0;0) suy
B (a;0;0), C (0; a 2;0), S 0;0;


3 
3 


(

)

 BC , BS  .BA


a 330
ra d ( A,(SBC )) = 
=
.

 BC , BS 
33


Câu 7. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,
0

BA = BC = a , góc giữa mp( SBC ) với mp( ABC ) bằng 60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
a 3
a 3
a 2
a 6
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
2
3
2
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Vì tam giác SAC vuông tại A nên tâm đường ròn ngoại tiếp tam giác SAC là trung điểm I của
A.

SC. Ta góc giữa mp(SBC) với mp(ABC) là góc SBA, theo bài góc SBA = 600

Suy ra SA = AB. tan SBA = a 3 .
Kẻ AD // BC, D là đỉnh thứ tư của hình bình bình hành ABCD.
Kẻ OE ⊥ AD tại E. OH ⊥ IE tại H.
Khi đó: d ( AI , BC ) = d ( BC ,( IAD)) = 2d (O,(IAD)) = 2.OH
Ta có OH =

OE .OI
2

OE + OI

2

=

a 3
a 3
, suy ra d ( AI , BC ) = 2d (O ,( IAD )) = 2.OH =
.
4
2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

18 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
S

S

I

I

J
H
D

E

B

A

O

C

A

B

B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Gọi O là trung điểm của AC, vì tam giác ABC vuông cân tại B nên OB ⊥ AC .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox ≡ OB,Oy ≡ OC ,Oz ≡ OI .

a 2


a 2
a 2  
a 2 
, A 0;−
Khi đó, B 
;0;0,C (0;
;0), I 0;0;
;0 ,


 2

2
3  
2
 a 2 a 2 
 a 2 a 2 
,
suy ra BC −
;
;0 , AI 0;
;




2
2
2
3 
 BC , AI  .BA
 a 2 a 2 


a 3

BA −
;−
;0 . Suy ra d ( BC , AI ) = 
=
.

 BC , AI 
 2
2
2


[Cách 3] Phương pháp thể tích.
Kẻ IJ // BC , J thuộc cạnh SB.
Suy ra d ( AI , BC ) = d (BC ,( AIJ )) = d (S,( AIJ )) .

1
Ta có: Tam giác AIJ vuông tại J và AJ = SB = a ;

2
2
1
a
a V
1
1
a3 3
IJ = BC = suy ra S ∆AIJ = . S . AIJ = ⇒ VS . AIJ = VS . ABC =
.
2
2
4 VS . ABC
4
4
24
Suy ra d ( AI , BC ) = d (S ,( AIJ )) =

3VS . AIJ
a 3
.
=
S ∆AIJ
2

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.
93

31
93
31
.
B. arctan
.
B. arctan
.
D. arctan
.
6
3
3
2
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi H là hình chiếu của M lên mp(OBC). Vì AM = 2BM nên OH = 2HB.
A. arctan

Suy ra (OA, CM ) = ( MH , CM ) = CMH . Đặt OB = x. Ta có OA = x 3, OC = x 3

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

A

1
a 3
Ta có MH = OA =
,
3
3
HC = OC 2 + OH 2 =

a 31
.
3

HC
93
=
.
HM
3
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,
với Ox ≡ OB,Oy ≡ OC ,Oz ≡ OA .

Suy ra tan(CMH ) =

M
C

O

Đặt OB = x.

Ta có OA = x 3, OC = x 3 ,

H

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .

B

 2a a 3 
1
a 3
 ,
. Khi đó, C (0; a 3;0), A 0;0; a 3 , M  ;0;
MH = OA =
 3
3
3
3 

(

)

 2a
a 3 
a

a
 = − 2;−3 3; 3 = u ,
suy ra MC − ;a 3; −
 3
3 
3
3

(

(

)

)

OA 0;0; a 3 = a 3 (0;0;1) = a 3 v suy ra

( )

u, v

cos(OA, CM ) = cos u, v =

=
u.v

3
93
⇒ tan(OA, CM ) =

.
34
3

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).

1
34
B. arcsin
35
35
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
[Cách 1] Phương pháp thể tích
Gọi H là hình chiếu của M lên mp(OBC).
Vì AM = 2 BM nên OH = 2HB.
A. arcsin

14
C. arcsin
35
A

D. arcsin

3
7

Suy ra (OA, CM ) = ( MH , CM ) = CMH
Đặt OB = x. Ta có OA = x 3, OC = x 3

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .
1
a 3
Ta có MH = OA =
, suy ra
3
3

M
C

O

a 7
.
3
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (OMC) và (ABC).
OM = MH 2 + OH 2 =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

H
B

20 | T H B T N

BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Suy ra sin ϕ =

d (O , ( ABC ))
1
a3
. Ta có: VOABC = OA.OB .OC = . Tam giác ABC có
d (O , CM )
6
2

AB = BC = 2 a, AC = a 6 ⇒ S∆ABC =

a

2

15
3V
, ⇒ d (O , ( ABC )) = OABC
2
S∆ABC

Vì tam giác OCM vuông tại O nên d (O ,CM ) =

OM .OC

2

OM + OC

2

=a

a3
2 = 3a .
=
15
15
a2.
2
3.

21
.
34

3a
d (O,( ABC ))
34
= 15 =
Suy ra sin ϕ =
.
d (O, CM )
35
21

z
a
A
34
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
Ox ≡ OB,Oy ≡ OC ,Oz ≡ OA .
Đặt OB = x. Ta có OA = x 3, OC = x 3 ,

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .
1
a 3
. Khi đó:
MH = OA =
3
3
 2a a 3 
,
C (0; a 3;0), A 0;0; a 3 , M  ;0;
3  . O
 3

(

M

)

C
y

B (a;0;0).

H

Suy ra OC = (0; a 3;0) = a 3 (0;1;0 ) = a 3.x ,

B

x

 2a a 3  a
a
 = 2;0; 3 = . y;
OM =  ;0;
3  3
3
 3

(

)

(

) (
)
n = [ x , y ] = ( 3;0;−2) và k = [u, v ] = (3;

(

)

(

)

BC = a; −a 3;0 = a 1; − 3;0 = a.u; BA = −a;0; a 3 = −a 1;0;− 3 = −av,

Suy ra cos ϕ =

n.k
=
n.k

)

3; 3 .

3
1
34
=
⇒ sin ϕ =
.
35
7. 15
35

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)

bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3
1
3
1
A. arcsin
.
B. arcsin
.
C. arcsin
.
D. arcsin
.
4 7
7
2 7
2 7
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp thể tích]
Ta có Góc giữa AC và mp(OBC) bằng 600 .
Suy ra OA = OC .tan 600 = a 6 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

21 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

A

5a
.
2
3a
CM = OC 2 + OM 2 = .
2
AM = OA2 + OM 2 =

AC = OC 2 + OA2 = 2 2a . Suy ra
S∆ACM =

a 2 14
.
2

1
a3 3
VA.OCM = OA.OC .OM =
.
6
6

Suy ra d (O , ( ACM )) =

3VO . ACM

3
.
=a
S∆ACM
14

C

O
M

Gọi ϕ là góc giữa OA với (ACM),
d (O , ( ACM ))
1
suy ra sin ϕ =
.
=
OA
2 7
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
Ox ≡ OB,Oy ≡ OC ,Oz ≡ OA .

B

z
A

a


C (0; a 2;0), A 0;0; a 6 , M  ;0;0 .
 2


(

)

 a

Suy ra, MA = − ;0; a 6  =
 2


a
a
1;0; −2 6 = − x ,
2
2
 a

MC = − ; a 2;0
 2

,
a
a
= − (1; −2 2;0) = − . y
2
2

−

(

)

(

C

O

y
M
B

)

n = [ x , y ] = 2 4 3; − 6; − 2 và

(

x

)

OA = 0;0; a 6 = a 6 (0;0;1) = a 6.k .
Gọi ϕ là góc giữa OA với ( ACM ) , suy ra sin ϕ =

n.k
=
n.k

1
2 7

.

Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC )

bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa hai mặt phẳng
( AMC ) và ( ABC ) bằng:
3
32
.
B. arcsin
.
35
35
[Cách 1] Phương pháp thể tích
A. arcsin

C. arcsin

1
.
35

D. arcsin

34
.
35

Ta có Góc giữa AC và mp ( OBC ) bằng 600 . Suy ra OA = OC.tan 600 = a 6 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

22 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

A

5a
.
2
3a
CM = OC 2 + OM 2 = .
2
AM = OA2 + OM 2 =

AC = OC 2 + OA2 = 2 2a . Suy ra
S ∆ACM =

a

2

I

14
.
2

1
a3 3
VA.OCM = OA.OC.OM =
. Suy ra
6
6

C

O
3VO. ACM
3
=a
= d ( B ,( ACM )) .
d (O, ( ACM )) =
S∆ACM
14

M

Kẻ OI vuông góc với AC tại I

Suy ra BI vuông góc với AC và d (O, AC ) = OI =
Tam giác OIB vuông tại O có OI =

OA.OC a 6 B
=
AC
2

a 6
a 10
, OB = a ⇒ BI =
.
2
2

d ( B,( ACM ))
3
=
.
BI
35
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
A
Ox ≡ OB, Oy ≡ OC , Oz ≡ OA .

(

)

sin ( ACM ), ( ABC ) =

(

)

C (0; a 2;0), A 0;0; a 6 ,
a

M  ;0;0  , B ( a;0;0 ) .
2

 a

Suy ra, MA =  − ;0; a 6 
 2

a
a
= − 1;0; −2 6 = − x,
2
2
 a

MC =  − ; a 2;0 
 2

a
a

= − 1; −2 2;0 = − . y
2
2

(

)

(

)

(

C

O

y
M

)

B

[ x, y] = 2 4 3; − 6; − 2 = 2.n ,

(

)

(

)

(

x

)

(

)

BA = −a;0; a 6 = −a 1;0; − 6 = −a.u, BC = −a; a 2;0 = −a 1; − 2;0 = −a.v,

(

)

k = u, v  = 2 3; − 6; − 2 .
Gọi ϕ là góc giữa ( ABC ) với ( ACM ) , Suy ra cos ϕ =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

n.k
n.k

=4

2
3
⇒ sin ϕ =
.
35
35

23 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD = 2a ,
AB = BC = SA = a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính

khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) .
a 6
a 6
.
B. h =
.
6
3
Hướng dẫn giải
C1: phương pháp dựng hình.
A. h =

Tứ giác ABCM là hình vuông nên CM = a =

C. h =

a 3
.
6

1
AD
2

Suy ra tam giác ACD vuông tại C
Ta có CD ⊥ AC , CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAC )

D. h =
S

H

A

B

a
.
3

M

D

C

Kẻ AH ⊥ SC tại H khi đó do

CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SCD )
Vậy d ( M , ( SCD ) ) =

1
1
d ( A, ( SCD ) ) = AH
2
2

Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH nên

1
1
1
1
1
3
= 2+
= 2+ 2= 2
2
2
AH
SA

AC
a
2a
2a

a 6
a 6
⇒ d ( M , ( SCD ) ) =
.
3
6
C2: Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có :
A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0;2a;0 ) , S ( 0;0; a )
Suy ra AH =

z
S

Từ đó suy ra M ( 0; a;0 ) , C ( a; a;0 ) ⇒ SM = ( 0; a; − a )
SC = ( a; a; − a ) , SD = ( 0; 2 a; − a )

M

A

D

y

 SC , SD  = ( a 2 ; a 2 ; 2a 2 ) ,  SC , SD  = 6a 2




Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) là

B

x

C

 SC , SD  .SM
a3
a 6


d ( M , ( SCD ) ) =
= 2
=
.
6
a 6
 SC , SD 


Câu 13. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 . Cạnh OA vuông

góc với mặt phẳng (OBC), OA = a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h giữa hai

đường thẳng AB và OM.
a 5
a 3
a 15
a 3
.
B. h =
.
C. h =
.
D. h =
.
5
2
5
15
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi N là điểm đố i xứng của C qua O. Khi đó OM //BN ( tính chất đường trung bình )
do đó OM // ( ABN ) . Suy ra d ( OM , AB ) = d ( OM , ( ABN ) ) = d ( O, ( ABN ) ) .
A. h =

Dựng OK ⊥ BN , OA ⊥ ( OBC ) ⇒ BN ⊥ OA ⇒ BN ⊥ AK
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Dựng OH ⊥ AK khi đó OH ⊥ ( ABN ) . Từ đó d ( OM , AB ) = OH
Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên
1
1
1
1
1
4
=
+
= 2+ 2 = 2
2
2
2
OK
ON
OB
3a
a
3a
Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên

A

1
1
1
4

1
5
a 15
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
2
OH
OK
OA 3a 3a
3a
5

H

a 15
.
5
Cách 2 : Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Vậy d ( OM , AB ) =

C

O

N
K

M
B

a a 3 
Khi đó O ( 0;0;0) , A 0;0; a 3 , B ( a;0;0 ) , C 0; a 3;0 , M  ;
; 0  .
z
2 2

A
a a 3 
Suy ra OM  ;
; 0  , AB = a; 0; −a 3 , OB = ( a; 0; 0 )
2 2


(

)

(

(

)

)

 3a 2 −a 2 3 a 2 3 

a 2 15
 AB, OM  = 



  2 ; 2 ; 2  ,  AB, OM  = 2


 AB, OM  .OB a 15


=
Vậy d ( AB, OM ) =
.
5
 AB, OM 



O

C

y

M

B

x

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD )

, SA = 2a . Gọi F là trung điểm SC, tính góc ϕ giữa hai đường thẳng BF và AC.
A. ϕ = 60 0 .

B. ϕ = 900 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 450 .

Hướng dẫn giải
C1 : Phương pháp dựng hình
Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó OF //SA ⇒ OF ⊥ ( ABCD ) ⇒ OF ⊥ AC .

Lại có AC ⊥ BD nên AC ⊥ ( BDF ) ⇒ AC ⊥ BF . Vậy ( AC , BF ) = 900 .
z
S
S

F

A

A

D

O

B

C
Cách 2 : phương pháp tọa độ

x

B

D y

F

C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0) , S ( 0;0; 2a )
a a 
 a a 
Suy ra F  ; ; a  , BF =  − ; ; a  , AC = ( a; a; 0 )
2 2 
 2 2 
Vậy BF . AC = 0 ⇒ BF ⊥ AC ⇒ ( BF , AC ) = 900 .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

25 | T H B T N