ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN

BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
CHUN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
I. HÌNH HỌC PHẲNG
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A

B

C

M

H

BC 2 = AB 2 + AC 2
AH .BC = AB.AC
AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .CB
1
1
1
=

+
, AH 2 = HB.HC
AH 2
AB 2 AC 2
2AM = BC

2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vng:

Chọn góc
là nh
α ọn là α
Chnhọn
ọn góc
cạ
n
cạnhh đđốốii  đđii 
sinαα ==
sin
;; 

cạnnhh hhuyề
uyềnn  hhoọcïc 
cạ
cạnnhh kkềề  kkhô
hônngg 
cạ
cosαα ==
cos
;;


cạnnhh hhuyề
uyềnn  hhưư 
cạ
cạnnhh đđốốii  đđoà
oànn 
cạ
tanαα ==
tan
;;

cạnnhh kkềề  kkeếtát 
cạ
cạnnhh kkềề  kkếếtt 
cạ
cotαα ==
cot
;;
cạnnhh đđốốii  đđoà
oànn 
cạ

Cạnh huyền
Cạnh
đối
α

Cạnh kề

3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:

A

b 2 + c2 − a 2
∗ a = b + c − 2bc cos A ⇒ cos A =
2bc
2
a
+
c2 − b2
∗ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ⇒ cos B =
2ac
2
a + b2 − c2
2
2
2
∗ c = a + b − 2ab cosC ⇒ cosC =
2ab
2

b

c
a
B

C

2

2

b. Định lý sin:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
A

c

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B
sinC
(R là bá n kıń h đường trò n ngoaị tiế p ∆ABC)

b
R

a

B

C

c. Cơng thức tính diện tích tam giác:

A

c

1
1
1
S ∆ABC = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B
2
2
2
abc
S ∆ABC =
, S ∆ABC = p.r
4R
p = p ( p − a )( p − b )( p − c )

b

B

C

a

p- nửa chu vi
r- bán kính đường trịn nộ i tiếp

d. Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:

A
K

AB 2 + AC 2 BC 2
−
2
4
2
2
BA + BC
AC 2
∗ BN 2 =
−
2
4
∗ AM 2 =

N

B

C

CA2 + CB 2 AB 2
∗ CK =
−
2
4

M

2

4. Định lý Thales:

A
M

N
∗

B

AM
AN
MN

=
=
=k
AB
AC
BC
2
 AM 
 = k 2
= 
 AB 

∗ MN / /BC ⇒

C

S ∆AMN
S ∆ABC

(Tı̉ diêṇ tıć h bằ ng tı̉ bıǹ h phương đồ ng dang)
̣

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

5. Diện tích đa giác:
B

a. Diêṇ tı́ ch tam giá c vuông:

Diêṇ tıć h tam giá c vng bằ ng ½ tıć h 2 canh
̣
gó c vuông.

C

A

b. Diêṇ tı́ ch tam giá c đề u:

Diêṇ tıć h tam giá c đề u: S ∆

Chiề u cao tam giá c đề u: h∆

B

(canh)
̣ .2 3
=
đề u
4
=

đề u

(canh)
̣ . 3
2

c. Diêṇ tı́ ch hı̀ nh vuông và hı̀ nh chữ nhâṭ :

Đường ché o hıǹ h vuông bằ ng canh
̣ nhân 2 .
Diêṇ tıć h hıǹ h chữ nhâṭ bằ ng dà i nhân rông.
̣

a

h
A

C

a

O

D

C
A

d. Diêṇ tı́ ch hı̀ nh thang:
1
SHıǹ h Thang = .(đá y lớn + đá y bé ) x chiề u cao

2



a2 3

S
=

 ∆ABC
4
⇒


a 3


h=

2



B

A

Diêṇ tıć h hıǹ h vuông bằ ng canh
̣ bıǹ h phương.

1
⇒ S ∆ABC = AB.AC
2

S HV = a 2
⇒ 
AC = BD = a 2


D

⇒S =
B

2

C

H

e. Diêṇ tı́ ch tứ giá c có hai đường ché o vuông
gó c:

Diêṇ tıć h tứ giá c có hai đường ché o vng gó c A
nhau bằ ng ½ tıć h hai đường ché o.
Hıǹ h thoi có hai đường ché o vuông gó c nhau
taị trung điể m củ a mỗ i đường.

(AD + BC ) .AH

B
C ⇒ S H .Thoi =

1
AC .BD
2

D

II. CÁ C PHƯƠNG PHÁ P CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1. Chứng minh đường thẳ ng song song với mặt phẳng :
d ⊄ (α) 

d d ′  ⇒ d (α) (Định lý 1, trang 61, SKG HH11)

d ′ ⊂ (α)

(α)
 ⇒ d (α) (Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)
d ⊂ (β ) 


(β )

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3|THBTN


Chun đề 7. Hình học khơng gian

BTN_7_2

d ⊥ d ' 

(α) ⊥ d '
 ⇒ d (α) (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)

d ⊄ (α) 

2. Chứng minh hai mặt phẳng song song:

(α) ⊃ a, a (β )


(α) ⊃ b, b (β ) 
 ⇒ (α) (β ) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11)


a ∩b =O




(Q )
 ⇒ (α) (β ) (Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11)

(β ) (Q ) 



(α)


(α) ≠ (β )


(α) ⊥ d 
 ⇒ (α) (β ) . (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)

(β ) ⊥ d 




3. Chứng minh hai đường thẳ ng song song: Á p dung
̣ lı́ sau
̣ môṭ trong cá c đinh
Hai mặt phẳng (α), (β ) có điể m chung S và lầ n lươṭ chứa 2 đường thẳ ng song song a,b thı̀ giao

tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.

S ∈ (α) ∩ (β ) 


(α) ⊃ a, (β ) ⊃ b
 ⇒ (α) ∩ (β ) = Sx ( a b) . (Hệ quả trang 57, SKG HH11)


a b




Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) . Nếu mặt phẳng (β ) chứa a và cắt (α) theo
giao tuyến b thì b song song với a.
a (α), a ⊂ (β )
 ⇒ b a . (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)
(α) ∩ (β ) = b 

Hai măṭ phẳ ng cù ng song song với môṭ đường thẳ ng thı̀ giao tuyế n củ a chú ng song song với
đường thẳ ng đó .

(α) (β )

 ⇒ (P ) ∩ (β ) =d ′,d ′ d . (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)
(P ) ∩ (α) = d 

Hai đường thẳ ng phân biệt cù ng vuông gó c với mô ṭ măṭ phẳ ng thı̀ song song với nhau.
d ≠ d ′ 

d ⊥ (α)  ⇒ d ⊥ d ′ (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)

d ′ ⊥ (α)

Sử dung
̣ lı́ Talé t đả o, …
̣ phương phá p hıǹ h hoc̣ phẳ ng: Đường trung bıǹ h, đinh
4. Chứng minh đường thẳ ngvng góc với mặt phẳng:
Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong một mặt phẳng thì nó vng góc với mặt phẳng ấy.
d ⊥ a ⊂ (α) 


d ⊥ b ⊂ (α)  ⇒ d ⊥ (α ) .

a ∩ b = {O }

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

4|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vng
góc với đường thẳng này thì vng góc với đường thẳng kia.
d d ′ 
 ⇒ d ⊥ (α ) .
d ′ ⊥ (α)

Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vng
góc với mặt phẳng này thì cũng vng góc với mặt phẳng kia.
(α) (β ) ⇒ d ⊥ α .
( )

d ⊥ (β ) 

Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai măṭ phẳ ng cắ t nhau và cù ng vuông gó c với măṭ
phẳ ng thứ ba thı̀ giao tuyế n củ a chú ng vuông gó c với măṭ phẳ ng thứ ba đó.
(α) ⊥ (P ) 

(β ) ⊥ (P )  ⇒ d ⊥ (P ) .
(α) ∩ (β ) = d 
Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai măṭ phẳ ng vng gó c thì bất cứ đường thẳng nào
nà o nằ m trong măṭ phẳ ng nà y và vuông gó c với giao tuyế n đều vuông gó c với măṭ phẳ ng kiA.
(α) ⊥ (P ) 
a = (α ) ∩ (P )  ⇒ d ⊥ (P )

d ⊂ (α ), d ⊥ a 

5. Chứng minh hai đường thẳ ng vng góc:
Cách 1: Dùng định nghĩa: a ⊥ b ⇔ a, b = 900.

( )

( )

Hay a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ⇔ a .b = 0 ⇔ a . b .cos a ,b = 0
Cách 2: Nếu một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải
vng góc với đường kia.
b//c 
 ⇒a ⊥b.
a ⊥ c

Cách 3: Nếu một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng thì nó vng góc với mọ i đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

a ⊥ (α )

 ⇒ a ⊥ b.
b ⊂ (α ) 




Cách 4: (Sử duṇ g Đinh
̣ lý Ba đường vuông gó c) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P )

và a là đường thẳng không thuộc (P ) đồng thời khơng vng góc với (P ) . Gọi a’ là hình chiếu
vng góc của a trên (P ) . Khi đó b vng góc với a khi và chỉ khi b vng góc với a’.

a ' = hchα (P )
 ⇒ b ⊥ a ⇔ b ⊥ a '.


b ⊂ (P )



Cách khác: Sử duṇ g hı̀ nh hoc̣ phẳ ng (nếu được).
6. Chứng minh mp (α ) ⊥ mp (β ) :

(

)

Cách 1: Theo định nghĩa: (α ) ⊥ (β ) ⇔ (α), (β ) = 900. Chứng tỏ gó c giữa hai măṭ phẳ ng bằ ng
90° .
Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
III. HÌNH CHÓ P ĐỀ U

1. Đinh
̣ nghıã : Môṭ hı̀ nh chó p được goị là hı̀ nh chó p đề u nế u có đá y là môṭ đa giá c đề u và có chân
đường cao trù ng với tâm củ a đa giá c đá y.
Nhâṇ xé t:
S
Hıǹ h chó p đề u có cá c măṭ bên là những tam giá c cân bằ ng nhau.
Cá c măṭ bên taọ với đá y cá c gó c bằ ng nhau.
Cá c canh
̣ bên củ a hıǹ h chó p đề u taọ với măṭ đá y cá c gó c bằ ng
nhau.
2. Hai hı̀nh chó p đều thường gặp:
A

a. Hı̀nh chó p tam giá c đều: Cho hıǹ h chó p tam giá c đề u S .ABC . Khi
đó :

C

O

B

Đá y ABC là tam giá c đề u.
Cá c măṭ bên là cá c tam giá c cân taị S .
Chiề u cao: SO .

Gó c giữa canh
̣ bên và măṭ đá y: SAO = SBO = SCO .
Gó c giữa măṭ bên và măṭ đá y: SHO .
2
1
AB 3
AH , OH = AH , AH =
.
3
3
2
Lưu ý : Hıǹ h chó p tam giá c đề u khá c với tứ diêṇ đề u.
Tứ diêṇ đề u có cá c mặt là cá c tam giá c đề u.
Tứ diêṇ đề u là hı̀ nh chó p tam giá c đề u có caṇ h bên
bằ ng caṇ h đá y.
b. Hı̀nh chó p tứ giá c đều: Cho hıǹ h chó p tam giá c đề u S .ABCD .

Tıń h chấ t: AO =

Đá y ABCD là hıǹ h vuông.
Cá c măṭ bên là cá c tam giá c cân taị S .
Chiề u cao: SO .

S

A

I

D

O
C

B

Gó c giữa canh
̣ bên và măṭ đá y: SAO = SBO = SCO = SDO .
Gó c giữa măṭ bên và măṭ đá y: SHO .

IV. THỂ TÍ CH KHỚ I ĐA DIỆN

S
1. Thể tı́ ch khớ i chó p: V =

1
B.h
3

B : Diêṇ tıć h măṭ đá y.
h : Chiề u cao củ a khố i chó p.

D
A

O

B

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

C

6|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

A

C’

Lưu ý : Lăng tru ̣ đứng có chiề u cao cũ ng là
canh
̣ bên.

4. Tı̉ số thể tı́ ch:

VS .A′ B ′C ′
VS .ABC

=

A’

B’
c

a

a

b

a

S

SA′ SB ′ SC ′
.
.
SA SB SC

B’

A’

5. Hın
̀ h chó p cụt ABC . A′B′C ′
h
V = B + B ′ + BB ′
3
Với B, B ′, h là diêṇ tıć h hai đá y và chiề u cao.

(

C’
B’

a

3. Thể tı́ ch hın
̀ h hô ̣p chữ nhâṭ : V = a.b.c

C
B

A’

⇒ Thể tıć h khố i lâp̣ phương: V = a 3

A

B

2. Thể tı́ ch khố i lăng trụ: V = B.h
B : Diêṇ tıć h măṭ đá y.
h : Chiề u cao củ a khố i chó p.

C

C’

)

A

B

C

B. BÀI TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM
Câu 1.

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
2

Câu 2.

Có bao nhiêu khố i đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

Câu 3.

B. Số mặt của đa diện.

D. Số đỉnh của đa diện.

Cho khố i đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.

Câu 5.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗ i đỉnh.

Tính thể tích khố i tứ diện đều cạnh a .
a3 2
A.
⋅
12

Câu 6.

D. 2 .

Cho khố i đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗ i mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

Câu 4.

C. 3 .

a3 2

B.
⋅
4

3

C. a .

a3
D.
⋅
6

Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khố i chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

7|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
A. a
Câu 7.

3

a3 2
B.

2

a3 2
C.
.
6

a3
D.
3

Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khố i chóp
S . ABC biết AB = a , SA = a .

a3 3
A.
.
12
Câu 8.

a3 3
B.
.
4

3

C. a .

a3

D.
3

Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .
3

A. a .
Câu 9.

3

B. 6a .

3

B. 2a .

a3
D.
⋅
3

Thể tích khố i tam diện vng O. ABC vng tại O có OA = a, OB = OC = 2a là
A.

2a 3
⋅
3

B.

a3
⋅
2

C.

a3
⋅
6

D. 2a 3 .

Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm ,
AB = 4cm, AC = 3cm . Tính thể tích khố i chóp.
A.

12 3
cm .
3

B.

24 3
cm .
5

C.

24 3
cm .
3

D. 24cm3 .

Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB = a, AD = 2a . Góc giữa
SB và đáy bằng 450 . Thể tích khố i chóp là

A.

a3 2
⋅
3

B.

2a 3
⋅
3

C.

a3
⋅
3

D.

a3 2

⋅
6

Câu 12. Hıǹ h chó p S . ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể
tıć h khớ i chó p S . ABCD là
A.

a3 2
⋅
2

B.

a3 2
⋅
3

C.

a3 3
⋅
2

D.

a3 3
⋅
3

Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và

thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích khố i chóp S . ABC biết
AB = a , AC = a 3 .

A.

a3 6
⋅
12

B.

a3 6
⋅
4

C.

a3 2
⋅
6

D.

a3
⋅
4

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác vuông cân tại
S và thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S . ABCD

biết BD = a , AC = a 3 .
A. a3 .

B.

a3 3
⋅
4

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

a3 3
⋅
12

D.

a3
⋅
3

8|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng

( ABC ) là trung điểm

H của BC . Tính thể tích khố i chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 ,

SB = a 2 .
A.

a3 6
⋅
6

a3 3
⋅
2

B.

C.

a3 3
⋅
6

D.

a3 6
⋅
2

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
3a
( ABCD ) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khố i chóp S . ABCD biết SB = .
2
A.

a3
⋅
3

B. a3 .

C.

a3
⋅
2

Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vng cạnh a, SD =

D.

3a 3
⋅
2

a 13
. Hình chiếu của S lên ( ABCD ) là
2

trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là
A.

a3 2
⋅
3

a3 2
⋅
3

B.

C. a3 12 .

D.

a3
⋅
3

Câu 18. Hıǹ h chó p S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD bằng 1200 . Hình chiếu vng góc của
a
S lên ( ABCD ) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI = . Khi đó thể tıć h khớ i chó p
2
S . ABCD là
a3 2
a3 3
a3 2

a3 3
A.
⋅
B.
⋅
C.
⋅
D.
⋅
9
9
3
3
Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính t ỉ số
A. 4 .

B.

1
⋅
2

C. 2 .

D.

VS . ABC
.
VS .MNC

1
⋅
4

Câu 20. Cho khố i chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B′, C ′ sao cho
V
2OA′ = OA, 4OB′ = OB, 3OC ′ = OC . Tính t ỉ số O. A ' B 'C '
VO. ABC
A.

1
.
12

B.

1
.
24

C.

1
.
16

D.

1
.

32

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . (α ) cắt SB , SC
SM
biết (α ) chia khố i chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SB
1
1
1
B.
.
C. .
D.
.
4
2
2 2

lần lượt tại M , N . Tính t ỉ số
A.

1
.
2

Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
A.

a3 3
⋅

4

B.

a3 3
⋅
3

C.

a3 2
⋅
3

D.

a3 2
⋅
2

Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D . Tính thể tích

khố i lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

9|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
A. 3a 3 .

B. a3 .

C. a3 3 .

D. 3a 3 3 .

Câu 24. Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có ABC là tam giác vng tại A . Hình chiếu của A ' lên ( ABC ) là

trung điểm của BC . Tính thể tích khố i lăng trụ ABC . A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a 3 ,
AA ' = 2a .
A.

a3
⋅
2

B.

3a 3
⋅
2

C. a3 3 .

D. 3a 3 3 .

Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên ( ABCD ) là

trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khố i lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a ,
ABC = 1200 , AA ' = a .
A. a

3

2.

a3 2
B.
⋅
6

Câu 26. Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' . Tính tỉ số
A.

1
⋅
2

B.

1
⋅
6

a3 2
C.
⋅

3

a3 2
D.
⋅
2

VABB 'C '
.
VABCA ' B ' C '
C.

1
⋅
3

D.

2
.
3

Câu 27. Cho khố i lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ
diện A’BB’C’ là
A.

a3 3
⋅
12

B.

a3 3
⋅
4

C.

a3 3
⋅
6

D.

a3
⋅
12

Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC . A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
300. Hình chiếu A′ lên ( ABC ) là trung điểm I củ a BC . Thể tích khố i lăng trụ là
A.

a3 3
⋅
6

B.

a3 3
⋅

2

C.

a3 3
⋅
12

D.

a3 3
⋅
8

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, AB = a . Mặt bên

( BB’C’C )
a3 3
A.
.
3

là hình vng. Khi đó thể tıć h lăng trụ là
B. a3 2 .

C. 2a 3 3 .

D. a3 3 .

Câu 30. Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' . Tính t ỉ số

VABCMN
.
VABC . A ' B ' C '
A.

1
.
3

B.

1
.
6

C.

1
.
2

D.

2
.
3

Câu 31. Cho khố i lăng trụ ABC . A′B′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khố i chóp A′. ABC và khố i lăng trụ đó là
1
1

1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
2
3
6
Câu 32. Cho khố i lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tỉ số thể tích giữa khố i A′. ABD và khố i lập phương là:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
8
6
3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

10 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD) bằng α . Tính thể tích của khố i chóp S . ABCD theo h và α .

3h3
A.
.
4 tan 2 α

4h3
B.
.
3tan 2 α

8h3
C.
.
3tan 2 α

3h3
D.
.
8 tan 2 α

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy
và mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khố i chóp S . ABCD .

3a 3 3

A. V =
.
4

3a 3 3
B. V =
.
8

8a 3 3
C. V =
.
3

4a 3 3
D. V =
.
3

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC = a , mặt

phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy một góc 30° và tam giác A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể
tích khố i lăng trụ ABC . A ' B ' C ' .
A.

a3 3
.
8

B.

3a 3 3
.
4

C.

3a 3 3
.
8

D.

3a 3 3
.
2

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vng
góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc

bằng 45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' .
A. V =

3a 3
.
16

B. V =

3a 3

.
8

C. V =

3a 3
.
4

D. V =

3a 3
.
2

Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng 600 , khoảng

cách giữa hai đường thẳ ng SA và BC bằ ng
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
18

3a
. Thể tıć h củ a khớ i chóp S . ABC theo a bằng
2 7
C.

a3 3
.
16

D.

a3 3
.
24

Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2 3a , BD = 2a , hai
mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ
điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
A.

a3 3
.
16

B.

a3 3
.
18

a 3
. Tính thể tıć h củ a khớ i chóp S . ABCD theo a .
4
C.

a3 3
.
3

D.

a3 3
.
12

Câu 39. Cho hıǹ h chó p tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình
chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo
a.
A. 2a 3 3 .

B. 4a 3 3 .

C. 6a3 3 .

D. 8a 3 3 .

Câu 40. Cho hıǹ h chó p tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) . ABCD là hình thang vng tại A và B

biết AB = 2a . AD = 3BC = 3a . Tính thể tích khố i chóp S . ABCD theo a biết góc giữa
( SCD ) và ( ABCD ) bằng 600 .

A. 2 6a 3 .

B. 6 6a 3 .

C. 2 3a 3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. 6 3a 3 .

11 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 41. Cho hıǹ h chó p tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình thang vng tại A và B
biết AB = 2a . AD = 3BC = 3a . Tính thể tích khố i chóp S . ABCD theo a , biết khoảng cách từ

A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A. 6 6a 3 .

3 6
a.
4

B. 2 6a 3 .

C. 2 3a 3 .

D. 6 3a 3 .

Câu 42. Cho lăng tru ̣ tam giá c ABC . A ' B ' C ' có BB ' = a , gó c giữa đường thẳ ng BB ' và ( ABC ) bằ ng
60° , tam giá c ABC vuông taị C và gó c BAC = 60° . Hıǹ h chiế u vuông gó c củ a điể m B ' lên
̣ tâm củ a ∆ABC . Thể tıć h củ a khố i tứ diêṇ A '. ABC theo a bằng
( ABC ) trù ng với trong

13a 3
A.
.
108

7a 3
B.
.
106

15a 3
C.
.
108

9a 3
D.
.
208

Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ
a

tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng
.Tính thể tích khố i lăng trụ
6
ABC . A ' B ' C ' .
A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

C.

3a 3 2
.
4

D.

3a 3 2
.
16

Câu 44. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS = 2 NC . Kí hiệu V1 ,V2 lần lượt là thể tích của các khố i chóp A.BMNC và S . AMN . Tính t ỉ

số

V1
.
V2

A.

V1 2
=
V2 3

B.

V1 1
=
V2 2

C.

V1
= 2.
V2

D.

V1
=3
V2

Câu 45. ho NS = 2 NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA = 2 PS . Kí hiệu V1 ,V2 lần lượt là thể tích

của các khố i tứ diện BMNP và SABC . Tính t ỉ số
A.

V1 1
= .
V2 9

B.

V1 3
= .
V2 4

V1
.
V2

C.

V1 2
= .
V2 3

D.

V1 1
= .

V2 3

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD) bằng 45° , M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích
V của khố i tứ diện DMNP .
A. V =

a3
6

B. V =

a3
4

C. V =

a3
12

D. V =

a3
2

Câu 47. Cho lăng trụ ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a ; cạnh bên

AA′ = 2a . Hình chiếu vng góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC .
Tính thể tích V của khố i lăng trụ ABC . A′B′C ′ .
A. V =

1 3
a .
2

B. V =

a3
.
3

C. V = a 3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. V =

2a 3
.
3

12 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đơi một vng góc với nhau. Gọi G1 , G2 , G3 và

G4 lần lượt là trọng tâm các mặt ABC , ABD, ACD và BCD . Biết AB = 6a, AC = 9a ,
AD = 12a . Tính theo a thể tích khố i tứ diện G1G2 G3G4 .

A. 4a 3

B. a3

C. 108a 3

D. 36a3

Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m . Tính thể tích khố i
tứ diện ABCD .
A. 360m3

B. 720m3

C. 770m3

D. 340m3

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là vng; mặt bên ( SAB) là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng

3 7a
.
7

Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .

1
A. V = a 3 .
3

B. V = a 3 .

C. V =

2 3
a .
3

D. V =

3a 3
.
2

Câu 51. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM ,
SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khố i
đa diện có được khi chia khố i tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S ,

( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số
A.

4
5

B.

5
4

C.

3
4

D.

V1
.
V2

4
3

Câu 52. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng ( SAB) ,

( SAC ) và ( SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 ,
AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khố i chóp
S . ABC .
A. V = 408 .
B. V = 680 .
C. V = 578 .
D. V = 600 .

C. ĐÁP ÁN VÀ
VÀ HƯ
HƯỚNG DẪ

DẪN GIẢ
GIẢI BÀI TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.4

1
A

2
B

3
A

4
D

5
A

6
C

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU

Câu 1.

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao khơng đổi
thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

13 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.

Câu 2.

Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều.

Câu 3.

Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

Câu 4.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.

Câu 5.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
A.

a3 2
⋅
12

B.

a3 2
⋅
4

C. a 3 .

D.

a3
⋅
6

Hướng dẫn giải:
Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a .

S

Gọi H là hình chiếu của A lên ( BCD ) .
Ta có: BH =

AB 2 − BH 2 =

⇒ AH =

S∆BCD =

a

a 3
3

2

4

3

a 6
3

⇒ VABCD =

a

3

C

A
2

12

.

O
B

Câu 6.

Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .
A. a3

B.

a3 2
2

a3 2
.
6
Hướng dẫn giải:

C.

D.

S

Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABCD )
Ta có: AH =

a3
3

a 2
2

⇒ SH = SA2 − AH 2 =

S ABCD = a 2 ⇒ VS . ABCD =

a 2
2

a

3

A

D

2

H

6

B

Câu 7.

C

Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a ,
SA = a .

A.

a3 3
.
12

B.

a3 3

.
4

C. a3 .

D.

a3
3

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

14 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
S ∆ABC =

S

a2 3
4

⇒ VS . ABC =

a3 3

.
12

C

A
B

Câu 8.

Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích S . ABCD biết AB = a ,
AD = 2a , SA = 3a .

A. a3 .

B. 6 a3 .

B. 2a 3 .

D.

a3
⋅
3

Hướng dẫn giải:

S

S ∆ABCD = 2a.a = 2a 2 ⇒ VS . ABC = 2a3

D

A
B

Câu 9.

C

Thể tích khối tam diện vng O. ABC vng tại O có OA = a, OB = OC = 2a là
A.

2a3
⋅
3

B.

a3
⋅
2

a3
⋅
6
Hướng dẫn giải:

D. 2a 3 .

C.

A
1

2
 SOBC = OB.OC = 2a
2

h = OA = a
1
2a3
⇒ VO. ABC = OA ⋅ SOBC =
3
3

C

O

B

Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm , AB = 4cm, AC = 3cm .
Tính thể tích khối chóp.
12 3
A.
cm .
3

B.

24 3
cm .
5

24 3
cm .
3
Hướng dẫn giải:

D. 24cm3 .

C.

S
1

2
 S ABC = AB. AC = 6 cm
2

h = SA = 2 cm
1
12
⇒ VS . ABC = SA ⋅ S ABC = cm3
3
3

C

A
B

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB = a, AD = 2a . Góc giữa SB và đáy bằng
450 . Thể tích khối chóp là

A.

a3 2
⋅
3

B.

2a3
⋅
3

C.

a3

3
Hướng dẫn giải:

D.

⋅

a3 2
⋅
6

S
 SA = AB.tan ( 450 ) = a

2
 S ABCD = a.2a = 2a
1
2a3
⇒ VS . ABCD = SA.S ABCD =
3
3

45

0

D

A

B

C

Câu 12. Hıǹ h chó p S . ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể tıć h khớ i chó p
S . ABCD là

A.

a3 2
⋅
2

B.

a3 2
⋅
3

a3 3
⋅
2
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3

⋅
3

S
 SA = a 3

0
2
 AB = AC.cos ( 45 ) = a ⇒ S ABCD = a
1
a3 3
⇒ VS . ABCD = SA.S ABCD =
3
3

D

A
B

C

Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và thuộc mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 .
A.

a3 6
⋅
12

B.

∆ABC vuông tại B ⇒ BC =

S ∆ABC

a3 6
⋅
4

a3 2
⋅
6
Hướng dẫn giải:

C.

D.

AC 2 − AB 2 = a 2 .

S

1
a2 2
= BA.BC =
2
2

Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH =

a 3
2

A

Ta có: ∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB
⇒ SH ⊥ ( ABC ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).
⇒ VS . ABC

a3
⋅
4

C
H

1
a3 6
= SH .S∆ABC =
3
12

B

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt
phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết BD = a , AC = a 3 .
A. a3 .

B.

a3 3
⋅
4

a3 3
⋅
12
Hướng dẫn giải:

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D.

a3
⋅
3

16 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

S
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ,

O là trung điểm của AC , BD .
∆ABO vuông tại O ⇒ AB =

A

AO 2 + OB 2 = a .

D

2

S ABCD

1
a 3
= AC.BD =
.
2
2

H
B

C

Gọi H là trung điểm AB . ∆SAB vuông cân tại S cạnh AB = a ⇒ SH =

a
.
2

Ta có: ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).
1
a3 3
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD =
.
3
12

Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 , SB = a 2 .
A.

a3 6
⋅
6

B.

a3 3
⋅
2

C.

a3 3
⋅
6

D.

a3 6
⋅
2

Hướng dẫn giải:

S

∆ABC vuông tại A
AC 2 + AB 2 = 2a .

⇒ BC =
S ∆ABC =

1
a2 3
AB. AC =
.
2
2

B

SH = SB 2 − BH 2 = a .
1
a3 3
⇒ VS . ABC = SH .S∆ABC =
.
3

6

A
H
C

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung
điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết SB =
A.

a3
⋅
3

B. a3 .

3a
.
2

a3
⋅
2
Hướng dẫn giải:

C.

∆ABH vuông tại A
⇒ BH =

AH 2 + AB 2 =

D.

3a3
⋅
2

S
a 5
.
2

SH = SB 2 − BH 2 = a .

A

S ABCD = a 2 .

B

H

1
a3
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD =
.
3
3

D

Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vng cạnh a, SD =

C

a 13
. Hình chiếu của S lên
2

( ABCD )

C. a3 12 .

a3
⋅
3

là trung điểm

H của AB . Thể tích khối chóp là

A.

a3 2
⋅
3

B.

a3 2
⋅
3

D.

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

17 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

S

S ABCD = a 2
HD 2 = AH 2 + AD 2 =

5a
4

⇒ SH = SD 2 − HD 2 =
⇒ VS . ABCD

2

13a 2 5a 2
−
=a 2
4
4

A

1
a3 2
= SH .S ABCD =
.
3
3

D

H
B

C

Câu 18. Hıǹ h chó p S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD bằng 1200 . Hình chiếu vng góc của S lên ( ABCD )
là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI =
A.

a3 2
⋅
9

B.

a3 3
⋅
9

a
. Khi đó thể tıć h khớ i chó p S . ABCD là
2
a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3
⋅
3

S
a

 SI =
2

2
S

 ABCD = AB. AD.sin BAD = 2 3a

A

1
a3 3
⇒ VS . ABCD = SI .S ABCD =
3
3

D
I

B

C

Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số
A. 4 .

B.

1
⋅
2

VS . ABC
.
VS .MNC

C. 2 .

D.

1
⋅
4

Hướng dẫn giải:

S

M
VS . ABC
SA SB
=
.
=4
VS .MNC SM SN

N
A

C

B
Câu 20. Cho khối chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm
2OA′ = OA, 4OB ′ = OB, 3OC ′ = OC . Tính tỉ số

A.

1
.
12

B.

1
.
24

A’, B′, C ′

sao cho

VO. A ' B ' C '
VO. ABC

1
.
16
Hướng dẫn giải:

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D.

1

.
32

18 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
O
B′

Ta có :
OA′ 1 OB ′ 1 OC ′ 1
= ;
= ;
=
OA 2 OB 4 OC 3
V
OA′ OB′ OC ′ 1 1 1 1
⇒ O . A ′B ’ C ’ =
⋅
⋅
= ⋅ ⋅ =
VO. ABC
OA OB OC 2 4 3 24

C′

A′

A

C

B

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . (α ) cắt SB , SC lần lượt tại M , N .
Tính tỉ số
A.

SM
biết (α ) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SB

1
.
2

1

B.

2

C.

.

1

.
4

D.

1
2 2

.

Hướng dẫn giải:

S
Ta có : MN //BC ⇒

SM SN
=
SB SC

M

V
SM SN  SM 
.
=
Ta có: S . AMN =

VS . ABC
SB SC  SB 

Ta có:

2

N
A

VS . AMN 1
1
SM
= ⇒
=
VS . ABC 2
SB
2

C

B
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
A.

a3 3
⋅
4

B.

a3 3
⋅

3

a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

A'

a3 2
⋅
2

C'
B'

h = a


a2 3
S =

4

⇒ V = h.S =

a3 3
4

A

C
B

Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D . Tính thể tích khối lăng trụ
ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .

A. 3a3 .

B. a3 .

C. a3 3 .
Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. 3a3 3 .

19 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
A'

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình chữ nhật ⇒ OA = OB = OD
Mà A′A = A′B = A′D nên A ' O ⊥ ( ABD ) (vì A ' O là

B'

D'

trực tâm giác ABD )
∆ABD vuông tại A ⇒ BD =
⇒ OA = OB = OD = a

C'

AB 2 + AD 2 = 2a
A
2

∆AA ' O vuông tại O ⇒ A ' O =

B

2

AA ' − AO = a 3

O

S ABCD = AB. AD = a 2 3
VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD = 3a3 .

D

C

Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vng tại A . Hình chiếu của A ' lên ( ABC ) là trung điểm của
BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a 3 , AA ' = 2a .

A.

a3
⋅
2

B.

3a3
⋅
2

C. a3 3 .

D. 3a3 3 .

Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) .

A'

B'

ABC là tam giác vuông tại A
⇒ BC =

AB 2 + AC 2 = 2a

C'

1
BC = a
2
∆A ' AH vuông tại H

⇒ AH =

⇒ A' H =
S ∆ABC =

A

AA '2 − AH 2 = a 3

B

1
a2 3
AB. AC =
2
2

H
C
3

VABCA ' B ' C ' = A ' H .S ABC =

3a
.
2

Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên ( ABCD ) là trọng tâm của tam
giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC = 1200 , AA ' = a .
A. a3 2 .

B.

a3 2
⋅
6

a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 2

⋅
2

A'

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD
⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) .

B'
C'

D'

Ta có: BAD = 1800 − ABC = 600 .
Tam giác ABD cân có BAD = 600
nên tam giác ABD đều.

A

a 3
ABD là tam giác đều cạnh a ⇒ AH =
3

H
D

∆A ' AH vuông tại H ⇒ A ' H =
S ABCD = 2 S ABD = 2.

AA '2 − AH 2 =

B

C

a 6
3

a2 3 a2 3
a3 2
=
; VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' H .S ABC =
4
2
2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

20 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tính tỉ số
A.

1
⋅
2

B.

VABB ' C '
.
VABCA ' B ' C '

1
⋅
6

1
⋅
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
1
1
⇒ SBB ' C ' = SBB ' C ' C ⇒ VA. BB ' C ' = VA.BB ' C ' C
2
2
1
Ta có: VA. A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C '
3

A'

C'

B'

A

2
⇒ VA.BB ' C ' C = VABCA ' B ' C ' − VA. A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C '
3
⇒ VABB ' C '

2
.
3

C

B

V
1
1
= VABCA ' B ' C ' ⇒ ABB ' C ' =
3
VABCA ' B ' C ' 3

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ là
A.

a3 3
⋅
12

B.

a3 3
⋅
4

a3 3
⋅
6
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3
⋅
12

C'

A'
B'

h = BB ′ = a



a2 3
 S A′B′C ′ =
4

⇒ VA′BB′C ′ =

A

a3 3
1
BB ′.S A′B′C ′ =
3
12

C
B

Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu
A′ lên ( ABC ) là trung điểm I củ a BC . Thể tích khối lăng trụ là

A.

a3 3
⋅
6

B.

a3 3
⋅
2

a3 3
⋅
12
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3
⋅
8

A'

a 3 3 a
0
⋅
=
 A′I = AI .tan ( 30 ) =

2
3
2

2

a 3

 S ABC = 4
⇒ VABC . A’ B’C ’ = A′I .S ABC =

B'

C'

a3 3
8

A

B
I
C

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A, BC = 2a, AB = a . Mặt bên ( BB’C’C ) là hình
vng. Khi đó thể tıć h lăng trụ là
A.

a3 3
.
3

B. a3 2 .

C. 2a 3 3 .

D. a3 3 .

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

21 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

A'

C'
B'

h = BB ′ = 2a

2
2
 AC = BC − AB = a 3
1
a2 3
AB. AC =
2
2
⇒ VABC . A’B’C’ = BB ′.S ABC = a3 3
⇒ S ABC =

A

C

B
VABCMN
.
VABC . A ' B ' C '

Câu 30. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' . Tính tỉ số
A.

1
.
3

B.

1
.
6

1
.
2
Hướng dẫn giải:

C.

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
1
⇒ SBCMN = SBB ' C ' C
2
1
⇒ VA.BCMN = VA. BB ' C ' C
2
1
Ta có: VA. A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C '
3

D.

A'

B'

C'

M

2
⇒ VA.BB ' C ' C = VABCA ' B ' C ' − VA. A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C '
3
⇒ VA.BCMN

2
.
3

N

A

B

V
1
1
= VABCA ' B ' C ' ⇒ A.BCMN = .
VABCA ' B ' C ' 3
3

C

Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC. A′B ′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A′. ABC và khối lăng trụ đó là
A.

1
.
4

B.

1
.
2

1
.

3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

A'

1
.
6

C'
B'

1
1
VA′ABC = AA′.S ABC = VABC . A′B ′C ′
3
3
VA′ABC
1
⇒
=
VABC . A′B′C ′ 3

A

C

B

Câu 32. Cho khối lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ . Tỉ số thể tích giữa khối A′. ABD và khối lập phương là:
A.

1
.
4

B.

1
.
8

1
.
6
Hướng dẫn giải:

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D.

1
.
3

22 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
A'

1
AA′.S ABD
3
1
1
1
= AA′. AB. AD = AA′.S ABCD
3
2
6
1
= VABCD . A’ B’C ’D’
6
VA’. ABD
1
⇒
= .
VABCD. A’ B’C ’D’ 6

VA’. ABD =

D'

C'

B'

D

A
B

C

VẬN DỤNG THẤP

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và ( ABCD) bằng α .
Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo h và α .
A.

3h3
.
4 tan 2 α

B.

4 h3
.
3tan 2 α

8h3
.

3tan 2 α
Hướng dẫn giải:
S
O
M
hA

C.

D.

3h3
.
8 tan 2 α

Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO ⊥ mp ( ABCD ) .
Từ đó, SO là đường cao của hình chóp.Gọi M là
trung điểm đoạn CD.
CD ⊥ SM ⊂ ( SCD)

Ta có: CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD) ⇒ SMO = α .
CD = ( SCD ) ∩ ( ABCD)


B
V=

D

α

C

1
.SABCD. SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM
3

Tam giác SOM vng tại tại O, ta có: tan α =
⇒ AB =

SO
h
h
=
⇒ OM =
.
OM OM
tan α

2h
4h 2
. Suy ra: B = SABCD =
. SO = h.
tan α
tan 2 α

Vậy VS.ABCD =

1 4h 2
4 h3
.

.h =
.
2
3 tan α
3tan 2 α

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy và mặt phẳng

( SAD )

tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .

3a3 3
.
4
Hướng dẫn giải:

A. V =

B. V =

3a3 3
.
8

C. V =

 AD ⊥ AB
Ta có: 
⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA.

 AD ⊥ SB

8a 3 3
.
3

D. V =

4a3 3
.
3

S

⇒ SAB = 600 .
SABCD = 4a2.
Xét tam giác SAB tại vuông tại B, ta có:

A

D

SB = AB tan 600 = 2a 3 .
Vậy V =

α

1
8a 3 3
.4a2. 2a 3 =

.
3
3

2a

B

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

C

23 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng tại B , BC = a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo
với đáy một góc 30° và tam giác A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3 3
3a3 3
.
B.
.
8
4
Hướng dẫn giải:
V= Bh = SABC. A’B’C’.AA’.

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ A′B .
Do 
 BC ⊥ AA′

A.

3a3 3
.
8

C.

D.

3a3 3
.
2

A’

C’

B’

 BC ⊥ AB ⊂ ( ABC )

Và  BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC )
 BC = ( ABC ) ∩ ( A ' BC )


(

) (

)

⇒ ( ABC ), ( A ' BC ) = AB, A ' B = ABA '

Ta có:

A

1
S ∆A′BC = A′B.BC
2
.
2.S ∆A′BC 2.a 2 3
⇒ A′B =
=
= 2a 3
BC
a

C

30o

a
B

AB = A′B.cos ABA′ = 2a 3.cos 300 = 3a; AA′ = A′B.sin ABA′ = 2a 3.sin 300 = a 3
1
1
3a3 3
VABC . A ' B ' C ' = B.h = S ABC . AA′ = . AB.BC. AA′ = .3a.a.a 3 =
.
2
2
2

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vng góc của A ' trên

( ABC )

là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối

lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V =

3a3
.
16

B. V =

3a3
.
8

3a3
.
4

C. V =

D. V =

3a3
.
2

Hướng dẫn giải:

A’

B’

Go ̣i H, M, I lầ n lượt là trung điể m
củ a cá c đoa ̣n thẳ ng AB, AC, AM.
VABC . A ' B ' C ' = S∆ABC . A ' H .
3
.
4
Ta có IH là đường trung bıǹ h của tam giác AMB , MB
là trung tuyế n của tam giác đều ABC.
 IH // MB
Do đó : 
⇒ IH ⊥ AC
 MB ⊥ AC

S ∆ABC =

a

C’

2

H

A
I

B
a

M
C

 AC ⊥ A ' H
⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I

 AC ⊥ IH
 AC ⊥ IH ⊂ ( ABC )

Mà :  AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ A ' IH là góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) và
( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC


( ABCD ) ⇒ A ' IH = 45°

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Trong tam giác A ' HI vuông ta ̣i H, ta có : tan 45° =
= IH =

A' H
⇒ A ' H = IH .tan 45o .
HI

1
a 3
a 2 3 a 3 3a 3
MB =
. Vậy V =
.
=
2
4
4
4
16

Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng 600 , khoảng cách giữa hai đường
thẳ ng SA và BC bằ ng

A.

3a
2 7

a3 3
.
12

. Thể tı́ch củ a khớ i chóp S . ABC theo a bằng
B.

a3 3
.
18

a3 3
.
16
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3
.
24

Go ̣i M là trung điểm củ a BC .

Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) .
 BC ⊥ AM
Ta có: 
⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH .
 BC ⊥ SO
Do đó MH là đường vng góc chung của SA và BC .
3a

. Ta có: SM ⊥ BC ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA = 600 .
2 7
Đặt OM = x ⇒ AM = 3x, OA = 2 x .

Suy ra MH =

S

⇒ SO = OM . tan 600 = x 3 và
SA =

( x 3)

2

2

+ ( 2x ) = x 7 .

Trong △SAM ta có:
SA.MH = SO. AM
3a

a .
⇔ x 7.
= x 3.3 x ⇔ x =
2 7
2 3

H

2

C

A

a 3
Khi đó: AM = 3x = 3.
=
⇒ AB = a .
2
2 3
a

O

N

2

1
1 a 3 a a 3

. =
VS . ABC = .S∆ABC .SO = .
3
3 4 2
24

B

Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2 3a , BD = 2a , hai mặt phẳng ( SAC )
và ( SBD ) cùng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
a 3
. Tính thể tıć h củ a khớ i chóp S . ABCD theo a .
4

A.

a3 3
.
16

B.

a3 3
.
18

a3 3
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

Ta có tam giác ABO vuông tại O và
AO = a 3 ,
BO = a . Do đó
AO
= 3 = tan 600 ⇒ ABO = 600 .
BO
Suy ra ∆ABD đều.
Ta
( SAC ) ⊥ ( ABCD )

có: ( SBD ) ⊥ ( ABCD )
⇒ SO ⊥ ( ABCD ) .

( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO

a3 3
.
12

S

I
D
2a 3

C

A
O
B

Trong tam giác đều ABD , gọi H là trung điểm

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

25 | T H B T N