Tài liệu ôn thi Học kỳ 2 Toán lớp 10

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUANG TRUNG

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II
MÔN TOÁN 10

NĂM HỌC 2011 - 2012
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

1


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

2


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Phần Đại số
1. Bất phương trình và hệ bất phương trình
D

⇔

P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

∀x ∈
∀x ∈

D ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x)
D ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x)

≥ ≥ 0, ∀ x ∈

D ⇔ P 2 ( x ) < Q 2 ( x)
2. Dấu của nhị thức bậc nhất

x
f(x)

–∞

−

(Trái dấu với hệ số a)

f ( x) ≤ a ⇔ −a ≤ f ( x ) ≤ a

b
a

+∞
0

(Cùng dấu với hệ số a)

 f ( x) ≤ −a
f ( x) ≥ a ⇔ 
 f ( x) ≥ a

3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a. ≤ c (1) ( a 2 + b2 ≠ 0 )
∆ ) : ax + by = c
M o ( xo ; yo ) ∉ ( ∆ ) M o ≡ O )
o + byoo + byo

o + byo ∆ o
ax + by ≤ c
o + byo ∆ o
ax + by ≤ c
b.ax + bax + by ≥ c ax +
c.


4. Dấu của tam thức bậc hai
a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Định lí: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
Nếu có một số α sao cho a. f ( α ) < 0 thì:
- f(x)=0 cho hai nghiệm phân biệt x1 và x2
- Số α nằm giữa 2 nghiệm x1 < α < x2
Hệ quả
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

3

* Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
với hệ số a (a..f(x)>0), ∀ x∈ R

−b
2a
* Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x 1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu
với hệ số a khi x1 < x < x2.( Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1< x2)
Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2– 4ac > 0
x
–∞
x1
x2
+∞
f(x) (Cùng dấu với hệ số a) 0 (Trái dấu với hệ số a) 0 (Cùng dấu với hệ số a)

* Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0),

∀x≠

Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dâu với hệ số a khi
i) ax2 +bx +c >0,

a > 0
∀x ⇔ 
∆ < 0

ii) ax2 +bx +c <0,

∆<0

∀x ⇔

a < 0

∆ < 0

a > 0

∆ ≤ 0
a < 0
iv) ax2 +bx +c ≤ 0, ∀ x ⇔ 
∆ ≤ 0

iii) ax2 +bx +c ≥ 0,

∀x ⇔

5. Bất phương trình bậc hai
a. Định nghĩa:
Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x)
0), trong đó f(x) là một tam thức bậc hai. ( f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 )
b. Cách giải:
Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai
Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt
II. Phần Hình học
1. Các vấn đề về hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM =
BM =

ma ,

mb , CM = mc

Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
cosA =

≤

b2 + c2 − a2
2bc

cosB =

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;
a 2 + c2 − b2
2ac

cosC =

a2 + b2 − c2
2ab

Định lý sin:
a

b
c
=
=
sin A sin B sin C

= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC )
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

4


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

b. .Độ dài đường trung tuyến của tam giác:
ma 2 =

b 2 + c 2 a 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2
−
=
;
2
4
4
b 2 + a 2 c 2 2(b 2 + a 2 ) − c 2
2
mc =
−

=
2
4
4

2

mb =

a 2 + c 2 b 2 2(a 2 + c 2 ) − b 2
−
=
2
4
4

c. Các công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
1
1
1
• S = 2 aha = 2 bhb = 2 chc
S = 2 ab.sinC = 2 bc.sinA = 2
ac.sinB
abc
1
S = 4R
S = pr

S = p( p − a)( p −b)( p −c) với p = 2 (a + b + c)
2. Phương trình đường thẳng
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được Toạ độ
1 điểm và 1 vectơ chỉ phương
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1
điểm và 1 vectơ pháp tuyến
a. Phương trình tham số của đường thẳng ∆:
 x = x0 + tu1

 y = y0 + tu 2

với M ( x0 ; y0 )∈ ∆ và


u = (u1 ; u 2 )

là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: a(x – x0 ) + b(y – y0 ) = 0 hay
ax + by + c = 0

(với c = – a x0 – b y0 và a2 + b2 ≠ 0) trong đó M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và n = (a; b) là
vectơ pháp tuyến (VTPT)
• Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ;
b) là:

x y
+ =1
a b

• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng :
y – y0 = k (x – x0 )
c. Khoảng cách từ mội điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0
được tính theo công thức : d(M; ∆) =

ax0 + bx0 + c
a2 + b2

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
∆1 = a1 x + b1 y + c1 = 0
và ∆2 = a2 x + b2 y + c2 = 0
a1 b1
≠ ∆1 ∆2
∆1 cắt ∆2 ⇔
a2 b2
a1 x + b1 y + c1 =0

a2 x + b2 y + c2 =0
∆1

⁄⁄

∆2 ⇔

a1 b1 c1
= ≠
;
a2 b2 c2

∆1

≡

∆2 ⇔

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

(với

a 2 , b2 , c 2

khác 0)
3. Đường tròn
a. Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R có dạng :
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

5


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
2

2

2

(x – a) + (y – b) = R (1)
hay

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2
• Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x 2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
là phương trình đường tròn tâm
I(a ; b) bán kính R
• Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng
∆: αx + βy + γ = 0 khi và chỉ khi : d(I ; ∆) =

α.a +β.b +γ
α2 +β2

=R

4. Phương trình Elip
a.1(-c; 0), F21F21M + F2M = 2a.
Hay (E) = {M / F1M + F2 M = 2a}
x2 y 2
+
=1
a 2 b2

(a2 = b2 + c2)

 1(-c; 0), F2(c; 0)
 1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0)
 1A2 = 2b
 1B2 = 2b

1F2 = 2c



TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

6


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

C. BÀI TẬP MẪU
CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Dạng 1: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước
1. Phương pháp:
* Sử dụng trực tiếp định lí Cosin và định lí Sin
* Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố cần
thiết.
2. Bài tập
Bài 1:Cho tam giác ABC có b = 7cm , c = 5cm và Cos A = 0,6.
a) Tính a, Sin A, diện tích của tam giác ABC.
b) Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và kính R của đường tròn ngoại tiếp
tam giác.
Giải
a) Theo định lí Cosin ta có:
a = b + c − 2bc cos A = 7 +5 − 2.7.5.0,6 = 32 ⇒ a = 32 =4 2 (cm) .
9
16
4
Mặt khác vì Sin2A = 1 – Cos2A = 1 − 25 = 25 ⇒ SinA = 5
2

2

2

2

⇒S =

b) Từ

S=

2

1
1
4
b.c.SinA = .7.5. =14 (cm 2 )
2
2
5

1
2S
2.28 7 2
a.ha ⇒ ha =
=
=
(cm) .
2
a

2
4 2

Theo định lí Sin thì:

a
a
4 2 5 2
=2 R ⇒ R =
=
=
(cm)
4
SinA
2 SinA
2
2.
5

Bài 2:
Cho tam giác ABC có AB = 21cm, BC = 17cm , CA = 10cm.
a) Tính góc A =?
b) Tính diện tích tam giác và chiều cao của ha
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác.
d) Tính độ dài đường trung tuyến ma phát xuất từ đỉnh A của tam giác.
e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác.
Giải
a) Tính góc A =?
Theo hệ quả của định lí Cosin ta có:
a +b +c

21 + 17 + 10

b) Ta có: p = 2 =
2
Theo công thức hê rông ta có:

cos A =

b 2 + c 2 − a 2 10 2 + 212 −17 2
=
= 0,6
2bc
2.10.21

= 24 (cm)

S = 24( 24 −12)( 24 −17)(24 −10) =84 (cm 2 )

Do đó:

S=

1
2 S 2.84
a.ha ⇒ ha =
=
= 8 (cm)
2
a

21

c) Ta có S = p.r 

r =

S
84
=
=3,5
p
24

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

7


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

d) Độ dài đường trung tuyến ma được tính theo công thức:
b 2 + c 2 a 2 17 2 +10 2 212 337
−
=
−
=
= 84,25
2
4
2

4
4
⇒ ma = 84,25 ≈ 9,18
ma2 =

e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác
abc
abc 21.17.10
Ta có: S = 4 R  R = 4 S = 4.84 =10,625
Dạng 2: Giải tam giác
1. Phương pháp.
Sử dụng các định lí Cosin, định lí Sin, định lí tổng 3 góc trong một tam giác bằng
1800, nếu là tam giác vuông thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác.
2. Bài tập
Bài tập
Giải tam giác biết
a) b = 14 ; c = 10 ; Aˆ =145
b) a = 4 ; b = 5 ; c = 7
0

Giải
a) Ta có:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 14 2 +10 2 − 2.14.10 cos145 0
a 2 ≈196 +100 − 280.( −0,8191) ≈ 525,35

a ≈ 23
a
b
b.SinA 14.Sin145

ˆ = 20 0 26'
=
⇒SinB =
=
≈0,34913 ⇒B
SinA SinB
a
23
ˆ +B
ˆ ) ≈180 0 −(145 +20 0 26' ) ≈14 0 34'
Cˆ =180 0 −( A

b)

b 2 + c 2 − a 2 5 2 + 7 2 − 4 2 58
=
=
≈ 0,8286 ⇒ Aˆ ≈ 34 0 3'
2bc
2.5.7
70
a 2 + c 2 −b2
4 2 + 7 2 − 5 2 40
cos B =
=
=
≈ 0,71428 ⇒ Bˆ ≈ 44 0 25'
2ac
2.4.7
56

ˆ + Bˆ ) ≈ 180 0 − (34 0 3'+44 0 25) ≈ 1010 32'
Cˆ = 180 0 − ( A

cos A =

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1:

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M ( x0 ; y0 ) và có một vtcp u = (u1; u2 )
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ trong
c¸c trêng hîp sau :

a. §i qua M (1; −2) vµ cã mét vtcp u = (2; −1) .
b. §i qua hai ®iÓm A(1; 2) vµ B(3; 4)

 x = 1+ 2t
c. §i qua M(3; 2) vµ / d : 
 y= − t
d. §i qua M(2; - 3) vµ

⊥ d : 2x − 5 y + 3 = 0 .

Giải
a) Đi qua M (1 ; -2) và có một vtcp là


u = (2; −1)

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

8


Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;-2)
của đường thẳng là :

TỔ TOÁN TRƯỜNG
THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
r
và có vtcp là u = (2; −1) nên phương trình tham số

 x = 1 + 2t

 y = − 2− t
b) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4)
Vì ∆ đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên
Phương trình tham số của ∆ là:

∆

có vec tơ chỉ phương

AB =( 2 ; 2)

 x = 1 + 2t

 y = 2 + 2t
c)

 x = 1+ 2t

Đi qua M (3 ;2) và / d : 
 y= − t

r

Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là : u = (2 ; −1) . Vì ∆ song song với d nên ∆
r
r
nhận vec tơ u = (2 ; −1) làm vec tơ chỉ phương. Hay u ∆ = (2 ; −1) , ∆ đi qua M(3 ; 2)
vì vậy ∆ có phương trình đường thẳng là:
d

d

 x = 3 + 2t

 y = 2− t
d) §i qua M (2; −3) vµ ⊥ d : 2 x − 5 y + 3 = 0 .
r
Đường thẳng d : 2x – 5y + 3 = 0  d có vec tơ pháp tuyến là n = (2 ; −5) .
Vì ∆ vuông góc với đường thẳng d nên ∆ nhân vec tơ pháp tuyến của d là vec tơ
r
chỉ phương. Vì vậy vtcp của ∆ là u ∆ = (2 ; − 5) . ∆ đi qua M(2 ; -3) nên phương trình
đường thẳng ∆ là :
d

 x = 2 + 2t

 y = − 3 − 5t
r

Dạng 2 : ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã mét vtpt n = (a; b)
.
ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng
th¼ng ∆ trong c¸c trêng hîp sau :
r
a. §i qua M (1; 2) vµ cã mét vtpt n = (2; −3) .
b. §i qua A(3; 2) vµ // d : 2 x − y − 1 = 0.
c. §i qua

B (4; −3)

vµ

 x = 1 + 2t
⊥ d :
(t ∈ R
¡ ).
 y = −t

Giải
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

9


r TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
a) Đi qua M(1;2) và có một vtpt là n = (2; −3)
r
Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;2) và có vtpt là n = (2; −3) nên phương trình tham số

của đường thẳng là :
2(x – 1) – 3(y – 2) = 0  2x – 3y + 4 = 0
b) Đi qua A(3 ; 2) và // d : 2x – y – 1 = 0
r
đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vtpt là n = (2;−1) .
r
Dường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên ∆ nhận n = (2;−1) làm vec tơ
r
pháp tuyến. Vì ∆ đi qua A(3; 2) và có vtpt là n∆ = (2;−1) nên ∆ có phương trình là:
2(x – 3) – (y – 2) = 0  2x – y – 4 = 0
d

d

c) Đi qua B(4 ;-3) và
r
Đường thẳng d có vtcp là u = (2 ;−1) . Vì ∆ vuông góc với d nên ∆ nhận vtcp của d
r
r
làm vtpt  n∆ = (2 ;−1) . Đường thẳng ∆ đi qua B(4 ;-3) và có vtpt n∆ = (2 ;−1) nên
∆ có phương trình tổng quát là:
2(x – 4) – (y + 3) = 0  2x – y – 11 = 0
d

Dạng 3 : ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã hÖ sè gãc k cho
tríc.
r
- Nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc k thì vec tơ chỉ phương của ∆ là u = (1; k )
- Kết hợp giả thiết ∆ đi qua M(x0 ; y0)

Bài tập 1
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ trong c¸c trêng hîp sau :
a. §i qua M (−1; 2) vµ cã hÖ sè gãc k = 3 .
b. §i qua A(3; 2) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox gãc 450
Giải
a) §i qua M (−1; 2) vµ cã hÖ sè gãc k = 3 .
r
∆ có hệ số góc k = 3 nên ∆ có vtcp là: u ∆ = (1; 3) .
r
∆ đi qua M(-1 ; 2) và có vtcp là u ∆ = (1; 3) nên có phương trình là:

 x = − 1+ t

 y = 2 + 3t
b) Đi qua A(3 ;2) và tạo với chiều dương trục ox góc 450
Giả sử đường thẳng ∆ có hệ số góc k, như vậy k được cho bởi công thức
k = tan α  với α = 450  k = tan 450  k = 1
r
Đường thẳng ∆ hệ số góc k = 1 vậy thì vtcp của ∆ là u∆ = (1;1) , ∆ đi qua A(3;2)
nên ∆ có phương trình là :

 x = 3+ t

 y = 2+ t
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

10


TỔ TỐN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

Bài tập 2:
Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2).
Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và
trung tuyến AM của tam giác ABC.
Giải
+ Ta có: AH ⊥ BC nên AH nhận vec tơ

BC

= (3; 3) là vecto pháp tuyến

của AH.
ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận

BC

= (3; 3) làm vtpt nên Phương trình tổng quát

của (AH) là:
3(x - 1) + 3(y - 4) = 0 ⇔ 3x + 3y - 15 = 0.
+ Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

x B + xC 3 + 6 9

x
=
=
=
 M

2
2 2

 y M = y B + yC = − 1 + 2 = 1

2
2 2
Vậy

9 1 
M ; 
2 2 



7
7
AM =  ; − 
2
2

là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp

7
7
AM =  ; − 
2
2

nên AM có phương trình:

7

x
=
1
+
t

2

 y = 4− 7t

2

CHUN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài tập 1:
XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi c¸c cỈp ®êng th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iĨm
trong trêng hỵp c¾t nhau:
∆2 : 2x + y − 3 = 0 .
a) ∆1 : x + y − 2 = 0;

 x = 1 − 4t
b) ∆ 1 : 2x + 4 y − 10 = 0 ∆ 2 : 
 y = 2 + 2t
TÀI LIỆU ƠN THI HỌC KỲ II MƠN TỐN LỚP 10

11

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

 x = − 6 − 5t
c) ∆ 1 : 8x + 10 y − 12 = 0 ∆ 2 : 
 y = 6 − 4t

Giải
a) ∆1 : x + y − 2 = 0;
số giao điểm của

∆2 : 2x + y − 3 = 0
∆1 và ∆2

chính là số nghiệm của hệ phương trình:

 x+ y− 2= 0

 2x + y − 3 = 0

Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).
Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm, tọa độ giao điểm là (x , y) = (1 ; 1).

 x = 1 − 4t
b) ∆ 1 : 2x + 4 y − 10 = 0 ∆ 2 : 
 y = 2 + 2t

Từ phương trình đường thẳng ∆2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào ∆1 ta
được

2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 ⇔ 10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường thẳng
này không có điểm chung.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.

 x = − 6 + 5t
c) ∆ 1 : 8x + 10 y − 12 = 0 ∆ 2 : 
 y = 6 − 4t

r

r

Đường thẳng ∆2 có vtcp là u = (5;−4) nên ∆2 có vtpt là n = (4;5) . ∆2 đi qua điểm
có tọa độ (-6 ; 6) nên ∆2 có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y –
6 = 0.
Số giao điểm của ∆1 và ∆2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:

 8x + 10 y − 12 = 0

 4x + 5y − 6 = 0

Hệ này có vố số nghiệm nên ∆1 và ∆2 trùng nhau.
(Chú ý: bài toán này yêu cầu phải tìm tọa độ giao điểm nên ta dùng cách 2. Nếu bài
toán chỉ yêu cầu tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng thì ta nên dùng cách 1)
Bài tập 2:
X¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng
∆2 : x − 3 y + 1 = 0
a) ∆1 : 4 x − 2 y + 6 = 0;

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

12


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

b)

 x = 1 − 4t
∆ 1 : 2x + 4 y − 10 = 0 ∆ 2 : 
 y = 2 + 2t

c) d1: x – 2y + 5 = 0
Giải
a) ∆1 : 4 x − 2 y + 6 = 0;
ta có:

cos ( ∆1 , ∆ 2 ) =

d2: 3x – y = 0.

∆2 : x − 3 y + 1 = 0
a1a2 + b1b2
a12 + b12 a22 + b22

với a1 = 4 ; b1 = -2 ; a2 = 1 ; b2 = -3
Vậy
Cos ( ∆1 ; ∆2 ) =

| 4.1 + ( −2).(−3) |

4 + ( −2) . 1 + ( −3)
2

2

2

2

| 10 |
=
20 . 10

=

10
10
1
=
=
20 . 10
20
2

⇒( ∆1 ; ∆2 ) = 450

 x = 1 − 4t
b) ∆ 1 : 2x + 4 y − 10 = 0 ∆ 2 : 
 y = 2 + 2t
Đường thẳng

Đường thẳng
Vậy

r

có vtcp làru∆ = (−4 ; 2) vì vậy vtpt của
∆1 có vtpt là n∆ = ( 2 ; 4) .

∆2

2

∆2

là

r
n∆2 = (2 ; 4)

1

Cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) =

| 2.2 + 4.4 |
2 2 + ( 4) 2 . 2 2 + ( 4) 2

=

| 20 |
20

=
=1
20 . 20 20

⇒ ( ∆1 ; ∆ 2 ) = 0 0

c) d1: x – 2y + 5 = 0
Ta có:

d2: 3x – y = 0.

a1a 2 + b1b2
3+2
5
1


Cos d1 ; d 2  =
=
=
=
2
2
2
2
1 + 4 . 9 +1 5 2
2


a1 + b1 . a2 + b2

Vậy góc giữa d1 và d2 = 45o
Bài tập 3:
Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
a)
b)

 x = 1− 2t
∆ 1 : 2x − 2 y − 10 = 0 ∆ 2 : 
 y = 2 + 2t
∆ 1 : y = 3x + 5

∆ 2 : 2 y + 6x − 4 = 0

Giải
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

13


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

 x = 1− 2t
∆ 1 : 2x − 2 y − 10 = 0 ∆ 2 : 
 y = 2 + 2t

a)

Đường thẳng
Đường thẳng

Vì vậy

r

có vtcp làru ∆ = (−2 ; 2) vì vậy vtpt của
∆1 có vtpt là n∆ = ( 2 ; − 2) .

∆2

2

∆2

là

r
n∆2 = ( 2 ; 2)

1

Cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) =

| 2.2 + (−2).2 |
2 2 + (−2) 2 . 2 2 + (2) 2

=

|0|
=0
8. 8

⇒ ( ∆1 ; ∆ 2 ) = 9 0 0

Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.
∆ 2 : 2 y + 6x − 4 = 0
b) ∆ 1 : y = 3x + 5
Đường thẳng ∆2 : 2y +6x – 4 = 0  y = -3x + 2.
 ∆2 có hệ số góc k2 = -3
Đường thẳng ∆1 có hệ số góc k1 = 3.  k1.k2 = 3.(-3)= 0  ∆1 và ∆2 vuông góc với
nhau
CHUYÊN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
Bài tập 1:
Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3 ; 5) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1 ; 2) và ∆' : 3x – 4y + 1 = 0

Giải:
4.(3) + 3.(5) +1

a) Ta có:

d ( A, ∆) =

b)

d ( A, ∆' ) =

=

16 + 9

3.(1) −4.( 2) +1
9 +16

28
5

=

4
5

Bài tập 2:
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a)

b)

 x = 1 − 2t
A(4 ; -2) và đường thẳng d: 
 y = 2 + 2t
 x = 1− t
B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: 
 y = 3t

Giải

 x = 1 − 2t
a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: 
 y = 2 + 2t
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

14


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
r

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là u =(−2 ; 2) vì vậy vtpt
r
của d là n = (2 ; 2)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0
 2x +2y - 6 = 0
Ta có:
d

d

d ( A, d ) =

2.( 4) + 2.( −2) − 6
4 +4

b) B(-7 ; 3) và đường thẳng

=

2
2
1
=

=
8 2 2
2

 x = 1− t
d’: 
 y = 3t

r

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là u =(−1; 3) vì vậy vtpt
r
của d là n =(3;1)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0  -x + 3y +1
=0
Ta có:
d

d

d ( A, d ) =

−1.( −7) +3.(3) +1
1 +9

=

17
10

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm
tâm và bán kính đường tròn.
1. Phương pháp:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0
(1)
2
2
- Xét dấu biểu thức m = a + b – c
Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a , b) bán kính
R = a 2 +b2 −c

Cách 2: - Đưa phương trình về dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = m
(2)
- nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính

R= m

2.Bài tập
Bài tập 1:Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Hãy
tìm tâm và bán kính nếu có:
a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0
b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0
c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0
Giải
a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0
(1)
2
2
(1) có dạng x + y - 2ax - 2by +c = 0 trong đó a = 3 ; b = -4 , c = 100

Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = 32 + (-4)2 – 100 = 9 + 16 – 100 = 75 < 0
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

15


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

Vậy phương trình (1) không phải là phương trình của đường tròn.
b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0
(2)
2
2
(2) có dạng x + y - 2ax - 2by +c = 0 trong đó a = -2 ; b = 3 , c = -12
Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = (-2)2 + (3)2 +12 = 4 + 9+12 = 25 > 0 phương
trình (2) là phương trình đường tròn tâm I(-2 ; 3) và có bán kính
R = a 2 + b 2 − c = ( −2) 2 + 32 +12 = 25 = 5

c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0

(3)
Ta có: 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0  x2 + y2 – 2x + 4y - 1 = 0.
Phương trình này có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c trong đó a = 1 ; b = -2 .
Xét biểu thức m= a2 + b2 – c = 12 + (-2)2 +1 = 6 > 0. Phương trình này là phương
trình đường tròn tâm I(1 ; -2) và có bán kính
R = a 2 + b 2 − c = (1) 2 + ( −2) 2 +1 = 6

Bài tập 2
Cho phương trình x2 + y2 – 2mx +4my + 6m -1 = 0
(1)

Với giá trị nào của m thì phương trình trên là đường tròn?
Giải
Phương trình (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 với a = m ; b = -2m ; c = 6m –
1.
(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi m = a2 + b2 – c > 0.
Với a2 + b2 – c > 0  m2 +(-2m)2 – 6m + 1> 0
 5m2 – 6m + 1 > 0


1

m < 5

m >1

Dạng 2: Lập phương trình của đường tròn
1. Phương pháp
Cách 1:
- Tìm tọa độ tâm I(a ; b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của (C)
- Viết phương trình đường tròn theo dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2
* Chú ý
- (C) đi qua A , B  IA2 = IB2 = R2
- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng m tại A  IA = d(I ; m)
- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng m1 và m2  d(I ; m1) = d(I ; m2) = R
Cách 2
- Gọi phương trình của đường tròn là x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0
(2)
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

16


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn
2. Bài tập
Bài tập 1
Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a. (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng m : x – 2y + 7 = 0
b. (C) có đường kính là AB với A( 1 ; 1) , B(7 ; 5).
Giải
a) Ta có :

R = d ( I ; m) =

−1 − 2.2 + 7
1 +4

=

2
5

Đường tròn (C) có tâm I(-1 ; 2) có bán kính R =

2
5

nên phương trình đường

4

tròn là:
(x + 1)2 + (y – 2)2 = 5
b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của AB

 x A + xB 1 + 7
 xI = 2 = 2 = 4
⇒ I (4; 3)
ta có: 
y
+
y
1
+
5
y = A B= =3
 I 2 2
Vì vậy R = IA = (1 −4) +(1 −3) = 13
Vậy phương trình đường tròn là: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13
Bài tập 2
Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ;2) ; B(5 ; 2) ; C(1 ;-3)
Giải
Xét đường tròn (C) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0
(C) đi qua A ,B, C khi và chỉ khi A, B, C thỏa mãn phương trình đường tròn, tức
là :
2

2

 a= 3
 1 4−+ 2a− 4b c =+ 0  2a+ 4b c =− 5 
  1
 25 4−+ 10a− 4b c=+ 0 ⇔  10a+ 4b c=− 29 ⇔  b −=
2
 1 9−+ 2a+ 6b c=+ 0  2a− 6b c=− 10 
   c −= 1


Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A , B, C là:
x2 + y2 - 6x + y – 1 = 0
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

17


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến.
1. Phương pháp
* Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại M(x0 ; y0) thuộc đường tròn (C).
- tìm tọa độ tâm I(a ; b) của (C).
- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0 ; y0) có dạng
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
*Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) khi chưa biết tọa độ tiếp điểm:
- dùng điều kiện tiếp xác để xác định d:
d tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R  d(I,d) =R
2. Bài tập

Bài tập 1
Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
(C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25
Tại điểm M(4 ; 2) thuộc đường tròn (C)
Giải
Đường tròn (C) có tâm là I (1 ; -2). Vậy phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại
M(4 ; 2) có dạng:
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
 (4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 0  3x + 4y – 20 = 0
Bài tập 2
Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = 0
Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(3 ;-2)
Giải
Phương trình đường thẳng d đi qua A(3 ;-2) có dạng
y + 2 = k(x – 3)  kx – y – 2 -3k = 0
Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1) và có bán kính R = a + b
d tiếp xúc với (C)
2

 d(I, d) =

2

− c = 4 +1 − 0 = 5

k = 2
= 5 ⇔ (3 + k ) 2 = 5(k 2 + 1) ⇔ 4k 2 − 6k − 4 = 0 ⇔  1
k = −
k2 + 1
 2

2k − 1 − 2 − 3k

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) được kẻ từ A là:
d1: 2x – y – 8 = 0
d2: x + 2y + 1 = 0
CHUYÊN ĐỀ 6: ELIP
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

18


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một (E) khi biết các thành phần đủ
để xác định Elip đó
1. Phương pháp
- Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình
chính tắc của E đó.
- Lập PTCT theo công thức:

(E) :

x2 y2
+
= 1 (a 2 = b 2 + c 2 )
a2 b2

- Ta có các hệ thức: * 0 < b < a
* c2 = a2 – b2

* Tiêu cự:
F1F2 = 2c
* Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
* Độ dài trục bé: B1B2 = 2b
* M ∈( E ) ⇔ F1M + F2 M = 2a
* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0).
* Hai đỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; 0 ) ; A2 (a ; 0 )
* Hai đỉnh trên trục nhỏ: B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b )
2. Bài tập
Bài tập 1:
Lập PTCT của Elip trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
b) Một tiêu điểm (−

3 ;0

) và điểm


1;



3
2






nằm trên Elip

c) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và mọt tiêu điểm là (-2 ; 0)


d) Elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N 1 ;






3
2

Giải
a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
Ta có độ dài trục lớn bằng 10 nên 2a = 10  a = 5 ;
Tiêu cự bằng 6 nên 2c = 6  c = 3
Với b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16 . Từ đây ta có phương trình chính tắc của elip
là:
x2 y 2
+
=1
25 16

b) Một tiêu điểm (−

3 ;0

) và điểm


1;



3
2






nằm trên Elip

x2 y2
Phương trình chính tắc của (E) có dạng a 2 + b 2 = 1
Vì (E) có một tiêu điểm F1 − 3 ; 0 nên c = 3 .

1
3
3

=1
(1)
Điểm 
1; 2  nằm trên (E) nên 2 +

a
4b 2



(

)

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

19


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
2

2

2

2

Với a = b + c = b +3 thế vào (1) ta có:
1
3
+ 2 = 1 ⇔ 4b 2 + 3(b 2 + 3) = 4b 2 (b 2 + 3) ⇔ 4b 4 + 5b 2 − 9 = 0 ⇔ b 2 = 1 ⇒ a 2 = 1 + 3 = 4.
b + 3 4b
2

Vậy phương trình chính tắc là

x2 y2
+
=1
4
1

c) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là (-2 ; 0)
Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) nên ta có a = 3
Một tiêu điểm là (-2 ; 0) nên c = 2. Suy ra b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = 9 – 4 = 5
Vậy phương trình chính tắc là

x2 y2
+
=1
9
5


d) Elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N 1 ;
Phương trình chính tắc của (E) có dạng

3
2






x2 y2
+
=1
a2 b2


Vì E đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N 1 ;

3
2






nên thay tọa độ hai điểm M và N

1
 b2 = 1  b2 = 1
vào phương trình E ta được: 
⇔2
 1 + 3 = 1  a = 4
 a2 4b2
Vậy phương trình chính tắc là

x2 y2
+
= 1.

4
1

Dạng 2: Xác định thành phần Elip khi biết PTCT của E đó.
1. Phương pháp
Các thành phần của E :

x2 y2
+
=1
a2 b2

là:

* Tiêu cự:
F1F2 = 2c
* Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
* Độ dài trục bé: B1B2 = 2b
* M ∈( E ) ⇔ F1M + F2 M = 2a
- Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của E
* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0).
* Hai đỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; 0 ) ; A2 (a ; 0 )
* Hai đỉnh trên trục nhỏ: B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b )
c
* Tỉ số: a <1
* Phương trình đường thẳng chứa cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
2. Bài tập
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

x =± a ; y =±b

20


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

Cho E có phương trình:

2

2

x
y
+
=1
25 9

Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh
Giải

 a = 25  a = 5
vì vậy ta có:
2 ⇒
 b = 9  b = 3
2

Phương trình chính tắc của (E) có dạng

x2 y2

+
=1
a2 b2

⇒c = a 2 −b2 = 4

Vậy (E) có: - Trục lớn A1A2 = 2a = 10
- Trục nhỏ: B1B2 = 2b = 6
- Hai tiêu điểm: F1(-4 ; 0) ; F2(4 ; 0).
- Bốn đỉnh: A1 (-5 ; 0 ) ; A2 (5 ; 0 )
B1 (0; -3 ) ; B2 (0 ; 3 )

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I. Phần Đại số
1. Bất phương trình và hệ bất phương trình
a)

x+2
< x+2
( x − 3) 2

a)

3 − x + x − 5 ≥ −10

d)

3x + 5
x+2
−1 ≤

+x
2
3

b) 3

x+2
+ x3 ≥ 9
2 x − 3x + 1
2

b)

( x − 2) x − 1
<2
x −1

c)

x+2
− x +1 > x + 3
3

e)

( 1 − x + 3)(2 1 − x − 5) > 1 − x − 3

f)

( x − 4) 2 ( x + 1) > 0

 5x + 2
 3 ≥ 4 − x
a)  6 − 5 x

< 3x + 1
 13

x −1 ≤ 2x − 3

c) 3x < x + 5
 5 − 3x

≤ x −3
 2

b)

 4x − 5
 7 < x + 3

 3x + 8 > 2 x − 1
 4

3 3(2 x − 7)

 −2 x + 5 >
3
d)  1 5(3x − 1)
x − <

 2
2

Giải các bpt sau:
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

21


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG
2

a. (4x – 1)(4 – x )>0
b.
c.
d.
e.

(2x − 3)(x 2 − x + 1)
<0
4x 2 − 12x + 9
1
2
3
+
<
x −1 x − 2 x − 3
x +1
x −1
+2>

x −1
x
10 − x 1
≥
5 + x2 2

Giải các hệ bpt sau:
a.

5x − 10 > 0
 2
 x − x − 12 < 0

d.

 4x − 7 − x < 0
 2
 x − 2x − 1 ≥ 0

b.

2

e.

3x 2 − 20x − 7 < 0
 2
 2x − 13x + 18 > 0

x

 3x − 1 x + 1
−
<
1
−
 5
2
7

 5x − 1 − 3x − 13 < 5x + 1
 4
10
3

c.

3x
 2 − 4x
>

 x +1 2 − x
 x 2 − 6x − 16 < 0


d.

3x 2 + 8x − 3 ≤ 0

2
 +x >0

x

2. Dấu của nhị thức bậc nhất
b) (x + 3)(3x – 2)(5x + 8)2 < 0

a) x(x – 1)(x + 2) < 0
d)
g)

−4 x + 1
≤ −3
3x + 1
x − 2 > 2x − 3

e)
h)

x 2 + 3x − 1
> −x
2− x
2 x − x −3 = 8

c)

f)

2x − 5 < 3

k)

x +1 ≤ x − x + 2

5
>1
3− x

3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) 2x + 3y + 1>0
d) 3x + y > 2

a)

3 x + y − 9 ≥ 0

x − y + 3 ≥ 0

b) x – 5y < 3

b)

3 − x < 0

2 x − 3 y + 1 > 0

c) 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9

c)

x − 3y < 0


 x + 2 y > −3
y + x < 2


4. Dấu của tam thức bậc hai
Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai:
a) 3x2 – 2x +1
b) – x2 – 4x +5
Bài 2:Xét dấu các biểu thức sau:
2

a) A =
c) C =

c) 2x2 +2

2

1 
7
 2
 x − 2x − ÷ −  2x − ÷
2 
2

11x + 3
− x2 + 5x − 7

e)


y − x <1

y + x < 3

1
y > x

2

b) B =
d) D =

2x

+1

3x 2 − 2 x − 5
9 − x2
x 2 − 3x − 2
− x2 + x −1

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a) 2x2 + 2(m+2)x + 3 + 4m + m2 = 0
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

22


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

2

b) (m–1)x – 2(m+3)x – m + 2 = 0
Bài 4: Tìm các giá trị m để phương trình:
a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
b) x2 – 6m x + 2 – 2m + 9m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
Bài 5:Xác định m để tam thức sau luôn dương với mọi x:
a) x2 +(m+1)x + 2m +7
b) x2 + 4x + m –5
c) (3m+1)x2 – (3m+1)x + m +4 d) mx2 –12x – 5
Bài 6: Xác định m để tam thức sau luôn âm với mọi x:
a) mx2 – mx – 5
b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m
c) (m + 2)x2 + 4(m + 1)x + 1– m2
d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1
Bài 7: Xác định m để hàm số f(x)= mx 2 − 4 x + m + 3 được xác định với mọi x.
Bài 8: Tìm giá trị của tham số để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
a) 5x2 – x + m > 0
b) mx2 –10x –5 < 0
c) m(m + 2)x2 + 2mx + 2 >0
d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – 3 ≥ <
0
Bài 9: Tìm giá trị của tham số để bpt sau vô nghiệm:
a) 5x2 – x + m ≤ 0
b) mx2 –10x –5 ≥ 0
Bài 10: Cho phương trình : −3x 2 − (m − 6) x + m − 5 = 0 với giá nào của m thì :
a. Phương trình vô nghiệm
b. Phương trình có nghiệm
c. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

d. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
f. Có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó
g. Có hai nghiệm dương phân biệt
Bài 11: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm

{

2
a ) x − 9 x + 20 ≤ 0
3 x − 2m > 0

{

2
b) x − 5 x + 4 > 0
m − 2x ≥ 0

Bài 12: Với giá trị nào của m thì hệ sau vô nghiệm

{

2
x
− 5x + 6 > 0
a)
x − 3m < 0

{

b) 5 x − 4 ≥ 0

4x − m − 2 < 0

5. Phương trình bậc hai & bất phương trình bậc hai
Bài 1. Giải các phương trình sau

a) x 2 + 3x + 2 = x 2 + 3x − 4

c) | x + 1| + | x + 3 |= x + 4

b) x 2 − 4 x = x − 3

d ) x 2 − 2 x − 15 = x − 3

Bài 2. Giải các bất phương trình sau

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

23


a)

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

(2 x − 5)(3 − x)
≤0
x+2

b)

(2 x − 1)(3 − x)
>0
x2 − 5x + 4

2
1
x2 − 4 x + 3
2x −1
1
c) 2
> 2
d)
< 1− x
e)
<
2x − 5x + 3 x − 9
3 − 2x
x − 2 4x + 2
|1 − 2 x |
1
f) 2
≤
g ) 3 x 2 + 24 x + 22 ≥ 2 x + 1 h) | x 2 − 5 x + 4 |> x 2 + 6 x + 5
x −x−2 2

Bài 3. Giải các hệ bất phương trình
 ( x − 5)( x + 1)
≤0
 − x2 + 3x + 4 ≥ 0


2
x
a) 
b) 
(
x
−
1)(
x
−
2)
<
−
2

 x2 − 4x < x − 3

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
a) (x–1)(x2 – 4)(x2+1) ≤ 0
b) (–x2 +3x –2)( x2 –5x +6) ≥ 0
c) x3 –13x2 +42x –36 >0
d) (3x2 –7x +4)(x2 +x +4) >0
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
10 − x

4 − 2x

1

a) 5 + x 2 > 2

d)

1

b) 2 x − 5 > 1 − 2 x

3x 2 − 10 x + 3
≥0
x2 + 4 x + 4

e)

c)

x2 + x + 2
<0
x2 − 4 x − 5
2x − 5

1
2
3
+
<
x +1 x + 3 x + 2

1

f) x 2 − 6 x − 7 < x − 3

2) Giải các hệ bpt sau
5

6
x
+
< 4x + 7

7
a) 
8x + 3 < 2x + 5
 2

1

15 x − 2 > 2 x +
b) 
3
 2
3x + 7 x − 10 ≥ 0

2
 x − 7 x + 12 < 0
c) 
2
(9 − x )( x − 1) ≥ 0

6. Thống kê
30
35

45

30
25
35

25
45
35

25
30
30

35
30
40

45
30
40

40
40
40

40
30
35

35
25
35

45
45
35

86
89
92
93
96

86
89
92
93
96

86
90
92
93
97

87
90
92
93

97

87
90
92
94

88
90
93
94

88
90
93
94

88
90
93
94

89
91
93
95

35

o

o
86
89
92
93
96

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

24


TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

)
9
11
19
6
N = 45

)
20%
24.44%
42.22%
13.34%
100%

i

1
2
3
4

[86;88]
[89;91]
[92;94]
[95;97]

i

a)
c)
40.4 40.3 42.0 44.5 49.8 50.6 51.2 53.4 55.5 56.0 56.4 57.2
57.4 58.0 58.7 58.8 58.9 59.1 59.3 59.4 60.0 60.3 60.5 62.8

Khối lượng của 85 con lợn (của đàn lợn I) được xuất chuồng (ở trại nuôi lợn N)
[45;55)
[55;65)
[65;75)
[75;85)
[85;95)
Cộng
1) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp như ở bảng bên
2) Vẽ biểu đồ tần số hình cột thể hiện bảng bên.
3) Tính giá trị trung bình

10
20

35
15
5
85

Thống kê điểm toán của một lớp 10D1 được kết quả sau:
Điểm 1
Tần 1
số

2
2

3
4

4
3

5
3

6
7

7
13

8
9

9
3

10
2

Bài 7. Cho bảng số liệu sau:
Số tiền lãi thu được của mỗi tháng (Tính bằng triệu đồng) của 22 tháng kinh
doanh kể từ ngày bố cáo thành lập công ty cho đến nay của một công ty
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 10

25