Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác tang và cotang

Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội
2 Khoa Toán
----------------------------

Dƣơng Văn Cƣờng

Khai thác bài tập toán
phần công thức biến đổi lƣợng giác
tang và cotang
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên Ngành: Phương pháp dạy học toán

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Nguyễn Văn Hà

hà nội - 2010

GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà

SV: Dương Văn Cường
1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà

SV: Dương Văn Cường
2

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm
Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong khoa Toán và các thầy cô giáo tổ bộ môn
phƣơng pháp đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trƣờng và tạo
điều kiện cho em thực hiện khoá luận tốt nghiệp.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn
Hà, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo em trong quá trình học tập, nghiên
cứu và hoàn thành khoá luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn
chế. Kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên

Dƣơng Văn Cƣờng



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Những số
liệu và kết quả trong khoá luận là hoàn toàn trung thực. Đề tài chƣa từng
đƣợc công bố trong bất cứ một công trình khoa học nào.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên

Dƣơng Văn Cƣờng


MỤC LỤC

trang

MỞ
ĐẦU
1.
2.
3.
4.

Lý do chọn đề tài………………………………………………..…….4
Mục đích nghiên cứu……………………………….…………...…….4
Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………..…………..….……...5
Phƣơng pháp nghiên cứu……………………………………..…….…5

5. Cấu trúc khoá luận………………………………………..……...…. 5
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
A. Bài toán và lời giải của bài toán
1. Khái niệm……………………………………...…….……….....6
2. Vại trò, ý nghĩa của bài tập toán học……………....................…6
3. Phân loại bài toán…………………………………….................8
4. Phƣơng pháp giải một bài toán……………………………...….9
B. Nội dung chƣơng trình lƣợng giác ở trung học phổ thông………....…
12 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC
A. Các kiến thức cơ bản…………………………………………...…. 13

B. Các dạng bài tập………………………………………………… 20
Dạng 1: Tính giá trị lƣợng giác của một góc khi biết giá trị
giá trị lƣợng giác của góc liên quan tới góc đó……..….….20
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức………………………….……...…..29
Dạng 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức……………..36
Dạng 4: Phƣơng trình lƣợng giác………………………………… 40
Dạng 5: Nhận dạng tam giác………………………………...……....57
Dạng 6: Tích phân………………………………………...…………63
C. Bài tập luyện tập…………………………………………...…………71

KẾT LUẬN..………………………………………………….…...…...….89
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….………90



PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhƣ mọi khoa học khác, lƣợng giác cũng xuất phát từ nhu cầu của đời
sống.
Trong nhà trƣờng phổ thông, lƣợng giác chiếm một thời lƣợng tƣơng
đối lớn trong việc giảng dạy và học tập bộ môn toán, nó có một lƣợng kiến
thức rất lớn, có tính hệ thống, chặt chẽ, logic cao. Đặc biệt là phần công thức
lƣợng giác. Nó có mặt trong hầu hết các phân môn toán: Hình học, đại số, giải
tích,… Và luôn đƣợc coi là nội dung trọng tâm trong bộ môn Toán ở nhà
trƣờng phổ thông.
Thực tế trong thời gian học tập ở nhà trƣờng phổ thông cũng nhƣ trên
đại học, cho thấy: khi làm các bài tập liên quan tới các hàm số lƣợng giác thì
mặc dù vẫn có đƣợc lời giải đúng cho bài toán, tuy nhiên lời giải nhiều khi
còn quanh co, vòng vèo. Nguyên nhân là do ngƣời làm toán không nắm vững
các công thức biến đổi lƣợng giác, nhìn nhận vấn đề không đƣợc thoáng.

Với một bài toán nói chung và bài toán lƣợng giác nói riêng thì có
nhiều cách giải khác nhau, có thể là phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp
vectơ... Trong đó có một phần lớn các bài toán trong đại số và giải tích có thể
giải bằng cách lƣợng giác hoá, ta đƣợc cách giải ngắn gọn, dễ hiểu cho bài
toán.
Vì vậy, trong mọi kì thi luôn ra những bài toán liên quan tới lƣợng giác,
các công thức biến đổi lƣợng giác.
Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi,
nghiên cứu sâu hơn về lƣợng giác, với mong muốn có đƣợc kiến thức vững
hơn về lƣợng giác để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trƣờng, cùng với
sự động viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài :
“Khai thác bài tập toán phần công thức lƣợng giác tang và cotang”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:
- Giúp cho học sinh hệ thống tốt hơn các dạng bài tập về lƣợng giác,
đặc biệt là các dạng bài tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác
tang và cotang.
- Nghiên cứu sâu hơn về lƣợng giác để có đƣợc kiến thức tốt hơn
về lƣợng giác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:
- Nghiên cứu lý luận chung.
+ Bài toán và lời giải của bài toán.
+ Nội dung chƣơng trình lƣợng giác ở trƣờng phổ thông.
- Hệ thống hóa phƣơng pháp giải các dạng bài tập liên quan tới hai
công thức biến đổi lƣợng giác tang và cotang, dƣới dạng cơ bản và nâng cao
nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “Lƣợng giác cho học sinh phổ thông”.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Dựa vào những tài liệu sẵn có,
những thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụng
vào phƣơng pháp dạy học môn Toán.
- Phƣơng pháp quan sát điều tra: Là phƣơng pháp quan sát một sự vật
hiện tƣợng nào đó để thu lƣợm những số liệu, cụ thể đặc trƣng cho quá trình
diễn biến của hiện tƣợng.
- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất là đánh giá và khái
quát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, hoặc
khám phá những mối liên hệ có tính quy luật của hiện tƣợng giáo dục.
- Phƣơng pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên những tác
động giáo dục, từ đó xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó.
5. Cấu trúc khoá luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung, bao gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận
Chƣơng 2: Ứng dụng trong dạy học
Phần 3: Kết luận


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
A. BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN
1. Khái niệm
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm môt cách
có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣơc ngay.
Từ định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy: Bài toán là sự đòi
hỏi phải đạt tới một mục đích nào đó. Nhƣ vậy bài toán có thể đồng nhất với
một số quan niệm khác nhau về bài toán nhƣ: đề toán, bài tập…
Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho ngƣời học

nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó.
2. Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học
a. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các
kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến
thức mới nữa… Cuối cùng, chúng ta đi đến đƣợc lời giải của bài toán.
Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
đƣợc củng cố qua lại nhiều hơn.
b. Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, đƣợc
xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề.
Do đó lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ
tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt.
Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta
năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: suy luận có căn cứ đúng, suy
luận tuân theo quy tắc suy diễn…
Chúng ta biết rằng không thể có một phƣơng pháp chung nào để giải
đƣợc mọi bài toán.


Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm đƣợc lời giải
của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả,
kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tƣơng tự gần giống nhau,
biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá…
Nhƣ vậy qua việc giải bài toán năng lực tƣ duy sáng tạo đƣợc rèn
luyện và phát triển.
c. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn
khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc
các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình
huống của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán đƣợc sử dụng để tổ chức
gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm.
Bài toán đƣợc sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh hoạ cho
khái niệm. Bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ
chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học.
Bài toán có thể đƣợc sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là
việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức
hƣớng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chƣơng nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học : Bài toán là phƣơng tiện chủ yếu trong các
tiết luyện tập toán học. Trong đó ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc một hệ
thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng
cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
d. Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc biệt cơ bản trong tính cách của con ngƣời là: Mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giảng một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích
rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con ngƣời.
Để giải một bài toán nhất là đối với các bài toán khó ta phải vƣợt qua
rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn nại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rất
lớn để giải bài toán đó.


Nói theo cách của G.POLYA thì: “Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc

bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”.
Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của
quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con ngƣời.
3. Phân loại bài toán
Ngƣời ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc
mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
a. Phân loại theo hình thức bài toán:
Ngƣời ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chƣa để phân chia bài toán thành 2 loại:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa ra
một cách rõ ràng trong đề bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chƣa sẵn sàng
trong đề bài toán.
b. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán:
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại:
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó theo
một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của
nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó.
c. Phân loại theo nội dung bài toán:
Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau nhƣ sau:
+ Bài toán số học
+ Bài toán đại số
+ Bài toán hình học
d. Phân loại theo ý nghĩa giải toán:
Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài
toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó,

hay bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài toán nhƣ sau:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó.


- Bài toán phát triển tƣ duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng nhƣ kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tƣ
duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
4. Phƣơng pháp giải một bài toán
Phƣơng pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bƣớc của G.POLYA.
a. Bƣớc 1: Tìm hiểu đề
Trƣớc khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi
tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
- Những cái đã biết? cái gì chƣa biết của bài toán ?
- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi biến thiên của bài toán.
- Xác định các ẩn và giá trị hằng của bài toán.
- Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chƣa biết hay không ?
b. Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải
Để tìm lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bƣớc xây dựng
chƣơng trình giải là bƣớc quyết định, đồng thời cũng là bƣớc khó khăn nhất.
Bƣớc này đòi hỏi chúng ta phải huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so
sánh, bác bỏ từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán .
Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chƣơng trình giải theo phƣơng
pháp sau:
- Phƣơng pháp đi xuôi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán đƣợc lấy làm tiền đề, bằng suy
luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó. Tiếp tục
chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm
tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới

gần gũi hơn với kết luận... Cứ tiếp tục quá trình ấy, chúng ta tìm ra đƣợc hệ
quả logic trùng với kết luận của bài toán . Khi ấy ta tìm đƣợc lời giải của bài
toán .
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
A B
(trong đó A,C là giả thiết, còn X là kết luận ).
C
 
D

X
- Phƣơng pháp đi ngƣợc :


Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán . Bằng suy luận hợp
logic chúng ta đi ngƣợc lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này .


Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của
bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra tiền đề logic mới của các kết luận
mới này…Quá trình ấy lại đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc các tiền đề logic trùng
với giả thiết của bài toán, ta đƣợc lời giải của bài toán.
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
C A
X

D B

(trong đó A,B là giả thiết, còn X là kết luận)

c. Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bƣớc xây dựng chƣơng trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bƣớc thực hiện chƣơng trình giải một bài toán cần chú ý phân
biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy đƣợc và những điều suy ra đƣợc chính là điều chứng minh đƣợc.
d. Bƣớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
đƣợc của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
Ví dụ 1. Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
2 thì
Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện sinA.sinC cosB
ΔABC là tam giác cân.

HD:

2

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách: Hoặc
chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng
nhau.
Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta
sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.
Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và C là
nhƣ nhau. Do đó ta sẽ chứng minh trong ΔABC có góc A = C.
Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc B
bằng cách thay B 1800 (A C) .

Sau đó sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác, ta có đẳng thức sau:


sinA.sinC

cos
2
2

B

C
2 A
sinA.sinC sin
2
2sinA.sinB 1 cos(A C)

 sinA.sinC 1
cosA.cosC
cos(A C) 1
A C
Vậy ABC là tam giác cân tại B.
Ví dụ 2. Phân tích tìm lời giải của bài toán sau :
Tính tổng S 1 2a 3a 2 4a3 ... (n 1)an .
HD:
Ta liên hệ với bài toán tính tổng tƣơng tự đơn giản hơn:
Tính tổng P 1a a 2 a3 ... a n .
2
3

Ta có:
aP a a a
 a ... a
4

n+1

P aP 1 a
P 

n+1

1 an+1

1 a
Vận dụng cách tính tổng P ở trên ta tính tổng S nhƣ sau:
Ta có: aS a 2a2 3a3 4a4 ... (n 1)a n1
S aS 1 a a ... a a
n+1 . Thay vào ta có:
2
3
Ta thấy: 1 a a a ...
1 a
n
a P 
n+1
(1 a)(n
1 a 1 a
n+1
1)a

1 an+1
n+1
S aS
 (n 1)a S 
2
1 a
(1 a)
2

n

n+1

Nhận xét cách giải: Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số
hạng, ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS. Từ đây ta tính
đƣợc S.


Bằng phƣơng pháp tƣơng tự ta có thể tính đƣợc tổng sau :
2
3
n
A a 2a 3a na


B. NỘI DUNG CHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Ở TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
Chƣơng 6 (ĐS10NC): Góc lƣợng giác và công thức lƣợng
giác Bài 1: Góc và cung lƣợng giác.
Bài 2: Giá trị lƣợng giác của góc (cung) lƣợng giác.

Bài 3: Giá trị lƣợng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
Bài 4: Một số công thức lƣợng giác.
Ôn tập chƣơng 6.
Chƣơng 1 (ĐS>11NC): Hàm số lƣợng giác và phƣơng trình lƣợng giác
Bài 1: Các hàm số lƣợng giác.
Bài 2: Phƣơng trình lƣợng giác.
Bài 3: Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
Ôn tập chƣơng 1.


CHƢƠNG II. ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Bảng xác định dấu của các giá trị lƣợng giác
Phần tƣ
I
II
Giá tri lƣợng giác

sinα

IV

sinα

+

+





cosα

+





+

tanα

+



+



cotα

+



+



II. Giá trị lƣợng giác của các cung đặc biệt

α

III

0

π
6

π
4

π
3

2

3

0

1
2

cosα

3
1

2

π
2

1
2
2
2

2
1
2

0


tanα

cotα

0



1
3

3

1

3



1

1
3

0

III. Các công thức lƣợng giác cơ bản
1. Công thức lƣợng giác cơ bản
sinα sin(α  k2π)
cosα cos(α  k2π)
tanα tan(α  k2π) sin( α)  sinα tan(
cotα
α)
cot(α
tanα
 k2π) cos( α) cosα cot( 

sinα , cosαα π kπ, k 
tanα 
2

cotα cosα ,
sinα
tanα.cotα  1,

sin2α cos2α 1
1 tan2α 

1 , α π kπ, k 
cos2α
2

2. Giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a, Cung đối nhau: α và α
sin( α) sinα

cos( α) cosα

tan( α) tanα
cotα

cot( α) 

b, Cung bù nhau: α và π α
sin(π α) sinα
cos(π α)
 cosα
tan(π α) tanα cot(π α) 
c, Cung hơn kém π : α và α π

sin(π α) sinα
cosα

cos(π α) 

tan(π α) tanα

cot(π α) 

1 cot2α 

α kπ

α k

α k
1
,
sin2α


π
d, Cung phụ nhau: α và α
2
sin π α cosα
cosπ α sinα
2
2





tan π α cotα
2



cot π α tanα
2



3. Công thức lƣợng
giác a, Công thức cộng
tanα  tanβ
tan(α β) 
1  tanα.tanβ tanα  tanβ
1  tanα.tanβ

sin(α β) sinα.cosβ  cosα.sinβ
sin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ

tan(α β) 

cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ

cot(α β) cotα.cotβ 1
cotα  cotβ

cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ

cot(α β) cotα.cotβ 1
cotα cotβ

b, Công thức nhân
* Công thức góc nhân đôi
sin2α = 2sinα.cosα
tan2α =

cos2α = cos2α - sin2α

2tanα
1- tan2α

* Công thức góc nhân ba
sin3α 3sinα  4sin3α
3tanα  tan3α
tan3α  1 3tan2α

cot2α =

cot2α - 1
2cotα

cos3α 4cos3α  3cosα
cot3α  3cotα
cot3α  3cot2α 1

c, Công thức biến đổi tổng thành tích

sinα sinβ 2sin αβ cos α β
2

2

sin(α  β)
tanα tanβ 
cosα.cosβ


sinα sinβ 2cos αβ sin α β
2
2
cosα cosβ 2cos αβ cos α β
2
2
cosα cosβ 2sin αβ sin α β
2

2

d, Công thức biến đổi tích thành tổng
sinα.cosβ 1 sin(α β) sin(α β) 
2
sinα.sinβ 1 cos(α β) cos(α β) 
2
cosα.cosβ 1 cos(α β) cos(α β) 
2
4. Công thức hạ bậc

1 cos 2α
2
sin α  cos2α2
sin3α 

1
2
cos α  2

3sinα sin 3α
cos3α
4

3cosα
cos3α 
4

1 cos 2α
2
tan α 
1 cos 2α
5. Công thức tính sinα, cosα, tanα theo

tan
đặt

2t
sinα 
1  t2
2t 1  t 2

tanα 

6. Các công thức khác

1  t2
cosα  1  t 2
1  t2
cotα  2t

α

2

. Nếu

t tan thì ta có:
α
2


sinα cosα 2.sin α  π 2.cosα π 
4 
4 




sinα cosα 2.sin α π  2.cos α  π 
4 
4 




