SKKN - Khai thác bài tập 87 sách bài tập toán 6 – tập 2 trang 18

Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
MỤC LỤC
LỜI NĨI ĐẦU trang 2
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Những vấn đề chung …………………………………………trang 3 -4
II. Đặc điểm tình hình, thực trạng về chất lượng trang 4-6
III. Biện pháp khắc phục trang 6-7
Phần thứ hai. NI DUNG trang 8-21
Phần thứ ba: KT LUN trang 22
PHỤ LỤC trang 23
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 1
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
LỜI NĨI ĐẦU
Viết sáng kiến kinh nghiệm là hình thức rất tốt để rèn luyện chun mơn
nghiệp vụ của mỗi giáo viên trong Ngành giáo dục và Đào tạo. Hàng năm các đơn
vị trường đều phát động và tổ chức phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm. Từ
năm học 2005 – 2006, Sở GD & ĐT ĐăkLăk đã cụ thể hóa việc viết SKKN thành
một nội dung bắt buộc đối với từng giáo viên trong việc thực hiện nhiệm vụ năm
học.
Năm học 2004 – 2005, Sở GD – ĐT đã chấm và trao giải cho những
SKKN có chất lượng, phòng GD – ĐT huyện KrơngAna đạt được 04 giải C.
Trong đó bản thân tơi cũng được cơng nhận sáng kiến “Khai thác bài tập 28 SGK
tốn 6 - tập I”. Phát huy thành tích đã đạt được và mong được góp một phần nhỏ
những gì mà bản thân đã thu thập được trong q trình học tập, giảng dạy vào
phong trào chung của ngành giáo dục huyện nhà (nay là huyện Cư Kuin). Tơi xin
mạnh dạn viết tiếp một bài mong được trao đổi, bài viết có tựa đề “Khai thác bài
tập 87 sách bài tập tốn 6 – tập 2 trang 18”.
Nội dung của bài viết gồm 3 phần:
A. Đặt vấn đề

B. Nội dung
C. Kết luận
Phần B: Hầu hết các bài tốn tơi đều trình bày theo 5 nội dung:
• Bài tốn
• Tìm hiểu bài tốn
• Tìm lời giải
• Cách giải
•
Khai thác bài tốn (có những bài tốn kèm theo phần nhận xét)
Vì kinh nghiệm và năng lực còn nhiều hạn chế, vì vậy những gì tơi viết
dưới đây chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của
q thầy cơ giáo - những người u thích mơn Tốn nhằm phát huy năng lực giải
tốn nói riêng và học tốn nói chung của các em học sinh nhỏ.
Trân trọng cảm ơn!
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 2
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Phần một: ĐẶT VẤN ĐỀ.
I. Những vấn đề chung:
“Ai khơng hiểu biết tốn học thì khơng hiểu biết bất cứ một khoa học
nào khác và cũng khơng thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”
(R.Bacon – Nhà tư tưởng Anh - Thế kỷ XIII).
Trên đây là một câu nói nổi tiếng khẳng định vai trò to lớn của tốn học
đối với các lĩnh vực trong đời sống. Ở trường phổ thơng, mơn tốn có vị trí đặc
biệt quan trọng góp phần to lớn thực hiện nhiệm vụ chung của nhà trường là đào
tạo nên những con người “Làm chủ tri thức khoa học và cơng nghệ hiện đại, có tư
duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong cơng nghiệp, có tính tổ
chức kỷ luật, có sức khỏe, là người thừa kết xây dựng CNXH vừa “Hồng” vừa
“Chun” như lời dặn của Bác Hồ” (Nghị quyết hội nghị V – BCHTW Đảng
cộng sản Việt nam khóa VIII).

Do tốn học có vai trò rất to lớn như vậy, nên tốn học được mệnh danh là
“Mơn thể thao của trí tuệ”. Vì vậy việc giải tốn là một trong những vấn đề
trung tâm của cả người dạy và học tốn. Bởi lẽ đó là cơng việc mà cả hai đối
tượng này thường xun phải làm. Đối với học sinh nhỏ thì việc giải tốn là hình
thức chủ yếu của việc học tốn. Thơng qua việc giải tốn, kiến thức tốn của các
em sẽ được củng cố, khắc sâu và mở rộng; Giải tốn là hình thức tốt nhất để các
em rèn luyện các kỹ năng như: Tính tốn, biến đổi, suy luận … Mặt khác, việc
tìm kiếm được lời giải của một bài tốn khó hoặc áp dụng lời giải của một bài
tốn đã giải để giải bài tốn mới, bài tốn tổng qt hơn sẽ tạo nên sự hào hứng,
phấn chấn, vun đắp lòng say mê tốn học của các em ; Giải tốn cũng là hình thức
rất tốt để rèn luyện cho học sinh nhiều đức tính như: Tính cần cù, tính kỷ luật,
tính năng động và sáng tạo … Vậy giải một bài tốn như thế nào?
Thơng thường việc giải một bài tốn hay tiến hành theo 4 bước là:
- Tìm hiểu đề bài tốn;
- Tìm lời giải;
- Thực hiện giải;
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Tuy nhiên trong q trình giải tốn, các em ít quan tâm đến đầy đủ các
cơng việc nới trên, nhất là đối với học sinh nhỏ. Nhiều học sinh học kém tốn,
những học sinh lười học, khơng nắm vững kiến thức đã đành, còn nhiều học sinh
chịu khó học bài, thuộc bài, thậm chí là học khá nhưng nhiều khi vẫn khơng làm
được những bài tập đơn giản hoặc làm sai. Thiếu sót do đâu? Cái chính là do các
em chưa đọc kỹ đề bài tốn, chưa hiểu rõ bài tốn đã vội lao ngay vào giải. Bởi
vậy, khơng biết bắt nguồn từ đâu và do đó nếu gặp khó khăn, các em sẽ khơng
biết tìm ra lời giải. Cũng có thể là do các em chưa chịu nghiên cứu, khảo sát kỹ
các chi tiết của bài tốn, chưa biết kết hợp các chi tiết của bài tốn theo nhiều khía
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 3
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
cạnh khác nhau, hoặc lại chưa sử dụng hết các dữ kiện của bài tốn. Nhiều bài

tốn có thể vận dụng cách giải lẫn nhau nhưng các em khơng biết áp dụng hoặc có
thể là áp dụng cách giải một cách máy móc? Đơi khi giải xong, các em lại khơng
chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, hoặc khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác
hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài tốn khác, bài tốn tổng qt hơn. Vì
vậy ít nhiều hạn chế năng lực giải tốn của các em.
Những thiếu sót trên đây của học sinh một phần là do lỗi của người thầy
trong phương pháp dạy tốn, đó là: Chưa tạo cho học sinh có thói quen tiến hành
đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài tốn, nhất là những bài tốn lạ hoặc bài
tốn khó. Thường thì chúng ta chỉ nặng về trình bày lời giải chứ chưa chú ý
hướng dẫn các em tự mình đi đến lời giải. Vì vậy các em cùng lắm là chỉ hiểu
được lời giải cụ thể của bài tốn mà thầy đã giải chứ chưa biết qua đó học cách
suy nghĩ, nghiên cứu để giải các bài tốn khác hoặc mở rộng bài tốn. Đây chính
là một bước rất quan trọng, cần thiết và bổ ích.
Việc kiểm tra và nghiên cứu lời giải của bài tốn sẽ giúp các em ngồi việc
sửa chữa những sai sót đáng tiếc mà qua đó còn có thể tìm kiếm được lời giải
khác hoặc đưa ra được những bài tốn có nội dung tổng qt hơn hặc bài tốn
tương tự.
“Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết quả cao. Biết cách dạy
tốn và biết cách học tốn, hiệu quả dạy và học sẽ được nâng lên gấp nhiều
lần” (Vũ Hữu Bình – Kinh nghiệm dạy và học tốn).
Vì những lý do trên và là một giáo viên tốn (năm học 2004 – 2005 được
phân công giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6), tơi đã thực hiện bài viết
này. Hiện nay tơi trực tiếp làm cán bộ phụ trách chun mơn THCS của Phòng
GD&ĐT Cư Kuin, nhưng với mong muốn được chia sẻ và cùng các đồng nghiệp
trao đổi kinh nghiệm và cùng nhau rèn luyện để nâng cao chun mơn nghiệp vụ,
tơi mạnh dạn tham dự thi viết sáng kiến kinh nghiệm (SKKN).
II. Vài nét về tình hình trường lớp và thực trạng học tốn của học sinh
trường huyện Cư Kuin
1. Đặc điểm tình hình:
Huyện Cư Kuin được thành lập theo Nghị định số 137/2007/NĐ-CP, ngày

27/8/2007 của Chính phủ trên cơ sở điều chỉnh địa giới hành chính của huyện
Krơng Ana (Phòng GD&ĐT huyện ra cùng thời gian này). Trung tâm huyện cách
Thành phố Bn Ma Thuột khoảng 20 km về phía Nam. Diện tích tự nhiên
28.830 ha, trong đó: Đất sản xuất nơng nghiệp 21.451,81 ha, đất lâm nghiệp
878,69 ha, diện tích ni trồng thủy sản 382,6 ha. Tổng dân số 109.770 người với
20.354 hộ, trong đó dân tộc thiểu số 29.870, lao động 53.365 người. Tổng số hộ
nghèo 4.787 hộ với 24.861 khẩu chiếm 23,5%. Số đơn vị hành chính của huyện
gồm 08 xã với 111 thơn, bn.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 4
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Năm học 2007-2008 tồn cấp THCS có 255 lớp với 9931 học sinh (cuối
năm học). Số học sinh DTTS: 2546 (26.0%).
2. Những thuận lợi và khó khăn trong q trình chỉ đạo dạy – học
Có đầy đủ các văn bản chỉ đạo về Nhiệm vụ năm học của các cấp và
thường xun được sự chỉ đạo của Lãnh đạo Sở, các ban ngành địa phương. Thực
hiện chương trình theo biên chế năm học của Bộ và Sở Giáo dục và Đào tạo; Có
sự chuyển biến trong cơng tác quản lí, chỉ đạo đổi mới phương pháp dạy và học
cải tiến phương pháp đánh giá, xếp loại học sinh. Chất lượng đại trà của học sinh
ngày càng thực chất, cơ sở vật chất, thiết bị dạy và học tiếp tục được đầu tư và
ngày càng khang trang, sạch đẹp. Hoạt động dạy và học ngày càng đi vào nề nếp
và có chiều sâu. CSVC ngày càng khang trang hơn, cơ bản đáp ứng được nhu cầu
dạy và học.
Hầu hết đội ngũ giáo viên THCS của huyện đều là những người đạt chuẩn
và trên chuẩn, nhiệt tình và có tâm huyết với nghề, có nhiều giáo viên là giáo viên
dạy giỏi cấp huyện và tỉnh (năm học 2008-2009 có 15 giáo viên được cơng nhận
giáo viên dạy giỏi tỉnh). Đa số giáo viên là người địa bàn, và ở Tp. Bn Ma
Thuột.
Bên cạnh những thuận lợi nói trên, huyện còn gặp khơng ít khó khăn, đó
là:

- Còn một bộ phận khơng nhỏ giáo viên chậm đổi mới phương pháp dạy
học. Do đó, chưa phát huy được tính tích cực của học sinh, cơ sở vật chất chưa
đáp ứng u cầu cho việc dạy –học học theo hướng đổi mới hiện nay.
- Một số trường biên chế CBQL còn thiếu, đội ngũ giáo viên khơng ổn
định, có nhiều giáo viên gia đình ở xa trường (TP Bn Ma Thuột), con nhỏ, phải
dạy ở các trường thuộc vùng sâu, vùng xa của huyện. Trình độ chun mơn khơng
đồng đều; một số ít giáo viên trẻ ý thức trách nhiệm chưa cao, chưa tận tâm với
nghề, chưa thực sự an tâm cơng tác, tinh thần học hỏi đồng nghiệp và tự học tự
rèn, kinh nghiệm nghề nghiệp còn nhiều hạn chế. Đổi mới trong nhận thức còn
chậm, ít tham gia ý kiến xây dựng, hướng phấn đấu chưa thể hiện rõ nét. Vì vậy,
đã ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng dạy và học hiện nay.
- Học sinh bỏ học nhiều; tỉ lệ học sinh xếp loại học lực yếu, kém còn cao;
gia đình ít qua tâm đến việc học.
- Tình hình an ninh trật tự trên địa bàn có nhiều diễn biến phức tạp, nhiều
tệ nạn đã và đang xâm nhập ảnh hưởng đến các em – khó khăn trong việc rèn
luyện đạo đức, lối sống cho các em của nhà trường.
- Cơng tác xã hội hóa giáo dục chưa được địa phương coi trọng, việc tun
truyền sâu rộng trong nhân dân còn hạn chế…
Những khó khăn trên ít nhiều ảnh hưởng đến chất lượng học tập của các
em nói chung và chất lượng học tập mơn tốn nói riêng.
3. Thực trạng chất lượng học học tập mơn tốn của trường:
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 5
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Năm học 2007 – 2008 chất lượng mơn tốn tồn huyện như sau:
- Xếp loại chung về chất lượng hai mặt:
Hạnh kiểm: Học lực:
Tốt: 63.99 % Giỏi:
3.08 %
Khá: 30.08 % Khá:

20.65 %
Trung bình:
5.48 %
Trung bình:
50.03 %
Yếu:
0.44 %
Yếu, kém
26.20 %
- Chất lượng mơn tốn:
Giỏi:
8.0%
Khá:
15.0 %
Trung bình:
36.0 %
Yếu, kém
41.0 %
Kết quả trên cho thấy: Chất lượng học tập mơn tốn tương đối thấp, vậy
ngun nhân do đâu?
Ngồi những ngun nhân như đã nêu ở phần I-lý do còn một số ngun
nhân khách quan nữa cũng ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng nói chung, đó chính
là những khó khăn như đã nêu ở phần trên.
III. Đề xuất một số giải pháp khắc phục:
- Ln ln tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết
khi giải một bài tốn; Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ, nghiên cứu để tự mình
đi đến lời giải; Ln tạo cho học sinh hứng thú học tập….
- Đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải , phân tích cho
các em thấy nhằm tạo hứng thú và sự say mê .
- Phát huy tinh thần hợp tác giúp đ‹ nhau trong học tập. Tổ chức các

em hoạt động theo nhóm, tăng cường thời gian luyện tập củng cố kỹ năng
giải, tạo niềm tin và hứng thú học tập.
- Kết hợp trong việc dạy chủ đề tự chọn để giúp các em luyện tập,
củng cố thêm kiến thức cho các em.
- Và điều quan trọng là: Trong q trình giảng dạy, giáo viên cần phải
thường xun tìm kiếm thơng tin liên quan, chú ý đến việc luyện tập theo
các dạng bài tập tóan của từng nội dung, phần, chương; Ln chú ý đến việc
lựa chọn và cung cấp đầy đủ các dạng bài tập từ SGK và sách bài tập cho
các em (kể cả tài liệu tham khảo), cần chú trọng đến việc hệ thống từng
dạng bài tập theo nội dung - chủ đề.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 6
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
- Đẩy mạnh cơng tác trun truyền sâu rộng trong nhân dân, phụ huynh về
cơng tác XHHGD, cần làm cho phụ huynh hiểu rằng: Muốn thốt khỏi điều kiện
kinh tế yếu kém thì chẳng có con đường nào khác là đầu tư, tạo mọi điều kiện cho
con em họ học tập thật tốt.
- Động viên, khuyến khích kịp thời các gương học tốt. Nêu gương điển
hình và phê bình những học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn khơng chỉ
trong trường mà phải sâu rộng trong tất cả các thơn bn. Có như vậy chắc chắn
việc học của học sinh và cơng tác giảng dạy của giáo viên trong thời gian tới sẽ có
những chuyển biến.
Trên đây là những nhận định và những ý kiến chủ quan của cá nhân tơi
trong q trình giảng dạy tơi đã nghiệm thấy. Tuy khơng phải là một đề tài nghiên
cứu khoa học, nhưng tơi cũng mạnh dạn đưa ra trong bài viết này và mong muốn
được chia sẻ. Bởi lẽ, sản phẩm của dạy học khơng giống như bất cứ một loại sản
phẩm hàng hóa nào, để có được sản phẩm tốt thì lại phụ thuộc vào rất nhiều yếu
tố. Tất nhiên, việc suy xét bài tốn theo hướng khai thác kết qủa như bài viết của
tơi khơng phải với bất cứ đối tượng học sinh nào cũng phù hợp. Xong, khơng vì
thế mà chúng ta lại bỏ qua cơng việc này.

.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 7
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Phần thứ hai: NI DUNG
Khai thác bài tập 87- SBT tốn 6 tập 2 trang 18
Nội dung của bài tốn như sau:
a. Cho hai phân số và (n
∈
Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân
số này bằng hiệu của chúng.
b.
Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
A =
.

+

.

+

.

+

.

+

.

+

.

+

.
B =
+

+

+

+

+

+

* Tìm hiểu bài tốn:
a. Bài tốn u cầu chứng minh tích của hai phân số đã cho bằng hiệu của
chúng, tức là ta cần chứng minh đẳng thức:

.
=
-
(1)

b. Trong tổng A: Mỗi tích là 2 phân số có tử là 1 và mẫu của chúng là 2 số
tự nhiên liên tiếp có dạng: n và n+1. Như vậy mỗi tích cũng có dạng

.

Trong tổng B: Mỗi phân số cũng có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của
các phân số khác nhau, mỗi mẫu có thể viết được dưới dạng n.(n+1). Như vậy
mỗi phân số cũng có dạng
.

Như vậy: Hai tổng A và B là hai cách viết khác nhau ⇒ cách tính là
như nhau.
* Tìm lời giải:
a. Xét hiệu
-
. Ta nhận xét rằng: Mỗi phân số của hiệu đều có tử bằng 1
và mẫu của chúng là 2 số tự nhiên liên tiếp (dạng tổng qt). Hãy quy đồng mẫu 2
phân số.
b. Ta nhận xét: Mỗi tích của tổng A là dạng cụ thể của đẳng thức (1). Như
vậy ta chỉ cần viết mỗi tích trong tổng thành hiệu 2 phân số. (Tổng B là tương tự).
* Cách giải:
a.
Quy đồng mẫu, ta được:
-

=

=

Vậy: (1)

b. Áp dụng cơng thức (1), ta có:
A =

-


+

-

+

-

+

-

+

-


+

-


+

-

=

-


=
B = + + + + + +
=


-


+

-


+

-


+

-

+

-


+

-

+

-
=

-

=
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 8

.

=


-

Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
(Cần lưu ý rằng: Nếu quy đồng mẫu các phân số trên chắc chắn sẽ gặp khó
khăn . Mặt khác (1) sẽ là một cơng thức mà các em còn gặp nhiều ở lớp

7,8,9….).
* Khai thác bài tốn:
Bài tốn có 2 câu, ở câu a ta đã chứng minh được
=


-

(1), nhờ có (1)
mà việc tính 2 tổng A và B một cách nhanh chóng bằng cách biến đổi phân số
trong dãy thành hiệu của 2 phân số, ta đã biến dãy cộng thành dãy trừ và cộng để
ước lược các số hạng đối nhau. Chẳng hạn
-

và
+
;
-
và
+
; … Như vậy, có
thể nói: Đẳng thức (1) là chìa khóa để giải câu b của bài tốn. Nếu kết hợp 2 tổng
A và B ta sẽ có được một dãy cộng tổng qt hơn.
BÀI TỐN 1: Hãy tính tổng sau:
C =

+

+

+ …… +
* Cách giải:
Trước hết, ta nhận xét rằng: Tổng C hồn tồn tương tự như tổng A, khơng
mất tính tổng qt, ta áp dụng cách tính tổng A. Ta có:
C = 1

-


+


-


+

-

+ …… +

-


= 1
-


=

* Khai thác bài tốn:
Tổng đã cho là dãy cộng các phân số có từ bảng 1 và mẫu của mỗi phân số
là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Áp dụng (1) ta đã viết mỗi phân số
thành hiệu 2 phân số mà số bị trừ có tử bằng 1 và mẫu là thừa số nhỏ hơn. Số trừ
cũng có tử là 1 và mẫu là thừa số lớn hơn. Nếu mẫu của mỗi phân số khơng phải
là tích của 2 số tự nhiên liền nhau mà là tích của 2 số chẵn hoặc 2 số lẻ liền nhau
thì sao? Chẳng hạn: ; ; … hoặc ; ; …
Hãy xét bài tốn sau:
BÀI TỐN 2: Tính các tổng sau:
a.
D =

+

+

+ …… +
b.
E =

+

+

+ …… +
* Tìm hiểu bài tốn:
Bài tốn là tính tổng các phân số có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của
mỗi phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên khác nhau và hơn kém nhau hai
đơn vị. Ở tổng D, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên chẵn liền nhau. Ở
tổng E, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên lẻ liền nhau.

* Tìm lời giải: Áp dụng cách giải bài tốn 1 bằng cách xét các hiệu sau:

-

;
-
; …… ;


-

;


-
; ……
Ta có:
-


=
;
-

=
; ……;
-


=

-

=
;
-

=
; ……;
-


=

Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 9
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Nhận xét: Mỗi hiệu trên đều cho ta một phân số có tử giống nhau, bằng 2
(khoảng cách giữa 2 thừa số ở mẫu của mỗi phân số) và mẫu vẫn là tích của 2 số
tự nhiên chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp như ban đầu.
* Cách giải: Từ nhận xét trên , để giải ta có thể nhân D và E với 2 hoặc .
Ta có:
2D =

+

+

+ …… +

2E =

+

+

+ …… +

Vậy: +
2D =

-


+

-

+

-

+
……
+

-

=

-


=
⇒
D =

:
2
=
+ 2E = 1

-


+

-


+

-


+
……
+

-






= 1
-
⇒
E =
:
2
=

Qua cách giải, ta có nhận xét như sau: Để tính được 2 tổng trên (áp dụng
(1)) ta đã phải nhân mỗi tổng với 2. Khi đó, ta thu được 2 tổng có tử giống nhau
(bằng 2) và mẫu của mỗi phân số trong 2 tổng vẫn là tích của 2 thừa số ban đầu.
Áp dụng cách giải bài tốn 1, ta đã viết được mỗi phân số trong 2 tổng thành hiệu
2 phân số mà số bị trừ là một phân số có tử bằng 1 và mẫu là thừa số thứ nhất
(nhỏ hơn). Số trừ cũng là một phân số có tử bằng 1 và mẫu là thừa số thứ 2 (lớn
hơn 2 đơn vị). Chẳng hạn:
=

-

;
=

-

… Nhờ vậy, ta đã tính được nhanh
chóng 2 tổng D và E đã cho. Từ kết quả trên ta hãy xét tiếp bài tốn dưới đây:
BÀI TỐN 3: Tính nhanh các tổng sau:
a. S
1
=

+

+

+ …… +
b. S
2
=

+

+

+ …… +
c. S
3
=

+

+

+ …… +
* Phân tích bài tốn:
Bài tốn vẫn là tính nhanh các tổng: Mỗi tổng là dãy cộng các phân số có
tử là 1 và mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên cách nhau một khoảng
nhất định nào đó. Ở câu a: Mẫu của mỗi phân số trong tổng là tích của 2 số tự
nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị. Ở câu b: Mẫu của mỗi phân số trong tổng là tích
của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 5 đơn vị và ở câu c: Mẫu của mỗi phân số trong
tổng lại là tích của 2 số tự nhiên cách nhau 10 đơn vị.
* Tìm lời giải:
Ở cách giải bài tốn 2, ta nhận thấy: Mẫu của mỗi phân số trong tổng hơn
kém nhau 2 đơn vị, ta đã nhân tổng đã cho với 2 ( 2 là khoảng cách 2 thừa số ở
mỗi mẫu) và như vậy đã viết được mỗi phân số thành hiệu của 2 phân số. Ta hãy
xét tương tự đối với các phân số ở
S
1
, S
2
, S
3
.
Nhận xét thấy:

=

-

;
=

-

; ……
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 10
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán

= 1

-

;
=

-

; ……

= 1

-

;
=

-

; ……
* Cách giải:
Ta có:
a. 3S

1
=

+

+

+ …… +

=

-


+

-

+

-

+
……
+

-

=

-

=

=
⇒
S
1
= :

3 =
( có thể tính
S
1
)
b. 5S
2
=

+

+

+ …… +

= 1

-

+

-

+

-

+
……
+

-
= 1

-

=
⇒
S
2
= :

5 =
( có thể tính
S
2
)
c. 10S
3

=

+

+

+ …… +

= 1

-


+

-

+

-


+
……
+

-


= 1

-


=
⇒
S
3
= :

10 =
( có thể tính
S
3
)
Nhận xét: Như vậy là việc tính các tổng đã cho ta khơng gặp khó khăn gì,
vì chìa khố chính là bài tốn 2. Quy luật ở đây là: Nếu 2 thừa số ở mẫu của mỗi
phân số có khoảng cách là bao nhiêu thì khi viết thành hiệu sẽ thu được 1 phân số
có tử bằng chính khoảng cách của 2 thừa số ở mẫu.
Tổng qt, ta có:
=

-

Từ nhận xét và cách giải bài tốn đã cho, các em HS có thể tự đặt các bài
tốn tương tự để giải, chẳng hạn: Tính nhanh:

+

+

+ ……
hay:

+

+

+ ……;…
Từ bài tốn ban đầu, ta đã có bài tốn 2, bài tốn 3 và đã tính rất nhanh
chóng các tổng tương đối phức tạp nhưng khơng mấy khó khăn. Bây giờ ta hãy
xét tiếp bài tốn sau:
BÀI TỐN 4: Tính các tổng sau:
a. S
4
=

+

+

+ …… +

b. S
5
=

+

+

+ …… +

* Tìm hiểu bài tốn:
Bài tốn đã cho có điểm giống với các bài tốn đã giải là: Mẫu của các
phân số trong mỗi tổng vẫn là tích của các số tự nhiên liền nhau và đều có tử là 1.
Tuy nhiên, mẫu của mỗi phân số lúc này lại khơng phải là 2 thừa số nữa mà lại là
3 hay 4 thừa số.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 11
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
+ Ở tổng
S
4
: Mỗi phân số trong tổng có mẫu là tích của 3 số tự nhiên
liều nhau (theo thứ tự tăng dần).
+ Ở tổng
S
4
: Mỗi phân số trong tổng có mẫu là tích của 4 số tự nhiên
liều nhau (theo thứ tự tăng dần).
* Tìm lời giải:
Ở bài tốn 2 và 3, mẫu của mỗi phân số trong các tổng đều là tích của 2
thừa số, ta đã đưa chúng về dạng hiệu 2 phân số. Hãy xét hiệu:

-

;

-

; ……

-

;


-

; ……
Ta có:
-


=
;
-


=
; ……

-


=
;
-

=
; ……
* Cách giải:
Ta có:
a.
2S
4
=

+

+

+ …… +

=

-


+

-

+

-

+
……
+

-

=

-


=
⇒
S
4
= =
b.
3S
5
=

+

+

+ …… +

=

-


+

-

+

-

+
……
+

-

=

-


=
⇒
S
5
= =
Nhận xét: Với việc áp dụng cách giải từ bài tốn 1 – áp dụng (1) ta cũng
đã tính được 2 tổng trên khơng mấy khó khăn. Tuy nhiên để đi đến được kết quả
cuối cùng đó thì với học sinh lớp 6 khơng phải dễ mà chỉ thích hợp nếu khai thác

cho học sinh lớp 8, 9. Với HS lớp 6, ta nên dừng lại ở một số số nhất định nào đó,
chẳng hạn: ;
Tóm lại: Việc tính 2 tổng trên cũng có quy luật như các tổng đã xét. Nếu
thay đổi một chút như bài tốn 2 chẳng hạn:
+
; …… Vậy cách tính có gì khác
khơng? Hãy xét tiếp bài tốn tiếp theo.
BÀI TỐN 5: Tính tổng:
S
6
=

+

+

+
……
+

S
7
=

+

+

+
……

+

* Tìm hiểu bài tốn: Bài tốn là tính tổng gần giống như tổng S
4
. Dãy
cộng các phân số có tử là 1 và mẫu của mỗi phân số là tích của 3 số tự nhiên lẻ liền
nhau, chẵn liền nhau .Phải chăng quy luật cũng giống như bài tốn đã giải ở trên?
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 12
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
* Tìm lời giải:(
S
6
)
Ta xét các hiệu như trên:
-

;


-

; ……

Ta có:
-


=
;

-


=
;


-

=
; …
* Cách giải:
4S
6
=

+

+

+
……
+

=

-


+

-

+

-


+
……
+

-

=


-

=

=
(
S
7
giải tương tự
)
Nhận xét: Như vậy cách giải bài tốn 5 cũng khơng có gì khác so với cách
giải các bài tốn trước đó . Từ cách giải và nhận xét trên, các em cũng có thể tự
đặt ra các bài tốn tương tự và giải khơng mấy khó khăn.

* Khai thác bài tốn:
Ta hãy xét bài tốn theo khía cạnh khác, chẳng hạn:
Chứng minh:
A

=
+
+
+…………
+
<
B
=
+

+

+……….+
< 3
(Bài tập 347 – BT nâng cao tốn 6 của Bùi Văn Tun, NXB GD 2003)
Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trên chính là một trường hợp cụ thể
của bài tốn 5. Như vậy từ cách giải bài tốn 5 ta có thể tính được nhanh chóng
giá trị của biểu thức A . Đối với tổng B, tử của mỗi phân số đều bằng 36, mà 36
= 9.4, vậy là cách tính tổng B đã cho cũng khơng khác gì cách tính tổng S
6
. Từ
nhận xét trên, ta có:
A

=

(
-


+

-

+

-
+
……
+

-
)
=
(
-
)
=

.

=
Do < = suy ra A <
B = 9(
+

+

+
……
+
)
= 9(
-


+

-

+

-

+
……
+

-
)
= 9(
-
) = 9
.
=
Do < = 3. Từ đó suy ra B < 3

Nhận xét: kết quả rút gọn tổng A = , Tổng B= nếu thực hiện phép chia ta
cũng có thể suy ra điều phải chứng minh. Tuy nhiên, cách so sánh như trên cho ta
kết quả rõ ràng hơn (một trong các cách so sánh phân số đã nêu trong sách BT
tốn 6 tập 2)
Qua nội dung bài tốn trên, kết hợp với các bài tốn đã giải, các em lại có
thể đặt ra các bài tốn tương tự để giải.
Trở lại bài tốn1: Bây giờ ta lại xét bài tốn theo nội dung khác, chẳng
hạn:
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 13
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
BÀI TỐN 6: Tìm số tự nhiên x, biết:

+

+

+
+
…… +
= (*)
* Tìm hiểu bài tốn:
Bài tốn là u cầu tìm số tự nhiên x từ một đẳng thức, vế trái của đẳng
thức là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu là các số tự nhiên khác nhau,
phân số cuối cùng của dãy có mẫu là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp giống
như ở tổng C của bài tốn 1; vế phải của đẳng thức là một phân số có tử nhỏ hơn
mẫu một đơn vị.
* Tìm lời giải:
Trước hết hãy để ý các mẫ số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;………như
vậy mẫu của mỗi phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số tự

nhiên liên tiếp. Dãy cộng trên chính là tổng C ở bài tốn1. Từđó suy ra cách giải.
* Cách giải:
Ta có:

+

+

+
+
…… +
=

+

+

+ …… +
=
1

-


+

-


+

-

+ …… +

-

= 1

-

Vậy (*) <=>1
-


=
<=>
= 1

-


<=>
=
=> x +1= 2005 hay x = 2004
* Khai thác bài tốn:
Ta đã giải bài tốn tìm x trên khơng mấy khó khăn bằng cách áp dụng
cách giải bài tốn 1. Bây giờ ta hãy thay đổi mẫu của các phân số ở vế trái của
đẳng thức (*) theo quy luật khác, chẳng hạn: Thay phân số bằng phân số , phân
số bằng phân số , phân số bằng phân số , ……… Khi đó ta lại có bài tốn sau:

BÀI TỐN 7: Tìm số tự nhiên x, biết:

+

+

+

+ …… +
= (**)
* Tìm hiểu bái tốn:
Giống như bài tốn 6 , bài tốn 7 cũng u cầu ta tìm x, nhưng vế trái của
(**) khác vế trái của (*) ở chỗ phân số cuối cùng lại có tử bằng 2 còn mẫu số vẫn
là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Vấn đề là làm thế nào để đưa được các
phân số ở vế trái của (**) thành các phân số như vế trái của (*)?
* Tìm lời giải:
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 14
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Xét phân số
. Ta có : = 2
.
= 2(
-
). Như vậy ta cũng phải biến đổi
các phân số ;
;

;

; … thành các phân số cũng có tử bằng 2 và mẫu của mỗi phân
số vẫn là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Để ý, ta có:

=
;
=

=
;
=

=
;
=

=
;….(Áp dụng tính chất cơ bản
của phân số). Đến đây ta dễ dàng suy ra cách giải như bài tốn 6.
* Cách giải:
Ta có:
+

+

+

+ ….+

=

+

+
+
+ …… +
=
+

+

+

+ …… +
= 2.(
+

+

+

+ …… +
)
= 2.(
-


+

-

+
-

+

-
+
…… +

-
)
= 2.(
-
). Vậy (**) <=> 2(
-
) =
=>
-
= : 2 =
=> =
-
=
=> x+1 = 4010 hay x = 4010 – 1 = 4009
Nhận xét: Cách giải bài tốn tìm x trên cũng khơng khác gì lắm so với
cách giải các bài tốn đã giải trước đó. Nếu tiếp tục sử dụng kết quả các bài tốn
trước đó các em lại có được các bài tốn tương tự khác, chẳng hạn:

+

+

+ …… +
= ,…( là một phân số tuỳ y ù)
Để ý rằng, tất cả các bài tốn đã giải ở trên đều sử dụng đẳng thức (1) –
Đó chính là “chìa khố ” quan trọng giúp ta khơng hề gặp khó khăn nào khi tính
giá trị của một biểu thức, chứng minh, hay tìm thừa số x trong mọi đẳng thức.
Hãy thử với bài tốn sau xem “chìa khố ” đó có còn “mở” tiếp được nữa khơng?
BÀI TỐN 8: Tính nhanh tổng sau:
P =
+

+
+
+ ……

+

* Tìm hiểu bài tốn:
Khác với các bài tốn ở trên, bài tốn 8 là tính nhanh tổng các phân số có
tử bằng 1, còn mẫu của mỗi phân số trong tổng đều bằng 2 và có số mũ khác nhau
(Từ 1 đến n). Vậy làm thế nào để tính nhanh được và có thể áp dụng được (1)
khơng?
* Tìm lời giải:
Để ý, ta có: = 1
–

= 1
–

= =

-

=
-

= =
-

=
-

= =
-

=
-

; ………; =
-

* Cách giải:
P =
+

+

+

+ …… +

Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 15
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
= (1
-
)
+
(
-

)
+
(
-

)
+
(
-

)
+ …… + (

-

)
= 1
-

+

-


+

-


+

-


+ …… +

-

Vậy P = 1
-

Như vậy, để giải bài tốn trên ta cũng đã tách mỗi phân số thành hiệu hai
phân số và thu được một dãy cộng, trừ các phân số đối nhau giống như quy luật
của các bài tốn ở trên và nhanh chóng tính được giá trị của P.
Nếu để ý thì ta lại có cách giải khác như sau:
Ta có: + =
+
= = 1
-
= 1

-



+

+
=
+
= = 1
-
= 1
-


+

+

+
=
+
= = 1
-
= 1
-

…………………………………

+

+

+

+ …… +

+
= 1
-

Đây chính là cách giải suy luận phổ biến được áp dụng cho nhiều dạng bài
tập trong chương trình hiện hành (bài tập 66 trang 29, bài 72 trang 31 SGK tốn 6
tập 1; Hay bài 113, 114 SBT tốn 7 tập 1 trang 19,…)
Mặt khác, nếu tiếp tục để ý ta cũng sẽ có một cách giải khác khá độc đáo
cũng được áp dụng từ cách giải của một dạng bài tập khá phổ biến – So sánh,
chẳng hạn: Bài tập 210* SBT tốn 6 trang 27 tập 1 “Tổng A = 2 +2
2 +
2
3
+ … + 2
10
có chia hết cho 3 khơng?”. Để giải bài tốn này, ngồi cách áp dụng tính chất kết
hợp của phép cộng và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta có
thể xét hiệu sau 2A – A (bằng A). Khi đó, dễ dàng tìm được giá trị của A.
Hãy thử áp dụng cách này với P.
Ta có: 2P =
+

+

+

+ …… +

+

= 1
+

+

+

+

+ …… +

+

=>
2P
-
P

= 1

+

+

+

+ …… +

+

-

(
+

+

+

+
…
+



+
)
P

= 1

-

Nhận xét: Cách giải trên cũng giúp ta tính được tổng P khơng mấy khó
khăn, vì 2P – P = P. Với cách giải này ta lại có vơ số bài tốn tương tự, chẳng
hạn:
BÀI TỐN 9: Tính tổng
Q

=

+


+

+ + …… +

R
=

+


+

+ + …… +
; v v….
Áp dụng cách là trên ta có:
3Q
=

+

+

+ + …… +

= 1 +

+


+

+ + …… +

3Q
-

Q

= 1+

+


+

+ + …… +

-

(
+


+

+ +…… +
)
Q

= 1

-

(Cách tính R tương tự )
* Khai thác bài tốn:
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 16
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Nếu ta suy xét bài tốn 8 theo hướng khai thác bài tốn 5 ta cũng có:
P =


+

+
+
+
……

+

+
< 1 V ì
P

= 1

-

Hãy xét tiếp bài tốn sau:
BÀI TỐN 10: Ch ứng minh
a.

+

+
+
+ …… +
<1
b.

+

+

+

+ …… +
<1

c.

+

+
+
+ …… +
<
d.

+

+
+
+ …… +
< 1
* Tìm hiểu bài tốn:
Tương tự bài tốn 5, bài tốn cũng u cấu ta chứng minh mỗi tổng đã cho
nhỏ hơn một giá trị cho trước. Mỗi tổng là dãy các phân số có tử là 1 và mẫu của
mỗi phân số khác nhau.
Câu a: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên chẵn liên tiếp có số mũ là 2
Câu b: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp cũng có số mũ là 2
Câu c: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên liên tiếp có số mũ là 3
Câu d: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên liên tiếp cũng có số mũ là 2
Như vậy, khác với các tổng trong các bài tốn đã giải ở trên, mẫu số của
các phân số trong các tổng này lại hồn tồn khác.
* Tìm lời giải: (xin trình bày hai câu c và d)
Câu c: Trong bài tốn 5, ta đã biết: <
=
. Để ý ta cũng có:

=
<
=

=
(
-


)

=
<
=

=
(
-

)

=
<
=

=
(
-

)
………………………
Câu d: Ta cũng có:

=
<
= 1

-



=
<
=

-



=
<
=

-


………………………
Mặt khác, ta cũng có: Nếu a < x, b < y, c < z Thì: M = a + b + c < N= x

+ y + z (a, b, c, x, y, z > 0). Từ đó suy ra: Để giải câu c, ta áp dụng bài tốn 4; Để
giải câu d, ta áp dụng bài tốn 1.
* Cách giải:
c.
Đặt M
=

+

+
+
+ …… +
M <
+

+
+
+ …… =

+

+

+ …… +

= (

-

+

-

+

-

+
……
+

-

)
=
(
-

)
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 17
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
=

-

.

<

d. Đặt N
=

+

+
+
+ …… +
N
=

+

+
+
+ …… +
<
+

+

+ …… +

= 1

-


+

-


+

-

+ …… +

-


= 1
-

< 1
Nhận xét: Việc chứng minh hai biểu thức trên bằng cách áp dụng kết quả
các bài tốn đã giải, ta khơng gặp mấy khó khăn. Như vậy, các bài tốn đã xét
đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu ta tiếp tục suy xét, chắc chắn ta lại có
các bài tốn với lời giải và cách giải cũng sẽ rất thú vị. Hãy thử xem!
Phần thứ ba: KT LUN
Trên đây là một số bài tốn có tính chất mở rộng và sử dụng kết quả của
bài tập 87 sách bài tập tốn 6 tập 2 trang 18. Trong q trình suy xét và trình bày
chắc chắn sẽ có những thiếu sót hoặc chưa được logic lắm. Mặt khác ,nếu tiếp tục
suy xét và khai thác nữa chúng ta sẽ thu được nhiều bài tốn cùng loại hoặc tương
tự phù hợp cho đối tượng học sinh lớp 7, 8 hoặc 9 … các lớp trên các em có thể
giải các bài tốn tổng qt dễ dàng bằng phương pháp quy nạp.
Dạy học tốn , ngồi việc cung cấp cho học sinh các kiến thức tốn học ,
hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng tốn cơ bản . Việc dạy học sinh có
thói quen tư duy tốn học là một trong những cơng việc đặc biệt quan trọng của

người dạy học tốn . Điều mà tơi trình bày ở trên chính là một bước quan trọng và
rất cần thiết của quy trình giải một bài tốn
.
Vì còn nhiều hạn chế về chun mơn, kiến thức tốn cũng như kinh
nghiệm. Do đó những gì tơi nêu ra ở trên, nếu được q thầy cơ giáo bộ mơn
quan tâm và hỗ trợ chắc chắn sẽ thu được kết quả cao hơn. Khơng nhằm ngồi
mục đích cùng nhau rèn luyện để nâng cao chun mơn và xây dựng đội ngũ có
kiến thức, giàu kinh nghiệm, ham học hỏi và u nghề. Vì vậy, rất mong được sự
góp ý của q thầy cơ và đồng nghiệp.
Xin được thay lời kết bằng lời của một nhà giáo khá quen thuộc đối với
chúng ta – Vũ Hữu Bình: “Khơng dừng lại ở một bài tốn đã giải.
Hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài tốn tưởng
chùng như đơn giản, đó là tinh thần để tiến cơng trong học
tốn, đó là phẩm chất mà mỗi người làm tốn cần phải rèn
luyện”./.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 18
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
PHỤ LỤC: Trong q trình viết bài, tơi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách bài tập tốn 6 tập 2;
- Bài tập nâng cao và chun đề tốn 6 (Bùi Văn Tun);
- Kinh nghiệm dạy tốn và học tốn (Vũ Hữu Bình);
- Cách tìm lời giải các bài tốn THCS (Lê HảI Châu - Nguyễn Xn Quỳ.
Cư Kuin, tháng 5 năm 2008

Người thực hiện

Trần Quốc Toản
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 19