Vận dụng định hướng đổi mới vào dạy học quy tắc, phương pháp qua chủ đề vectơ

Khoá luận tốt nghiệp
Đặng Thị Hương - K29H Toán

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung tôi đã trình bày trong khoá luận này
là kết quả của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của
các thầy cô giáo, đặc biệt là TS Nguyễn Ngọc Anh. Những nội dung này
không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Đặng Thị Hương

1


Đặng Thị Hương - K29H Toán

Lời cảm ơn
Do kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn ít ỏi hơn nữa thời gian và
năng lực còn hạn chế, khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nên tôi
rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy giáo, cô giáo, và toàn thể các
bạn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Ngọc Anh - giảng viên tổ
phương pháp giảng dạy cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ phương pháp dạy
học toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Yên Mỹ – Hưng Yên đã giúp
em hoàn thành khoá luận này!

Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh Viên
Đặng Thị Hương

Đặng Thị Hương - K29H Toán

Mục lục
Phần mở đầu......................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................5
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................. 6
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................6
Phần nội dung....................................................................................................7
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn..................................................7
A - cơ sở lý luận................................................................................................7
1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học.................................................7
1.1. Tại sao phải đổi mới phương pháp dạy học...........................................7
1.2. Định hướng đổi mới là gì?..................................................................... 8
2. Chủ đề vectơ..............................................................................................10
3. Dạy học quy tắc phương pháp...................................................................11
3.1. Dạy học thuật giải và những quy tắc dựa thuật giải............................12
B. Cơ sở thực tiễn..........................................................................................14
Đ1 Yêu cầu và nội dung cơ bản chương vectơ........................................14
trong sách giáo khoa hình học 10 nâng cao.................................................14
1. Nội dung cơ bản........................................................................................ 14
1.1 Các định nghĩa...................................................................................... 14
1.2. Tổng của hai vectơ............................................................................... 16
1.3. Hiệu của hai vectơ................................................................................17
1.4. Tích của một vectơ với một số..............................................................18
1.5. Trục toạ độ và hệ trục toạ độ............................................................... 21
2. Yêu cầu dạy học chương vectơ trong hình học lớp 10 nâng cao.................23
2.1. Các định nghĩa..................................................................................... 23

Đặng Thị Hương - K29H Toán
2.2. Tổng và hiệu hai vectơ......................................................................... 23
2.3. Tích của vectơ với một số.....................................................................23
2.4. Trục toạ độ........................................................................................... 24
2.5. Hệ trục toạ độ trong mặt phẳng........................................................... 25
Đ2: Tìm hiểu thực trạng dạy học quy tắc, phương pháp qua chủ đề vectơ
ở lớp 10A4, 10A5 trường trung học phổ thông Yên Mỹ - Hưng Yên.......25
I. Điều tra.........................................................................................................25
1. Mục đích điều tra.................................................................................... 25
2. Cách làm..................................................................................................26
3. Nội dung phiếu điều tra và câu hỏi phỏng vấn giáo viên........................26
4. Kết quả điều tra.......................................................................................28
II. Thực trạng...................................................................................................29
III. Nguyên nhân..............................................................................................30
Chương 2: Các biện pháp sư phạm............................................................. 32
2.1. Quy trình dạy học quy tắc, phương pháp theo tinh thần của định hướng đổi
mới 32
2.2. Các quy tắc, thuật giải được nêu ra hoặc ẩn tàng trong sách giáo khoa
hình học nâng cao lớp 10.............................................................................32
2.3. Vận dụng định hướng đổi mới vào dạy học quy tắc, phương pháp qua
chủ đề vectơ.................................................................................................35



Quy tắc dựng hiệu 2 vectơ a
−b



đã được nêu tường minh trong SGKHH

nâng cao lớp 10 trang 16 sau khi dạy xong khái niệm hiệu của 2 vectơ.....43
2.4. Các biện pháp dạy học quy tắc, phương pháp với chủ đề vectơ..........59
Kết luận...........................................................................................................61
Tài liệu tham khảo...........................................................................................62


Đặng Thị Hương - K29H Toán

Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Năm học 2006 - 2007 là năm học mà sách giáo khoa lớp 10 với chương
trình phân ban được đưa vào sử dụng. Sự thay đổi sách giáo khoa cùng với sự
khác biệt giữa chương trình ban cơ bản và ban nâng cao đã tạo ra những khó
khăn đối với học sinh lớp 10 và giáo viên giảng dạy môn toán lớp 10.
Qua qua trình thực tập giảng dạy và chủ nhiệm lớp 10 tôi đã thấy nhận
thấy được những khó khăn đó.
Mặt khác vectơ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn
toán không chỉ ở phổ thông mà còn ở bậc đại học cao đẳng. Vectơ có nhiều
ứng dụng trong các môn học như vật lý, các liên môn khác, các ngành khoa
học…Việc nắm vững kiến thức về vectơ và vận dụng phương pháp vectơ vào
giải toán làm cho việc giải toán dễ dàng hơn, hiệu quả hơn.
Chính sự quan trọng đó của vectơ và những khó khăn gặp phải của các
em học sinh và giáo viên lớp 10 đã thúc đẩy tôi thực hiện đề tài: “Vận dụng
định hướng đổi mới vào dạy học quy tắc, phương pháp qua chủ đề vectơ”
Đề tài nhằm giảm bớt những khó khăn cho học sinh và phát huy hơn
nữa tính tích cực chủ động của học sinh trong học tập, góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học nội dung vectơ trong hình học lớp 10.

2. Mục đích nghiên cứu
Từ việc nghiên cứu định hướng đổi mới phương pháp dạy học theo
quan điểm hoạt động và thực tế dạy học quy tắc, phương pháp ở chủ đề vectơ
mà đưa ra các biên pháp sư phạm theo tinh thần của định hướng đổi mới và
dạy học quy tắc, phương pháp ở chủ đề vectơ.


Đặng Thị Hương - K29H Toán
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tổng quan về định hướng đổi mới phương pháp dạy học
• Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy quy tắc, phương pháp ở chủ đề vectơ khi thay
đổi sách giáo khoa
• Trên cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn dạy học quy tắc, phương pháp ở chủ đề
vectơ mà đề ra các biện pháp sư phạm hợp lý theo tinh thần của định
hướng đổi mới phương pháp dạy học.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu tư tưởng chủ đạo của định hướng đổi mới và nghiên cứu
tình huống dạy học quy tắc, phương pháp ở chủ đề vectơ, nghiên cứu sách
giáo khoa, sách giáo viên hình học lớp 10 nâng cao, sách giáo trình phương
pháp dạy học môn toán…
4.2. Điều tra
Điều tra bằng cách phát phiếu điều tra cho học sinh khối 10, trao đổi
với giáo viên dạy học môn toán lớp 10 về cách dạy và học quy tắc, phương
pháp ở chủ đề vectơ.
4.3. Tổng kết kinh nghiệm
Trên cơ sở phân tích tình hình thực tế, thu thập xử lý các thông tin, các
ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo dạy học môn toán lớp 10 và tổng kết các
tài liệu nghiên cứu liên quan. Từ đó có một số đề xuất dạy học quy tắc,
phương pháp ở chủ đề vectơ.

Đặng Thị Hương - K29H Toán

Phần nội dung
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
A - Cơ sở lý luận
1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
1.1. Tại sao phải đổi mới phương pháp dạy học
Nền giáo dục nước ta đang dần dần đổi mới về tất cả các mặt: mục tiêu
dạy học, nội dung dạy học và phương pháp giảng dạy ở tất cả các cấp học từ
tiểu học đến phổ thông. Một thực tế thể hiện sự đổi mới đó là việc từng bước
thay đổi sách giáo khoa từ lớp 1 đến lớp 12. Năm học 2006 - 2007 đã thay đổi
sách giáo khoa lớp 10 theo hướng phân ban. Sự thay đổi về sách giáo khoa
chính là sự thay đổi về nội dung dạy học. Tư tưởng của việc thay đổi sách
giáo khoa là nhằm hướng cho học sinh học tập tích cực, phát huy tính chủ
động sáng tạo. Sự thay đổi về nội dung dạy học đó dẫn đến đòi hỏi phải đổi
mới phương pháp giảng dạy.
Mặt khác, một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng ta là
phương pháp dạy học. Phần lớn kiển thầy giảng trò ghi, thầy đọc trò chép, vai
trò của học sinh có phần thụ động. Phương pháp dạy học đó làm cho học sinh
có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ, thiếu sáng tạo kèm theo thói quen học
lệch, học tủ, học để đi thi. Những thói quen đó của học sinh sẽ theo học sinh
đến khi trở thành một người lao động của xã hội. Và một mâu thuẫn giữa yêu
cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp hoá - hiện đại hóa với
thực trạng lạc hậu của phương pháp dạy học đã làm nảy sinh và thúc đẩy một
cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp, bậc giáo dục và
đào tạo từ một số năm nay với tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiề

Đặng Thị Hương - K29H Toán
hình thức khác nhau như: “phát huy tính tích cực”, “hoạt động hoá người
học”…
1.2. Định hướng đổi mới là gì?
1.2.1. Cơ sở khoa học của định hướng đổi mới
Việc dạy học môn toán ngoài việc cung cấp kiến thức, kỹ năng cho học
sinh còn góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành
các phẩm chất và phong cách lao động cho học sinh trong tương lai. Do vậy
phương pháp dạy học của giáo viên không chỉ dạy học sinh kiến tạo được một
số tri thức toán học mà còn giúp học sinh nắm được phương thức tư duy và
hoạt động tư duy đặc trưng cho khoa học này vận dụng vào đời sống. Để làm
được điều đó thì chúng ta phải không ngừng đổi mới phương pháp dạy học
theo định hướng nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Có thể
gọi là định hướng học tập trong hoạt động và bằng hoạt động hay gọn hơn là
hoạt động hoá người học.
Điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác những hoạt động
tiềm tàng trong mỗi nội dung làm cơ sở cho việc tổ chức quá trình dạy học đạt
được mục tiêu đặt ra. Quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động
và giao lưu của học sinh nhằm đạt được các mục tiêu dạy học. Đây là quá
trình điều khiển con người chứ không phải điều khiển máy móc vì vậy cần
quan tâm đến cả những yếu tố tâm lý như học sinh có sẵn sàng, có hứng thú
thực hiện hoạt động này, hoạt động khác hay không?
Xuất phát từ việc nghiên cứu những thành phần tâm lý cơ bản của hoạt
động (Clau β 1978, tr.525 và Lompscher 1981, tr.29) đối chiếu với
những kinh nghiệm rút ra từ thực tiễn dạy học có thể phân tích nội dung dạy
học theo quan điểm hoạt động như sau làm cơ sở cho việc xác định phương
pháp dạy học.


Đặng Thị Hương - K29H Toán

Chúng ta đã biết mối liên hệ giữa nội dung dạy học và hoạt động, với
mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định mà ta có thể
khai thác để tổ chức quá trình dạy học một cách hiệu quả. Những hoạt động
như vậy được coi là tương thích với nội dung cho trước. Xuất phát từ một nội
dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung đó
rồi căn cứ vào mục tiêu dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số
hoạt động đã phát hiện được. Việc phân tách một hoạt động thành các hoạt
động thành phần cũng giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động
với độ phức hợp vừa sức với các em.
Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một
cách tự giác và tích cực. Vì vây cần cố gắng gợi động cơ để học sinh ý thức rõ
vì sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác.
Việc thực hiện hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất đinh,
đặc biệt là chi thức phương pháp. Những tri thức như thế có khi lại là kết quả
của một quá trình hoạt động.
Trong hoạt động kết quả đạt được ở một mức độ nào đó có thể lại là
tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phải phân bậc hoạt
động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy
học.
1.2.2. Những tư tưởng chủ đạo của định hướng đổi mới theo quan điểm hoạt
động
Xuất phát từ cơ sở khoa học của định hướng đổi mới theo quan điểm
hoạt động trong phương pháp dạy học dẫn tới các tư tưởng sau:
• Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành
phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học.
• Gợi động cơ cho các hoạt động học tập.


Đặng Thị Hương - K29H Toán
• Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như

phương tiện và kết quả của hoạt động.
• Phận bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.
Những tư tưởng chủ đạo này giúp thầy giáo điều khiển quá trình học
tập của học sinh. Muốn điều khiển phải đo những đại lượng ra, so sánh với
mẫu yêu cầu và khi cần thiết thì phải có sự điều chỉnh. Trong dạy học việc đo
và so sánh này căn cứ vào những hoạt động của học sinh. Việc điều chỉnh
được thực hiện nhờ tri thức trong đó có tri thức phương pháp và dựa vào sự
phân bậc hoạt động.
Những tư tưởng này chú ý đến mục tiêu, động cơ, đến tri thức phương
pháp, đến trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo được tính tự giác, tích
cực, chủ động, sáng tạo của hoạt động, một yếu tố không thể thiếu của sự phát
triển nói chung và của hoạt động học tập nói riêng.
Những tư tưởng đó cũng thể hiện tính toàn diện của mục tiêu dạy học.
Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái độ
cũng là nhằm giúp học sinh hoạt động trong học tập cũng như trong đời sống.
Những tư tưởng chủ đạo trên hướng vào việc tập luyện cho học sinh
những hoạt động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, kiến tạo tri
thức mà đặc biệt là tri thức phương pháp, phân bậc hoạt động.
2. Chủ đề vectơ
Vectơ là một nội dung quan trọng trong môn toán bởi vectơ có nhiều
ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật; phương pháp cho phép tiếp cận những kiến
thức toán học phổ thông một cách gọn gàng và sáng sủa. Mặt khác từ vectơ có
thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạ độ theo tinh thần toán học
hiện đại…


Đặng Thị Hương - K29H Toán
Chính vì vectơ có cai trò quan trọng như trên nên khi thay đổi sách giáo
khoa thì vectơ vẫn là nội dung được coi trọng.
Theo sách giáo khoa cũ thì chỉ đơn thuần là một tài liệu dùng cho giáo

viên. Nội dung các tiết dạy thường được viết cô đọng. Đầu tiên là nêu định
nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các
định lí và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán. Mà sách giáo
khoa mới phải là tài liệu dùng cho cả giáo viên và học sinh. Sách giáo khoa
phải trình bày và hướng dẫn để nếu không có thầy giáo học sinh cũng có thể
tự học được. Đối với các em học sinh mới vào lớp 10, các em còn gặp khó
khăn khi chuyển cấp và nhất là môn hình học với chương vectơ đầu tiên,
vectơ là một chủ đề hoàn toàn mới đối với các em ngay từ khái niệm vectơ ,
khái niệm tổng của 2 vectơ…khi tiếp xúc với những khái niệm mới đó các em
rất khó tưởng tưởng nếu không có cách dẫn dắt và phương pháp dạy học có
phương tiện trực quan. Sách giáo khoa cũ trình bày các kiến thức một cách áp
đặt khiến cho học sinh khó lĩnh hội các kiến thức về vectơ. Giáo viên lại quen
với cách dạy theo chương trình sách giáo khoa cũ mà các khái niệm về vectơ
rất khó để học sinh tiếp thu. Sách giáo khoa mới thì viết rất chi tiết và có liên
hệ với thực tế trong chủ đề vectơ. Chính vì vậy mà tôi đã chọn chủ đề vectơ
để nghiên cứu phương pháp dạy học quy tắc phương pháp.
3. Dạy học quy tắc phương pháp
Thực ra những quy tắc phương pháp không hoàn toàn độc lập với định
nghĩa và định lý. Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa,
định lý, có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay
định lý. Tuy nhiên việc dạy học loại hình tri thức này có những nét riêng.


Đặng Thị Hương - K29H Toán
3.1. Dạy học thuật giải và những quy tắc dựa thuật giải
3.1.1. Khái niệm thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy những chỉ dẫn,
được thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau một số hữu hạn bước, nhằm
biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thông tin ra, mô tả lời giải của lớp
bài toán đó.

Trong quá trình dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa
mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các
đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán.
Đó là những quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn các chỉ
dẫn được thực hiện theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào
của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó.
3.1.2. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
Trong dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có một số điều
lưu ý sau:
• Nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc tạo điều kiện
thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các
bước của quy tắc đó.
• Cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán,
trong một thời gian thích đáng.
• Tập luyện cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật giải hoặc
trong quy tắc tựa thuật giải.
• Giúp học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản
là để quyết định trình tự các bước.
• Cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.


Đặng Thị Hương - K29H Toán
3.2. Những quy tắc, phương pháp tìm đoán
3.2.1. Khái niệm quy tắc, phương pháp tìm đoán
Cùng với những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải ta không được lãng
quên một số quy tắc, phương pháp có tính chất tìm đoán như quy lạ về quen,
khái quát hóa, tương tự hoá, phương pháp tìm lời giải của bài toán…
Hiện nay những quy tắc phương pháp như vậy thường không phải là
đối tượng dạy học tường minh trong nhà trường phổ thông. Trong điều kiện
đó những quy tắc, phương pháp này thường được thực hiện theo hai con

đường tuỳ từng trường hợp cụ thể:
• Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.
• Tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc,
phương pháp mà ta mong muốn thực hiện.
3.2.2. Hai con đường dạy học quy tắc, phương pháp
3.2.2.1. Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động
Đối với một số tri thức, phương pháp chưa được quy định trong chương
trình ta vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình học
sinh hoạt động. Nếu những tiêu chuẩn sao đây thoả mãn:
• Những tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số
hoạt động quan trọng nào đó trong chương trình đã quy định.
• Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian.
3.2.2.2. Tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc,
phương pháp mà ta mong muốn.
Cách làm này tuỳ theo yêu cầu có thể được sử dụng cả trong hai trường
hợp: tri thức được quy định hoặc không quy định trong chương trình.
ở trình độ thấp ngay đối với một số quy tắc, phương pháp được quy
định trong chương trình, nhiều khi người ta không yêu cầu dạy cho học sinh


Đặng Thị Hương - K29H Toán
phát biểu tổng quát mà chỉ cần họ biết cách thức thực hành quy tắc, phương
pháp đó nhờ một quá trình làm việc theo mẫu.
Đối với những tri thức phương pháp không quy định trong chương trình
mà chỉ thoả mãn tiêu chuẩn thứ nhất mà chỉ thoả mãn tiêu chuẩn thứ hai quy
định mục 3.2.2.1 thì ta có thể đề cập ở mức độ thấp nhất chỉ tập luyện những
hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp đó. Những tri thức như
vậy cần được giáo viên vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập,
trong hướng dẫn và bình luận hoạt động của học sinh. Nhờ đó học sinh được
làm quen với những phương pháp này.

Trong trường hợp những phương pháp này không được quy định tường
minh trong chương trình, người thầy giáo cần nghiên cứu, nắm bắt tinh thần
chung của chương trình và sách giáo khoa để tự mình quyết định mức độ
hoàn chỉnh, mức độ tường minh của những tri thức phương pháp cần dạy và
mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành những tri thức phương pháp đó.
B. Cơ sở thực tiễn
Đ1 Yêu cầu và nội dung cơ bản chương vectơ
trong sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
1. Nội dung cơ bản
1.1 Các định nghĩa
1.1.1 Vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng định hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của
đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.


Đặng Thị Hương - K29H Toán
Kí hiệu: Nếu vectơ có điểm đầu là điểm m và điểm cuối là N thì ta kí

hiệu vectơ đó là MN . Cũng có khi kí hiệu một vectơ xác định nào đó bằng
   
một chữ in thường với mũi tên ở trên: a, b, x, y...
Vectơ-không: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ
không. Ví dụ vectơ
là vectơ-không.
MM
1.1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
• Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có
giá song song hoặc trùng nhau. Vectơ-không cùng phương với mọi vectơ.
• Hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng, hoặc chúng ngược
hướng.

Chú ý: Ta quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
1.1.3. Hai vectơ bằng nhau
• Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm


cuối của vectơ đó. Độ dài vectơ a kí hiệu là a .


 
Vectơ AB, PQ,...có độ dài
AB

= AB = PQ = PQ = QP,...
BA ,

• Vectơ-không có độ dài bằng 0
• Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng
 


hướng và cùng độ dài. Nếu hai vectơ a và b bằng nhau thì ta viết a = b .
Chú ý: Theo định nghĩa trên các vectơ-không đều bằng nhau:
  

AA = BB = PP = ... nên kí hiệu vectơ-không là: 0


 AB
 
 


↑↑ C
D
AB = CD ⇔ ⇔ AC = BD

 


= CD
 AB


 AB


↑↓ CD
AB = −CD ⇔   
= CD
 AB


Đặng Thị Hương - K29H Toán
1.1.4. Các dạng bài tập
• Bài tập vận dụng, củng cố các khái niệm đã học ở trên.
• Bài tập chứng minh hai vectơ bằng nhau hay chỉ ra được hai vectơ bằng nhau.

• Dạng bài tập khi cho trước một điểm A và vectơ a , dựng được điểm
 
B sao cho AB = a .
1.2. Tổng của hai vectơ

1.2.1 Khái niệm tổng của hai vectơ


Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B
   


và C sao cho AB = a , BC = b . Khi được gọi là tổng của hai vectơ a
đó AC

và b . Kí hiệu
  
AC = a + b
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ


a


a


b


B

A

1.2.2. Các tính chất của phép cộng vectơ

   
• Tính chất giao hoán: a + b = b + a ;
   
 
• Tính chất kết hợp: a + b + c = a + b + c ;
  
• Tính chất của vectơ-không: a + 0 = a.

(

)
)

(

1.2.3. Các quy tắc cần nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta suy ra hai quy tắc sau:


b

C


Khoá luận tốt nghiệp
Đặng Thị Hương - K29H Toán
  
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ M, N, P ta có MN + NP
= MP .
N

M
P
• Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì ta có:
  
OA + OC = OB
O
A
C

B

  
Ghi nhớ: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA + MB
= 0.
   
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0
1.3. Hiệu của hai vectơ



là vectơ• Vectơ đối của một vectơ: Nếu tổng của hai vectơ a và
b



không thì ta nói a là vectơ đối của b hoặc ngược lại. Vectơ đối của a được



 


−a . Như a + −a = −a + a = 0 .
vậy



Vectơ đối của a là vectơ ngược hướng với
và cùng độ dài với a .
a


Đặc biệt, vectơ đối của 0 là vectơ 0 .


 
• Hiệu của hai vectơ: Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a − là tổng
là
b,

  


của a và vectơ đối của b , tức a − b = a + −b . Phép lấy hiệu của
là
hai vectơ
kí hiệu là

( ) (
)

(


Khoá luận tốt nghiệp
gọi là phép trừ vectơ.

b


a


a

A

 
a− b

17
O
b



B


Đặng Thị Hương - K29H Toán

 là một vectơ đã cho thì với điểm O
• Quy tắc về hiệu hai vectơ: Nếu
MN
  
bất kỳ ta có: MN = ON − OM
1.4. Tích của một vectơ với một số
1.4.1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số


Tích của
với số thực k là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định
a
như sau:




1. Nếu k ≥ 0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a ;


nếu k < 0 thì vectơ ka ngược hướng với vectơ a ;


a.
2. Độ dài vectơ ka bằng
k
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ

với số (hoặc phép nhân số với vectơ).
1.4.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

 
Với hai vectơ bất kỳ a , và mọi số thực k,l ta có:
b



( )  = (kl )a ;

1. k la

2. ( k + l ) a = ka + la ;
 


 

20






(

3. k a
+ b

) = ka

(

k a− b

+ kb;
 
4. ka = 0 khi và chỉ k = 0
khi
hoặc
Chú ý:

21

) = ka − kb;




a = 0.


Đặng Thị Hương - K29H Toán
 có: (−k ) a =
• Do tính chất 1. ở trên, ta

( )

= ( −1) ka
cả hai vectơ ( −k và

)a

(−1⋅ k )a

nên

( )

= − ka

đều có thể viết đơn giản là

( )


−ka .

− ka


m
ma
a

1
• Ve có thể viết là
, chẳng hạn a viết là .
ctơ
3
n

3
a
n
1.4.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

  
• Vectơ b cùng phương vectơ a a ≠ 0 khi và chỉ khi có số k sao
cho


b = ka .

(

• Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân


biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho AB = k AC .
• Ta gọi H, O , G lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC thì ta có đường thẳng đi qua ba điểm H, O , G là
đường thẳng ơle của tam giác ABC.
1.4.4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương



Định lý: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ đều
x


có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy




nhất cặp số m và n sao cho vectơ x = ma + nb .


• Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng Và khi và chỉ khi với điểm O
b
a
 1  
bất kỳ, ta có: OI = OA + OB .
2

(


có:

• Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, ta
 1   
OG =
OA + OB + OC .
3

(

1.4.5. Dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ
Phương pháp giải: Ta đi từ một vế sang vế hai bằng cách dùng:

Đặng Thị Hương - K29H Toán
∗ Quy tắc ba điểm hay quy tắc hình bình hành
 

∗ Hệ thức trung điểm MA + MB = 2MO (với O là trung
điểm của
đoạn thẳng AB).
   
(với G là trọng tâm của
∗ Hệ thức trọng tâm GA + GB
+ GC = 0
tam giác ABC).
Dạng 2: Tính một vectơ theo hai vectơ khác
Phương pháp


∗ Vận dụng định lý sau: Cho hai vectơ không cùng phương a và


b . Khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai
x


vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho vectơ



x = ma + nb .
∗ Ta thường dùng quy tắc phân tích vectơ bằng quy tắc ba điểm

 

hoặc quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm MA + MB = 2MO
(với O
là trung điểm của đoạn thẳng AB).
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng


Phương pháp: A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = kAC k∈
(với
)
Dạng 4: Dựng một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Phương pháp: Biến đổi đẳng thức vectơ để:
∗ Đưa về dạng:
định).

 
OM = v (với
vectơ


v là vectơ hằng, O là điểm cố

  
∗ Đưa về dạng: 2OM = OA + OB (với A, B là hai điểm cố định,
M
là trung điểm của AB).


∗ Dùng quy tắc ba điểm (hình bình hành). Chú ý trọng tâm tam giác

Dạng 5: Tìm tập hợp các điểm thoả mãn một hệt thức, một tính chất
Phương pháp