SKKN PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

“PHÂN

DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC,
DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ’’
A- ĐẶT VẤN ĐỀ

1/.Lí do chọn đề tài:
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ
thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở
trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.
Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm liền và
khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò
vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các
em lại sợ làm không được. Để các em không sợ các dạng toán như chứng minh
đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số
cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.Tôi muốn đưa ra một số kinh
nghiệm giúp học trò không còn sai sót và sợ dạng toán đó nữa nên tôi đã nghiên
cứu đề tài: “PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHAP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ
THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ”.
2/.Đối tượng, phương pháp nghiên cứu:
-Nhằm nắm lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo
dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I .
-Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp
-Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
-Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh
từ đầu năm học đến kết quả giữa học kì một.
-Học sinh có học lực khá, giỏi.
-Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới
3/.Đề tài đưa ra giải pháp mới:
-Phát huy tính tích cực, độc lập hoạt động của học sinh trong tiết học.

-Phát huy tính sáng tạo, khả năng suy luận và phán đoán của học sinh trong quá
trình giải bài tập Toán.
- Trình bày bài giải một cách logic, có thể giải bài toán bằng nhiều cách.
-Giáo dục tính cẩn thận của học sinh.
-Thu hút sự chú ý của học sinh
4/.Hiệu quả áp dụng:
Qua việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi nhận thấy từ đầu năm học
đến giờ tinh thần học tập của các em được nâng cao, các em hứng thú học hơn,
tiếp thu tốt, kết quả học tập của học sinh được nâng lên. Không những các em lĩnh
hội kiến thức về giải toán về tỉ lệ thức và tính chất về dãy tỉ số bằng nhau mà các
em còn vận dụng vào việc giải quyết các vấn đề khác của Toán học cấp II như: Hai
đại lượng tỉ lệ thuận, Hai đại lượng tỉ lệ nghịch,…
5/.Phạm vi áp dụng:
Đề tài được áp dụng cho tất cả các học sinh lớp 7 và các học sinh có học lực
khá, giỏi ở khối lớp 7 trong trường Trung học cơ sở. Nhưng cụ thể hơn là học sinh
lớp7tôi giảng dạy được áp dụng, theo dõi và so sánh kết quả cụ thể
1


B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/.Cơ sở lý luận:
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị
quyết Trung ương 4 khoá VII(1-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (121996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ
thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999). Luật giáo dục, điều
28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
học tập cho học sinh”. Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn
phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập.Bài tập Toán

nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập,
có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động. Bài tập toán nhằm phát triển
năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành
những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy
và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu . tìm
tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được.
Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo
viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu
ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt
học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết.
Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học
Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.
Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp
học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản.
Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên
phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó rút ra
những kiến thức cần nhớ.
II/.Cơ sở thực tiễn:
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học
sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.
Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ
bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán
đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người
thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu
rộng, giúp học sinh :
- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát
- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể

- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau
- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.
2


Vi mt s lao ng nghiờm tỳc tụi xin trỡnh by mt phn nho kinh nghim
son bi ca mỡnh nhm giỳp hc sinh rốn k nng gii dng toỏn vn dng tớnh
cht ca t l thc v dóy t s bng nhau trong i s 7.
Bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ
số bàng nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng,
cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 89)..vv.
Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh
lớp 7B, 7D (lớp tội trực tiếp giảng dạy) ra đề bài một số dạng toán
về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bng
nhau và thấy kết quả nh sau:
Lp
7A
7B
7D

S
s
30
30
30

S hc sinh gii c
7 (22,5%)
5 (17,1%)

6(20%)

S hc sinh khụng gii
c
24 (77,5%)
25(82,9%)
24 (80%)

Đây là một két quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và
băn khoăn. chính vì thế nên tôi đã đisâu vào nghiên cứu đề tài
này nhằm tìm ra một số phơng pháp giải để giúp học sinh biết
vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giảI bài tập về tỷ lệ thức.
III - Giới hạn đề tài:
Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính
chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chơng trình toán học ở lớp 7
THCS.
Vì điều kiện về thời gian cũng nh trình độ kiến thức còn
hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau:
1-Lý thuyết:
+ Định nghĩa về tỷ lệ thức.
+ Tính chất của tỷ lệ thức.
+ Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau.
+ Các kiến thức liên quan.
2-Các dạng toán:
a, liệt kê các tỷ lệ thức từ các phân tử (Nếu có thể).
b, Cho một tỷ lệ thức, hay suy ra các tỷ lệ thức khác.
c, Tìm các số cha biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng
thức.
d, Các bài toán thực tế trong đời sống con ngời liên quan đến tỷ
lệ thức.

3- Phơng pháp nghiên cứu:
- Đọc các tài liệu tham khảo.
- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
4- Thời gian nghiên cứu:
3


Tõ th¸ng 1 n¨m 2015 ®Õn hÕt th¸ng 9 n¨m 2016.

C. NỘI DUNG:
I. Kiến thức
1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c
=
b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ.
b) Tính chất
+ Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu

a c
= thì ad = bc
b d

+ Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b

= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c a−c
( b ≠ ±d )
= ta suy ra = =
=
b d
b d b+d b−d
a c e
+ Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = f
a c e
a+c+e
a−c+e
ta suy ra b = d = f = b + d + f = b − d + f = ....

+ Từ tỉ lệ thức

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3) Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số

a b c
= = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
2 3 5

a:b:c = 2:3:5.

+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
2

2

a c
a
c
ka k c
a  c  a c
= suy ra  ÷ =  ÷ = . ; k . = k . ( k ≠ 0 ) ; 1 = 2 (k1 , k 2 ≠ 0)
b d
b
d
k1b k2 d
b d  b d
3

3
3
2
a c e


a
c
e
a
c
e

a
c e






từ b = d = f suy ra  ÷ =  ÷ =  ÷ = × × ;  ÷ = ×
d f
b d   f  b d f b

II. Một số dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

a c
b.c
a.d
a.d
= ⇒ a.d = b.c ⇒ a =
;b =
;c =
b d
d
c
b

4


Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
⇒ x. ( 9,36 ) = 0.52.16,38
−0,52.16,38
⇒x=
= 0,91
−9,36

* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ
khó hơn như sau :
 
a)  x ÷: = 1 :
4 5
3  3
1

2

1
5

3 2

2

3

b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13)
x
−60
=
−15
x
x
−60
=
−15
x
Giải : ⇒ x.x = ( −15) . ( −60 )
⇒ x 2 = 900
⇒ x 2 = 302

Suy ra x = 30 hoặc x =-30
* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
x − 1 −60 x − 1
9
=
=
;
−15 x − 1 7
x +1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

Cách 1: ta có:

x−3 5
=
5− x 7

x −3 5
= ⇒ ( x − 3) .7 = ( 5 − x ) .5 ⇒ 7 x − 21 = 25 − 5 x
5− x 7

⇒ 12 x = 46 ⇒ x = 3

Cách 2: từ

5
6

x−3 5
x −3 5− x
= ⇒
=
5− x 7
5
7

Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x −3 5− x x −3+5− x 2 1
=
=
= =

5
7
5+7
12 6
x −3 1
⇒
= ⇒ 6 ( x − 3) = 5
5
6
5
5
⇒ x−3= ⇒ x = 3
6
6

5


Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x−2 x+4
=
x −1 x + 7

⇒ ( x − 2 ) ( x + 7 ) = ( x + 4 ) ( x − 1)
⇒ x 2 + 7 x − 2 x − 14 = x 2 − x + 4 x − 4
⇒ 5 x − 14 = 3 x − 4
⇒ 5 x − 3x = −4 + 14 ⇒ 2 x = 10 ⇒ x = 5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của

dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:
x y z
= = =k
- Cách 1: đặt a b c
thay vào (2)
⇒ x = k .a; y = k .b; z = k .c

Ta có k.a + k.b + k.c = d
d
a+b+c
a.d
bd
cd
;y=
;z =
Từ đó tìm được x =
a+b+c
a+b+c
a+b+c
⇒ k ( a + b + c) = d ⇒ k =

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x+ y+z
d
= = =
=
a b c a+b+c a+b+c
a.d
b.d
c.d
⇒x=
;y=
;z =
a+b+c
a+b+c
a+b+c

b)Khai thác.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* k1 x + k2 y + k3 z = e
* k1 x 2 + k2 y 2 + k3 z 2 = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
•

x
y y
z
= ; =
a1 a2 a3 a4

• a2 x = a1 y; a4 y = a3 z
• b1 x = b2 y = b3 z
•

b1 x − b3 z b2 y − b1 x b3 z − b2 y
=
=
a
b
c
6


x − b1 y2 − b2 z3 − b3
=
=
a1
a2
a3

•

+Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bài tập 1 : Tìm hai số x và y biết

x y
= và x + y = 20.
2 3

Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt

x y
= = k , suy ra: x = 2k, y = 3k
2 3

Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
x y x + y 20
= =
=
=4
2 3 2+3 5

Do đó: x = 8 và y = 12
Cách 3: Phương pháp thế
x y
2y
= ⇒x=
2 3
3

mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12
Do đó: x = 8
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x +y + z = 27

2 3 4

Giải:
- Cách 1.
x y z
= = = k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = 4k
2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k + 3k + 4k = 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ k = 3

Đặt

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x + y + z 27
= = =
=
=3
2 3 4 2+3+ 4 9
⇒ x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
x y z
= = và 2x + 3y – 5z = -21
2 3 4
x y z
- Cách 1: Đặt = = =k
2 3 4
x y z
2 x 3 y 5z

=
=
- Cách 2: Từ = = suy ra
2 3 4
4
9 20

Bài tập 3: Tìm 3 số x,y,z biết
Giải:

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y 5 z 2 x + 3 y − 5 z −21
=
=
=
=
=3
4
9 20
4 + 9 − 20
−7
⇒ x = 6; y = 9; z = 12
x y z
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết = = và 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 = −405
2 3 4
7


Giải:

x y z
= = =k
2 3 4
x y z
Cách 2: từ = =
2 3 4

- Cách 1: Đặt
-

suy ra
x2 y 2 z 2
=
=
4
9
16
2 x2 3 y2 5z2
⇒
=
=
8
27
90

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 −405
=
=

=
=
=9
8
27
90
8 + 27 − 90
−45

Suy ra

x2
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
4
y2
= 9 ⇒ y 2 = 81 ⇒ y = ±9
9
z2
= 9 ⇒ z 2 = 144 ⇒ z = ±12
16

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x.y.z = 648
2 3 4

Giải:
x y z

= = =k
2 3 4
x y z
Cách 2: Từ = =
2 3 4
3
x y z xyz 648
x
⇒ ÷ = × × =
=
= 27
24
 2  2 3 4 24
x3
⇒
= 27 ⇒ x 3 = 216 ⇒ x = 6
8

- Cách 1: Đặt
-

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
x
=
6
x y
x
Giải: từ 6 = 9 ⇒ 2 =

Bài tập 6. Tìm x,y, z biết

z
2

x
2

Từ x = ⇒ =

y
z
; x = và x +y +z = 27
9
2
y
3

z
suy ra
4

x y z
= =
2 3 4

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2.
Bài tập 7. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
x y
2 3
x z

Từ 4 x = 2 z ⇒ =
2 4

Giải: Từ 3x = 2 y ⇒ =

8


Suy ra

x y z
= = sau đó giải như bài tập 2
2 3 4

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z ⇒

6 x 4 y 3z
x y z
=
=
⇒ = =
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp như bài tập 3
Bài tập 9: Tìm x, y, z biết

6 x − 3z 4 y − 6 x 3 z − 4 y
=

=
và 2x +3y -5z = -21
5
7
9

Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

6 x − 3z 4 y − 3z 3z − 6 x 6 x − 3 z + 4 y − 3 z + 3 z − 6 x
=
=
=
=0
5
7
9
5+7 −9

⇒ 6 x = 3z; 4 y = 3z;3 z = 6 x

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8
Bài tập 10: Tìm x,y,z biết

x − 4 y −6 z −8
=
=
và x +y +z =27
2
3
4

Giải:
- Cách 1: Đặt

x − 4 y −6 z −8
=
=
=k
2
3
4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x − 4 y −6 z −8
=
=
2
3
4
x − 4 + y − 6 + z − 8 x + y + z − 18 27 − 18
=
=
=
=1
2+ 3+ 4
9
9
x−4
=1⇒ x = 6
2

y −6
=1⇒ y = 9
3
z −8
= 1 ⇒ z = 12
4

⇒

Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp:
a
b

Để chứng minh tỷ lệ thức : =

c
Ta có các phương pháp sau :
d

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc .
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
b d

trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính

giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
9


Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.
Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
a−b c−d
=
.
a
c

Giải:

c
hãy suy ra tỷ lệ thức:
d

( a − b ) c = ac − bc(1)

- Cách 1: Xét tích a ( c − d ) = ac − ad (2)
Từ

a c
= ⇒ ad = bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt
Ta có:

a−b c−d
=
a
c

a c
= = k ⇒ a = bk , c = dk
b d

a − b bk − b b ( k − 1) k − 1
=
=
=
(1), (b ≠ 0)
a
bk
bk
k
c − d dk − d d ( k − 1) k − 1
=
=

=
(2), (d ≠ 0)
c
dk
dk
k

a−b c−d
=
a
c
a c
b d
- Cách 3: từ = ⇒ =
b d
a c
a −b a b
b
d c−d
Ta có: a = a − a = 1 − a = 1 − c = c

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

a−b c−d
=
a
c

- Cách 4: Từ

a c
a b a −b
a a −b
a −b c −d
= ⇒ = =
⇒ =
⇒
=
b d
c d c−d
c c−d
a
c

- Cách 5: từ

a c
b d
b
d
a−b c−d
= ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒
=
b d
a c
a
c
a

c
a c
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức = ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
b d
a±b c±d a+b c+d
=
;
=
b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a 2 = bc thì
10


a+b c+a
a2 + c2 c
=
;
b
)
= , (b ≠ 0)
a)
a −b c −a
b2 + a 2 b
(với a ≠ b, a ≠ c)

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo
a
b

- Cách 2: từ a 2 = bc ⇒ =

c
a

a c
= = k ⇒ a = bk , c = ak
b a
a + b bk + b b ( k + 1) k + 1
=
=
=
, ( b ≠ 0 ) (1)
Ta có:
a − b bk − b b ( k − 1) k − 1

Đặt

c + a ak + a a ( k + 1) k + 1
=
=
=
( a ≠ 0 ) , (2)
c − a ak − a a ( k − 1) k − 1
a+b c+a
=

Từ (1) và (2) suy ra:
a −b c −a

- Cách 3: Ta có

a + b a ( a + b ) a 2 + ab bc + ab
=
= 2
=
do, a 2 = bc )
(
a − b a ( a − b ) a − ab bc − ab
b ( c + a) c + a
=
=
( a, b ≠ 0 )
b ( c − a) c − a

a+b c+a
=
a −b c −b
a+b c+a
=
Ngược lại từ
ta cũng suy ra được a2 = bc
a −b c −b
a+b c+a
=
Từ đó ta có bài toán cho
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì

a −b c −b

Do đó:

từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
=

a c
a b a +b a −b
= ⇒ = =
=
b a
c a c+a c−a

⇒

a+b c+a
=
a−b c−a

b)
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
a2 + c2 c
⇒
Do đó (a + c )b = ( b + a )c b 2 + a 2 = b
2

2

2

2

a
b

- Cách 2: Từ a2 = bc ⇒ =
Đặt

c
a

a c
= = k suy ra a = bk, c = ak = bk2
b a

2 2
2
a 2 + c 2 b2k 2 + b2k 4 b k ( 1 + k )
c k 2b
2
=
=
=
k
,
b
≠

0
= k2
Ta có: 2 2
(
) =
2
2 2
2
2
b +a
b +b k
b
b
b (1+ k )

11


a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b
2
2
2
2
a c ⇒ a = c = a + c (1)
- Cách 3: từ a = bc ⇒ =
b2 a 2 b2 + a2
b a

2

a c
a2 a c c
=
⇒
= × = (2), ( a ≠ 0)
Từ
b a
b2 b a b
a2 + c2 c
Từ (1) và (2) suy ra: b2 + a 2 = b
a 2 + c 2 bc + c 2 c ( b + c ) c
- Cách 4: Ta có b2 + a 2 = b 2 + bc = b ( b + c ) = b , ( b + c ≠ 0 )
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

Giải: Từ
a1 a2
= (1)
a2 a3
a
a
a33 = a2 a4 ⇒ 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3 ⇒

a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a
=
= ⇒ 1 3 = 23 = 33 = 1 × 2 × 3 = 1 (3)
Từ (1) và (2) suy ra a2 a3 a4 a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33
=
=
=
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4
a 31 + a 32 + a 33 a1
Từ (3) và (4) suy ra: a32 + a 33 + a34 = a4

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

a1 a2 a4
 a +a +a 
a
Cho a = a = a chứng minh rằng  1 2 3 ÷ = 1
2
3
4
 a2 + a3 + a4  a4
bz − cy cx − az ay − bx

=
=
Bài tập 4: Biết
a
b
c
x y z
Chứng minh rằng = =
a b c
bz − cy cx − az ay − bx abz − acy bcx − baz cay − cbx
=
=
=
=
=
Giải: Ta có
a
b
c
a2
b2
c2
abz − acy + bcx − bay + cay − cbx
=
=0
a 2 + b2 + c2
abz − acy
y z
⇒
= 0 ⇒ abz = acy ⇒ bz = cy ⇒ = (1)

2
a
b c
12


bcx − baz
z x
= 0 ⇒ bcx = baz ⇒ cx = az ⇒ = (2)
2
b
c a
x y z
Từ (1) và (2) suy ra: = =
a b c
x
y
z
=
=
Bài tập 5: Cho
. Chứng minh rằng
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
a
b
c
=
=
(với abc ≠ 0 và các mẫu đều khác 0)
x + 2 y + z 2x + y + z 4x − 4 y + z

Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

x
y
z
2y
x + 2y + z
x + 2y + z
=
=
=
=
=
(1)
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c 4a + 2b − 2c a + 2b + c + 4a − 4b + c + 4a + 2b − 2c
9a
x
y
z
2x
2x + y − b
2x + y − z
=
=
=
=
=
(2)

a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c 2a + 4b + c 2a + 4b − c + 2a + b − c − (4a − 4b + c)
9b
x
y
z
4x
4y
=
=
=
=
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c 4a + 8b + 4c 8a + 4b − 4c
4x + 4 y + z
4x − 4 y + z
=
=
(3)
4a + 8b + 4c − (8a + 4b − 4c) + 4a − 4b + c
9c
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + b
=
=
Từ (1),(2),(3) suy ra
suy ra
9a
9b
9c
a
b
c

=
=
x + 2 y + z 2x + y + z 4x − 4 y + z

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1. Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1. (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

a b c
= =
2 4 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :
Suy ra

a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11

a
=2 →
a =4
2
b
=2 →
b =4
4
c
=2 →
c =10
5
13


Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được
tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì
hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)
Theo bài ra ta có
Suy ra

a b c 2a 4b c 2a + 4b − c 119

= = =
=
= =
=
=7
2 4 5 6 16 5
6 + 16 − 5
17

a
=7→a=2
3
b
= 7 → b = 28
4
c
= 7 → c = 35
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và
số thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
3
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

a 2 a 4
= ; = và a 3 + b3 + c3 = −1009
b 3 c 9

Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I, 1
5

số thóc ở kho II và

6

1
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi
11

lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
1
4
5
5
1
5
Số thóc của kho II sau khi chuyển là b − b = b
6

6
1
10
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c − c = c
11
11
4
5
10
theo bài ra ta có a = b = c và a+b+c=710
5
6
11
4
5
10
4
5
10
a=
b=
từ a = b = c ⇒
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b

c
a +b+c
710
⇒
=
=
=
=
= 10
25 24 22 25 + 24 + 22 71

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a − a = a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
14


Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m3
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5. Tính số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
Theo bài rat a có

a b b c
= ; =
1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1)
Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng

x y x. y
x y z x. y.z
= =
hay = = =
a b a.b
a b c a.b.c

Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm như sau :

x y
= và x.y=10
2 5

x y x. y 10
= =
= = 1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng như sau:
Từ

x y
x.x x. y
x 2 10
= ⇒
=
⇒
= ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 từ đó suy ra y = ±5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
x y
x2 x y
x 2 10
= ⇒ − . ⇒
= = 1 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 2 = ±2
2 5
4 2 5
4 10
x y
hoặc đặt = = x ⇒ x = 2 x, y = 5x vì xy=10 nên 2x.5x=10 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1
2 5

hoặc từ

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = và x.y.z= 648
2 3 4

H/s sai lầm như sau
x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27
2 3 4 2.3.4 24

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn HS thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị
cần tìm
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

a
b
c
=
=
.
b+c c+a a +b

15

Cách 1:Ta có

a
b
c
=
=
b+c c+a a +b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a
b
c
a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)

h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng

1
ta phải làm như sau
2

+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
a
b
c
;
;
đều bằng -1
b+c c+a a+b
a
b
c
a +b+c
1
+ Nếu a+b+c ≠ 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 ( a + b + c ) = 2

nên mỗi tỉ số

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
x+ y

y+z

z +t

t+x

Bài tập 4: Cho biểu thức P = z + t + t + x + x + y + z + y
x

y

z

t

Tính giá trị của P biết rằng y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z (1)
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

x
y
z
t
x+ y+ z +t
=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x
y
z
t
Cách 2:Từ (1) suy ra x + z + t + 1 = z + t + x + 1 = t + x + y + 1 = x + y + z + 1
x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
→
=
=
=
y + z +t

z +t + x
x + y +t
x+ y+z

Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t ≠ 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 → x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập
4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :

a +b −c b+c − a c + a −b
=
=
c
a
b
b
a
c




.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 a  c  b 
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=

=
=
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =
c+d d +a a+b b+c

1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

16


Cn lu ý rng trong mt dóy t s bng nhau nu cỏc s hng trờn bng nhau (nhng
khỏc 0) thỡ cỏc s hng di bng nhau v ngc li , nu cỏc s hng di bng
nhau thỡ cỏc s hng trờn bng nhau.
D. Kết luận
Với sự nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh. Thy trò tôi
đã thu đợc những kết quả đáng mừng.
Điều trớc tiên tôi thấy đợc là học sinh hăng say học tập trong các giờ
lên lớp cũng nh các giờ ôn luyện trong gi t chn ,bui chiu. Với học
sinh lớp 7A,7B ,7D mà tôi giảng dạy. các dạng bài toán liên quan đến
tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại i vi hc sinh.
Với đề tài này trớc hết tôi đã ra phần lý thuyết ở mỗi phần có kèm

theo ví dụ mà tôi cho là điển hình. Cơ bản nhằm giúp các em
cũng cố và nắm vững hơn về lý thuyết. Sau khi các em đã nắm
vững lý thuyết thì tôi đã ra phần bài tập vận dụng lý thuyết và
những hiểu biết đã học để làm.
Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vớng mắc nhng
với sự gợi ý của tôi hầu hết các em đều tìm ra hớng giải quyết và
làm đợc hết bài tập mà tôi đã ra. Trong đó một số em có tiến bộ rõ
rệt. Ngoài bài toán trên các em còn có su tầm thêm các bài toán liên
quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm.
Sự tiến bộ và sự đam mê của các em luôn là nguồn sức mạnh tiếp
thêm cho tôi trong công tác giảng dạy và nghiên cứu của mình.
Những thành tựu mà cô trò tôi đạt đợc làm tôi liên tởng đến lời bác
dạy Không có việc gì khó, chỉ sợ lòng không bền, đào núi và lấp
biển quyết trí ắt làm nên.
Để một làn nữa khẳng định lại kết quả mà cô trò tôi đã đạt đợc
và khép lại phần tỷ lệ thc. cũng là lúc kết thúc của đề tài. Tôi đã
tiến hành khảo sát lại và kết quả thật đáng mừng nh sau:
Lp
S s
S hc sinh t gii c
S hc sinh cha t gii
c
7A
30
24 (78,5%)
6 (21,5%)
7B
30
23 (76,1%)
7 (23,9%)

7D
30
25 (83,3%)
5 (17,7%)
Kết quả trên là sự cố gắng không ngừng của cả cô lẫn trò chúng
tôi. Với những kiến thức mà các em đã thu đợc cùng với sự nỗ lực vơn lên của các em.
TôI hy vọng rằng khả năng học toán nắm vứng trí thức sau mỗi
phần, mỗi lĩnh vực kiến thức sự ham mê học toán của các em ngày
một tăng lên.
Do điều kiện về thời gian và trình độ có hạn của tôi nên đề tài
không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Vậy tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đồng thẩm định, các
cấp góp ý kiến chân tình để đề tài của tôi đợc hoàn thiện hơn.
17


T«i ch©n thµnh xin c¶m ¬n !
Ngµy 6 th¸ng 10 n¨m
2016

18