Ôn tập vật lý đại cương

CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Lời mở đầu
Chương trình, chuỗi hoạt động của Câu lạc bộ Chúng Ta Cùng Tiến nhắm đến mục
tiêu chính là giúp đỡ các bạn sinh viên năm nhất, năm hai trong học tập. Giúp đỡ để
cùng nhau tiến bộ.
Bước sang năm thứ 5 hoạt động, Chúng Ta Cùng Tiến đã bước sang một trang mới,
với nhiều thay đổi: một diện mạo mới, một tinh thần mới, một định hướng mới... và
một niềm tin mới, đặt vào tương lai... Nhưng có một thứ mãi không thay đổi, là tôn
chỉ hoạt động trong suốt 4 năm của của Câu lạc bộ... Đó là tinh thần sẻ chia vì cộng
đồng, gói gọn trong hai chữ thấu cảm và sẻ chia.
Sinh viên giúp đỡ sinh viên, sẻ chia khó khăn, với tinh thần : We Learn – We Share.
Sau này các bạn có thể là những kĩ sư, quản lý, giám đốc tương lai nhưng nhìn nhận
lại thì đều là một cá thể trong cộng đồng, trong xã hội. Phát minh, điều khiển máy
móc, thiết kế nên những công trình, tạo công ăn việc làm cho mọi người,... hay đơn
giản là xây dựng một gia đình, chung quy vẫn là đóng góp xây dựng cộng đồng, xã
hội mà mỗi chúng ta là một cá thể bình đẳng trong đó. Chúng ta thấu cảm, chúng ta sẻ
chia. Có thấu cảm thì mới sẻ chia, sẻ chia để cùng nhau tiến bộ. Đó là ý nghĩa của
CHÚNG TA CÙNG TIẾN.
Bộ tài liệu này nằm trong nội dung bài giảng Vật Lý 1, buổi học CTCT – Chúng Ta
Cùng Tiến, ngày 05/11/2017. Hi vọng bài viết nhỏ này có thể giúp ích cho các bạn
sinh viên trong quá trình ôn tập, chuẩn bị thi giữa kỳ.

Xin gửi tặng đến tất cả các thành viên khóa K17 của Câu lạc bộ Chúng Ta Cùng Tiến.
Cảm ơn tất cả các em đã đồng hành, sát cánh cùng Đại Gia đình CTCT – Chúng Ta
Cùng Tiến trong suốt thời gian vừa qua : Quốc Bảo, Phương Cầm, Thanh Duy, Mạnh
Duyên, Di Ghuyn, Ngọc Hân, Ngọc Hiếu, Anh Huy, Nhật Khuê, Bích Lan, Ngọc Linh,
Đức Minh, Trúc My, Diễm My, Bảo Ngân, Phương Ngân, Như Ngọc, Uyên Nhi, Hồng
Nhung, Bảo Quỳnh, Thanh Sơn, Đức Tuấn, Phương Thanh, Hồng Thắm, Thanh

Thông, Công Thức, Thanh Thương, Quốc Trung, Vĩ Uyên, Thị Vàng, Tường Vy.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 08/11/2017

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 1


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

CHƯƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

1. PHẦN 1: ĐẠI CƯƠNG CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Cho chất điểm chuyển động có phương trình (theo thời gian t)
𝑥 (𝑡 ) = 𝑡 2 + 1
{
𝑦 (𝑡 ) = 𝑡 2 + 𝑡
a. Tìm độ lớn vận tốc 𝑣 = |𝑣⃗ |
b. Tìm vector gia tốc tiếp tuyến ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑡
c. Tìm bán kính quỹ đạo tại thời điểm 𝑡 = 1
Lời giải :
{

𝑣𝑥 (𝑡 ) = 2𝑡
𝑎𝑥 (𝑡 ) = 2
𝑥 (𝑡 ) = 𝑡 2 + 1

→{
→{
2
𝑣𝑦 (𝑡) = 2𝑡 + 1
𝑎𝑦 (𝑡 ) = 2
𝑦 (𝑡 ) = 𝑡 + 𝑡

a. 𝑣 = |𝑣⃗ | = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = √8𝑡 2 + 4𝑡 + 1
b. Độ lớn gia tốc tiếp tuyến:
𝑎𝑡 (𝑡) =

𝑑𝑣 (𝑡 )
8𝑡 + 2
=
𝑑𝑡
√8𝑡 2 + 4𝑡 + 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có cùng phương (gia tốc tuyến tuyến và vận tốc cùng
𝑎𝑡 (𝑡) và 𝑣(𝑡)
phương), tức là có cùng vector chỉ phương là :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣(𝑡)
2𝑡. 𝑖⃗ + (2𝑡 + 1)𝑗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
√8𝑡 2 + 4𝑡 + 1
|𝑣(𝑡)
→ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑡 (𝑡) =

8𝑡 + 2
(2𝑡𝑖⃗ + (2𝑡 + 1)𝑖⃗)
8𝑡 2 + 4𝑡 + 1

Bình luận : Có 2 công thức tìm 2 đại lượng khác nhau mà các bạn rất hay
nhầm lẫn. Đó là 𝑎⃗ =

⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡

(1) và 𝑎𝑡 =

𝑑𝑣
𝑑𝑡

(2). Hai cái này khác nhau cả về

bản chất lẫn hình thức. Công thức (1) là đạo hàm của 1 hàm hữu hướng là
vận tốc 𝑣⃗ cho kết quả là 1 hàm hữu hướng là gia tốc 𝑎⃗ (gia tốc toàn phần).

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 2


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Còn công thức (2) là đạo hàm của 1 hàm vô hướng là độ lớn của vận tốc
(𝑣 = |𝑣⃗ |) cho kết quả là 1 hàm vô hướng là độ lớn của gia tốc tiếp tuyến
𝑎𝑡 . Hiểu được bản chất vấn đề thì mọi việc đơn giản rồi :D
Một vấn đề cần giải quyết nữa là xác định phương, chiều. Bới một
vecto thi bao gio cung phai có 3 yếu tố: phương, chiều và độ lớn. Độ lớn
tìm từ công thức (2), vậy phương chiều thi sao??? Để ý, gia tốc tiếp tuyến
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Vecto chi phương cua 𝑣(𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cũng chính là vecto chi
𝑎𝑡 (𝑡) và vận tốc 𝑣(𝑡)
phương của ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑡 (𝑡). Vecto chi phương cua một vecto có thê tim bằng cách
lấy vecto chi chia cho độ dài vecto, tức là
tuyến được xác đinh bởi: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑡 (𝑡)=𝑎𝑡 .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣(𝑡)
.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
|𝑣(𝑡)

Vậy (vector) gia tốc tiếp

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣(𝑡)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
|𝑣(𝑡)

c. Ta có :
𝑣 (1) = √13
𝑎𝑡 (1) =

10
√13

𝑎(1) = √𝑎𝑥 (1)2 + 𝑎𝑦 (1)2 = 2√2
𝑎𝑛 (1) = √𝑎(1)2 − 𝑎𝑡 (1)2 =
𝑅 (1) =

2
√13

𝑣 (1)2 13√13
=
𝑎𝑛 (1)
2

Bình luận : Trên cũng là 1 phương pháp để các bạn xác định bán kính
cong của chuyển động. Phương pháp này được gọi là phương pháp tính
dựa theo định nghĩa.
Sơ đồ sau các bạn cần nhớ !!

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 3


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Một phương pháp khác được sử dụng đế tính bán kính cong, phương pháp này
đặc biệt hữu dụng khi chuyển động được cho cho ở dạng phương trình
chuyển động


Nhắc lại : Có 2 khái niệm các bạn cần phân biệt

-

Phương trình chuyển động là phương trình biểu diễn tọa độ bằng tham

số thời gian. Phương trình cho ở câu 1 – Phần 1 trên la một ví dụ
-

Phương trình quỹ đạo là phương trình biểu diễn có dạng: f(x, y, z) = 0
Ví dụ : x + y = 0
Quay lại nội dung của chúng ta. Công thức được biểu diễn dưới dạng
tổng quát như sau
|𝒗
⃗⃗|𝟑
𝑹=
|𝒗
⃗⃗ × 𝒂
⃗⃗|
⃗⃗ × 𝒂
⃗⃗ là tích hữu hướng giữa 𝒗
⃗⃗ và 𝒂

⃗⃗ . Trong tọa độ Descartes :
Với 𝒗
𝑖⃗
𝑣⃗ × 𝑎⃗ = | 𝑣𝑥
𝑎𝑥

𝑗⃗
𝑣𝑦
𝑎𝑦

𝑘⃗⃗
𝑣𝑦
𝑣𝑧 | = |𝑎
𝑦
𝑎𝑧

𝑣𝑧
𝑣𝑥
𝑎𝑧 | 𝑖⃗ − |𝑎𝑥

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

𝑣𝑥
𝑣𝑧
|
|
𝑗
⃗
+
𝑎

𝑎𝑧
𝑥

𝑣𝑦
⃗⃗
𝑎𝑦 | 𝑘 =

Trang 4


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

= (𝑣𝑦 . 𝑎𝑧 − 𝑣𝑧 . 𝑎𝑦 ).⃗⃗⃗𝑖 − (𝑣𝑥 . 𝑎𝑧 − 𝑣𝑧 𝑎𝑥 ). 𝑗⃗ + (𝑣𝑥 . 𝑎𝑦 − 𝑣𝑦 𝑎𝑥 ). 𝑘⃗⃗
Vậy:
|𝑣⃗ |3
𝑅=
|𝑣⃗ × 𝑎⃗|
= √(

(𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 )3
2

(𝑣𝑦 . 𝑎𝑧 − 𝑣𝑧 . 𝑎𝑦 ) + (𝑣𝑥 . 𝑎𝑧 − 𝑣𝑧 𝑎𝑥 )2 + (𝑣𝑥 . 𝑎𝑦 − 𝑣𝑦 𝑎𝑥 )

2)

Ap dụng làm câu ở trên thử nhé. Tại thời điểm t =1, ta có :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑣(1) = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) = (2, 3, 0)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎(1) = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 ) = (2, 2, 0)
Bài toán xét trong không gian 2 chiều Oxy nên các thành phần theo trục
z đều bằng 0. Và với thành phần theo trục z bằng 0 như vậy, công thức
trở nên đơn giản hơn, thành :
𝑅=

|𝑣⃗ |3
(𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 )3
=√
2
|𝑣⃗ × 𝑎⃗|
(𝑣𝑥 . 𝑎𝑦 − 𝑣𝑦 𝑎𝑥 )

Ráp vào công thức trên :

𝑅=√

(22 + (3)2 )3 13√13
=
(2.2 − 3.2)2
2

Kết quả giống với phương pháp theo lý thuyết ^^ Qúa tuyệt :3

𝑥 2

𝑦 2

𝑎

𝑏

Bài 2: Một chất điểm chuyển động đều với phương trình quỹ đạo ( ) + ( ) = 1.
Với a, b là hằng số dương. Tìm bán kính quỹ đạo R tại vị trí x = 0 ?
Lời giải :

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 5


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Một bài toán liên quán tới bán kính cong (bán kính quỹ đạo) nữa :))))
Nếu là phương trình chuyển động thì sẽ làm theo cách trình bày ở câu 1 – Phần 1
trên. Nhưng đây là phương trình quỹ đạo kìa mà ??? Hì. Có cách khác các bạn
nhé 
Với các bài toán cho phương trình quỹ đạo ở dạng : y = y(x). Ta có công thức
xác định bán kính cong tại vị trí (𝑥0 , 𝑦(𝑥0 )) như sau :

𝑅=

𝑑𝑦 2
(1 + ( ) )
𝑑𝑥
|

|

𝑑2 𝑦

3/2

|
|

𝑑𝑥 2
𝑥=𝑥0

Áp dụng vào bài toán của chúng ta :
𝑥 2
𝑦 2
𝑥 2
( ) + ( ) = 1 → 𝑦 = 𝑏 √1 − ( )
𝑎
𝑏
𝑎
Dễ dàng tính được :
𝑑𝑦
( )
=0
𝑑𝑥 𝑥=0

𝑑2 𝑦
𝑏
( 2)
=− 2

𝑑𝑥 𝑥=0
𝑎

𝑎2
→ 𝑅 (𝑥 = 0) =
𝑏

Bài 3 : Chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc biến đổi theo quy luật: v(t) = v0 – kt3
, với v0 và k là những hằng số dương. Tính tốc độ trung bình của chất điểm trong
khoảng thời gian từ t=0 cho đến khi dừng lại ?
Lời giải :
Tốc độ trung bình sẽ bằng tổng quãng đường di chuyển chia cho tổng thời gian
di chuyển. Khi dừng lại, vận tốc chất điểm bằng 0.
Ta có: v(t) = v0 – kt3. Tại t = T, chất điểm dừng lại

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 6


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

3

𝑣0
𝑘

𝑣 (𝑇) = 𝑣0 − 𝑘𝑇 3 = 0 ↔ 𝑇 = √

Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi dừng lại:
𝑇

𝑇

𝑆 = ∫ 𝑣 (𝑡 )𝑑𝑡 = ∫ (𝑣0 − 𝑘𝑇 3 )𝑑𝑡 = 𝑣0 𝑇 −
0

0

𝑘𝑇 4
4

Tốc độ trung bình:
𝑆
𝑘𝑇 3 3𝑣0
𝑣 = = 𝑣0 −
=
𝑇
4
4
Bình luận : Tổng quát, xét hàm số : 𝑦 = 𝑓(𝑥), với miền xác định [𝑥1 , 𝑥2 ]. Gía
trị trung bình của hàm f trên miền xác định đã cho là :

𝑥2

1
∫ 𝑓 (𝑥). 𝑑𝑥
𝑓̅ =
𝑥2 − 𝑥1

𝑥1

Bài 4 : Một chất điểm chuyển động thẳng chậm dần với độ lớn gia tốc phụ thuộc vào
vận tốc theo quy luật 𝒂 = 𝒌𝒗𝟏/𝟑 (k là hằng số dương). Vận tốc chất điểm tại thời điểm
ban đầu là 𝑣0 . Tìm quãng đường và thời gian chất điểm chuyển động trước khi dừng
lại ?
Lời giải :
 Ba bài toán tiếp theo (4, 5, 6 – Phần 1) thuộc dạng bài tập Phương pháp
Toán – Lý, tức là phải sử dụng một số công cụ toán (cao cấp) như đạo hàm, tích
phân, phương trình vi phân... để tìm lời giải.
Nhìn chung, các bài toán động học chủ yếu liên quan đến mối quan hệ giữa các
đại lượng quãng đường x, vận tốc v và gia tốc a. Việc đầu tiên là phải thiết lập
được phương trình vi phân giữa các đại lượng. Chú ý các công thức sau :
𝑣=

𝑑𝑥
𝑑𝑡

𝑎=

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

𝑑𝑣
𝑑𝑡
Trang 7


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Quay trở lại bài toán của chúng ta, theo đề bài ta có :
𝑎 = 𝑘𝑣 1/3
Vì vận chuyển động chầm dần nên :
𝑎=−

𝑑𝑣
𝑑𝑡

Dấu “ - ” thể hiện tính chậm dần của chuyển động :
→ 𝑘𝑣 1/3 = −

𝑑𝑣
𝑑𝑡

Phương trình thiết lập ở trên được gọi là phương trình vi phân chuyển động.
Cách giải (đơn giản) phương trình : Đầu tiên xác định số biến trong phương trình
(thường là 2), trong phương trình trên là hai biến 𝒗 và 𝒕. Tiếp đó, chuyển các
biến, hàm, vi phân các biến sang 2 vế khác nhau. Với bài toán, chúng ta sẽ
chuyển biến 𝒗 sang trái, 𝒕 sang phải. Ta được :
→

𝑑𝑣
= −𝑘𝑑𝑡
𝑣 1/3

Sau khi tách biến phương trình, chúng ta sẽ tiến hành tích phân hai vế phương
trình trên..... Đã tích phân thì phải xác định cận trên, dưới. Thường chúng ta sẽ
xác định cặp cận dưới là điều kiện đầu của chuyển động, hoặc tại một thời điểm
cụ thể đã biết. Như trong bài toán của của chúng ta, cặp cận dưới sẽ là điều kiện

đầu : Tại 𝑡 = 0, 𝑣 (𝑡 = 0) = 𝑣0 . Cận trên sẽ là cặp giá trị (𝑡, 𝑣 (𝑡 ))
Từ đây ra được :
𝑣(𝑡)

𝑡

2
2
𝑑𝑣
3 2
2𝑘𝑡
∫ 1/3 = − ∫ 𝑘𝑑𝑡 → (𝑣 3 − 𝑣03 ) = −𝑘𝑡 → 𝑣 (𝑡 ) = (𝑣03 −
)
𝑣
2
3

𝑣0

3/2

0

Tại t = T. Chất điểm dừng lại :
2

3𝑣03
→ 𝑣 (𝑇 ) = 0 → 𝑇 =
2𝑘
Quãng đường chuyển động của chất điểm cho đến khi dừng lại :

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 8


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

𝑇

𝑆 = ∫ 𝑣 (𝑡 )𝑑𝑡 =

5
3𝑣03

0

5𝑘

Bài 5 : Chất điểm chuyển động chậm dần trên quỹ đạo bán kính R. Gia tốc tiếp tuyến
và pháp tuyến của chất điểm luôn bằng nhau về độ lớn. Vận tốc ban đầu của chất điểm
là 𝑣0 . Tìm 𝑣 (𝑡 )?
Lời giải :
Ta có :
|⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑡 | = |⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑛 | → −

𝑑𝑣 𝑣 2
=
𝑑𝑡
𝑅

Dấu “ - “ thể hiện tính chậm dần của chuyển động.
→

𝑑𝑣
𝑑𝑡
=−
2
𝑣
𝑅

Tích phân hai vế phương trình trên với điều kiện đầu : 𝑣 (𝑡 = 0) = 𝑣0 . Có :
𝑣(𝑡)

𝑡

𝑑𝑣
𝑑𝑡
1
1
𝑡
1
∫ 2 = −∫ → −
= − → 𝑣 (𝑡 ) =
1
𝑡

𝑣
𝑅
𝑣0 𝑣 (𝑡 )
𝑅
( + )
𝑣0
0
𝑣0 𝑅

2. PHẦN 2 : ĐỔI HỆ QUY CHIẾU
Bài 1 : Hai chất điểm (1) và (2) chuyển động đều với vận tốc lần lượt là 𝑣1 , 𝑣2 dọc
theo hai đường vuông góc với nhau và có cùng hướng về giao điểm O của hai đường
thẳng ấy. Tại thời điểm t = 0 hai chất điểm nằm cách O lần lượt những khoảng cách
𝐿1 , 𝐿2 . Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chất điểm ?
Lời giải :

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 9


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Xét chuyển động của hai chất điểm trong hệ quy chiếu gắn với vật thứ (2). Trong
hệ quy chiếu này, chất điểm thứ (2) đứng yên, còn vật (1) chuyển động với vận
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
tốc : 𝒗
𝒗𝟏 − ⃗⃗⃗⃗⃗

𝒗𝟐
𝟏𝟐 = ⃗⃗⃗⃗⃗
Phương chiều chuyển động
của vật (1) dọc theo tia AN.
Lúc này khoảng cách nhỏ
nhất giữa hai chất điểm chính
là đoạn BM.
Theo hình vẽ, ta có :

𝐵𝑀 = 𝐵𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = (𝑂𝑁 − 𝑂𝐵)𝑐𝑜𝑠𝜃 = (𝑂𝐴. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑂𝐵 )𝑐𝑜𝑠𝜃
= (𝐿1 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐿2 𝑐𝑜𝑠𝜃)
Dựa vào giản đồ cộng vector, có :
𝑠𝑖𝑛𝜃 =

𝑣2

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

√𝑣12 + 𝑣22

→ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 𝐵𝑀 =

𝑣1
√𝑣12 + 𝑣22

𝐿1 𝑣2 − 𝐿2 𝑣1
√𝑣12 + 𝑣22

Tùy vào điều kiện của các giá trị 𝐿1 , 𝐿2 , 𝑣1 , 𝑣2 mà ta có 3 trường hợp của bài toán
đó là : 𝑂𝑁 > 𝑂𝐵, 𝑂𝑁 < 𝑂𝐵, 𝑂𝑁 = 𝑂𝐵 (𝑁 ≡ 𝐵). Phần trên, mới chỉ giải một

trường hợp là 𝑂𝑁 > 𝑂𝐵. Các bạn trường hợp còn lại, các bạn tự giải nhé ^^.
Đáp án cuối cùng của bài này là :
𝑑𝑚𝑖𝑛 =

|𝐿1 𝑣2 − 𝐿2 𝑣1 |
√𝑣12 + 𝑣22

Bình luận : Trên đây là một ứng dụng rất hay của công thức cộng vận tốc, đổi hệ
quy chiếu. Phương pháp này rất hiệu quả với các bài toán liên quan đến cực trị
chuyển động. Các bạn hãy nghiên cứu thật kỹ nhé.

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 10


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

3. PHẦN 3 : BIẾN ĐỔI ĐỀU
Bài 1 : Hạt chuyển động trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 (đơn vị: [m]) với gia tốc 𝑎⃗ không đổi.
Tại thoi điểm 𝑡 = 0, hạt bắt đầu chuyển động từ 1 điểm nằm trên trên mp Oyz với vận
tốc đầu ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 hướng theo chiều dương các trục tọa độ. Tại các thời điểm 𝑡 = 𝑇; 𝑇 +
1; 𝑇 + 2 (𝑠) hạt lần lượt ở các vị trí có tọa độ 𝐴(6; 11; 15) , 𝐵(12; 22; 31) ,
𝐶(20; 37; 53). Xác định tọa độ vị trí chất điểm tại thơi điểm 𝑡 = 𝑇/2 (𝑠)?
Lời giải :
Gọi vA, a lần lượt là vận tốc tại điểm A, gia tốc. Có
{

(12; 22; 31) = (6; 11; 15) + 𝑣𝑎 + 0.5𝑎
𝑣 = (5; 9; 13)
↔{ 𝑎
(20; 37; 53) = (6; 11; 15) + 2𝑣𝑎 + 2𝑎
𝑎 = (2; 4; 6)

Gọi 𝑣0 = (𝑣0𝑥 ; 𝑣0𝑦 ; 𝑣0𝑧 ) là vận tốc ban đầu của chất điểm. Ta có:
{

𝑣𝑎 = (5; 9; 13) = (𝑣0𝑥 ; 𝑣0𝑦 ; 𝑣0𝑧 ) + 𝑎𝑇 = (𝑣0𝑥 ; 𝑣0𝑦 ; 𝑣0𝑧 ) + (2; 4; 6)𝑇
6 = 0 + 𝑣0𝑥 𝑇 + 𝑇 2 ; 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 𝑥 (0) = 0, 𝑡ạ𝑖 𝐴 ∶ 𝑥 (𝑇) = 6

(Vì ban đầu chất điểm nằm trên mặt phẳng Oyz nên x(t = 0) = 0. Cái này phải
tinh ý mới nhận thấy)
Giải ra được T = 2 hoặc T = 3. Thế vào, lần lượt tìm được vận tốc đầu tương ứng
là (1;1;1) và (-1;-3;-5). Theo đề: vận tốc đầu hướng theo chiều dương của
chuyển động, tức là các thành phần vận tốc dương: Chọn T = 2 ; vận tốc ban
đầu 𝑣0 = (1;1;1)
Gọi (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) là tọa độ vị trí ban đầu của hạt. Ta có:
𝐴(6; 11; 15) = (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) + (𝑣0𝑥 ; 𝑣0𝑦 ; 𝑣0𝑧 )𝑇 + 0.5𝑎𝑇 2 = (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) +
(1; 1; 1). 2 + 0.5(2; 4; 6). 4 → (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) = (0; 1; 1)
Vậy tọa độ vi trí chất điểm tại thoi điểm T/2=1(s) là :
(0; 1; 1) + 𝑣0 . 1 + 0.5. 𝑎. 12 = (0; 1; 1) + (1; 1; 1) + (1,2,3) = (2; 4; 5)

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 11

CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Bình luận : Một bài động học khá là thú vị ~~ Bài này khó nhưng không phải
khó mà lại khó thật :v :v :v Bài toán này liên quan đến dạng toán phân tích
phương trình chuyển động, dạng toán này dễ, không khó. Nhưng để tìm ra
hướng nhanh nhất thì lại không dễ. Nhiều bạn mắc sai lầm chỗ này, lập liên tiếp
các phương trình chuyển động , rồi giải. Bài này có nhiều ẩn, giải như thế rất
mất thời gian mà có thể sai. Nhìn vào cách giải trên ta có thể một hướng đi, đó là
ta sẽ tìm vận tốc tại điểm A trước. Các bước về sau đơn giản hơn rất nhiều‼ Một bài toán hay, một bài toán đẹp không phải là nó phức tạp, “khó nhai”, “cày
sâu cuốc bẫm” mới ra, mà là khi ta phát hiện được cái đẹp, tinh túy trong bài
toán. Có cách giải quyết dường như không ngờ ‼

4. PHẦN 3 : NÉM XIÊN
Bài 1 : Chất điểm chuyển động ném xiên từ gốc tọa độ trong mặt phẳng Oxy, đơn vị
(Ox hướng sang ngang, trùng với mặt đất; Oy hướng lên trên, vuông góc với mặt đất).
tại vị trí có độ cao h=10. Chất điểm có vận tốc 𝑣⃗ = 5𝑖⃗ + 2𝑗⃗. Xác định tầm xa ?
Lời giải :
Gọi ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 = 𝑣0𝑥 𝑖⃗ + 𝑣0𝑦 𝑗⃗ là vận tốc ban đầu của vật.
Xét theo phương thẳng đứng (chiều dương hướng lên). Vật chuyển động với gia
tốc 𝑎 = −𝑔. Sau khi đi được quãng đường ∆𝑦 = ℎ = 10 (𝑚) vật đạt vận tốc
𝑣𝑦 = 5 (𝑚/𝑠). Ta có :
𝑣𝑦 2 − 𝑣0𝑦 2 = −2𝑔ℎ → 𝑣0𝑦 = 14.15 (𝑚/𝑠)
Thời gian từ lúc bắt đầu ném cho tới khi lên đến độ cao cực đại :
𝑡𝐻 =

𝑣𝑜𝑦
𝑔

Trong chuyển động ném xiên tiêu chuẩn, quỹ đạo là hình parabol, có tính đối
xứng nên thời gian chuyển động T gấp 2 lần thời gian để đạt độ cao cực đại

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 12


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

𝑇 = 2𝑡𝐻 =

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

2𝑣𝑜𝑦
= 2.88 (𝑠)
𝑔

Tầm xa: 𝐿 = 𝑣0𝑥 . 𝑇 = 5𝑇 = 14.42 (𝑚)

Bài 2 : Một quả cầu bằng thép rơi từ nóc nhà xuống, ngang qua một cửa sổ và phải
mất 0.125 (s) đề đi qua khoảng cách 1.2 (m) từ mép trên tới mép dưới của cửa sổ. Sau
đó nó rơi xuống đất và nẩy lên hoàn toàn. Tổng thời gian chuyển động mép dưới cửa
sổ là 3 (s). Xác định chiều cao ngôi nhà ?
Lời giải :
Gọi 𝑣𝑜 là vận tốc quả cầu khi đi qua ngang mép trên của cửa sổ.
Qủa cầu đi từ mép trên đến mép dưới của cửa sổ (L = 1.2 m) trong thời gian
𝑡𝑜 = 0.125 (𝑠)
1

𝐿 − 𝑔𝑡02
1 2
2
→ 𝑣0 𝑡0 + 𝑔𝑡0 = 𝐿 → 𝑣0 =
= 8.8975 (𝑚/𝑠)
2
𝑡0
Khoảng cách từ nóc nhà đến mép trên của cửa sổ : ℎ1 =

𝑣02⁄
2𝑔 = 4.12 (𝑚)

Thời gian chuyển động phía dưới mép cửa sổ là 3(s) → Thời gian chuyển động
từ mép dưới đến khi chạm đất là 3/2 = 1.5 (s) → Thời gian chuyển động từ mép
trên cửa sổ đến khi chạm đất là : T = 0.125 + 1.5 = 1.625 (s)
1

Khoảng cách từ mép trên cửa sổ tới đất : ℎ2 = 𝑣0 𝑇 + 𝑔𝑇 2 = 27.544 (𝑚)
2

Chiều cao ngôi nhà : 𝐻 = ℎ1 + ℎ2 = 31.66 (𝑚)

Bài 3 : Xét chuyển động của của 2 chất điểm A, B trong mp Oxy, đơn vị [m] (Ox
hướng sang ngang, trùng với mặt đất; Oy hướng lên trên, vuông góc với mặt đất). Tại

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 13

CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

thời điểm ban đầu 𝑡 = 0, tại gốc tọa độ, chất điểm A bắt đầu chuyển động ném xiên
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
với vận tốc bân đầu ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑣0 (𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗,
0 𝑂𝑥 ) = 𝛼. Cùng lúc đó, tại vị trí có tọa độ (10,20) vật B
được thả rơi tự do. |⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 | = 15 𝑚/𝑠. Góc 𝛼 được chọn sao cho 2 vật có thể gặp nhau.
Xác định thời điểm 2 vật gặp nhau ?
Lời giải :
Phương trình chuyển động của 2 chất điểm A, B :
𝑥𝐴 (𝑡 ) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑡
1
𝐴: {
𝑦𝐴 (𝑡 ) = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
𝑥𝐵 (𝑡 ) = 10
1
𝐵: {
𝑦𝐵 (𝑡 ) = 20 − 𝑔𝑡 2
2
Khi hai vật A, B gặp nhau (t = T)
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑇 = 10
𝑥𝐴 (𝑇) = 𝑥𝐵 (𝑇)
𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑇 = 10
1 2

1 2→ { 0
{
→ {
𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑇 = 20
𝑦𝐴 (𝑇) = 𝑦𝐵 (𝑇)
𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑇 − 𝑔𝑇 = 20 − 𝑔𝑇
2
2
√102 + 202 2√5
→𝑇=
=
≈ 1.49 (𝑠)
𝑣0
3

Bài 4: Một quả bóng được ném với vận tốc ban đầu ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 theo một góc nghiêng 𝜙 so với
bề mặt một mặt phẳng nghiêng, ném hướng lên cao. Mặt phẳng nghiêng làm với mặt
phẳng ngang góc 𝜃. Hãy tính khoảng cách dọc theo mặt phẳng nghiêng từ điểm ném
cho tới khi quả bóng chạm mặt phẳng nghiêng ? Xác định 𝜙 để khoảng cách trên cực
đại ?
Lời giải :
Chọn hệ trục chuyển động OXY như hình vẽ
Ta có :

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 14

CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

{

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

𝑎𝑥 = −𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑎𝑦 = −𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃

→{

𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑡
𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜙 − 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡

1
𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜙. 𝑡 − 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑡 2
2
→{
1
𝑦(𝑡) = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜙. 𝑡 − 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡 2
2
Tại thời điểm t = T. Qủa bóng chạm mặt nghiêng :
1
2𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜙
→ 𝑦(𝑇) = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜙. 𝑇 − 𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑇 2 → 𝑇 =
2
𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
Khoảng cách dọc theo mặt phẳng nghiêng từ điểm ném cho tới khi quả bóng
chạm mặt phẳng nghiêng :
𝐿 = 𝑥 (𝑇) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜙.

2𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜙 1
2𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜙 2
(
)
− 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃.
𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
2
𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃

2𝑣02 𝑠𝑖𝑛𝜙
2𝑣02
(𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃) =
=
. 𝑠𝑖𝑛𝜙. cos(𝜙 + 𝜃)
cos 2 𝜃
cos2 𝜃
L đạt giá trị cực đại ↔ 𝑓 (𝜙) = 𝑠𝑖𝑛𝜙. cos(𝜙 + 𝜃) cực đại.
→

𝑑𝑓
= 0 → 𝑐𝑜𝑠𝜙. cos(𝜙 + 𝜃) − 𝑠𝑖𝑛𝜙. sin(𝜙 + 𝜃) = cos(2𝜙 + 𝜃) = 0
𝑑𝜙

Với điều kiện : 𝜙 + 𝜃 < 𝜋⁄2
→ 2𝜙 + 𝜃 =

𝜋
𝜋 𝜃
→𝜙= −

2
4 2

Bài 5 : Từ độ cao h = 25m một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc
ban đầu vo = 15m/s. Hãy xác định :
a. Thời gian chuyển động của vật từ khi ném cho tới khi chạm đất.

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 15


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

b. Gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của vật khi chạm đất.
c. Bán kính cong của quĩ đạo khi vật chạm đất.
Lời giải :
a. Thời gian chuyển động
𝑡=√

2ℎ
= 2.26 (𝑠)
𝑔

b. Khi vật chạm đất.
Vận tốc theo phương y : 𝑣𝑦 = √2𝑔ℎ
Vận tốc (toàn phần) : 𝑣 = √𝑣𝑜2 + 2𝑔ℎ
- Gia tốc toàn phần chính là gia tôc trọng trường :

𝑎 = 𝑔 = 9.8 (𝑚/𝑠 2 )
- Gia tốc tiếp tuyến :
Vận chuyển động rơi xuống mặt đất từ độ cao h, nên
vận tốc của vật tăng dần, gia tốc tiếp tuyến cùng
phương, chiều với vận tốc. Suy ra : (⃗⃗⃗⃗,
𝑎𝑡 𝑎⃗) = (𝑣⃗, 𝑔⃗)
→ 𝑎𝑡 = 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑔.

𝑣𝑦
𝑔√2𝑔ℎ
=
= 8.113 (𝑚/𝑠 2 )
𝑣
√𝑣𝑜2 + 2𝑔ℎ

- Gia tốc pháp tuyến :
𝑎𝑛 = √𝑎2 − 𝑎𝑡2 = 5.5 (𝑚/𝑠 2 )
c. Bán kính cong :
𝑣2
𝑅=
= 130 (𝑚)
𝑎𝑛

Bài 6 : Một cầu thủ bóng rổ bị phạm lỗi khi cố gắng ném bóng vào rổ của đội bạn
và được hưởng hai quả ném phạt. Theo phương nằm ngang từ tâm của rổ đến điểm
ném phạt là 4,21m và độ cao của rổ là 3,05m tính từ mặt sân. Trong lần ném phạt thứ

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 16

CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

nhất cầu thủ ném quả bóng theo một góc 35o so với phương nằm ngang với vận tốc
ban đầu 𝑣0 = 4,88m/s2. Khi bắt đầu rời khỏi tay cầu thủ thì quả bóng ở độ cao 1,83m
so với mặt sân. Lần ném này quả bóng không lọt vào rổ. Giả sử bỏ qua sức cản của
không khí.
a. Hỏi độ cao cực đại mà quả bóng đạt được.
b. Độ xa quả bóng đạt được theo phương nằm ngang khi rơi chạm đất.
c. Trong lần ném phạt thứ hai độ cao ban đầu và góc nghiêng của quả bóng khi ném
cũng vẫn giữ nguyên như trong lần ném đầu tiên tức là 1,83m và 35o. Lần này quả
bóng đi vào tâm rổ. Hỏi vận tốc ban đầu của quả bóng lần này là bao nhiêu?
d. Độ cao cực đại của quả bóng đạt được trong lần ném thứ hai.
Lời giải :

Chọn gốc tạo độ là tại mặt đất, nơi vị trí người đứng ném. Gốc thời gian lúc
bắt đầu ném.
𝑥 (𝑡 ) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠35. 𝑡
𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠35
1
{
→{
𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛35 − 𝑔𝑡
𝑦(𝑡 ) = 1.83 + 𝑣0 𝑠𝑖𝑛35. 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
a. Khi vật độ cao cực đại (tại thời điểm 𝑡 = 𝑡𝐻 ) :
Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 17


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

𝑣𝑦 (𝑡𝐻 ) = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛35 − 𝑔𝑡𝐻 → 𝑡𝐻 =

𝑣0 𝑠𝑖𝑛35
𝑔

Độ cao cực đại :
𝑣0 𝑠𝑖𝑛35 1 𝑣0 𝑠𝑖𝑛35 2
)
𝐻 = 𝑦(𝑡𝐻 ) = 1.83 + 𝑣0 𝑠𝑖𝑛35.
− 𝑔(
𝑔
2
𝑔
= 1.83 +

𝑣02 sin2 35
= 2.23 (𝑚)
2𝑔

b. Khi rơi chạm đất (𝑡 = 𝑡𝐿 )
1
𝑦(𝑡𝐿 ) = 1.83 + 𝑣0 𝑠𝑖𝑛35. 𝑡𝐿 − 𝑔𝑡𝐿 2 → 𝑡𝐿 = 0.96 (𝑠)

2
Tầm xa : 𝐿 = 𝑥 (𝑡𝐿 ) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠35. 𝑡𝐿 = 3.84 (𝑚)
c. Phương trình chuyển động :
𝑥 (𝑡 ) = 𝑣0 ′𝑐𝑜𝑠35. 𝑡
{
1
𝑦(𝑡 ) = 1.83 + 𝑣0 ′𝑠𝑖𝑛35. 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
Để bóng rơi vào tâm rổ (tại thời điểm 𝑡 = 𝑡0 )
𝑥 (𝑡0 ) = 𝑣0 ′𝑐𝑜𝑠35. 𝑡0 = 4.21
{
1
𝑦(𝑡0 ) = 1.83 + 𝑣0 ′𝑠𝑖𝑛35. 𝑡0 − 𝑔𝑡0 2 = 3.05
2
4.21
𝑣0 ′𝑐𝑜𝑠35
→
4.21
1
4.21 2
)− 𝑔(
) = 3.05
1.83 + 𝑣0 ′𝑠𝑖𝑛35 (
𝑣0 ′𝑐𝑜𝑠35
2 𝑣0 ′𝑐𝑜𝑠35
{
𝑡0 =

→ 𝑣0 ′ = 8.66 (𝑚/𝑠 2 )
d. Độ cao cực đại

𝑣0′2 sin2 35
𝐻 = 1.83 +
= 3.09 (𝑚)
2𝑔

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 18


CHÚNG TA CÙNG TIẾN - [CTCT]

Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/

Chúc các em tân sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa TP.HCM – Ôn tập, thi giữa kỳ
đạt kết quả thật tốt nhé

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/

Trang 19