Bài tập vật lý đại cương 1

Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
CÁC MẪU NGUYÊN TỬ CỔ ĐIỂN
PHẦN 1 ĐỀ BÀI
5.1)Dựa vào mẫu Thomson, tính bán kính nguyên tử Hydro và bước sóng ánh
sáng do nó phát ra nếu biết năng lượng Ion hóa của nguyên tử là
eVE 6.13=
.
5.2)Một hạt
α
có động năng
MeV27.0
bị tán xạ bởi một lá vàng dưới một góc
o
60 . Tìm giá trị tương ứng của tham số ngắm. Biết số thứ tự của vàng là Z=79.
5.3)Với một khoảng cách cực tiểu bằng bao nhiêu, khi một hạt
α
có động năng
MeVT 50.0=
(khi va chạm trực diện) đến gần:
a)Một hạt nhân nguyên tử chì nặng đứng nghỉ;
b)Một hạt nhân Li
7
nhẹ, tự do ban đầu đứng nghỉ?
5.4)Một hạt
α
có động năng
MeVT 50.0=
bị tán xạ dưới góc
o
90=
ϑ

trong
trường Coulomb của một hạt nhân nguyên tử thủy ngân đứng yên. Tìm:
a)Bán kính cong nhỏ nhất của quỹ đạo của hạt;
b)Khoảng cách cực tiểu mà hạt
α
lại gần hạt nhân.
5.5)Một proton có động năng
T
và tham số ngắm
b
, bị tán xạ trong trường
Coulomb của một hạt nhân nguyên tử vàng đứng yên. Tìm xung truyền cho hạt
nhân này do sự tán xạ.
5.6)Một hạt có động năng
T
bị tán xạ bởi một giếng thế năng hình cầu có bán
kính
R
và độ sâu
0
U
, tức là trường mà trong đó thế năng của hạt có dạng:



<−
>
=
RrU
Rr

U
,
,0
0
Trong đó
r
là khoảng cách từ tâm của giếng. Tìm sự liên hệ giữa tham số ngắm
b
của hạt và góc
θ
mà hạt lệch khỏi phương chuyển động ban đầu.
5.7)Người ta chiếu một dòng song song các hạt có bán kính
r
, vào một quả cầu
đứng yên có bán kính
R
. Giả thử sự va chạm của hạt với quả cầu là đàn hồi,
tìm:
a)Góc lệch
θ
của hạt phụ thuộc vào tham số ngắm
b
của nó;
b)Phần hạt tỉ đối, tán xạ trong khoảng từ
θ
đến
θθ
d+
;
c)Xác suất tán xạ hạt ở bán cầu trước (

2
π
θ
<
).
5.8)Một chùm hạt
α
hẹp có động năng
MeVT 0.1=
đập vuông góc lên một lá
Platin dày
m
µ
0.1
. Quan sát các hạt tán xạ theo góc
o
60 với phương của chum tới
bằng một máy đếm có lỗ vào hình tròn có diện tích
2
1cm ; lỗ đặt cách khu vực
1
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
tán xạ của lá một khoảng
cm10
. Phần các hạt
α
đập vào lỗ của máy đếm bằng bao
nhiêu?
5.9)Một chùm hạt
α

hẹp có động năng
MeVT 5.0=
và cường độ
5
100.5 ×=I hạt/
s đập vuông góc lên một lá vàng. Tìm bề dày của lá, nếu cách khu vực tán xạ
một khoảng
cmr 15=
và dưới một góc
o
60=
θ
với phương của chùm tới mật độ
dòng hạt tán xạ là
2
/40 scmpj =
.
5.10)Một chùm hạt
α
hẹp đập vuông góc lên một lá bạc.Sau lá bạc đặt một máy
đếm ghi các hạt tán xạ ứng với công thức Rutherford. Khi thay lá bạc bằng một
lá Platin có cùng diện tích khối lượng, thì số hạt
α
ghi được trong một đơn vị
thời gian tăng lên
52.1=
η
lần. Tìm số thứ tự của Platin, giả sử rằng đã biết số
thứ tự của bạc và trọng lượng của cả hai nguyên tố.
5.11)Một chùm hạt

α
hẹp có động năng
MeVT 5.0=
đập vuông góc lên một lá
vàng có mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích là
3
/5.1 cmmgd =
ρ
cường độ
chùm hạt này là
5
0
100.5 ×=I
hạt/s. Tìm số hạt
α
; bị tán xạ bởi lá vàng sau
30
=
τ

phút trong các khoảng góc:
a)
oo
6159 − ;
b)Trên
0
60 .
5.12)Một chùm hẹp các proton có vận tốc smv /106
6
×= đập vuông góc lên một

lá bạc có độ dày
md
µ
0.1=
tìm xác suất tán xạ của các hạt proton ở bán cầu sau (
o
90>
θ
).
5.13)Một chùm hạt
α
hẹp có động năng
MeVT 5.0=
đập vuông góc lên một lá
vàng, chứa
19
101.1 ×=n hạt nhân /cm
2
. Tìm số tỉ đối các hạt
α
tán xạ dưới góc
o
20
0
=<
θθ
.
5.14)Tìm tiết diện hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử Urani ứng với sự tán xạ
các hạt
α

có động năng
MeVT 5.1
=
trong khoảng các góc lớn hơn
o
60
0
=
θ
.
5.15)Tiết diện hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử vàng ứng với sự tán xạ các hạt
α
đơn năng lượng trong khoảng các góc từ
o
90 đến
o
180 bằng
50.0=∆
σ

kilobac. Xác định:
a)Năng lượng của các hạt
α
;
b)Tiết diện vi phân của sự tán xạ:
Ωd
d
σ
(kilobac/steradian) ứng với góc tán xạ
o

60=
θ
.
5.16)Theo điện động lực học cổ điển, một electron chuyển động với gia tốc
w


sẽ mất một năng lượng do bức xạ theo quy luật:
2
3
2
3
2
w
c
e
dt
dE
−=
2
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
Trong đó
e
là điện tích của electron,
c
là vận tốc ánh sáng. Xác định khoảng
thời gian mà sau đó năng lượng của electron thực hiện một dao động gần điều
hòa với tần số
)/(105
15

srad×=
ω
giảm
10=
η
lần.
5.17)Dùng công thức ở bài tập trên, xác định khoảng thời gian, trong đó
electron chuyển động trong nguyên tử Hydro theo một quỹ đạo tròn có bán kính
pmr 50=
có thể rơi vào hạt nhân. Để đơn giản giả thử rằng vector gia tốc
w


luôn hướng vào tâm nguyên tử.
5.18) Trong phổ của Hydro nguyên tử người ta biết bước sóng của ba vạch
thuộc cùng một dãy là:
nm26.97
,
nm58.102
, và
nm57.121
. Tìm bước sóng của
những vạch khác trong phổ trên mà có thể đoán trước được chúng nhờ ba vạch
này.
5.19)Một hạt có khối lượng
m
chuyển động theo một quỹ đạo tròn trong một
trường thế đối xứng xuyên tâm
2
2

1
)( krrU =
. Bằng điều kiện lượng tử của Bohr,
hãy tìm các bán kính có thể có của các quỹ đạo và các mức năng lượng của hạt
này.
5.20)Đối với nguyên tử Hydro và Ion He
+
hãy tính:
a)Bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất và vận tốc của electron trên quỹ đạo đó;
b)Động năng và năng lượng liên kết của electron ở trạng thái cơ bản;
c)Thế Ion hóa, thế kích thích thứ nhất và bước sóng của vạch cộng hưởng (
12 =→=
′
nn
).
5.21)Tính vận tốc góc của electron trên quỹ đạo Bohr thứ hai của Ion He
+
.
5.22)Đối với các hệ tương tự Hydro, tìm momen từ
n
µ
ứng với chuyển động
của electron trên quỹ đạo thứ
n
cũng như tỉ số giữa momen từ với momen cơ
n
n
M
µ
. Tính momen từ của một electron trên quỹ đạo Bohr thứ nhất.

5.23)Tính toán và vẽ thang các bước sóng, các khoảng phổ trong đó có chứa
dãy Lyman, Balmer và Pashen đối với Hydro nguyên tử. Tách ra miền phổ khả
kiến trên thang này.
5.24)Tính đối với Hydro nguyên tử:
a)Các bước sóng của ba vạch đầu tiên của dãy Balmer;
b)Năng suất phân giải cực tiểu
δλ
λ
của máy quang phổ, trong đó có thể phân
giải hai mươi vạch đầu tiên của dãy Balme.
5.25)Một bức xạ của Hydro nguyên tử đập vuông góc lên một cách tử nhiễu xạ
có bề rộng
mml 6.6=
. Trong phổ quan sát được, dưới một góc nhiễu xạ
θ
nào
3
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
đó, vạch thứ 48 của dãy Balme xuất hiện tại giới hạn phân giải (theo tiêu chuẩn
Rayleigh). Tìm góc này.
5.26)Phổ tương tự Hydro phụ thuộc yếu tố nào, nếu bước sóng của nó ngắn hơn
bước bốn lần bước sóng của phổ Hydro nguyên tử.
5.27)Hydro nguyên tử sẽ pất ra bao nhiêu vạch phổ, khi người ta kích thích nó
lên mức năng lượng thứ
n
?
5.28)Tìm số lượng tử
n
ứng với trạng thái kích thích của Ion He
+

, nếu khi dịch
chuyển về trạng thái cơ bản, Ion này phát ra liên tiếp hai photon với các bước
sóng
nm5.108
và
nm4.30
.
5.29)Tính hằng số Rydberg (ra cm
-1
), nếu biết rằng đối với các Ion He
+
hiệu số
các bước sóng giữa các vạch đầu của dãy Balme và dãy Lyman bằng
nm7.133=∆
λ
.
5.30) Ở Ion tương tự Hydro nào thì hiệu số các bước sóng của các vạch đầu dãy
Balmer và dãy Lyman bằng
nm3.59=∆
λ
.
5.31)Tìm bước sóng của vạch đầu của của dãy phổ của các Ion He
+
, trong đó
khoảng cách về tần số giữa vạch cuối và vạch đầu là srad /1018.5
15
×=∆
ω
.
5.32)Năng lượng liên kết của electron trong nguyên tử He bằng

eVE 6.24
0
=
.
Tìm năng lượng cần thiết để bứt cả hai electron ra khỏi nguyên tử này.
5.33)Nguyên tử Hydro phải chuyển động với động năng cự tiểu bằng bao nhiêu,
để khi va chạm trực diện không đàn hồi với nguyên tử Hydro khác đang đứng
nghỉ thì một trong các nguyên tử đó có thể phát ra một photon? Trước khi va
chạm cả hai nguyên tử đều ở trạng thái cơ bản.
5.34)Một nguyên tử Hydro đứng nghỉ phát ra một photon ứng với vạch đầu của
dãy Lyman. Nguyên tử đã có vận tốc bằng bao nhiêu?
5.35)Trong các điều kiện của bài toán trên, tính năng lượng của photon được
phát ra khác với năng lượng của sự dịch chuyển tương ứng trong nguyên tử là
bao nhiêu phần trăm?
5.36)Một Ion He
+
đứng nghỉ phát ra một photon ứng với vạch đầu tiên của dãy
Lyman. Photon này đã bứt một quang electron khỏi một nguyên tử Hydro đứng
nghỉ đang ở trạng thái cơ bản. Tính vận tốc của quang electron.
5.37)Bằng cách tính toán sự chuyển động của hạt nhân nguyên tử Hydro, tìm
biểu thức đối với năng lượng liên kết của electron ở trạng thái cơ bản và hằng
số Rydberg. Năng lượng liên kết và hằng số Rydberg thu được khi không kể
đến chuyển động của hạt nhân sẽ khác giá trị chính xác tương ứng của các đại
lượng này bao nhiêu phần trăm?
4
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
5.38)Đối với các nguyên tử Hydro nhẹ và nặng, H và D, tìm hiệu số:
a) Năng lượng liên kết của các electron của chúng ở trạng thái cơ bản;
b)Bước sóng của vạch đầu tiên của dãy Lyman.
5.39)Tính khoảng cách giữa các hạt của một hệ ở tạng thái cơ bản, ứng với

năng lượng liên kết và bước sóng của vạch đầu tiên của dãy Lyman. Khảo sát
các hệ sau:
a)Nguyên tử meson Hydro có hạt nhân là một proton (trong nguyên tử Hydro
meson thay cho electron, meson chuyển động, có cùng điện tích nhưng khối
lượng lớn hơn 207 lần).
b)Pozitroni có cấu tạo gồm một electron và một positron chuyển động xung
quanh một khối tâm chung.
PHẦN 2 LỜI GIẢI
5
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
5.1) a)Theo mẫu nguyên tử Thompson thì điện tích dương e phân bố đều trong
hình cầu bán kính
R
nên ta có lực của điện tích dương tác dụng lên electron:







≤−
≥−
=
Rr
R
re
Rr
r
e

F
,
4
1
,
4
1
3
2
0
2
2
0
πε
πε
Mà
gradWF −=

⇒

∫
−= FdrW
hay








≤+
≥+−
=
RrC
R
re
RrC
r
e
W
,
4
1
2
1
,
4
1
2
3
22
0
1
2
0
πε
πε
Do điều kiện liên tục của
W
tại

Rr =
và do
0=W
ở vô cùng nên:





−=
=
R
e
C
C
0
2
2
1
42
3
0
πε
Cuối cùng ta được:








≤−
≥−
=
Rr
R
e
R
re
Rr
r
e
W
,
42
3
4
1
2
1
,
4
1
0
2
3
22
0
2
0

πεπε
πε
Dễ thấy
W
là hàm đồng biến của
r
do đó ta có:
0
min
=
=
r
WW
, tức là:
ion
E
R
e
W −=−=
0
2
min
42
3
πε
⇒
nm
E
e
R

ion
16
42
3
0
2
≈=
πε
b)Tần số chuyển động của electron trên quỹ đạo bán kính
r
:
2
0
2
2
4 r
e
rm
πε
ω
=
⇒
mrr
e
0
4
1
πε
ω
=

6
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
⇒
Bước sóng mà nguyên tử Hydro phát ra:
ω
π
λ
c
f
c 2
==
Cuối cùng ta được:
3
0
4
2
mr
e
c
πε
π
λ
=
Thay số ta có:
m
µλ
24.0=
.
5.2)Từ công thức liên hệ giữa tham số ngắm và góc tán xạ:
2

cot
8
1
2
cot
2
0
2
0
0
θ
πε
θ
g
E
zZe
g
a
b ==
Thay số ta được:
pmb 73.0=
.
5.3)Năng lượng nghỉ của hạt
α
,
MeVMeVcm 4,02000
2
>>≈
α
vì vậy ta có thể áp

dụng các công thức phi tương đối tính trong bài toán này.
Ta có thể hình dung quá trình va chạm như sau: Hai hạt nhân lúc đầu tiến lại
gần nhau (do hạt
α
chuyển động lại gần hạt nhân bia) tương tác (đẩy) với nhau
cuối cùng là đi ra xa nhau. Do đó hai hạt nhân sẽ gần nhau nhất khi chúng đứng
yên tương đối so với nhau, vì vậy ta sẽ áp dụng các công thức của bài toán va
chạm mềm.
Theo định luật bảo toàn xung lượng ta có:
vmmvm
X

)(
0
+=
αα
X
m
là khối lượng hạt nhân bia.
Vì va chạm là trực diện (xuyên tâm) nên
v

và
0
v

cùng phương. Chiếu lên
phương của
0
v


ta được
00
)( v
mm
m
vvmmvm
X
X
+
=⇒+=
α
α
αα
(1)
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
min
2
0
22
0
2
4
1
)(
2
1
2
1
d

Ze
vmmvm
X
πε
αα
++=
(2)
Thế (1) vào (2) ta được:
7
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
min0
2
2
0
2
d
Ze
T
mm
m
vm
mm
m
X
X
X
X
πε
α
α

α
=
+
=
+
T
Ze
m
mm
d
X
X
0
2
min
2
πε
α
+
=⇒
Thay số ta được:
a) Trường hợp 1
X
là
Pb
ta có thể coi
0≈
Pb
m
m

α
khi đó
pmd 59,0
min
≈
b) Trường hợp 2
X
là
Li

pmd 034,0
min
≈
5.4 Khi khoảng cách giữa hạt và bia là cực tiểu thì vận tốc của hạt là nhỏ nhất
nhưng lực hướng tâm (lực Coulomb là lớn nhất do đó bán kính cong của quỹ
đạp lúc này là nhỏ nhất:
Khoảng cách cực tiểu:
2
0
2
0
min
)
2
(
2
a
b
a
r ++=

Hay
⇒++= )
2
cot11(
2
2
0
min
θ
g
a
r
2
sin
1
1
2
4
)
2
sin
1
1(
8
1
0
min0
2
0
2

0
min
θ
πε
θ
πε
+
=⇒+=
E
r
zZe
E
zZe
r
(*)
Ta lại có
min0
2
0
2
42 r
zZe
E
mv
πε
−=
2
min0
2
min

min0
2
0
2
min0
2
min
2
4
/)
4
(2
4 r
zZe
r
zZe
E
r
zZemv
πε
ρ
πεπερ
=−⇒=
Kết hợp với (*) ta có
2
0
2
0
min
0

0
4
)
2
sin
1
1
2
(/)
2
sin
1
1
2
(2
zZe
EE
E
πε
θ
ρ
θ
+
=
+
−
⇒
8
0
P


P

θ
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
2
cot
8
2
sin8
)
2
sin1)(
2
sin1(
00
2
2
00
2
min
θ
πε
θ
πε
θθ
ρ
g
E
zZe

E
zZe
=
+−
=
Vậy
2
cot
8
00
2
min
θ
πε
ρ
g
E
zZe
=
5.5 Xung lượng mà proton truyền cho hạt nhân vàng:
PPP

−=∆
0
⇒
2
sin2
0
θ
PP =∆

2
2
00
2
)
8
(1
1
2
cot1
1
2
sin
zZe
bE
g
πεθ
θ
+
=
+
=
00
2mEP =
⇒
2
2
00
0
)

8
(1
2
2
zZe
bE
mE
P
πε
+
=∆
Proton có
1=z
nên
2
2
00
0
)
8
(1
2
2
Ze
bE
mE
P
πε
+
=∆

5.6 Lưu ý rằng trong trường hợp của
bài toán, hạt chỉ chịu tác dụng lực khi
Rr =
lực này rất lớn làm thay đổi
xung lượng của hạt mặc dù thời gian
tương tác bằng không. Ta coi rằng
tương tác là tương tác xuyên tâm khi
đó momen xung lượng của hạt được
bảo toàn (Hình vẽ):
)(22
0
UTmmTb +=
δ
9
.O
θ
b
b
δ
Chương I Các mẫu nguyên tử cổ điển
Hay
T
UT
b
0
+
=
δ
Đường đi của hạt giống hệt đường đi
của tia sáng có chiết suất

T
U
n
0
1+=
)arcsinsin(2
RR
b
ar
δ
θ
−=
Hay
)arcsin(arcsin2
0
UT
T
R
b
R
b
+
−=
θ
Dễ nhận thấy:
)2/cos(21
)2/sin(
2
θ
θ

nn
Rn
b
−+
=
với
T
U
n
0
1+=
5.7 a) Dễ thấy
rR
b
+
=
2
cos
θ
b) Từ công thức trên ta có:
db
rR
d
+
=−
1
2
sin
2
1

θ
θ
,
Số hạt tỉ đối trong khoảng từ
θ

đến
θθ
d+
θθ
π
π
d
b
bdb
n
dn
sin
2
1||2
2
==
,
c) Xác suất phát hiện hạt trong
phần mặt cầu phía trước:
∫
==
2
0
2

1
sin
2
1
π
θθ
dw
.
5.8.Xác xuất phát hiện hạt
2
sin16
)4(
1
2
sin16
)(
42
0
422
2
0
2
4
2
0
2
θ
πε
θ
θ

E
eZz
R
Snda
R
Snd
P
∆
=
∆
=
n
là mật độ hạt nhân trên bia.
10
.
.
b
R