giáo án quy tắc tính đạo hàm

Người soạn: Phạm Thị Thùy Dương

Lớp: 11

Ngày soạn: 18/11/2017

Ngày dạy:

Bài 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I, Mục tiêu bài học: Qua bài học, HS:
1, Về kiến thức:
- Hiểu được công thức tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp y = xn, y = √𝑥.
- Hiểu được cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
các hàm số.
- Hiểu được các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.
2, Về kỹ năng:
- Biết tính đạo hàm của các hàm số thường gặp y = xn, y = √𝑥.
- Biết tính đạo hàm của tổng hiệu, tích, thương của các hàm số.
3, Về tư duy, thái độ:
- Phát triển kỹ năng tư duy như: khái quát hóa, phân tích, tổng hợp.
- Tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập.
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong tính toán.
4, Định hướng phát triển năng lực:
Qua bài học, góp phần phát triển ở người học các năng lực sau: năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề, năng lực tư duy, năng lực hợp tác.
II, Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
- Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer và Projector, bảng phụ, sách giáo khoa, giáo
án, các câu hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức.
- Học sinh: Đồ dùng học tập, sách giáo khoa, vở ghi.
III, Tổ chức hoạt động dạy và học
1. Ổn định: Ổn định tổ chức và kiểm tra sĩ số.

2. Kiểm tra bài cũ.


Câu 1: Nêu các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = f(x) tại điểm x0
bất kỳ?
Học sinh:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0, tính
∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0)
+ Bước 2: Lập tỉ số

∆𝑦
∆𝑥

y
x 0 x

+ Bước 3: Tìm lim

Câu 2: Áp dụng: Dùng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại
điểm x tùy ý?
Học sinh:
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = x
∆y = f(x + ∆x) - f(x) = (x+∆x)3 - x3 = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3
y f (x  x)  f (x) 3x 2x  3xx 2  x 3


 3x 2  3xx  x 2
x
x
x

y
 lim (3x 2  3xx  x 2 )  3x 2
x 0 x
x 0
lim

* Đặt vấn đề: Trong bài toán trên, với hàm số y = x3 thì ta có thể dễ dàng tính được
đạo hàm của hàm số trên bằng định nghĩa. Vậy một vấn đề đặt ra đó là nếu có hàm số
y = x100 thì liệu rằng bằng phương pháp tương tự như trên ta có thể tính được dễ dàng
hay không? Liệu rằng có phương pháp nào để tính đạo hàm của hàm số này một cách
đơn giản hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó thì chúng ta cùng tìm hiểu bài học
ngày hôm nay: “Quy tắc tính đạo hàm”.
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

Hoạt động 1: Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
HĐTP1: Tìm hiểu đạo hàm của hàm số y = xn
Bài 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO
HÀM
I. Đạo hàm của một số hàm số


thường gặp

- Quay trở lại ví dụ

phần kiểm tra bài cũ, ta
thấy y = x3 có đạo hàm
y’ = 3x2. Ở bài trước,
chúng ta đã tính được
đạo hàm của hàm số y = + y’ = 2x
x2 bằng bao nhiêu?
- Nhận xét về số mũ của + Khi đạo hàm các hàm
hàm số ban đầu với hệ

số trên thì số mũ của

số và số mũ của hàm số

hàm số ban đầu chuyển

đã được đạo hàm

xuống làm hệ số, còn số
mũ thì giảm đi một đơn
vị.

- Hãy dự đoán đạo hàm

+ (x100)’ = 100x99

của hàm số y = x100?
- Từ đó dự đoán trong

+ (xn)’ = nxn-1

trường hợp tổng quát y
= xn (n>1) có đạo hàm
bằng bao nhiêu?
- Đây chính là công

1, Định lý 1:

thức tính đạo hàm của

Hàm số y = xn (n ∈

hàm số y = xn.

có đạo hàm tại mọi x ∈

, n > 1)
và

(xn)’ = nxn-1.
- Hướng dẫn HS chứng

Chứng minh:

minh định lý 1 dựa vào

Giả sử ∆x là số gia của x, ta có:

các bước tính đạo hàm

∆y = (x + ∆x)n - xn

bằng định nghĩa

= (x + ∆x - x)[(x+∆x)n-1 +

+ Giả sử ∆x là số gia

+ ∆y = f(x+∆x) - f(x)

(x+∆x)n-2x + ...+ (x+∆x)xn-2 +

của x. Hãy tính ∆y?

= (x + ∆x)n - xn

xn-1]

+ Hãy khai triển đẳng

+ an - bn = (a - b)(an-1 +

= ∆x[(x+∆x)n-1 + (x+∆x)n-2x


thức an - bn ?

an-2b +...+ abn-2 + bn-1)

+ Áp dụng hằng đẳng

+ ∆y = (x+∆x-x)

thức trên để khai triển
∆y?

y
?
x 0 x

+ Hãy tính lim

+...+ (x+∆x)xn-2 + xn-1]

y
 (x  x)n 1  (x  x) n 2 x
[(x+∆x)n-1 + (x+∆x)n-2x + x
...  (x  x)x n 2  x n 1
...+ (x+∆x)xn-2 + xn-1]
y
= ∆x[(x+∆x)n-1 +
lim
 x n 1  x n 1  ...  x n 1
x 0 x
n
(x+∆x)n-2x +...+
n 1
 nx
(x+∆x)xn-2 + xn-1]
Vậy (xn)’ = nxn-1
y

lim
x 0 x
 x n 1  x n 1  ...  x n 1
n

 nx

n 1

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) =

- Cho ví dụ:
Gọi HS lên bảng làm
bài.

5

+f’(x) = 6x

+Tại x = 1 thì f’(1) = 6

x6.
Tính f’(x) và f’(1)

- Định lý 1 chỉ áp dụng
cho trường hợp n>1.
Vậy trong trường hợp n

+ Tại n = 0  f(x) = 1

= 0, n=1 thì hàm số f(x)

+ Tại n =1  f(x) = x

ở định lý 1 trở thành?
Để tìm hiểu chúng có
đạo hàm bằng bao
nhiêu?
- Chia lớp làm 4 nhóm.
Treo bảng phụ nội dung
nhiệm vụ.
Nhóm 1 và 3 nhiệm vụ
1
Nhóm 2 và 4 nhiệm vụ
2

+ Nhiệm vụ 1:
Giả sử ∆x là số gia, ta
có:
∆y = f(x+∆x)-f(x)
=c-c=0

- Hoạt động:
+ Nhiệm vụ 1: Sử dụng định
nghĩa tính đạo hàm của hàm số
y = f1(x) = c tại điểm x bất kỳ.
+ Nhiệm vụ 2: Sử dụng định

nghĩa tính đạo hàm của hàm số
y

y

 0  lim
 0 y = f2(x) = x tại điểm x bất kỳ
x 0 x
x


Các nhóm thực hiện

Vậy f1’(x) = 0

trong vòng 5 phút

+ Nhiệm vụ 2:
Giả sử ∆x là số gia. Ta
có:
∆y = f(x + ∆x) - f(x)
= x + ∆x - x = ∆x



y
y
 1  lim
1
x 0 x
x

Vậy f2’(x) = 1.

- GV gọi HS nhận xét

- HS nhận xét bài nhóm

bài nhóm khác

khác

- Đây chính là nội dung

* Nhận xét:

của nhận xét trong sách

a, Đạo hàm của hàm hằng bằng

giáo khoa trang 158

0;

(c)’ = 0

b, Đạo hàm của hàm số y = x
bằng 1;

(x)’ = 1

HĐTP2: Tìm hiểu đạo hàm của hàm số y = √𝒙
- Ngoài hàm số y = xn ta
còn rất hay gặp hàm số

y = √𝑥. Vậy đạo hàm
của hàm số này có quy
tắc như thế nào thì ta

2, Định lý 2:

cùng tìm hiểu định lý 2.

Hàm số y = √𝑥 có đạo hàm tại

Gọi HS đọc định lý 2

HS đọc định lý 2

mọi x dương và

 x  '  2 1x

Chứng minh: (BTVN)
- GV hướng dẫn chứng
minh và yêu cầu HS về
nhà làm.


+ Ta sử dụng định nghĩa
để chứng minh định lý
trên.
+ Gọi ∆x là số gia của x
dương sao cho x+∆x >0
Từ đó hãy tính các dữ

liệu còn lại
+ Lưu ý ta tìm được ∆y
là biểu thức có chứa căn
nên khi tính

y
, hãy
x

nhân ∆y với biểu thức
liên hợp của nó thì bài
toán sẽ dễ dàng hơn.
- Cho bài toán sau:
Gọi HS lên bảng làm
bài

Ví dụ 2: Có thể trả lời ngay
f '(x) 

1
2 x

, x>0

được không, nếu yêu cầu tính
đạo hàm của hàm số f(x) = √𝑥

+ Tại x = -3 < 0

tại x = -3; x = 4?

 Không tồn tại đạo

hàm.
+ Tại x = 4 > 0
f ' 4 

1
2 4



1
4

- GV nhận xét bài của
HS
Hoạt động 2: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Trên thực tế, không
phải lúc nào ta cũng gặp
đạo hàm của các hàm số
đơn giản như y = xn hay


y = √𝑥 mà chúng ta còn
gặp rất nhiều hàm số
phức tạp liên quan đến
tổng, hiệu, tích, thương
như
1, y = x2 - x4 + √𝑥

2, y = x3(√𝑥 - x5)
3, y 

x2  x  1
x

Với những hàm số này
thì đạo hàm của chúng
được tính như thế nào
thì chúng ta cùng tìm
II, Đạo hàm của tổng, hiệu,

hiểu II

tích, thương
- Gọi HS đọc định lý 3

- HS đọc định lý 3

1, Định lý 3: Giả sử u = u(x), v
= v(x) là các hàm số có đạo
hàm tại điểm x thuộc khoảng
xác định. Ta có:

- GV nhấn mạnh trong
đạo hàm của thương thì
giá trị của mẫu số phải

(u+v)’ = u’ + v’

(1)

(u - v)’ = u’ - v’

(2)

(uv)’ = u’v + uv’

(3)

'

 u  u 'v  uv'
  
v2
v
(v  v(x)  0)

(4)

khác 0
- GV hướng dẫn chứng

Chứng minh:

minh

Ta chứng minh công thức 1

Ta sử dụng định nghĩa

Xét hàm y = u + v. Giả sử ∆x là

để chứng minh

số gia của x. Ta có số gia tương


+ Xét hàm y = u + v.Giả

ứng của u là ∆u, của v là ∆v và

sử ∆x là số gia của x.

của y = u + v là

Ta có số gia tương ứng

∆y = [(u+∆u) + (v+∆v)] - (u+v)

của u là ∆u, của v là ∆v

+ ∆y = [(u+∆u) +

và của y = u + v là ?

(v+∆v)] - (u+v) = ∆u

= ∆u + ∆v
Từ đó,

+∆v

y
+
=?
x

y
=?
x 0 x

+ lim

y u  v
+

x
x
y
u
 lim
x 0 x
x 0 x
v
 lim
 u ' v'
x 0 x
lim

y u  v

x
x

y
u
v
 lim
 lim
x 0 x
x 0 x
x 0 x
 u ' v'
lim

Vậy (u+v)’ = u’ + v’

- Chứng minh tương tự
ta được các công thức
(2), (3), (4).
- GV hướng dẫn ví dụ:

* Ví dụ:

+ Nhóm u1 + u2

Tính (u1 + u2 + u3)’ ?

+ Hãy áp dụng công

thức (1) với u = u1 + u2
và v = u3 để tính đạo
hàm của ((u1+u2) + u3)?
+ Hãy áp dụng công
thức (1) với u = u1, v =
u2.

(u1 + u2 + u3)’
= ((u1 + u2) + u3)’
= (u1 + u2)’ + u3’
= u1’ + u2’ + u3’

- Bằng quy nạp, ta dễ

* Mở rộng:

dàng chứng minh được

1, (u1 ± u2 ±...± un)’

công thức:

= u’1 ± u’2 ±...± u’n
2, (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w +
u.v.w’
* Ví dụ:
Áp dụng công thức trong định


lý 3, hãy tính đạo hàm của các

- Gọi HS lên bảng làm ý a, y’ = (5x3 - 2x5)’
a

hàm số:

= (5x3)’ - (2x5)’

a, y = 5x3 - 2x5

= 15x2 - 10x4

b, y = -x3.√𝑥

- Hướng dẫn làm ý b:
y’ = ?

y’ = (-x3.√𝑥)’

Áp dụng công thức (3)

y’ = (-x3)’.√𝑥 +

được gì?

(-x3).(√𝑥)’
y’ = -3x2.√𝑥 - x3.

1

2√𝑥

* Tổ chức trò chơi

Trò chơi: “ONG TÌM CHỮ”

“Ong tìm chữ”
- Phổ biến luật chơi:
- Chia lớp thành 4 nhóm

Hoạt động nhóm:

như hoạt động phần I,
mỗi nhóm lần lượt chọn

Đây là một từ tiếng anh quan

1 ô từ 1 đến 10 và trả

trọng liên quan đến đạo hàm:

lời các câu hỏi. Nếu
nhóm nào trả lời đúng
thì có quyền lật 1 ô chữ

Tính đạo hàm của các hàm số:

chủ đề. Nhóm nào đoán

1, y = x2 + x9

đúng và nhanh nhất ô
chữ chủ đề chính là đội

2, y 

1  2x
x3

chiến thắng và được

3, y = 10(5x-1)

quà.

4, y 

(7s)
(12s)
(10s)

x 1
5x  2

(15s)

5, y = x2 - x4 + √𝑥

(12s)

6, y =

3
1
với x ≠
2x  3
2

7, y = x3(√𝑥 - x5)

(15s)
(12s)


x2  x  1
8, y 
x

(15s)

9, y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1)
(15s)

x 2  2x  3
10, y 
3  4x

(17s)

Đáp án: DERIVATIVE
(có nghĩa là đạo hàm)

- Ở trò chơi trên ta đã
tính được
[10(5x-1)]’ = 10.5 = 50
2
 1 

 
(2x  3) 2
 2x  3 

+ Nếu cho k là một
hằng số thì (ku)’ bằng

(ku)’ = ku’
2, Hệ quả

bao nhiêu?

Hệ quả 1:

+ Nếu cho v=v(x)≠0
 1 
  =?
v

v'
 1 
   2
v
v

Đây cũng chính là nội
dung hệ quả

Nếu k là một hằng số thì (ku)’ =
ku’
Hệ quả 2:
v'
 1 
    2 (v = v(x) ≠ 0)
v
v

4. Củng cố và dặn dò
- Xem lại lý thuyết và ví dụ để nắm vững kiến thức.
- Làm bài tập 1, 2 trong sách giáo khoa trang 162, 163.