định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn

2.1.3 Định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn
Cho X là không gian định chuẩn trên �. Một toán tử tuyến tính liên tục X vào �
được gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Ta thường kí hiệu các
phiếm hàm tuyến tính liên tục là f, g, ...Với một phiếm hàm tuyến tính liên tục f
trên X, chuẩn của X được ính bởi
f = sup f (x) = sup f (x) = sup
x £1

x =1

x¹ 0

f (x)
x

Định lý sau đây cho thấy sự tồn tại thác triển không tăng chuẩn của một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn
Định lý 2.3: Cho X là một không gian định chuẩn, L là một không gian con của
X. Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên L, tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho
F

L

=f

F = f

và

Chứng minh

p(x) = f . x

, với x ∈X.

Đặt

Khi đó p là nửa chuẩn trên X và
f (x) £ f . x = p(x)

với mọi x∈L
Theo định lý Hahn-Banach cho không gian tuyến tính, tồn tại phiếm hàm tuyến
tính F trên X sao cho
F

L

=f

F(x) £ p(x)

và

với mọi x∈X

Hiển nhiên
F(x) £ p(x) = f . x

với mọi x∈X
F £ f

Suy ra F giới nội và

f £ F

. Ngoài ra, do F là thác triển của f nên


F = f

Như vậy

. Định lý được chứng minh

Định lý 2.3 được gọi là định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn
Hệ quả 2.4: Với mỗi phần tử x≠0 của một không gian định chuẩn X, luôn tồn
F( x) = x

F =1

tại một phiếm hàm tuyến tính giới nội F trên X sao cho

và

Chứng minh
Kí hiệu L là không gian tuyến tính sinh bởi x và
định như sau:

f : L®K

là phiếm hàm xác

f (y) = l x

với y=λx ∈ L
f = 1,

f (x) = x

Khi đó f là phiếm hàm tuyến tính giới nội trên L và
Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn tại phiếm hàm tuyến
F

tính giới nội F trên X sao cho

L

=f

F = f =1

và

F(x) = f (x) = f =1

Hiển nhiên

. Hệ quả được chứng minh

Hệ quả 2.5: Cho L là một không gian con của không gian định chuẩn X và
r (x, L) = inf y - x > 0

x∈X sao cho

yÎ L

. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính
F = 1/ r (x, L)

liên tục F trên X sao cho F(x)=1, F(y)=0 với mọi y ∈ L và
Chứng minh
Gọi H là không gian tuyến tính sinh bởi L∪{x}.
Khi đó với mọi z ∈ L thì z có biểu diễn duy nhất
z=λx + y, trong đó λ ∈ �, z∈ L
Xét phiếm hàm

f : H®K

xác định bởi f(z)= λ, với z=λx + y ∈ H


Dễ chứng minh được f là phiếm hàm tuyến tính trên H và f(x)=1, f(y)=0 với mọi
y∈L
Ngoài ra, với mỗi z=λx + y ∈ H
y
l x +y
1
l
=
£
z

r (x, L)
r (x, L)
r(x, L)

l x+
f (z) = f (l x + y) = l £

Kéo theo f là giới nội trên H. Ta tính chuẩn của f:
f = sup
0¹ zÎ H

f (z)
f (l x + y)
= sup
= sup
z
l x +y
yÎ L,l ¹ 0
yÎ L,l ¹ 0
1

= sup
yÎ L,l ¹ 0

x+

y
l

=

l
l x+

y
l

1
r (x, L)

Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn tại một phiếm hàm
tuyến giới nội F trên X sao cho
F

L

=f

F = f

;

=

1
r (x, L)

Hệ quả được chứng minh