Chuyên đề phương trình quy về phương trình bậc hai

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO

Phương trình đại số bậc n là phương trình đưa về dạng
an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0
trong đó n nguyên dương, x là ẩn, a1 , a2 , an là các số thực cho trước, an = 0
Phương trình đại số bậc n thường được giải bằng cách quy về các phương
trình bậc nhất bậc hai
Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao
hơn hai

1.1

Đưa về phương trình tích

Giải phương trình

√
√
x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2 = 0
Giải

√
√
x3 + 2x(x + 2) + 23 = 0
√
√
√

√
⇔ (x + 2)(x2 − x 2 + 2) + 2x(x + 2) = 0
√
√
↔ (x + 2)[x2 + (2 − 2)x + 2] = 0
√
√
Phương trình x + 2 = √
0 có nghiệm là x = − 2
Phương trình x2 + (2 − 2)x + 2 = 0 vô nghiệm
√ vì (∆ < 0)
Phương trình đã cho có một nghiệm là x = − 2

1.2

Đặt ẩn phụ

a) Giải phương trình

√

2x3 + 3x2 − 2 = 0
Giải

1


√
√
Viết phương trình đã cho dưới dạng 2 2x3 + 3.2x2 − 4 = 0 Đặt y = x 2

phương trình trở thành
y 3 + 3y 2 − 4 = 0 ⇔ (y − 1)(y + 2)2 = 0 ⇔

y=1
y = −2

√
2
x
=

⇔
2√
x=− 2


√

2 √
,− 2
2
b) Giải phương trình (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Phương trình có hai nghiệm

Giải
Khai triển rồi rút gọn ta được
x4 − 4x3 − 6x2 − 4x + 1 = 0

(1)

Chia hai vế cho x2 (hiển nhiên x = 0) vì x = 0 không là nghiệm của (1))
được
x2 − 4x − 6 −

4
1
1
1
+ 2 = 0 ⇔ x2 + 2 − 4 x +
x x
x
x

Đặt
x+
thì x2 +

1
=y
x

−6=0

(3)

1
= y 2 − 2 phương trình (2) trở thành
2
x

√
y 2 − 2 − 4y − 6 = 0 ⇔ y 2 − 4y − 8 = 0 ⇔ y = 2 ± 2 3
√
Với y = 2 + 2 3 thay vào (3) ta được
x2 − 2(1 +

√

3)x + 1 = 0 ⇔ x = 1 +

√

3±

√
3+2 3

√
Với y = 2 + 2 3 thay vào (3) phương trình vô nghiệm
√
√
Phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 + 3 ± 3 + 2 3
Chú ý

2

(2)


• Phương trình (1) nói trên có dạng

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0

(a = 0)

gọi là phương trình đối xứng bậc bốn để giải phương trình loại này ta
1
chia hai vế của phương trình cho x2 (vì x = 0) rồi đặt ẩn phụ y = x +
x
Khi đó
2
1
1
y2 = x +
= x2 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = 4
x
x
, do đó |y| ≥ 2 Chú ý rằng nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng
1
thì
cũng là nghiệm của phương trình đó
m
• Phương trình đối xứng bậc lẻ (chẳng hạng phương trình đối xứng bậc
năm ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0) bao giờ cũng nhận -1 là nghiệm.
Do đó ta có thể hạ bậc để đưa về phương trình đối xứng bậc chẵn
• Cách chia hai vế của phương trình cho x2 = 0 cũng được sử dụng đối
với các phương trình có dạng
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
e
=
a

d
y =x+
bx
trong đó

d
b

2

gọi là phương trình hồi quy. Ẩn phụ có dạng

c) Giải phương trình
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2

(1)

Giải
Cách 1
(1) ⇔ 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2
60
60
⇔ 4 x + 17 +
x + 16 +
=3
(x = 0)
x
x
Đặt x + 16 +

60
= y thì (2) trở thành
x

1
3
4y(y + 1) = 3 ⇔ 4y 2 + 4y − 3 = 0 ⇔ y = ; y = −
2
2
3

(2)


15
1
ta có 2x2 + 31x + 120 = 0 ⇔ x = −8; x = −
2
√ 2
3
−35
±
265
Với y = − ta có x2 + 35x + 120 = 0 ⇔ x =
2
4
Cách 2: Đặt x2 + 16, 5x + 60 = y, từ phương trình đã cho ta được y 2 = x2
Xét hai trường hợp y = x và y = −x ta được bốn nghiệm của phương trình
Chú ý
Với y =

• Phương trình (1) nói trên có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2
trong đó ad = bc ta nhóm
[(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = mx2
ad
(hoặc sai khác nhau một hằng số như
x
cách 1) hoặc y = (x + a)(x + d) (như cách 2)
ẩn phụ có thể đặt là y = x +

• Đối với phương trình có dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó
a+b+c
d=
, m = (d − a)(d − b)(d − c) ta đặt ẩn phụ y = x + d một
2
nghiệm của phương trình là y = 0
• Đối với các phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
trong đó a + d = b + c ta nhóm
[(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = m
từ đó đi đến cách đặt ẩn phụ
• Đối với phương trình có dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thường đặt ẩn
a+b
phụ y = x +
2

1.3

Đưa hai vế về lũy thừa cùng bậc

a) Giải phương trình x4 = 24x + 32

Giải
Thêm 4x2 + 4 vào hai vế ta được
x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36
x2 + 2 = 2x + 6
x2 + 2 = −2x − 6

⇔ (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 ⇔

4

(1)
(2)


√
Phương trình (1) có nghiệm x = 1 ± 5
Phương trình (2) vô nghiệm
b) Giải phương trình x3 + 3x2 − 3x + 1 = 0
Giải
x3 = −3x3 + 3x − 1 ⇔ 2x3 = x3 − 3x2 + 3x − 1
√
√
1
3
3
√
⇔ (x 2)3 = (x − 1)3 ⇔ x 2 = x − 1 ⇔ x =
1− 32
Vậy phương trình có nghiệm x =

1.4
1.4.1

1
√
1− 32

Dùng bất đẳng thức
Dùng tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số trên từng
khoảng

Giải phương trình
|x − 8|5 + |x − 9|6 = 1

(1)

Giải
Viết phương trình dưới dạng |x − 8|5 + |9 − x|6 = 1
Dễ thấy x = 8, x = 9 đều là nghiệm của (1). Xét các giá trị còn lại của x
• Với x < 8 thì |9 − x| > 1, |9 − x|6 > 1, |x − 8|5 > 0 nên vế trái của (1)
> 1 (1) vô nghiệm
• Với x > 9 thì |x − 8| > 1, |x − 8|5 > 1, |9 − x|6 > 0 nên vế trái của (1)
> 1 (1) vô nghiệm
• 8 < x < 9 thì
0 < x − 8 < 1 ⇒ |x − 8|5 < |x − 8| = x − 8
0 < 9 − x < 1 ⇒ |9 − x|6 < |9 − x| = 9 − x
Vế trái của (1) < x − 8 + 9 − x = 1 , (1) vô nghiệm
Vậy (1) có hai nghiệm là x = 8, x = 9

5

1.4.2

Dùng điều kiện xảy ra dấu bằng ở bất đẳng thức không chặt

Giải phương trình
|x2 − x + 1| + |x2 − x − 2| = 3

(1)

Giải
Ta có x2 − x + 1 =

x−

1
2

2

+

3
> 0 nên (1)
4

⇔ x2 − x + 1 + |2 − x2 + x| = 3 ⇔ |2 − x2 + x| = 2 − x2 + x
Áp dụng bất đẳng thức |A| ≥ A, xảy ra đẳng thức với A ≥ 0 ta có
2 − x2 + x ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2

Vậy nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn −1 ≤ x ≤ 2

2

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

Phương pháp đặt ẩn phụ đặc biệt có hiệu quả khi giải nhiều phương trình
có chứa ẩn ở mẫu thức. Nếu không đặt ẩn phụ sau khi đưa về phương trình
dạng nguyên, nhiều khi ta phải giải các phương trình bậc cao khá phức tạp.
Sau đây là một số cách biến đổi thường dùng

2.1

Chia tử và mẩu của phân thức cho x

Giải phương trình
7x
2x
−
=1
3x2 − x + 2 3x2 + 5x + 2
Giải
2
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình,
3
chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x = 0 ta được
Điều kiện x = 1, x = −

2
2

3x − 1 +
x

−

7
2
3x + 5 +
x

=1

2
2
7
= y phương trình trở thành
−
=1
x
y−3 y+3
Điều kiện y = ±3 bạn đọc tự giải tiếp
Đặt 3x + 2 +

6


√
−11 ± 97
Đáp số x =
6

Chú ý
Ta thường dùng các phương pháp trên đối với các phương trình có dạng sau
Dạng 1

ax2

nx
mx
+ 2
=p
+ bx + d ax + cx + d

Dạng 2

ax2 + mx + c ax2 + bx + c
+ 2
=0
ax2 + nx + c
ax + qx + c

Dạng 3

ax2 + mx + c
px
+ 2
=0
2
ax + nx + c
ax + qx + c

2.2

Thêm cùng một biểu thức vào hai vế để tạo thành
một bình phương đúng

Giải phương trình
x2 +

4x2
= 12
(x + 2)2
Giải

Điều kiện x = −2 thêm −2x
2x
x−
x+2

2

2x
vào hai vế ta được
x+2

4x2
= 12 −
⇔
x+2

x2

x+2

2

+

4x2
− 12 = 0
x+2

x2
= y ta được y 2 + 4y − 12 = 0 ⇔ y = 2; y = −6
x+2
√
Với y = 2 ta được x2 = 2x + 4 có nghiệm là x = 1 ± 5
Với y = −6 ta được x2 = −6x − 12 vô nghiệm
Đặt

2.3

Đặt hai ẩn phụ rồi tìm liên hệ giữa chúng

Giải phương trình
20

x−2
x+1

2

−5

2

x+2
x−1

+ 48

Giải

7

x2 − 4
=0
x2 − 1

(1)


Điều kiện x = ±1 Đặt

x+2
x−2
= y,
= z ta được
x+1
x−1
20y 2 − 5z 2 + 48yz = 0

(2)

Cách 1:Nếu z = 0 thì y = 0 loại
Nếu z = 0 chia hai vế của (2) cho z 2 ta được
20

y
z

2

y
+ 48 − 5 = 0
z

(3)

1
5
y
= a ta được a = ; a = − từ đó tìm được y, z, x
z
10
2
2
Đáp số x = 3, x =
3
Cách 2: (2) ⇔ (10y − z)(2y + 5z) = 0 từ đó tìm được x
Đặt

3

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

a) Giải phương trình
x
√
+
4x − 1

√

4x − 1
=2
x

(1)

Giải
1
(2)
4
a b
Ta có bất đẳng thức + ≥ 2 với a, b > 0 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
b a
a=b
√
√
1
Với x > thì (1)⇔ x = 4x − 1 ⇔ x2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 3 thỏa

4
mãn (2)
x
Chú ý: Cũng có thể đặt √
=y
4x − 1
b) Giải phương trình
Điều kiện x >

x+

x+

1
+
2
Giải

8

x+

1
=2
4


1
1
1

Đặt x + ≥ 0 thì x = y 2 −
4
y
4
Thay vào phương trình đã cho và chú ý rằng y ≥ 0, ta được

Điều kiện x ≥ −

y2 −

1
+
4

y2 +

1
1
1
+ y = 2 ⇔ y2 − + y + = 2
4
4
2

2
√
1
1
= ( 2)2
y +y+ =2⇔ y+

4
2
√
√
1
1
Do y ≥ 0 nên y + = 2 do đó y = 2 −
2
2
2
√
√
1
1
1
2−
− = 2 − 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ −
Khi đó y =
2
4
4
√
Nghiệm của phương trình là x = 2 − 2
c) Giải phương trình
1
1
+√
=2
x
2 − x2

2

Giải
√
√
(1)
Điều√kiện x = 0, − 2 < x < 2
2
Đặt 2 − x = y > 0
(2) thì 2 − x2 = y 2 khi đó ta có
x2 + y 2 = 2 và

1 1
+ =2
x y

Đặt S = x + y, P = xy các điều kiện trên trở thành S 2 − 2P = 2 và S = 2P
1
Dễ dàng tìm được P = 1, S = 2 và P = − , S = −1
2
Với P = 1, S = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 2X + 1 = 0 ta
được X = 1 do đó x = 1, y = 1 thỏa mãn (1) và (2)
1
Với P = − , S = −1 thì x, y là nghiệm của 2X 2 + 2X − 1 = 0 ta được
√2
−1 ± 3
x=
2
√
√

−1 − 3
−1 + 3
Do y > 0 nên x =
,y =
2
2
√
−1 − 3
Nghiệm của phương trình là x = 1, x =
2
d) Giải và biện luận phương trình
a−

√
a+x=x

với a là tham số
9


Giải
√
√
Đặt a + x = y phương trình trở thành a − y = x
Phương trình đã cho tương đương với hệ

(1)
 x ≥ 0, y ≥ 0
x2 = a − y
(2)

 2
y =a+x
(3)
Khử a từ (2) và (3) ta được
x2 − y 2 = −(x + y) ⇔ (x + y)(x − y + 1) = 0 ⇔ y = x hoặc y = x + 1
Trường hợp y = −x do x ≥ 0, y ≥ 0 nên x = y = 0 khi đó a = 0
Trường hợp y = x + 1 thay vào (3) ta được
(x + 1)2 = a + x ⇔ x2 + x + 1 − a = 0
√
−1 ± 4a − 3
3
(4) có nghiệm x =
với a ≥
4
√2
−1 − 4a − 3
Do (1) ta loại x =
√ 2
−1 + 4a − 3
≥ 0 được a ≥ 1
Giải điều kiện
2
Kết luận
Nếu a = 0 phương trình có một nghiệm x = 0 √
−1 + 4a − 3
Nếu a ≥ 1 phương trình có nghiệm x =
2
Nếu 0 = a < 1 phương trình vô nghiệm

10

(4)