02 các phép toán trên ma trận

Bài 2.
I.

II.

Các phép toán trên ma trận

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

Định nghĩa phép toán

2.

Các tính chất cơ bản

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

Định nghĩa phép toán

2.

Các tính chất cơ bản


I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

Định nghĩa phép toán

Ví dụ:

Thông tin về lợi nhuận của 3 siêu thị (A, B, C) kinh doanh 4 mặt
hàng (1, 2, 3, 4) trong 6 tháng đầu năm được cho thành một bảng
như sau:
MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

12

-2

13

27

B

23

31

14

22

C

3

12

47

29

Lợi nhuận trong 6 tháng cuối năm có sự thay đổi, cụ thể như sau:
MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

30

17

-1

11

B

20

23

16

5

C

13

-9

37

19

I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.
Định nghĩa phép toán
Hãy đưa ra bảng kê về lợi nhuận trong cả năm:

MH
Siêu thị

1

2

3

4

A

12

-2

13

27

B

23

31

14

22

C

3

12

47

29

1

2

3

4

A

30

17

-1

11

B

20

23

16

5

C

13

-9

37

19

1

2

3

4

A

42

15

12

38

B

43

54

30

27

C

16

3

84

48

MH
Siêu thị

MH
Siêu thị

12 2 13 27 �
�
�
A�
23
31
14
22
�
�
�3 12 47 29 �
�
�

30 17 1 11 �
�
�
B�
20

23
16
5
�
�
�
13 9 37 19 �
�
�

42 15 12 38 �
�
�
AB�
43
54
30
27
�
�
�
�
16
3
84
48
�
�

I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

Định nghĩa phép toán

Ví dụ:

Thông tin về doanh thu của 2 doanh nghiệp (A, B) kinh doanh 3
mặt hàng (1, 2, 3) trong được cho thành một bảng như sau:

MH
Siêu thị

1

2

3

A

12

32

13

B

23

31

14

12 32 13 �
�
A�
�
23
31
14
�
�

Nếu đánh thuế 10% số doanh thu thu được
thì doanh thu sau thuế của các doanh nghiệp sẽ là:
MH
Siêu thị

1

2

3

A

10,8

28,8

11,7

B

20,7

27,9

12,6

10,8 28,8 11,7 �
�
0,9 �A  �
�
20,7
27,9
12,6
�
�


I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

Định nghĩa phép toán

Cho hai ma trận cùng cấp m �n :

A   a ij 

m�n

;

B   bij 

m�n

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m �n, ký hiệu là A + B
và được xác định như sau:

A  B   a ij  bij 

m�n

Tích của ma trận A với một số  là một ma trận cấp m �n, ký hiệu
là A và được xác định như sau:

A   .a ij 

m�n

Chú ý:
+)

Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp;

+)

Việc thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và nhân ma trận với
số được thực hiện “theo từng vị trí”:


I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1.

Định nghĩa phép toán

Ví dụ:

Cho các ma trận

�3 2 5 �
A�
;
�
4 1 7 �
�

6 2 4 �
�
B�

�
�3 7 9 �

Khi đó:

3 0 1 �
�
AB�
�

1
8
16
�
�
�6 4 10 �
2A  �
�
�8 2 14 �


I.

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
2.

Các tính chất cơ bản

Với A, B, C là các ma trận cùng cấp m �n;
TC1:

AB  BA

TC2:

 A  B  C  A   B  C 

TC3:

A  0m�n  0m�n  A

TC4:

A    A   0m�n

TC5:

1.A  A

TC6:

  A  B   A  B

TC7:

     A  A   A

TC8:

   A    A 

,  là các số bất kỳ:


II.

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

Định nghĩa phép toán

Ở phổ thông đã xét tích vô hướng 2 vectơ trong R3:

u   2, 1,3 ; v   3,6, 5 
u.v  2.3  (1).6  3.(5)  15
Tương tự, ta cũng có phép tích vô hướng 2 vectơ với số phần tử lớn hơn:

X   x 1 , x 2 ,K , x n 
Y   y1 , y 2 ,K , y n 
XY  x1.y1  x 2 .y 2  L  x n .y n
Ví dụ:

X   3, 2,1, 4 
Y   3,6, 5,1

XY  3.3  (2).6  1.(5)  4.1  4


II.

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

Định nghĩa phép toán

Cho hai ma trận:

�a11 a12
�a
a 22
21
�
A
�L
L
�
a m1 a m 2
�

L
L
L
L

�b11
�b
21
B�
�L
�

b n1
�

a1n �
a 2n �
�
L �
�
a mn �
m�n

b12
b 22
L
bn 2

L
L
L
L

b1p �
b 2p �
�
L �
�
b np �
n�p

trong đó ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B

ĐN:

Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp m �p, ký hiệu là
AB và được xác định như sau:

�c11 c12
�c
c 22
21
�
AB 
�L
L
�
c m1 c m 2
�

L
L
L
L

trong đó cij  a i1b1j  a i2 b 2 j  L  a in b nj

 A id �Bcj

c1p �
c 2p �
�
L �

�
c mp �
m�p

A id   a i1 a i2 L

�b1j �
�b �
2j
Bcj  � �
�L �
� �
�b nj �
 i  1, 2,K , m; j  1, 2,K , p 

a in 


II.

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

Định nghĩa phép toán

Chú ý:
(1)

Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma
trận đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B);

(2)

Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng
bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của
ma trận đứng sau;

A 3�7 �B7�2  AB3�2
(3)

Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử c ij (nằm ở
dòng i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i của ma trận đứng
trước và cột j của ma trận đứng sau.

cij  A id �Bcj


II.

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

Định nghĩa phép toán

Ví dụ:

Cho hai ma trận

3 1 2 �
�

A�
;
�
�9 4 2 �
2�
3
�5 8 �
AB  �
�
27
13
�
�
2�2

�1 3 �
�
B�

2
3
�
�
�5 1�
�
�
3�2

số cột của A = số dòng của B = 3

�1 �
� 3  2  10  5
c11   3 1 2  ��

2
� �
�5 �
� �
c12  9  3  2  8
c 21  9  8  10  27
c 22  27  12  2  13

B3�2 A 2�3  BA 3�3
�24 11 8 �
�
BA  �
33

14
2
�
�
�
24 9 8 �
�
�


II.

Phép nhân ma trận với ma trận
1.

Định nghĩa phép toán

Ví dụ:

Cho hai ma trận

�2 4 1 �
�
A�
4
2
5
;
�
�
�
8 2 3 �
�
�

3 2 1 3 �
�
�
B�
5
0
4


1
�
�
�
2 5 3 6�
�
�

Tính A�
B

�42 36 42 50 �
�
A�
B�
2
18
10

2
�
�
�22 17 12 20 �
�
�


Cho 2 ma trận:

�2 2 4
�4 5 1
A�
�2 4 7
�
6 4 1
�

1�
2 1 4
�
�4 5 3
3�
�
; B�
�5 3 1
3�
�
�
5�
�3 4 1

Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận tích A'.B là:

50:50
A: - 5

B: - 23

C: 15

D: - 15

3 2�
1 4�
�
2 3�
�
3 1�


II.

Phép nhân ma trận với ma trận
2.

Các tính chất cơ bản

TC1:

Tính kết hợp

TC2:

Tính phân phối đối với phép cộng

 AB  C  A  BC 

A  B  C   AB  AC
TC3:

 B  C  D  BD  CD

Với A, B là ma trận sao cho tích AB tồn tại,  là một số bất kỳ thì

  AB    A  B  A  B 
TC4:

Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị

AE  A, EA  A
TC5:

Nếu tích AB tồn tại thì

A
 AB  � B��
Chú ý:

Nói chung phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán