05 ma trận nghịch đảo

Bài 5.
I.

II.

Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo
1.

Khái niệm ma trận nghịch đảo

2.

Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
1.

Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

2.

Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo


I.

Ma trận nghịch đảo
1.

Khái niệm ma trận nghịch đảo

ĐN:

Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X
(cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

AX  XA  E
Ký hiệu: Ma trận nghịch đảo của A là A-1
Chú ý:
Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông;
Ma trận nghịch đảo (nếu có) của một ma trận vuông sẽ là duy nhất.


I.

Ma trận nghịch đảo
2.

Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo

Tính chất 1:
Nếu ma trận A có nghịch đảo thì

 A 1 

Ta có

A.A 1  E

1

�

A

A 1  A

và

A.A 1  E

1

A . A 1  1 �

�

A 1  A

1

Tính chất 2:
Nếu hai ma trận vuông cùng cấp A, B đều có ma nghịch đảo thì ma trận
tích AB cũng có ma trận nghịch đảo và:

 AB 

Ta có

B

1



1

 B1A 1





A 1  AB   B1 A 1A B  B1  E  B  B1B  E

 AB   B1A 1 
�




 B

 A BB1 A 1  A  E  A 1  AA 1  E

 AB  B1A 1



A 1  AB   E

1


II.

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
1.

Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

ĐN:

Cho ma trận A vuông cấp n

A   a ij 

n�n

Xét ma trận vuông cấp n:

�A11
�A
A*  � 12
�L
�
A1n
�

A 21
A 22
L
A 2n

L
L
L
L

A n1 �
An2 �
�
L �
�
A nn �
n�n

Aij là phần bù đại số
của aij trong det(A).

Ma trận A* được gọi là MA TRẬN PHỤ HỢP của ma trận A.
Chú ý:

Việc lập ma trận A* được thực hiện như sau
● Các phần bù đại số trên dòng 1 của A được viết trên cột 1 trên A*;
● Các phần bù đại số trên dòng 2 của A được viết trên cột 2 trên A*;
●

●

●

●

●

●

● Các phần bù đại số trên dòng n của A được viết trên cột n trên A*;


Ma trận phụ hợp của ma trận

2 5�
�
A� �
1 3�
�

A11  3 A 21  5
A12  1 A 22  2
�3 5 �
A �
�
1 2 �
�
*

50:50

A:

�3 5 �
�
1 2 �
�
�

C:

3 1�
�
�
5 2�
�
�

B:

3 5�
�
�
1 2�
�
�

D:

�3 1�
�

5 2 �
�
�


II.

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
1.

Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

Ví dụ:

Tìm ma trận phụ hợp của ma trận A

2 1 4 �
�
A�
3 5 2 �
�
�
�
3 6 1�
�
�

17 25 18 �
�
�

A*  �
3
14

16
�
�
�33 9 13 �
�
�

A11  17

A 21  25

A 31  18

A12 

3

A 22  14

A 32  16

A13  33

A 23  9

A 33  13

II.

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
2.

Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

Định lý: Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là:

d 

A

� 0

Khi A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo được xác định
theo công thức:

A 1 

ĐN:

1 *
�
A
d

Ma trận vuông có định thức khác 0 được gọi là ma trận không suy

biến.
Ma trận có ma trận nghịch đảo còn được gọi là ma trận khả nghịch.

NX:

Ma trận A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi nó không suy biến.


II.

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
2.

Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

Các bước tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phụ hợp
Bước 1:

Tính định thức của ma trận A

Bước 2:

●

Nếu d  A  0 thì A không có ma trận nghịch đảo;

●

Nếu d  A �0 thì A có ma trận nghịch đảo;
Tính ma trận phụ hợp A

A 1 
Ví dụ:

*

1 *
�
A
d

Xét ma trận

2 5�
�
A� �
1 3�
�
A  1 �0

1 �3 5 � �3 5 �
� A  �
�
�
1 2 � �
1 2 �
1�
�
1

1

� A ;

�3 5 �
A �
�

1
2
�
�
*


II.

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
2.

Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

Ví dụ:

Tìm ma trận nghịch đảo của

4 2 3 �
�
A�
1 4 3�

�
�
�
5 1 4 �
�
�
Ta có

A  161 �0
Tìm ma trận phụ hợp A* của A:

�19 5 18 �
A*  �11 31 15 � �
�
�
�
21 14 14 �
�
�

�19 5 18 �
1 �
A 1 
11 31 15 �
�
161 �
�
21 14 14 �
�
�

II.

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
2.

Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

Ví dụ:

Cho ma trận vuông cấp 4

4 1 2
�
�
3 5 1
A�
�
1 4 2
�
2 3 1
�

5�
2�
�
3�
�
4�

Chứng minh rằng A có ma trận nghịch đảo, và hãy tìm phần tử nằm
ở dòng 1, cột 4 của ma trận nghịch đảo A-1.

A  41 �0
Ta lại có:

� A 1

�A11
�
A12
*
�
A 
�A13
1
1
�
A14  A 41
A14
�
41

1
�
A  A*
41
1 2 5
9

1
�
A

A 41   5 1 2  9
14
41
4 2 3
1

A 21

A 31

A 22

A 32

A 23

A 33

A 24

A 34

A 41 �
A 42 �
�
A 43 �

�
A 44 �