10 vecto và không gian vecto

Ch­¬ng­3
Kh«ng­gian­vect¬


Bài 1.

Vectơ n chiều và không gian vectơ

I.

Khái niệm vectơ n chiều

II.

Các phép toán vectơ

III.

1.

Định nghĩa phép cộng và phép nhân với số

2.

Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân vectơ với số

3.

Phép trừ vectơ

Không gian vectơ số học n chiều

I.

Khái niệm vectơ n chiều
1.

Định nghĩa

ĐN:

Vectơ n chiều là một bộ gồm n số thực có thứ tự ( x1 , x 2 ,K , x n ) .
Trong đó x i là thành phần tọa độ thứ i của vectơ

Ký hiệu: Vectơ thường được ký hiệu bởi những chữ cái IN HOA
Cách biểu diễn:

X ( x 1 , x 2 ,K , x n )
Ví dụ:

X = ( x 1 , x 2 ,K , x n )

X ( 3,5, −4,6, −1) là một vectơ 5 chiều

 x1 
x ÷
X= 2÷
 M÷
 ÷
 xn 

I.

Khái niệm vectơ n chiều
2.

Đẳng thức vectơ

ĐN:

Hai vectơ n chiều

X = ( x 1 , x 2 ,K , x n ) ,

Y = ( y1 , y 2 ,K , y n )

được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần ở vị trí tương
ứng của chúng đôi một bằng nhau:

x i = yi , i = 1, 2,K , n
Ký hiệu: X = Y
Ví dụ 1:

X = ( 2, −5,3)

Y = ( 2, −5, 37 )

Ví dụ 2:

X = ( 3, −2, −4 )

Y = ( 3,a − 3b, 2a − 6b )

Tìm các giá trị của a, b sao cho X = Y
Đặt b = α → a = 3α – 2

X=Y ⇔

 a − 3b = − 2
 2a − 6b = −4


Vậy với (a = 3α – 2, b = α) thì
X=Y


I.

Khái niệm vectơ n chiều
3.

Vectơ không và vectơ đối

Vectơ không: Là vectơ có tất cả các thành phần bằng 0.

0n = ( 0,0,
14 2K43,0 )
n

Vectơ đối của vectơ n chiều X = ( x1 , x 2 ,K , x n ) là vectơ n chiều:

− X = ( − x1 , − x 2 ,K , − x n )
Ví dụ 3:

X = ( 4, −1,6, −5 )

− X = ( −4,1, −6,5 )


II.

Các phép toán vectơ
1.

Định nghĩa phép cộng và phép nhân vectơ với số

ĐN:

Tổng của hai vectơ n chiều:

X = ( x 1 , x 2 ,K , x n ) ,

Y = ( y1 , y 2 ,K , y n )

là một vectơ n chiều, ký hiệu là X + Y và được xác định như sau:

X + Y = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,K , x n + y 2 )
ĐN:

Tích của vectơ n chiều X = ( x1 , x 2 ,K , x n )

với số thực α

là một vectơ n chiều, ký hiệu là αX và được xác định như sau:

αX = ( α ×x1 , α ×x 2 ,K , α ×x n )
Ví dụ 4: Cho 2 vectơ 4 chiều

X = ( 4, −1,5,3) ;

Y = ( 9, 4, −7,1)

X + Y = ( 13, 3, −2, 4) ;
3X = ( 12, −3, 15, 9 ) ;
2Y = ( 18, 8, −14, 2) ;

3X + 2Y = ( 30, 5, 1, 11) ;


II.

Các phép toán vectơ
2.

Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân với số

Với X, Y, Z là các vectơ n chiều, α, β là các số bất kỳ
TC1:

Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán

X+Y=Y+X
TC2:

Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp

( X + Y) + Z = X + ( Y + Z)
TC3:

Với mọi vectơ X:

X + 0n = 0n + X

TC4:

Với mọi vectơ X:

X + ( −X ) = 0n

TC5:

Với mọi vectơ X:

1.X = X

TC6:

Tính phân phối:

α ( X + Y ) = αX + αY

TC7:

( α + β ) X = αX + β X
Với mọi vectơ X: ( αβ ) X = α ( β X )


II.

Các phép toán vectơ
3.

Phép trừ vectơ

ĐN:

Hiệu của hai vectơ n chiều X và Y là một vectơ n chiều, ký hiệu là
X – Y và được xác định như sau:

X − Y = X + ( −Y )
NX:

Ta có thể thực hiện phép trừ theo tọa độ:

X = ( x 1 , x 2 ,K , x n ) ,

Y = ( y1 , y 2 ,K , y n )

X − Y = ( x1 − y1 , x 2 − y 2 ,K , x n − y n )

Chú ý:

Từ các tính chất suy ra: Ta có thể thực hiện các phép tính toán trên
vectơ như đối với biểu thức đại số (chuyển vế thì đổi dấu)…


Ví dụ 6: Cho các vectơ

X1 = ( 4, −3,1, 2 ) , X 2 = ( −3,7, 4,5 ) , X 3 = ( 2,7,9, −4 )
Tìm vectơ X thỏa mãn:

2X − 3X 2 = 4 ( X − X1 ) − 2X 3
Từ hệ thức trên suy ra:

2X = 4X1 − 3X 2 + 2X 3
Ta tính riêng các đại lượng ở vế phải:

4X1 = ( 16, −12, 4,8 )
−3X 2 = ( 9, −21, −12, −15 )
2X 3 = ( 4,14,18, −8 )
2X = ( 29, −19,10, −15 )
Đáp số là:

15 
 29 19
X =  , − ,5, − ÷
2
2
 2

III.

Không gian vectơ số học n chiều
ĐN:

Không gian vectơ số học n chiều là tập hợp tất cả các vectơ n chiều,
trong đó phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số được và thỏa
mãn 8 tính chất đặc trưng ở trên.

Ký hiệu: Không gian vectơ số học n chiều được ký hiệu là ¡

n