SKKN Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)

1

Mục Lục
Mục lục …………………………………………………………………………… 1
Phần 1: Mở đầu……………………………………………………………………. 2
1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………………2
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu……………………………. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………………………. 2
4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………….. 2
5. Tính mới của đề tài………………………………………………………… 3
Phần 2: Nội dung………………………………………………………………….. 4
1. Cơ sở lý luận ……………………………………………………………... 4
2. Thực trạng vấn đề…………………………………………………………. 4
3. Các giải pháp thực hiện…………………………………………………..... 4
3.1 Cơ sở lý thuyết……………………………………………………….4
3.2 Bài toán 1…………………………………………………………… 5
3.2.1 Dạng 1……………………………………………………….. 5
3.2.2 Dạng 2………………………………………………………. 7
3.2.3 Dạng 3………………………………………………………. 8
3.3 Bài toán 2…………………………………………………………… 8
3.3.1 Dạng 1………………………………………………………. 9
3.3.2 Dạng 2……………………………………………………… 10
3.4 Bài toán 3………………………………………………………….. 12
3.5 Bài toán 4………………………………………………………….. 14
4. Thực nghiệm và kết quả thực hiện……………………………………….. 17
Phần 3: Kết luận và kiến nghị……………………………………………………. 18
1. Kết luận……………………………………………………………………18
2. Kiến nghị…………………………………………………………………. 18
Phần 4: Tài liệu tham khảo ……………………………………………………….18

2

Phần 1: Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong các kì thi Tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng môn Toán đóng một vai
trò rất quan trọng. Trang bị những kiến thức, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ
cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong dạy học môn Toán. Phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  là một phần quan trọng trong chương trình toán
phổ thông. Được áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp, tuyển sinh nhưng thời
lượng nội dung này trong phân phối chương trình toán 11 rất ít. Học sinh còn lúng
túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán về phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh
yếu kém,… tôi đã lựa chọn và phân dạng một số bài toán về phương trình tiếp
tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho các đối tượng học sinh không bị thụ
động vì sự đa dạng của bài toán, giúp các em giải quyết tốt các bài toán về phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Do đó, tôi đã lựa chọn thực hiện đề tài "Phương pháp giải một số bài toán
về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  " mong muốn giúp học
sinh yêu thích môn Toán, và đạt kết quả thật tốt trong học tập cũng như trong các
kì thi quan trọng sắp tới.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nhằm hệ thống lại một số dạng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và
đưa ra phương pháp giải phù hợp cho từng dạng.
Chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Học sinh lớp 11a16 năm học 2013 – 2014.
Học sinh lớp 11A4, 11A8 Trường trung học phổ thông Trần Văn Bảy.
4. Phương pháp nghiên cứu

3
Để tiến hành làm đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
Tổng hợp, tích lũy.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu bổ trợ
Áp dụng kinh nghiệm, phương pháp mới trên lớp học.
Thao giảng, dự giờ, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp trong quá trình dạy.
5. Tính mới của đề tài
Đề tài chủ yếu tập trung phân loại một số dạng phương trình tiếp tuyến
thường gặp ở lớp 11, 12. Đối với mỗi dạng có hướng dẫn cách xác định các dữ
kiện còn thiếu để có thể viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số một
cách nhanh chóng.
Trong mỗi dạng được đưa ra đều có ví dụ minh họa dễ hiểu, có bài tập để
các em học sinh áp dụng. Đề tài không chọn những bài toán quá phức tạp nên việc
tiếp cận của học sinh đối với kiến thức phương trình tiếp tuyến cũng dễ dàng hơn.
Đây là đề tài rất gần với chương trình toán 11, có thể cung cấp cho các em thêm
những kiến thức thật vững để giải quyết các bài toán khó hơn ở lớp 12 cũng như
tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia.


4

Phần 2: Nội Dung
1. Cơ sở lý luận
Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc
giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Khi giải bài tập cần chuẩn bị
phương pháp thích hợp làm cho lời giải rõ ràng, có lôgic, chính xác, dễ hiểu … và
hiệu quả của việc giải toán tốt nhất, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh đối
với môn học.

Từ đó lựa chọn phương pháp phù hợp với mọi đối tượng học sinh, với
những dạng toán cụ thể giúp các em định hướng được phương pháp giải nhanh
nhất và có hiệu quả nhất.
2. Thực trạng vấn đề
* Thuận lợi
+ Được sự giúp đỡ nhiệt tình từ các đồng nghiệp và nhà trường.
+ Tài liệu tham khảo đa dạng.
+ Các em học sinh có tính hợp tác cao trong hoạt động dạy và học.
* Khó khăn
+ Thời lượng dành cho nội dung này rất ít.
+ Học sinh nắm kiến thức cơ bản chưa vững, một số em chưa chủ động
trong học tập, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng
kiến thức cũ,…
Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra
phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối tượng học
sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập...
Sau đây là “Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số y  f  x  ” mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy.
3. Các giải pháp thực hiện
3.1 Cơ sở lý thuyết


5
Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ
thị hàm số đó tại điểm M 0  x0 ; f  x0   .
Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm M 0  x0 ; f  x0   có phương trình là
y  y0  f   x0  . x  x0 

(1)

Trong đó y0  f  x0  .
3.2 Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
tại một điểm cho trước.
3.2.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
tại điểm M  x0 ; y0 
* Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0 
Cách giải:
+ Tính f '  x  , f '  x0 
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Cho hàm số y  x2  2 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) tại điểm A  0; 1 .
Giải
Ta có y  2 x  2  y  0  2 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A  0; 1 là:
y   1  2. x  0  hay y  2 x  1

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y  x3  3x2  2
hàm số (C) tại điểm M 1; 1 .

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị


6
2. Cho hàm số y  x4  8 x2  1

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hàm số (C) tại điểm M  1; 6  .
* Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x  tại điểm M thỏa mãn
tính chất P cho trước.
Cách giải:
+ Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x0 ; y0
+ Tính f ' x  , f ' x0 
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y 

2x 1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
x 1

(C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung .
Giải
Gọi M  x0 ; y0  với x0  1 là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
2 x0  1

x  0
 y0 
x0  1   0
 M  0; 1
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 
 y0  1
x  0
 0

Ta có f '  x  

5

 x  1

2

 f '(0)  5 .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M  0; 1 là:
y   1  5. x  0  hay y  5x  1

Ví dụ 2: Cho hàm số y   x3  6 x2  9 x  4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Giải
Gọi M  x0 ; y0  là giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
Tọa độ giao điểm M của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:
  x0  1
 M1 1;0 
 y0   x03  6 x02  9 x0  4

   x0  4  

 M 2  4;0 
 y0  0
y  0
 0


7
Ta có y  3x2  12 x  9  y ' 1  0; y '  4   9 .
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y  0 và y  9 x  36 .

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y 

x 3
x2

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các

giao điểm của đồ thị hàm số (C) đường thẳng d : x  y  1  0 .

1
2. Cho hàm số y  x 3  2 x 2  3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d tại
3
điểm cực đại của đồ thị (C).
3.2.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y  f  x  tại điểm
có hoành độ x0
Cách giải:
+ Tính f ' x   f ' x0 
+ Thay x0 vào (C) tìm y0
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ : Cho hàm số y 

2x 1
(C). Hãy viết phương trình của đồ thị hàm số
x2

(C) tại điểm có hoành độ x0  3 .
Giải
Ta có y   

3

 x  2

2

Với x0  3 ta được : y  3  3 ; y0  5
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N  3;5 là:
y  5  3. x  3 hay y  3x  14

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y  x3  3x2  1 , ta có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.


8

2. Cho hàm số y  

x3
 2 x 2  3x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
3

thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa f ''  x0   2 .
3.2.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
tại điểm có tung độ y0 .
Cách giải:
+ Thay y0 vào (C) tìm x0 .
+ Tính f   x   f   x0 
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ : Cho hàm số y 

x 3
x 1

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) tại điểm có tung độ bằng 2.
Giải
Theo đề bài ta có: y0  2 
Ta có y 

4

 x  1

2

 y   5 

x0  3
 2  x0  5
x0  1

1
4

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm P  5;2  là:
1
1

13
y  2  .  x  5 hay y  x 
4
4
4

Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y 

2x  3
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
x2

điểm có tung độ bằng 3.
2. Cho hàm số y  x3  3x2  x  2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
3.3 Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
biết hệ số góc của tiếp tuyến.


9
3.3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y  f  x 
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k .
Cách giải:
* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x0 .
+ Tính f ' x  . Giải phương trình f '  x0   k , tìm x0 .
+ Thay x0 vào phương trình y  f  x  tìm y0
+ Thay x0 , y0 , f '  x0  vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và đường cong (C).
+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y  kx  b

(2)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có
nghiệm:
 f  x   kx  b

 f   x   k

(Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)

+ Giải phương trình f ( x)  k tìm x thế vào phương trình f ( x)  kx  b tìm b
+ Thay b vào (2) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  f  x   x2  2 x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 6.
Giải
Cách 1:
Ta có y  f   x   2 x  2
Theo đề bài ta có f   x0   6  2 x0  2  6  x0  4
Với x0  4  y0  9
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M (4;9) là:
y  9  6  x  4  hay y  6 x  15

Cách 2:


10
Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y  kx  b
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có
nghiệm:

 x2  2 x  1  6 x  b
b  15


x  4
2 x  2  6

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  6 x  15 .
Bài tập áp dụng:
1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y 
góc của tiếp tuyến bằng

2x 1
, biết hệ số
4x 1

1
.
2

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C  : y  3x3  6 x2  2 x  1 ,
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1.
3.3.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x 
biết hệ số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước.
Cách giải:
+ Tính f ' x 
+ Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k
+ Áp dụng dạng 1 tìm phương trình tiếp tuyến của (C).

Chú ý:

Hai đường thẳng 1 : y  k1 x  m1; 2 : y  k2 x  m2
1 / / 2  k1  k2 ; 1  2  k1.k2  1

Ví dụ 1 : y  f  x   x2  2 x  1 có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến
của  C  biết tiếp tuyến :
a. Song song với đường thẳng d : y  4 x  2015 .
b. Vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  3  0 .


11
Giải
Ta có y  f   x   2 x  2 .
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4 x  2015
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4 x  2015
nên f   x0   4  x0  3
Với x0  3  y0  4
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M (3;4) là:
y  4  4  x  3 hay y  4 x  8

b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  3  0
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  3  0
1
3
nên f   x0     x0 
2

3
4

Với x0   y0 

4

1
16

Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm N  ;  là:
 4 16 
3 1

y

1
1
3
1
7
   x   hay y   x 
2
16
16
2
4

Ví dụ 2: Cho hàm số: y 

1 3
x  x 2  2x
3

tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bé nhất.
Giải
Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là k.
Khi đó: k = y' = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1  1, x 
 x  1
Dấu ''  '' xảy ra  
4  kmin  1 .
y

3


Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  x 

1
3

(C). Viết phương trình tiếp


12
Bài tập áp dụng:
2 x 2  3x  2
1. Cho hàm số y 
2x2  2

(C). Chứng minh rằng tại các giao điểm

của (C) với trục hoành các tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số  C  : y  f  x   x3  2 x2  x  7 không
có hai điểm bất kì mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
3.4. Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x 
biết tiếp tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A  xA ; y A  .
Cách giải:
* Cách 1
+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d: y  k ( x  xA )  yA (3)
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương tình
sao có nghiệm
 f ( x)  k ( x  x A )  y A

 f '( x)  k

(I)

(Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A) .
+ Giải hệ (I) tìm k, thay k tìm được vào (3) để viết phương trình tiếp tuyến.
* Cách 2
+ Gọi M 0  x0 ; y0  là hoành độ tiếp điểm.
+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M 0 là: y  f   x0  . x  x0   y0

(4)

+ Tiếp tuyến d qua A  xA ; y A   Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (4)
y A  f   x0  xA  x0   y0

(5)

+ Giải phương trình (5) tìm x0 , y0 , f   x0 

+ Thay x0 , y0 , f   x0  vào (4) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.


13
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  3x2  2 (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
thị hàm số (C) xuất phát từ điểm A  0;2  .
Giải
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;
Lập phương trình đường thẳng d qua A  0;2  có hệ số góc k là y  kx 2
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ phương trình
sau có nghiệm:
x  0  k  0

 x 3  3x 2  2  kx  2
 f  x   kx  2

 2

 '
3
9
x   k  
3x  6 x  k


 f  x  k

2
4

9
4

Vậy có hai tiếp tuyến là: y  2 và y   x  2 .
Ví dụ 2 : Cho đồ thị (C): y  x3  3x  1, viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 1) .
Giải
Ta có: y '  3x 2  3
Gọi M  x0 ; x03  3x0  1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 )  3x02  3 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y   x03  3x0  1  (3x02  3)( x  x0 )
 qua A( 2; 1) nên ta có: 1   x03  3x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x02  4  0
 x0  1  y0  1
 ( x0  1)( x02  4 x0  4)  0  
 x0  2  y0  1

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1 : y  1; 2 : y  9 x  17
Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y 

2x  1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x 1

số (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 8).


14
2. Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi
qua điểm N 1;3 .
3.5 Bài toán 4 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) : y  f  x 

biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện P cho trước.
Cách giải :
Đây là dạng toán khó về phương trình tiếp tuyến, đòi hỏi ta phải đọc và hiểu đề
bài, tìm hiểu điều kiện P liên quan đến đồ thị như thế nào rồi thực hiện các bước
giải sau :
+ Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M(x0; y0) có dạng: y = f ' x0  (x - x0) + y0 ,
+ Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0; f ' x0  ;
+ Thay x0; y0; f ' x0  vào y = f ' x0 (x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1 : Cho hàm số y 

2x
x2

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam
giác OAB thỏa mãn AB  OA 2 .
Giải
Ta có: y ' 

4
. Gọi M(x0; y0)  (C) , x0  2 .
 x  2 2

Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng: y 

Theo giả thiết:

2 x0
4



x

x

.
0
x0  2
x0  22

d  Ox  A 

d  Oy  B   OAB vuông cân tại O.

AB  OA 2 

Do đó: d  d1 : y  x hoặc d  d2 : y   x .
+ Nếu d  d1 : y  x thì k d .k d1  1 
Giải phương trình ta được:

4
2
.1  1  x0  2  4 .
2
 x0  2


15
x0 = 0  phương trình d: y = - x (loại)

x0 = 4  phương trình d: y = - x + 8.
+ Nếu d  d 2 : y   x thì k d .k d 2  1 

4
. 1  1 (vô lí).
 x 0  2 2

Vậy có duy nhất tiếp tuyến d cần tìm là y   x  8 .
Ví dụ 2 : Cho hàm số

y = x4 - x2 + 1

(C). Tìm những điểm trên Oy sao

cho từ những điểm đó kẻ được ba tiếp tuyến với (C).
Giải
Gọi M là điểm bất kì thuộc Oy  M  0; b  .
Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y  kx  b .

 x 4  x 2  1  kx  b
Từ M kẻ được ba tiếp tuyến  Hệ phương trình 
có ba
3
k  4 x  2 x
nghiệm phân biệt.
Giải hệ ta được b  1 M  0;1 .
Ví dụ 3 : Cho hàm số y =

2x 1
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến

x 1

của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và
B thỏa mãn OA  4OB .
Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
OA  4OB .

Do OAB vuông tại O nên tan A 

OB 1
1
1
  Hệ số góc của d bằng
hoặc  .
OA 4
4
4

3

x


1
(
y

)
0

0

1
1
1
2

Hệ số góc của d là y ( x0 )  
0
  
( x0  1)2
( x0  1)2
4
x  3 ( y  5)
0
 0
2


16
1
3
1
5


 y   4 ( x  1)  2
y   4 x  4

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 

1
5
 y   ( x  3) 
 y   1 x  13
4
2
4
4



Ví dụ 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

2x  2
,
x 1

biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải



Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M  a;

2a  2 
 ,  M  (C )  .
a 1 

Ta có: y ' 

4
4
 y '(a) 
,  a  1
2
( x  1)
(a  1) 2

Vậy  : y 

2a  2
4

( x  a)  4 x  (a  1) 2 y  2a 2  4a  2  0 (*)
2
a  1 (a  1)

d  I;  

4(1)  (a  1) 2 .2  2a 2  4a  2
4  (a  1) 4



8 a 1
4  (a  1) 4

.

2

Ta có: 4  (a  1)4  22  (a  1)2   2.2(a  1)2  4  (a  1)4  2.2(a  1)2  2 a  1
 d  I; 

8 a 1
 4 . Vậy d  I ;   lớn nhất khi d  I ;   = 4
2 a 1

a  1  2
a  1
 22  (a  1)2  

. Cả hai giá trị đều thỏa mãn a  1
 a  1  2
 a  3

+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:
4x  4 y  4  0  x  y 1  0

+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:
4 x  4 y  28  0  x  y  7  0

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  1  0 ; x  y  7  0
Bài tập áp dụng:


17
1. Cho (C) là đồ thị hàm số y 

x 1

. Viết phương trình tiếp tuyến với (C),
2x  1

biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn
 OAB vuông cân tại gốc tọa độ O.
2x 1
. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
x 1

2. Cho hàm số y 

I (1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.

3. Cho hàm số y 

2x  1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết
x 1

rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2).
4. Thực nghiệm và kết quả thực hiện
Sau quá trình thực nghiệm trên các lớp học, đa số các em học sinh hiểu và
giải quyết tốt các dạng toán thường gặp. Nhìn chung kết quả học tập của học sinh
khá khả quan, bên cạnh đó vẫn còn một số em chưa theo kịp nên kết quả đạt được
có phần hạn chế.
Sau đây là Kết quả thu được ở một số lớp qua những năm tôi trực tiếp giảng
dạy:
Năm học 2013 - 2014.
Lớp

Sĩ số

11A16

34

Trên trung bình

Dưới trung bình

SL

%

SL

%

17

50

17

50

Năm học 2014 - 2015.
Lớp

Sĩ số

Trên trung bình

Dưới trung bình

SL

%

SL

%

11A4

31

22

71

9

29

11A8

31

17

54,8

14

45,1

So với năm học trước thì các em học sinh 11 năm học 2014 – 2015 có kết
quả học tập tốt hơn, đây là tín hiệu đáng mừng.


18
Phần 3: Kết Luận Và Kiến Nghị
1. Kết luận
Trên đây là những kinh nghiệm tích lũy của bản thân trong quá trình giảng
dạy. Đề tài này đã được bản thân tôi sử dụng một cách có hiệu quả ở khối lớp 11.
Hữu ích cho các em học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp.
Kết quả thu được khá khả quan, các em học tập một cách tích cực, say mê.
2. Kiến nghị
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu. Bản thân tôi đã rút và tích lũy được
một số kinh nghiệm “Phương pháp giải một số bài toán về phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  ”. Thông qua đề tài này rất mong hội đồng khoa
học và các đồng chí, đồng nghiệp kiểm định, xây dựng và góp ý để đề tài này được
hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh.
Làm tài liệu tham khảo tin cậy cho Thầy và trò, phục vụ tốt cho ôn luyện
trong các kỳ thi quan trọng.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Phần 4: Tài Liệu Tham Khảo
1. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam.

2. Tài liệu chuyên toán Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam.
3. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
4. Internet: violet.vn, tailieu.vn,...


19
NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
--..………………………………………………………………………...........………
……………………………………………………………………….........................
.…………………………………………………………………………....................
..…………………………………………………………………………...................
..…………………………………………………………………………...................
Thạnh Trị, ngày tháng năm 2015
TỔ TRƯỞNG

………………………….
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ
THUẬT TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN BẢY
--..………………………………………………………………………...........………
……………………………………………………………………….........................
.…………………………………………………………………………....................
..…………………………………………………………………………...................
..…………………………………………………………………………...................
Thạnh Trị, ngày tháng năm 2015
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

HIỆU TRƯỞNG
Phan Văn Tiếng

20
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ
THUẬT NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH
--…………………………………………………………………………...........……
…………………………………………………………………….............................
…………………………………………………………………………....................
…………………………………………………………………………....................
………………………………………………………………………….....................
…………………………………………………………………………...........…….
…………………………………………………………………….............................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
…………………………………………………………………………...........……
……………………………………………………………………...........…………
……………………………………………………………….....................................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
…………………………………………………….....................................................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
………………………………………………………………………….....................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................