Bài tập toán kinh tế

BÀI TẬP CHO LỚP TOÁN KINH TẾ K59
Bài 1: Cho A là tập hợp các sinh viên sống cách xa trường trong vòng bán kính 1 km và 
B là tập hợp các sinh viên đang trên đường tới lớp. Hãy mô tả các sinh viên thuộc một 
trong các tập hợp sau: 
a) A B                 b) A B                   c) A\B                    d) B\A  
Bài 2: Giả sử A là tập hợp các sinh viên năm thứ hai ở trường Đại học Kinh tế quốc dân 
và B là tập hợp các sinh viên học môn toán rời rạc ở trường Đại học Kinh tế quốc dân. 
Hãy biểu diễn các tập sau đây qua A và B. 
a) Tập  hợp  các  sinh  viên  năm  thứ  hai  học  toán  rời  rạc  ở  trường  Đại  học  Kinh  tế 
quốc dân. 
b) Tập  hợp  sinh  viên  năm  thứ  hai  ở  trường  Đại  học  Kinh  tế  quốc  dân  không  học 
toán rời rạc. 
c) Tập hợp các sinh viên ở trường Đại học Kinh tế quốc dân hoặc là năm thứ hai, 
hoặc học toán rời rạc. 
d) Tập  hợp  các  sinh  viên  ở  trường  Đại  học  Kinh  tế  quốc  dân,  hoặc  không  là  sinh 
viên năm thứ hai, hoặc không học toán rời rạc. 
Bài 3: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {0, 3, 6}. Xác định các tập hợp: 
  a) A ∩ B              b) A ∪ B                  c) A \ B             d) B \ A 
Bài 4: Cho A = {a, b, c, d, e} và B = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Tìm: 
a) A ∩ B              b) A ∪ B                  c) A\B                d) B\A 
Bài 5: Cho A là một tập hợp, chứng minh: A = A 
Bài 6: Cho A là một tập hợp, chứng minh: 
  a) A ∪ ∅ = A             

b) A ∪ A = A 

  c) A ∩ A = A             

d) A \ ∅ = A                 

  e) A ∩∅ = A                        g) ∅ \ A = ∅ 

Bài 7: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh: 
  a) A ∪ B = B ∪ A                            b) A ∩ B = B ∩ A 
Bài 8: Tìm các tập A và B nếu A\ B = {1, 5, 7, 8}; B\A = {2, 10} và A∩B = {3, 6, 9}. 
Bài 9: Cho A và B là hai tập hợp bất kì, chứng minh:   
A ∪ B = A ∩ B 

 


  a) Bằng cách chỉ ra mỗi vế là tập con của vế kia. 
  b) Bằng cách dùng bảng thuộc tính. 
Bài 10: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh: 
  a) (A ∩ B) ⊆ A                      b) A ⊆ (A ∪ B) 
  c) A \ B ⊆ A   

 

  e) A ∪ (B \ A) = A ∪ B  

d) A ∩ (B \ A) = ∅ 
 

Bài 11: Cho ba tập hợp A, B, C. Chứng minh: 
A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C 
  a) Bằng cách chứng tỏ vế này là tập con của vế kia. 
  b) Bằng cách dùng bảng thuộc tính. 
Bài 12: Cho A, B, C là các tập hợp bất kì, chứng minh rằng: 
  a) (A ∪ B) ⊆ (A ∪ B ∪ C)                        b) (A ∩ B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) 
  c) (A\ B) \ C ⊆ A \ C                                d) (A \ C) ∩ (C \ B) = ∅ 
  e) (B \ A) ∪ (C \ A) = (B ∪ C) \ A 

Bài 13: Chứng minh rằng với A và B là hai tập hợp bất kì, ta có: 
A\B = A ∩ B 
Bài 14: Chứng minh rằng với A và B là hai tập hợp bất kì, ta có: 
(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) = A 
Bài 15: Cho A, B, C là các tập hợp, chứng minh rằng: 
  a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C  
  b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 

 

  c) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
Bài 16: Cho A, B, C là tâp hợp, chứng minh rằng: 
  (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C) 
Bài 17: Cho ba tập hợp A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; C = {4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10}. Tìm: 
a) A ∩ B ∩ C      b) A ∪ B ∪ C               c) (A ∪ B) ∩ C        d) (A ∩ B) ∪ C 
Bài 18: Vẽ biểu đồ Ven đối với các tổ hợp sau của các tập A, B và C 
  a) A ∩ (B ∪ C)                     b) A ∩ B ∩ C         c) (A\ B) ∪ (A \ C) ∪ (B \ C) 


Bài 19: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng  A  B  khi và chỉ khi  A  B  B.  
Bài 20: Cho A, B, C là ba tập con của tập S và  C là phần bù của tập C trong S. Chứng 
minh rằng: Nếu  A  C  B  C  và  A  C  B  C  thì A = B. 
Bài 21:  Cho  A,  B, C là  các tập hợp sao cho  A  B  A  C   và  A  B  A  C .  Chứng 
minh B = C. 





Bài  22:  Cho  ba  tập  hợp  A,  B,  C  thỏa  mãn   A  C   B  C  .   Chứng  minh  rằng 

A  B  ,  trong đó  C là phần bù của tập C. 
Bài 23: Ta gọi hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là một tập hợp được kí hiệu và xác 
định như sau:                           A B   A \ B    B \ A  .  
Chứng minh rằng  A B   A  B  \  A  B  .  
Bài 24: Cho A, B, C là ba tập hợp khác rỗng bất kì. Chứng minh rằng:  

A   B \ C    A  B  \  A  C .  
Bài 25: Cho A, B, C là các tập con của U. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a)

  A \ B    A  B    B \ A   A  B      

b) A \  B  C    A \ B    A \ C   
c) A \  B  C    A \ B    A \ C   
d) A   B \ C    A  B  \  A  C   
e) A   B  C    A  B    A  C   
f) A   B  C    A  B    A  C   
Bài 26: Chứng minh các tính chất: 
  a)   A  B    C  D    A  C    B  D  ,  
  b) 

 A   B    A  B ,   
i

iI

i

iI

i

i

iI

  c)   A  B    C  D    A  C    B  D  ,   
  d)   A \ B   C   A  C  \  B  C  ,   
  e)  A   B \ C    A  B  \  A  C  .    


Bài 27: Cho A, B, C là các tập con của tập U. Chứng minh rằng: 

A \ C  B \ C  khi và chỉ khi  A  C  B C.  
Bài 28: Cho A, B, C là ba tập hợp bất kì. Chứng minh rằng: 
A   BC    A  B    A  C .  

Ánh xạ
Bài 1: Giả sử  f :  X Y  là một ánh xạ, A và B là hai tập con của X, C và D là hai tập con 
của Y. Chứng minh rằng: 
a) f ( A  B)  f ( A)  f ( B );   
b) f ( A  B)  f ( A)  f ( B );   
c) f 1 (C  D )  f 1 (C )  f 1 ( D );  
d) f 1 (C  D )  f 1 (C )  f 1 ( D );  
e) f ( X \ A)  f ( X ) \ f ( A);   
f) f 1 (Y \ C )  X \ f 1 (C ).  
Bài  2:  Giả  sử  n  là  số  tự  nhiên  cho  trước,  f :       là  ánh  xạ  được  xác  định  bởi 

f (k )  n  k  nếu  k  n  và  f (k )  n  k  nếu  k  n.  Hỏi f có là đơn ánh, toàn ánh, song 
ánh hay không? 
Bài  3:  Cho  hai  ánh  xạ  f :  X  Y ,  g :  Y  Z   và  h  g  f là  ánh  xạ  tích  của  f  và  g. 
Chứng minh: 
a)  Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh, nếu thêm f là toàn ánh thì g là đơn ánh. 
b)   Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh, nếu thêm g là đơn ánh thì f là toàn ánh. 
Bài 4: Cho ánh xạ f :  X Y . Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi có một ánh xạ g từ 
Y đến X sao cho  g  f  id X     X    .  
Bài  5:  Cho  ánh  xạ f :  X Y .  Chứng  minh  f  là  đơn  ánh  khi  và  chỉ  khi  có  một  ánh  xạ 
g :  Y  X  sao cho  f  g  idY .  

Bài 6: Cho ba ánh xạ  f :  X  Y ;  g , g ' :  V  X .  Chứng minh: 
a) Nếu f là đơn ánh và f  g  f  g '  thì g = g’. 
b) Nếu với mọi g, g’ và với mọi tập V mà  f  g  f  g '  kéo theo g = g’ thì f  là đơn 
ánh.