Hệ toạ độ cực

luan van,khoa luan, thac si , su pham 1document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

----------

ĐÀO THỊ THANH HUYỀN

HỆ TỌA ĐỘ CỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S Đinh Thị Kim Thuý

Hà Nội, năm 2010
Đào Thị Thanh Huyền

1

tai lieu,dh su pham, luan van thac si1download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 2document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Bản khoá luận này là bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa
học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn do chưa có nhiều kinh nghiệm
trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt
tình của cô Đinh Thị Kim Thuý.
Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới cô Thuý cũng
như sự chỉ bảo quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo trong tổ Hình
học, các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giảng
dạy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời, em
cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới cô Nguyệt, bạn bè và người thân. . .
đã động viên, ủng hộ, giúp đỡ em trong thời gian qua.
Do điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức, năng lực của bản
thân nên khoá luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự chỉ bảo,
nhận xét, đóng góp của thầy cô cũng như bạn bè sinh viên để khoá luận này
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Đào Thị Thanh Huyền

Đào Thị Thanh Huyền

2

tai lieu,dh su pham, luan van thac si2download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán

luan van,khoa luan, thac si , su pham 3document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành là do sự cố gắng nỗ
lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ của cô Thuý, các
thầy cô khoa Toán, cô Nguyệt…
Khóa luận này là do em viết và những kiến thức trích dẫn trong khoá
luận là trung thực, không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Đào Thị Thanh Huyền

Đào Thị Thanh Huyền

3

tai lieu,dh su pham, luan van thac si3download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 4document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

A. MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................. 1
2. Lịch sử nghiên cứu .............................................................................. 1
3. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu .......................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 2
5. Cấu trúc khoá luận .............................................................................. 2
B. NỘI DUNG
§1. Hệ tọa độ cực ................................................................................... 3
1. Mở đầu ................................................................................................ 3
2. Định nghĩa hệ toạ độ cực .................................................................... 4
2.1. Định nghĩa ........................................................................................ 4
2.2. Ví dụ ................................................................................................. 6
3. Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ đề các vuông góc .................. 7
4. Bài tập thêm ........................................................................................ 12
5. Hướng dẫn giải bài tập thêm ............................................................... 13
§2. Phƣơng trình cực của một đƣờng cong ......................................... 16
1. Khái niệm ............................................................................................ 16
2. Phương trình cực của các đường tròn ................................................. 19
3. Phương trình của các đường coníc trong hệ toạ độ cực ...................... 21
4. Phương trình cực của các đường xoắn ốc ........................................... 23
5. Bài tập thêm ........................................................................................ 25
6. Hướng dẫn giải bài tập thêm ............................................................... 27

Đào Thị Thanh Huyền

4

tai lieu,dh su pham, luan van thac si4download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 5document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

§3. Dựng đƣờng cong cho bởi phƣơng trình cực
Tiếp tuyến của đƣờng cong ........................................................ 30
1. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực ...................................... 30
1.1. Đồ thị của phương trình cực ............................................................ 30
1.2. Nhận xét ........................................................................................... 33
2. Tiếp tuyến của đường cong ................................................................. 35
3. Bài tập thêm ........................................................................................ 40
4. Hướng dẫn giải bài tập thêm ............................................................... 41
§4. Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực.............................................. 44
1. Đổi biến số trong tích phân kép .......................................................... 44
2. Độ dài cung trong hệ toạ độ cực ......................................................... 46
2.1. Định lý .............................................................................................. 46
2.2. Áp dụng ............................................................................................ 47
3. Diện tích trong hệ toạ độ cực .............................................................. 49
3.1. Khái niệm hình quạt ......................................................................... 49
3.2. Công thức tính diện tích ................................................................... 50
3.3. Áp dụng ............................................................................................ 52
4. Bài tập thêm ........................................................................................ 54

5. Hướng dẫn giải bài tập thêm ............................................................... 55
KẾT LUẬN ............................................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 57

Đào Thị Thanh Huyền

5

tai lieu,dh su pham, luan van thac si5download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 6document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Từ xa xưa, trước những yêu cầu của thực tiễn, Toán học ra đời chỉ tồn
tại dưới hình thức là những kinh nghiệm. Cùng với thời gian, qua nhiều tìm
tòi, phát minh, các kinh nghiệm ngày càng đa dạng và phong phú hơn, được
các nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành các lý thuyết Toán học
mà ngày nay là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu các môn học khác.
Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành nên Toán học. Đây là
môn học thú vị nhưng tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic và trừu
tượng cao. Nhiều bài toán trong Hình học, việc tìm ra lời giải còn gặp nhiều
khó khăn hoặc nếu có thì thường rất dài. Lựa chọn một công cụ thích hợp là
việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức. Trong
quá trình học tập, nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, em được tiếp cận

với Hệ tọa độ cực, một bộ phận của Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ trong
việc giải toán và làm đơn giản một số vấn đề Hình học phức tạp.
Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này và sự giúp đỡ của cô
Đinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề
“HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ hơn thế nào là Hệ tọa độ cực,
tính chất và một số ứng dụng của nó vào việc giải toán trong Hình học.
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay, chưa có một đề tài nào nghiên cứu một cách đầy đủ và hệ
thống về Hệ tọa độ cực. Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoá
luận này là một việc làm có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.

Đào Thị Thanh Huyền

6

tai lieu,dh su pham, luan van thac si6download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 7document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

3. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu các kiến thức về Hệ tọa độ cực và
một số ứng dụng của nó vào việc giải các bài toán Hình học, giúp cho người
học hiểu biết thêm phần nào về Hệ tọa độ cực.
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, một số bài toán trong Hình học.
- Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…)

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo
và các tài liệu có liên quan.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh và hệ thống hóa.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mục đích, kết luận và danh mục sách tham khảo, cấu trúc
khoá luận bao gồm:
§1. Hệ tọa độ cực
§2. Phương trình cực của một đường cong
§3. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực
Tiếp tuyến của đường cong
§4. Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực

Đào Thị Thanh Huyền

7

tai lieu,dh su pham, luan van thac si7download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 8document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

B. NỘI DUNG
§1. Hệ tọa độ cực
1. Mở đầu
Như ta đã biết, một hệ toạ độ cực trong mặt phẳng cho thấy mối liên hệ

giữa một cặp hai số sắp thứ tự với một điểm trong mặt phẳng. Điều này đơn
giản, nhưng có tác dụng lớn trong việc tìm hiểu nhiều bài toán trong Hình
học, đặc biệt là nghiên cứu các tính chất của đường cong, bằng các phương
pháp của đại số và giải tích.
Chúng ta thường quen thuộc với Hệ toạ độ Đề các vuông góc, trong đó ta
đặt trong mặt phẳng hai trục vuông góc. Tuy nhiên, thường xảy ra trường hợp
là đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc toạ độ, như là đường đi
của một hành tinh xung quanh quỹ đạo của nó, được xác định bởi lực hấp dẫn
của mặt trời. Đường cong như vậy được mô tả tốt nhất như chuyển động điểm
mà vị trí của nó được chỉ rõ bởi hướng đến gốc toạ độ và khoảng cách đến
gốc toạ độ. Đó chính xác là những gì mà hệ toạ độ cực sẽ miêu tả.

M



O

Đào Thị Thanh Huyền

Hình 1.1

8

tai lieu,dh su pham, luan van thac si8download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

x

K32G – Toán

luan van,khoa luan, thac si , su pham 9document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

2. Định nghĩa hệ toạ độ cực
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Mặt phẳng định hướng
a, Định nghĩa:
Trong mặt phẳng, xét điểm O tuỳ ý, xung quanh O có 2 chiều quay.
Nếu ta chọn một trong hai chiều là chiều dương, chiều còn lại là chiều âm thì
ta nói mặt phẳng đã được định hướng.
b, Quy ƣớc:
Thông thường, ta quy ước chiều quay quanh O (như trên) là dương nếu
chiều quay này là ngược chiều kim đồng hồ và là âm nếu chiều quay này là
cùng chiều kim đồng hồ.
2.1.2. Góc định hướng giữa 2 vectơ
a, Định nghĩa:



Trong mặt phẳng định hướng, cho 2 vectơ a và b (đều khác vectơ không):


TH1: a và b cùng chung gốc O. Khi đó, góc định hướng giữa 2 vectơ, có
 


vectơ đầu là a và vectơ cuối là b , kí hiệu là a, b là góc thu được khi quay

 



vectơ đầu a xung quanh O tới trùng vectơ cuối b .


TH2: a và b không chung gốc:
Từ một điểm (gọi là điểm gốc) O nào đó trên mặt phẳng ấy, dựng vectơ
   
OA  a , OB  b (như hình bên).

a
A


b

Đào Thị Thanh Huyền

O

B

Hình 1.2

9

tai lieu,dh su pham, luan van thac si9download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 10document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp


Với mỗi vectơ đầu a , vectơ cuối
 
 
hướng, kí hiệu a, b với số đo: a, b =sđ

 

  


b ta xác định được một góc định
 
OA, OB .



b, Nhận xét:


- Gọi  là giá trị đầu thu được khi quay a theo góc hình học bé nhất
 


quanh O tới trùng b thì a, b    k 2 , k  Z .

 



- Góc  là góc định hướng giữa cặp vectơ a và b thì giá trị này là âm


hay dương tuỳ theo khi ta quay a quanh O tới b theo chiều âm hay dương
của mặt phẳng.
Ta thường quy ước:


+, góc   0 nếu a quay quanh O tới b theo chiều ngược chiều kim
đồng hồ.



góc   0 nếu a quay quanh O tới b theo chiều cùng chiều kim

+,

đồng hồ.
(như trong lượng giác)
2.1.3. Hệ toạ độ cực
- Giả sử mặt phẳng của ta đã được định hướng. Chọn một điểm O cố định



và một trục Ox nào đó với vectơ chỉ phương đơn vị là i . Khi đó, ta có hệ toạ


độ cực Oi , và điểm O được gọi là gốc cực (cực) của hệ toạ độ.
Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta đặt:

 Khoảng cách được tính bởi khoảng cách định hướng r đo bởi gốc
cực O tới điểm cuối M gọi là bán kính:
r  OM



 Góc  gọi là góc định hướng giữa cặp vectơ i và OM .
Khi đó, cặp số (r , ) được gọi là toạ độ cực của điểm M đối với hệ toạ


độ cực Oi đã chọn.

Đào Thị Thanh Huyền

10

tai lieu,dh su pham, luan van thac si10download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 11document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

- Toạ độ cực (r , ) của mỗi điểm M khác với điểm O không duy nhất.
Nếu (r , ) là một toạ độ cực của điểm M thì (r ,  2k ) , (k  Z) cũng là toạ
độ cực của điểm M, hay nói cách khác: Mỗi điểm của mặt phẳng đều có nhiều
tọa độ cực.
- Thuật ngữ “khoảng cách định hướng” là để nói lên rằng ta thường gặp
những tình huống trong đó r là số âm. Trong trường hợp này thường được
hiểu: thay vì di chuyển từ gốc theo hướng đã xác định bằng hướng cuối của
 , ta chuyển qua gốc O một khoảng (r ) theo hướng ngược lại.

- Giá trị r  0 chính là gốc cực, không cần đến giá trị của  .




6

4

Chẳng hạn, các cặp (0;0) ; (0; ) ; (0;  ) ;…đều là các toạ độ cực của điểm
gốc cực O.
2.2. Ví Dụ


Ví dụ 1: Cho điểm P có tọa độ cực (2; ) . Vẽ hình minh hoạ và xác định một
4

vài toạ độ cực khác của điểm P.
Lời giải:

P

2

O


4

x

P
’

2

Hình 1.3


Điểm P trong hình vẽ 1.3 có toạ độ cực là: (2; ) .
4





4

4

Nhưng nó cũng có toạ độ cực là: (2;  2 ) ; (2;  4 ) ; …

Đào Thị Thanh Huyền

11

tai lieu,dh su pham, luan van thac si11download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 12document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Ngoài ra, một toạ độ cực khác của P trong hình vẽ 1.3 là: (2;

5
).
4



Ví dụ 2: Cho tọa độ cực của hai điểm M (2, ) và P (3, ) . Tìm tọa độ cực
3
6
khác của hai điểm này với r có dấu ngược nhau.
Lời giải:
Tọa độ của một điểm trong Hệ tọa độ cực có dấu của r ngược nhau là
những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O


P (3, )
3



M (2, )
6

N (2,

7
)
6

Q(3,

O

4
)
3

Hình 1.4


7
Nhìn vào hình 1.4 ta có hai điểm M (2, ) và N (2, ) ,
6
6


4
P (3, ) và Q (3, ) là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O.
3
3
3. Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vuông góc




Giả sử có hệ toạ độ cực Oi . Ta chọn vectơ đơn vị j vuông góc với




vectơ i sao cho hệ toạ độ Oi j là hệ tọa độ đêcác vuông góc thuận.
Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi (r , ) là toạ độ cực của nó, còn ( x, y ) là toạ
độ đêcác vuông góc của điểm M. Khi đó:


i  (1;0) ; j  (0;1)


và  là góc định hướng giữa cặp véctơ: i và OM .

OM  ( x, y) ;

Đào Thị Thanh Huyền

12

tai lieu,dh su pham, luan van thac si12download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 13document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

M

y
r


j



i

O

x

Hình 1.5
Ta có: r 2  x 2  y 2 .
1, Nếu M = O thì r và  là một số thực bất kì.
2, Nếu M  O thì r  x 2  y 2 hoặc r   x 2  y 2
- Nếu r  x 2  y 2 thì  được xác định bởi công thức:

cos 

x
x2  y 2

; sin  

y
x2  y 2

- Nếu r   x 2  y 2 thì  được xác định bởi công thức:
cos  

x
x2  y 2

sin   

;

y
x2  y 2

Vậy:
+) r ,  đã biết thì:

 x  r cos 
cho ta cách tìm x, y.

 y  r sin 

+) x, y đã biết thì:

r 2  x 2  y 2


y cho phép ta có thể tìm được r , .
tan



x


Đào Thị Thanh Huyền

13

tai lieu,dh su pham, luan van thac si13download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 14document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Chú ý:
- Khi sử dụng các phương trình này, ta cần phải cẩn thận xác định chính
xác dấu của r và chọn  thích hợp với góc phần tư mà (x, y) nằm trong đó.

- Đôi khi ta đổi biến x,y sang hai biến mới r , theo công thức:
 x  x0  r cos 

 y  y0  r sin 

(tọa độ cực tịnh tiến).

 x  ar cos 
 y  br sin 

(tọa độ cực co dãn).

Hay cũng có thể là: 

(gọi chung là tọa độ cực suy rộng).
Ví dụ 1: Tọa độ vuông góc của điểm M là (1; 3) . Hãy tìm tọa độ cực của
điểm M.
Lời giải:
2

Từ giả thiết M (-1; 3 ) suy ra x = -1; y = 3 nên r   12  3  2
và tan  

y
3

 3.
x 1

Vì điểm này nằm trong góc phần tư thứ hai, nên sử dụng kiến thức về

hình học ta có: r =2 và  

2
2
. Do đó, tọa độ cực của điểm M này là (2;
).
3
3

M (1, 3)

3
2
3

1

1

O
 3

M (1,  3)

Hình 1.6


Một tọa độ cực khác của điểm M cũng thỏa mãn là: (-2;  )
3

Đào Thị Thanh Huyền

14

tai lieu,dh su pham, luan van thac si14download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 15document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 2: Tìm tọa độ đề các vuông góc của các điểm cho bởi các toạ độ cực
sau:


a, (2; )
4


c, (0; )
2


b, (2;  )
2

d, (0;  )

Lời giải:


a, Giả sử: điểm M có tọa độ cực (2; ) => r= 2;  
4

4

suy ra tọa độ đề các vuông góc (x,y) của điểm M là:



x  2 cos

x

r
cos



x  2
4 



 y  r sin 

 y  2 sin 
y  2



4

y

M ( 2; 2)
2

Vậy điểm M ( 2; 2)
x

O

Làm tương tự, ta có kết quả:
b, M(0,-2).

Hình 1.7

c, Tia oy.
d, Tia đối tia ox.
Ví dụ 3: Cho a là một số dương và giả sử có các điểm F=(a,0) và F’=(-a,0).
Tập hợp tất cả các điểm P sao cho tích khoảng cách PF và PF’ bằng a2: được
gọi là đường lemniscate.
a, Hãy tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ tọa độ
Đềcác vuông góc.
b, Tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ toạ độ cực.

Đào Thị Thanh Huyền

15

tai lieu,dh su pham, luan van thac si15download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 16document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Lời giải:
P(r ,  ) =(x,y
)

d2
r

d1


F’(a,0)

O

F(a,0)

Hình 1.8

a,

a>0, F(a,0), F’(-a,0)
Giả sử P(x,y) là tọa độ vuông góc của điểm P nằm trên đường cong
lemniscate. Ta đặt d1= PF, d2= PF’
Theo dữ kiện đầu bài: d1d2  a2  d12d22  a4
Mặt khác, d12  ( x  a)2  y 2 và d22  ( x  a)2  y 2
 d12 d 2 2  ( x  a)2  y 2  ( x  a)2  y 2 

 ( x  a)2 ( x  a)2  ( x  a) 2 y 2  ( x  a)2 y 2  y 4  a 4
 x 4  2a 2 x 2  a 4  y 2 ( x 2  2 x  a 2  x 2  2ax  a 2 )  y 4  a 4
 x 4  2 x 2 y 2  y 4  2a 2 x 2  2a 2 y 2  0

 ( x 2  y 2 )2  2a 2 ( x 2  y 2 ) : Đây phương trình đường lemniscate trong hệ tọa độ

vuông góc.
b, Chuyển phương trình ( x 2  y 2 )2  2a 2 ( x 2  y 2 ) sang dạng cực, ta có:
(r 2 )2  2a 2 (r 2 cos 2  r 2sin 2 )  r 4  2a 2 r 2cos2
 r 2  2a 2cos2 : Đây là phương trình lemniscate trong hệ tọa độ cực.

Đào Thị Thanh Huyền

16

tai lieu,dh su pham, luan van thac si16download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 17document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

4. Bài tập thêm
Bài 1: Một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r =1 có một
đỉnh nằm trên trục dương x. Tìm tọa độ cực tất cả các đỉnh của ngũ giác đó.
Bài 2: Cho đường cong r  4sin  . Hãy chuyển phương trình này sang
phương trình tương đương trong hệ tọa vuông góc, và chứng minh nó là
phương trình đường tròn.
Bài 3: Biến đổi các phương trình vuông góc đã cho sau đây thành phương
trình cực tương đương:
a, x = 5

d, y  x 2

b, y = -3

e, y 2  x 2 (

2
2
c, x  y  9

f, y 2  x( x 2  y 2 )

2 x
)
2 x

Bài 4: Biến đổi các phương trình cực đã cho sau đây thành các phương trình
vuông góc tương đương:
a, r = 2

e, r 2  2a 2 cos 2 : ptr lemniscate

b,   

f, r  a sin 2 : ptr cánh hoa hồng

c, rcos  = 3

g, r  tan 

d, r=a(1+2cos  ): ptr limacon

h, r 2  cos4

4

Bài 5: Sử dụng công thức y  r sin  để tìm giá trị lớn nhất của y trên:
a, Đường hình tim cardioid: r  2(1  cos )
b, Đường lemniscate: r 2  8cos 2
Bài 6: Sử dụng công thức x  rcos để tìm tọa độ cực của các điểm trên
đường hình tim cardioid: r  2(1  cos ) có tọa độ x nhỏ nhất. Tọa độ nhỏ nhất
của x là bao nhiêu?

Đào Thị Thanh Huyền

17

tai lieu,dh su pham, luan van thac si17download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 18document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

5. Hƣớng dẫn giải bài tập thêm

B

Bài 1:
C

Giả sử ta có ngũ giác đều

O

ABCDE nội tiếp trong đường tròn (0;1)
A thuộc truc dương ox, (như hình vẽ 1.9),

A

Khi đó:
D

OA=OB= OC= OD= OE= r= 1,

E





  2
AOB  BOC
 COD
 DOE
 EOA
5

Như vậy, A(1;0), B(1;

Hình 1.9

2
4
6
8
), C(1; ), D(1; ), E(1; ).
5
5
5
5

Bài 2: r  4sin .
 x  r cos 
 x  4sin  cos 

 y  r sin 

 y  4sin  sin 

Đổi sang hệ tọa độ đề các vuông góc : 

 x 2  y 2  42 sin 2  (cos 2  sin 2  )  x 2  y 2  4.4sin  sin 

 x 2  y 2  4 y  x 2  ( y  2) 2  0

Đây là phương trình của đường tròn (0;2), bán kính r = 2.
Bài 3:
a, r cos   5  r  5sec
b, r sin   3  r  3csc
c, r = 3.
d, r  sin  (1  tan 2  )
e, r 

sin 2 
cos cos2

f, r 

1
 2cos 
cos

Đào Thị Thanh Huyền

18

tai lieu,dh su pham, luan van thac si18download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 19document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Bài 4: Dựa vào công thức: x = rcos  , y = rsin  ta có:
a, x 2  y 2  4 . Đây là phương trình đường tròn với tâm O(0;0), R=2.
b,  


4

 tan   1 

y
 1  y  x : Đây là phương trình đường phân giác góc
x

phần tư thư nhất.
c, x=3: Phương trình đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành
tại điểm x=3.
d, r  a(1  2cos )  r 2  ra(1  2cos )  r 2  2ar cos  ar

 x2  y 2  2ax  ar . Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

x

2

 y 2  2ax   a  x 2  y 2 
2

2
e, r 2  2a 2 cos 2  r 2  2a 2 (2cos 2   1)  r 2  2a 2 (2( x )2  1)   r 2  2a 2 ( 22 x 2  1)



 r 2  2a 2 (

r



x y

2 x2  x2  y 2
)  ( x 2  y 2 ) 2  2a 2 ( x 2  y 2 )
x2  y 2

Đây là phương trình lemniscate trong hệ tọa độ vuông góc.
f, ( x 2  y 2 ) x 2  y 2  2axy
g, x 4  x 2 y 2  y 2  0
h, ( x 2  y 2 )3  x 4  6 x 2 y 2  y 4
Bài 5: y  r sin 
a, r  2(1  cos )

(1)

y
Theo giả thiết: y = rsin  với sin   0 , suy ra r 
. Thay vào (1) ta được:
sin 

y
 2(1  cos )  y  2sin   2sin  cos  y  2sin   sin 2
sin 

Có: y  2cos  2cos 2  y  2cos  4cos 2   2

Đào Thị Thanh Huyền

19

tai lieu,dh su pham, luan van thac si19download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 20document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

y  0  4 cos 2   2cos  2  0  (cos  1)(2 cos   1)  0
  
cos  1



  
cos  1
3

2


Ta có bảng xét dấu:

y

-


3

0
+

+

y

0



-

3 3

2

Vậy ymax = y(  ) =
3

0

+
+

0

3 3

tại điểm có tọa độ cực (3; )
2
3

b, ymax = 2 tại điểm (2; 


6

)

Bài 6:
Cách làm tương tự như bài 5 ta được kết quả:
xmin = x(

2

1
) = - tại điểm có tọa độ cực: (0; 2 )
3
2
3

Đào Thị Thanh Huyền

20

tai lieu,dh su pham, luan van thac si20download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 21document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

§2. Phƣơng trình cực của một đƣờng cong
1. Khái niệm
Cũng như hệ tọa độ Đềcác vuông góc, một đường cong Г cũng có


phương trình đối với hệ tọa độ cực. Giả sử, ta đã chọn hệ tọa độ cực Oi , f là
một hàm số với biến số thực. Tập hợp Г các điểm M của mặt phẳng có ít nhất
một cặp tọa độ cực (r,  ) thỏa mãn phương trình f(r,  ) = 0 gọi là đường cong
với phương trình cực f( r,  ) = 0.
Hay nói cách khác: f(r,  ) sẽ gọi là phương trình của đường cong Г nếu
điểm M thuộc Г thì tọa độ cực (r,  ) của nó thỏa mãn phương trình f(r,  ) = 0.

Đặc biệt, nếu r:   r ( ) là một hàm số xác định trên tập hợp I  R thì
tập hợp Г các điểm M của mặt phẳng có tọa độ cực (r ( ); ) gọi là đường
cong với phương trình cực r  r ( ) .
Ví dụ 1: Cho F1 và F2 là hai điểm có tọa độ là: (a;0) và (-a;0).
Nếu b là một hằng số dương, tìm quỹ tích của điểm P chuyển động sao cho
tích các khoảng cách từ P đến F1 và F2 bằng b2.
Lời giải:
Giả sử P = (r;  ) là một điểm tùy ý trên đường cong.
Đặt d1 = PF1 và d2 = PF2.
Khi đó, theo giả thiết ta có điều kiện xác định là: d1d2  b2 hay
d12 d22  b4 .
P(r , )

d
r

2


F2(a,o)

Đào Thị Thanh Huyền

O

Hình 2.1

d
1

F1(a,o
)

21

tai lieu,dh su pham, luan van thac si21download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 22document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

- Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta có:
Trong ΔOPF1 : d12  r 2  a 2  2ar cos .

(1)

Trong ΔOPF2 : d22  r 2  a 2  2ar cos(   )

(2)

Từ cos(    )= - cos  ta có thể viết phương trình (2) dưới dạng:
d22  r 2  a 2  2ar cos 

(3)

Nhân vế với vế lại với nhau ta được: d12d22  (r 2  a2 )2  (2ar cos )2
Hay b4  r 4  a 4  2a 2 r 2 (1  2 cos 2  )  b4  r 4  a 4  2a 2 r 2 cos 2

- Trong trường hợp đặc biệt:
+, Khi b = a thì (4) trở thành r 2  2a 2cos2

(5): Đường cong đi qua

gốc tọa độ. Đây là phương trình lemniscate.
+, Khi b > a, đường cong bao gồm một vòng đơn.
+, Khi b < a, đường cong chia thành hai vòng tròn tách rời nhau.
Và nói chung các đường cong này được gọi là đường cong oval của
Cassini.

Hình 2.2
Ví dụ 2: Đường ốc sên Patxcan (Pascal): Cho đường tròn đường kính OA= a
và một số dương b. Giả sử M là một điểm của đường tròn và Ou là trục có giá
là đường thẳng OM. Trên Ou lấy một điểm N sao cho ON  OM  b

Đào Thị Thanh Huyền

22

tai lieu,dh su pham, luan van thac si22download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

(1)

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 23document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Tập hợp Γ các điểm N gọi là đường ốc sên Patxcan.
Hãy viết phương trình của đường ốc sên Patxcan đó.
Lời giải:
- Chọn điểm O là trục cực và đường thẳng OA hướng từ O đến A làm
 Ou ) thì OM  a cos .
trục cực Ox. Khi đó, nếu  là một số đo góc của (Ox,

Đó là phương trình cực của đường tròn đường kính OA.
Nếu (r,  ) là một cặp tọa độ cực của điểm N thì từ (1) suy ra r = acos  + b (2)
- Đảo lại, nếu N là một điểm của mặt phẳng có cặp tọa độ cực (r,  )
thỏa mãn (2) thì tồn tại một trục Ou đi qua N sao cho ta có (1): ON  OM  b ,
trong đó M là giao điểm thứ hai của đường thẳng ON với đường tròn đã cho.
Vậy (2) là phương trình cực của đường ốc sên Patxcan .
M
N
O


A

x

P

Hình 2.3

Nhận xét: Ta thấy rằng, nếu viết phương trình của đường Patxcan
trong hệ trục tọa độ đề các vuông góc thì sẽ rất khó và dài. Ta chuyển sang
viết phương trình của nó trong hệ tọa độ cực thì sẽ dễ dàng hơn.

Sau đây, ta sẽ xét phương trình của một số đường cong thường gặp:

Đào Thị Thanh Huyền

23

tai lieu,dh su pham, luan van thac si23download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 24document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

2. Phƣơng trình cực của các đƣờng tròn
Bài toán 1: Trong hệ trục tọa độ vuông góc, xét đường tròn tâm tại (a,0) và
bán kính bằng a. Viết phương trình đường tròn này trong hệ tọa độ cực.
Lời giải:
Đường tròn tâm (a,0) có bán kính bằng a có phương trình trong hệ tọa
độ vuông góc là: ( x  a)2  y 2  a 2 hay x 2  y 2  2ax

(1)

Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta được:
r 2  2ar cos   r  2a cos 

(2)

Ta có hình vẽ 2.3 và 2.4 là hình biểu diễn đường tròn trong hệ tọa độ

vuông góc và hệ tọa độ cực:

P(r , )

P(x,
y)

O

a
a
(a;
0)



O

A

Hình 2.3

2a

A

Hình 2.4

Nhận xét:
Bài toán trên minh họa một phương pháp tìm phương trình cực của một

đường cong, cụ thể là biến đổi phương trình của nó trong hệ tọa độ vuông góc
sang phương trình trong hệ tọa độ cực. Một phương pháp khác, có thể tìm
phương trình cực của đường cong bất cứ lúc nào là từ tính chất hình học đặc
trưng của đường cong.
Trong trường hợp đường tròn đã xét ở trên, ta sử dụng tính chất rằng
ΔOPA là tam giác vuông, với cạnh kề với góc nhọn  là r, cạnh huyền
OA = 2a. Khi đó, hiển nhiên ta có: r = 2acos  .
Như vậy, để tìm phương trình cực của đường cong, ta có thể sử dụng
phương pháp thứ hai (phương pháp hình học) .

Đào Thị Thanh Huyền

24

tai lieu,dh su pham, luan van thac si24download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán


luan van,khoa luan, thac si , su pham 25document,pdf,docx

Khoá luận tốt nghiệp

Xét bài toán mở rộng của bài toán 1 như sau:
Bài toán 2: Tìm phương trình cực của đường tròn với bán kính bằng a và tâm
tại C có tọa độ cực là: (b;  ), trong đó giả sử b là số dương.
Lời giải:

P(r , )

y

- Lấy P=(r,  ) là một điểm tùy ý trên đường tròn.
Xét Δ OPC, áp dụng định lý cosin trong tam giác
ta có: a2= r2 + b2 - 2brcos(    )

b

Đây là phương trình cực của đường tròn cần tìm.



- Đối với đường tròn đi qua gốc tọa độ ta có

thì cos(    ) = cos(  


2

) = sin  .

Khi đó, (3) trở thành r = 2asin 

(4).



x

O

b = a, và nó có thể viết thành: r=2acos(    ).

- Đặc biệt, khi  =0 thì: (3) quy về (2) và khi  =

C (b,  )

r

(3)

Hình 2.5

2

y

P(r , )

2
a


Hoặc bằng phương pháp hình học trực tiếp
ta có thể thu được (4):

O

với    : ΔPOA vuông tại P

Hình 2.6

2

có r là cạnh đối diện với góc nhọn  , cạnh huyền OA = 2a nên ta có:
r = 2asin 

Đào Thị Thanh Huyền

25

tai lieu,dh su pham, luan van thac si25download,bao cao,tieu luan,de tai khoa hoc

K32G – Toán