HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (776.17 KB, 43 trang )
/>
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
PHẦN 1
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
( Trang 1 – 11 )
ĐẠO HÀM
( Trang 13 – 16 )
GIỚI HẠN
( Trang 16 – 17 )
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
( Trang 18 – 43 )
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):
m
1
1) a 0 1
2) a n n
3) a n n a m
4) a a
a
a
a
a
5) a .a a
6) a
7) ab a .b
8)
b
a
b
Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
3
2
1) A = 4 8
2
3
2) B = (0, 04)
5
4) D = 43 2 .21 2 .2 3
2
5) E =
1,5
(0,125)
2
3
4
3) C = 0,5 625
81. 5 3. 5 9. 12
6) F =
3
3 . 18. 27. 6
5
0,25
3
1
2
4
847 3
847
6
27
27
6
5
Giải:
3
2
3
2
1) A = 4 2 8 3 2 2 2 23 3 23 22 12
2) B =
(0, 04)
1,5
(0,125)
2
3
1
25
4
1
3) C = 0,5 6250,25 2
4
1
1
2
3
2
1
8
2
3
3
2 2
5
4
3
19. 3 21 5
2 3
2
3
53 2 2 121 11
3 2
2
1
4 4
3
2
19.
3
1
(3)3
3
19
3
2 19
2 5
11
10
27
2
3 27
4
4) D = 43 2.21 2.23
2
262 2.22 2
4
5
5) E =
81. 5 3. 5 9. 12
3
3 . 18. 27. 6
5
6) F =
3
6
F3 6
5
2
24 16
1
2
3 5 .35.3 5 .2.3 2
35
3
1
2
1 3 1 1
101
2 5 2 2
3 .3.2 .3 .2 .3
9
10
3
3
1
2
1
3
3
3
847 3
847
3
6
. Ta áp dụng hằng đẳng thức : a b a 3 b3 3ab a b
27
27
847
847
847 3
847 3
847 3
847
6
6
33 6
. 6
6
27
27
27
27
27
27
Trang 2
1
1
2
19. 3
3
GV: THANH TÙNG
0947141139
F3 12 3. 3 36
/>
847
.F 12 5F F3 5F 12 0 F 3 F2 3F 4 0
27
F = 3 hoặc F2 3F 4 0 (vô nghiệm).
Vậy F = 3.
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
35
1) A =
3
a
24
a b 4
2) B = 7 5
b a
a
1
a a 12
2
4) D = 1 2
:
a
b
b b
2
1
1
1 1
a b
a 2 b 2 14
a
4
3) C =
:
a
b
.
3
1
1
1
1
b
a 4 a 2b4 a 4 b4
1
1
5) E = a 2 b 2
2
b b2
: b 2b
a a
2
1
13
3
a b
:2 3 a 3 b
6) F = 3
b
a
ab
3
1
32
12
1
2
a b
a b2
8) H = 1
ab 2
1
a b
2
2
a b
ab 4 ab b
1
7) G = ab
: a b .
a ab
b 4 ab
2
1
Giải: 1) A =
3
a2 4
4
3
1
3
1
2
b
3
3
9) I = 2
.
1
2
a
2
a
3
a 3 2 ab 4b 3
a 8a b
1
1 3
1
9 3
a a 2 .a 4 a 4 a 2 a
35
a b
2) B = 7 5
b a
35
4
1
5
4
1 7
4 4
1
1
b b 5
a
b5
b
a
b
a
a a
1
1
1
1
1
1 1
1 1
2
2
2
2
a b
a b 4
a
ab
a b 14
b
4
3) C =
1
:a b .
1 1
1
:a b4 .
3
1
1
1
1
1
b 2 4
a
a 4 a 2b4 a 4 b 4
a a b4 a4 b4
1
1
a b a a 2b2
1 1
1
a2 a4 b4
1
1
1
a b2 a2 b2 a
b a
. 1
.
1
.
.
1
1
1
1
b
a b
4
b
2 2
2
4
a a b
a b
1
2
2
1
a a 12
a
4) D = 1 2
: a b 2 1
:
b b
b
1
1
5) E = a 2 b 2
a b
2
b b2
: b 2b
a a
2
a
a
a b .
2
b
b a b
a b
2
2
b a
b
Trang 3
2
.
1
a b
2
b
: b
a
a b
2
b
:
a
2
1
b
a b
2
GV: THANH TÙNG
0947141139
2
/>
2
1
1
13
13
3
3
a
b
a
b
2 3 ab
:2 3 a 3 b
:
6) F = 3
3
b
a
ab
ab
2
2
a a
3
3
3
ab
3
a3b
3
ab
2
3
.
3
ab
3
a b
2
1
ab 4 ab b
1
a ab ab ab
ab
1
7) G = ab
.4
.
: a b .
4
a ab
b ab
a ab
ab b b 4 ab
a ab
a b
a ab
.
.
a ab ab b
a a b
3
2
3
2
1
2
1
a b
a b
8) H =
ab 2
1
1
a b
a 2 b 2
a b
1
2
2
b
a b
a b
a
1
1 1
12
1
1
a b 2 a a 2b2 b
1 1
a2 b2
2 2
a b
1
1
1
1
1
1
a2 b2
a2 b2 a2 b2
2
2
1
12
2
a b
a 2a b b
1
=
1
1 2
1
1 2
2
2
2
2
a b
a b
1
2
4
3
1
2
1
3
1
1
2
a 3 a 8b
a 8a b
b
3
3
9) I = 2
.
1
2
a
2
2
1 1
2
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 3 2 a 3 b 3 4b 3
3
a
3
3
a 2 b
3
2
3
3
3
a 2 ab 4b
2
3
3
a
.3
a
a 23 b
2
3
2
1
2
3 a 23 b
3
.
a
3
a
2
2
a a 2 b a 2 ab 2 b
a
a 2 b a 2 ab 2 b
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
2
3
2
3
2
3
a a 0
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
3
1) A = 32 2
1
2
5
2) B =
7
4
2
4) D = 6 7 (0, 2)0,75
5) E =
3
3 5 7 1 1 1 2
3) C = 3 2 .5 3 : 2 4 : 4 : 5 3.2 4.3 2
23 2 2
(18)7 .24.(50)3
(225)4 .(4)5 .(108) 2
6) F =
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
a
1) A = 3 a 3 a a
2) B =
5 3
a
1
3) C =
9
a4 a4
1
5
a4 a4
b
1
2
3
b2
1
b2 b
1
2
3
4) D =
Trang 4
6
10 3 :10 2 (0, 25)0 10 2 (0, 01)3
5 ( 5 1)
.a
2 2 1
23.2 1 53.54 (0, 01)2 .10 2
a3b
a6b
2 2 1
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
0 a 1
2. LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa log a b có nghĩa khi
b 0
1) log a 1 0
5) a
2) log a a 1
3) log a b loga c log a (bc)
4) log a b log a c log a
b
c
log a b log a b
6) log a b log a b
b
1
log a b log a b
1
log a b.log b a 1 log a b log a
b
7) log a b.logb c log a c
log c log a c
b
log a b
+) Lôgarit thập phân
: log10 b log b lg b
+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b ln b
( e 2, 71828 )
loga b
Chú ý:
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = log3 log 2
4) D =
3
9
3
2
2
3
3
2log5 3
log5 6
7) G = lg 25
5) E=
49
1 2log2 4 7
10) J = 4
log7 8
36
1
27
3) C = log 1 5.log 25
2) B = log 6 3.log3 36
e
log6 2
ln3
1 1
log 27 log125 81
2 9 1
5
25
8) H = 9
1
log6 3
4
1
log8 2
6) F = log3 2
2
27
log9 2
2
log8 27
log 5
log 36
2log 71
10log99 9) I = lg 81 3 27 9 3 9
0,25 0,5log9 7
11) K = log 3 (log 2 8)
81
12) L = log 2013 log 4 (log 2 256) log0,25 log9 (log 4 64)
13) M log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7
14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 ) lg(tan 890 )
Giải:
1) A = log 3 log 2
2) B = log
6
3
2
3) C = log 1 5.log 25
3
4) D =
5) E
9
3
1
1
1 2
2 log 3 log 3 2 6 log 3 . log 3 log 3 32 2
9
6 3
22
3.log3 36 log
3
2log5 3
6
36 log
1
62
62 4
1
15
3
log 1 5.log 2 33 (5). .log3 5.log5 3
3
5
27
2
2
2
33
3log3 5
2
1 1
log 27 log125 81
2 9 1
5
25
log3 5
3
5
1 1
log 1 33 log 3 34
9 5
5
52 2
2
8
1 log5 3 log5 3
3
3
5
Trang 5
1 2log5 3
5
log5 32
5.5
5.9 45
GV: THANH TÙNG
6) F = log 3 2
2
log 32
7) G = lg 25
27
0947141139
log9 2
2
log8 27
log 3 2
2
log 2 32
3 3 2log 2 3 log
2
3 2
log5 6
49
log7 8
e
ln 3
3
3
/>
log 2 2
3
2
23 log3 2
log 2 3
3
2
2
log 3 33
2
log 3 2
23
2 3 log
1 3 2 2 1
2
3 2 2
lg 52
log5 6
72
log7 8
3 lg 5log5 62 7log7 82 3
lg 62 82 3 lg102 3 2 3 1
8) H =
1
log6 3
9
1
log8 2
4
10log99 32
log3 6
22
log 5
log 36
2log 71
9) I = lg 81 3 27 9 3 9 lg
log 54
log 63
log 71
lg 3 3 3 3 3 3 lg
1 2log 2 4 7
10) J 4
36
log6 2
0,250,5log9 7
81
log 2 8
34
log3 62
99 3
log3 5
33
log 2 62
3
log 2 82
99 6 2 82 99 1
2log 2 71
3
3
54 63 71 lg 29 71 lg100 2
1 2log 2 4 7
22
2
22
4log 4 7
2 2
6
62
log6 4
log6 2
3
log3 7
3
1
0,25 .log 2 7
2
3
34
4
3
4 3
7
7
11) K = log 3 (log 2 8) log 3 log 2 23 log 3 3 1
12) L = log 2013 log 4 (log 2 256) log0,25 log9 (log 4 64) log 2013 log 4 (log 2 28 ) log 0,25 log9 (log 4 43 )
1
3 1
log 2013 log 4 8 log 0,25 log9 3 log 2013 log 22 23 log 1 2 log 2013 log 2013 1 0
2
2 2
2
13) M log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7 log 8 7.log 7 6.log 6 5.log 5 4.log 4 3.log 3 2 log 8 2
1
3
14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 ) lg(tan 890 )
lg(tan10 ) lg(tan 89 0 ) lg(tan 20 ) lg(tan 880 ) ... lg(tan 44 0 ) lg(tan 460 ) lg(tan 450 )
lg tan10.tan 890 lg tan 20.tan 880 ... lg tan 44 0.tan 46 0 lg tan 450
lg tan10.cot10 lg tan 20.cot 20 ... lg tan 440.cot 440 lg tan 450
lg1 lg1 ... lg1 lg1 0 0 ... 0 0 0
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A = log a a 2 4 a 3 5 a
3) C = lg log 1
a3
5
a a
2) B = log a b log b a 2 log a b log ab b log b a 1
4) D =
log 2 2a 2 log 2 a a
log a log2 a 1
log 2 a 3 . 3log 2 a 1 1
Trang 6
1
log 22 a 4
2
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
Giải:
1) A = log a a
24
a
35
1
16 4
4
14
14
2
log a a . a 5 log a a 2 .a 5 log a a 5
5
1
4
a log a a 2 . a 3 .a 5
1
2) B log a b logb a 2 log a b log ab b log b a 1 log a b
2 log a b.log b a log ab b.log b a 1
log a b
log 2a b 2 log a b 1
log a b 1
1 log ab a 1
log a b
log a b
log a b 1
2
log a b
2
1
.1
1
log a ab
2
1
log a b 1 . log a b 1 log b 1 1 log b
.1
1
a
a
log a b
1 log a b
1 log a b
1
3) C = lg log 1
5
a a lg log 1
a3
4) D =
5
a.a
3
3 5
1
1
lg log 1 a 2 lg log 3 a 10 lg
lg 1
a
10
10
a3
1
2
a3
log 2 2a 2 log 2 a a
1 log 2 a 4
log a log 2 a 1
2
1 2log 2 a log 2 a. log 2 a 1 8log 22 a
3log 2 a. 3log 2 a 1 1
9 log 22 a 3log 2 a 1
1
9 log 22 a 3log 2 a 1
2
log 2 a 3 . 3log 2 a 1 1
Ví dụ 3: Cho log a b 3 ; log a c 2 . Tính log a x biết: 1) x a 3b 2 c
2) x
a4 3 b
c3
3) x log a
a 2 3 bc
3
Giải: Cho log a b 3 ; log a c 2
1) Với x a 3b 2 c
1
1
1
log a x log a a 3b 2 c log a a 3 log a b 2 log a c 2 3 2log a b log a c 3 2.3 . 2 8
2
2
2) Với x
a4 3 b
c3
log a x log a
3) Với x log a
1
a4 3 b
1
1
4
3
log
a
log
b
log a c 3 4 log a b 3log a c 4 .3 3. 2 1
a
a
3
c
3
3
a 2 3 bc
3
a c b3
1
log a x log a
a 2 3 bc
3
a cb 3
log a
5
a 2b 3 c
1
1
a 3 b 3c 6
log a
5
a3c 6
8
5
8
3
log a a 3 log a b 3 log a c 2
b3
5 8
5
5 8
5
log a b log a c .3 2 8
3 3
6
3 3
6
Trang 7
a cb3
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = log 20 0,16 biết log 2 5 a
2) B = log 25 15 biết log15 3 a
1
3) C = log 40 biết log 2 3 a
5
5) E = log 35 28 biết log14 7 a và log14 5 b
4) D = log 6 (21, 6) biết log 2 3 a và log 2 5 b
6) F = log 25 24 biết log 6 15 a và log12 18 b
49
7) G = log125 30 biết lg 3 a và lg 2 b .
8) H = log 3 5
biết log 25 7 a và log 2 5 b .
8
9) I = log140 63 biết log 2 3 a ; log3 5 b ; log 2 7 c 10) J = log 6 35 biết log 27 5 a ; log8 7 b ; log 2 3 c
Giải:
1) A = log 20 0,16 biết log 2 5 a
2
log 2 3
2
5 1 3log 2 5 1 3a
. Ta có: A = log 20 0, 04 log 20 3
5
log 2 (2 2.5) 2 log 2 5 2 a
2) B = log 25 15 biết log15 3 a
. Ta có: a log15 3
1
log3 3.5
1
1
1 a
log3 5 1
1 log3 5
a
a
1 a
1
log 3 15 log 3 (3.5) 1 log 3 5
1
a
B = log 25 15
1 a 2 1 a
log 3 25
log 3 52
2log 3 5
2.
a
1
3) C = log 40 biết log 2 3 a
5
1
2
3a
1
. Ta có: a log 2 3 log 1 5 3 log 2 5 log 2 5
3
2
5
22
3a
3
log 2 40 log 2 (23.5) 3 log 2 5
2 6 3a
C = log 40
log 2 10 log 2 (2.5) 1 log 2 5 1 3a 2 3a
2
4) D = log 6 (21, 6) biết log 2 3 a và log 2 5 b
2 2.33
log 2 21, 6
5 2 3log 2 3 log 2 5 2 3a b
Ta có: D = log 6 (21, 6)
log 2 6
log 2 2.3
1 log 2 3
1 a
log 2
5) E = log35 28 biết log14 7 a và log14 5 b
1
Ta có: a log14 7
b log14 5
log7 2.7
1
1
1 a
log 7 2 1
1 log 7 2
a
a
log 7 5
log 7 5
1 a b
log 7 5 b(1 log 7 2) b. 1
log 7 7.2 1 log 7 2
a a
2
E = log 35 28
log 7 28 log 7 (7.2 ) 1 2 log 7 2
log 7 35 log 7 (7.5)
1 log 7 5
Trang 8
1 a
a 2a
b
ab
1
a
1 2.
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
6) F = log 25 24 biết log 6 15 a và log12 18 b
2
log 2 18 log 2 2.3 1 2log 2 3
(2)
b log12 18
log 2 12 log 2 22.3 2 log 2 3
log 2 15 log 2 3 log 2 5
Ta có: a log 6 15
(1)
log 2 6
1 log 2 3
1 2b
b2
1 2b
2b a ab 1
Từ (1) log 2 5 a 1 log 2 3 log 2 3 a 1 log 2 3 a a 1
a
b2
b2
1
2
b
3
3
log 2 24 log 2 2 .3 3 log 2 3
b 5
b2
F = log 25 24
2
2
b
a
ab
1
log 2 25
log 2 5
2log 2 5 2.
4b 2a 2ab 2
b2
Từ (2) b (2 log 2 3) 1 2 log 2 3 (b 2) log 2 3 1 2b log 2 3
7) G = log125 30 biết lg 3 a và lg 2 b .
lg 30 lg 3.10 1 lg 3
1 a
10
Ta có: b lg 2 lg 1 lg 5 lg 5 1 b G = log125 30
3
lg125
3lg 5 3 1 b
lg 5
5
49
biết log 25 7 a và log 2 5 b .
8
log 2 7
log 2 7 log 2 7
Ta có: a log 25 7
log 2 7 2 ab
log 2 25 2 log 2 5
2b
8) H = log 3 5
49
72
log 2 3
49
8
2 2 log 2 7 3 2.2 ab 3 12ab 9
H = log 3 5
1
1
1
8 log 2 3 5
b
log 2 5
b
log 2 5 3
3
3
9) I = log140 63 biết log 2 3 a ; log 3 5 b ; log 2 7 c
log 2
Ta có : log 2 5 log 2 3.log 3 5 ab I = log140 63
log 2 32.7
log 2 63
2 log 2 3 log 2 7
2a c
2
log 2 140 log 2 2 .5.7 2 log 2 5 log 2 7 2 ab c
10) J = log 6 35 biết log 27 5 a ; log 8 7 b ; log 2 3 c
log 2 5
log 2 5 log 2 5
a log 27 5 log 27 3log 3 3c log 2 5 3ac
log 2 35 log 2 5 log 2 7 3ac 3b
2
2
J = log 6 35
log 2 6
1 log 2 3
1 c
b log 7 log 2 7 log 2 7 log 7 3b
8
2
log 2 8
3
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:
1
3
1) A = log
b
a
b
biết log a b 3 .
a
2) B =
9
a4 a4
1
4
a a
Trang 9
5
4
b
1
2
1
2
3
b2
b b
1
2
biết a 2013 2 ; b 2 2012
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
Giải:
1) A = log
A = log
b
biết log a b 3 .
a
3
b
log
a
b
a
b
a
1
1
1
3
2 log a b
1
2) B =
3
9
a4 a4
1
4
a a
B=
5
4
b
1
2
9
4
1
4
5
4
a a
a a
1
b
a
1
a2
3log b
b
a
1
2 log a
b
a
1
1
3 log b a
2
1
1
2 log a b 1
2
2 log a b
2 log a b 3
1
1
2 3 3
3
log a b 2 3 log a b 2 log a b 2 3 log a b 2 3 3 2
3
3
1
2
b
b
a
b2
b b
1
4
1
b 3 log
1
2
1
2
biết a 2013 2 ; b 2 2012
1
2
b
b b
1
4
3
2
1
2
a 1 a
1
4
2
1
2
b 1 b
a 1 a
b
1
2
2
1 a 1 b a b 2013
2 2 2012 1
1 b
Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
log a b log a c
2a 3b lg a lg b
log c
log a
1) log ac (bc)
2) a b c b
3) Nếu 4a 2 9b 2 4ab thì lg
4
2
1 log a c
1
4) Nếu a 2 4b 2 12ab thì log 2015 ( a 2b ) 2log 2015 2 (log 2015 a log 2015 b)
2
1
1
1
5) Nếu a 101lg b ; b 101lg c thì c 101lg a
6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5(a b) 1
b
c
c
a
b
7) log 2a log 2a
8) Trong 3 số: log 2a ; log 2b và log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
c
b
b
c
a
b
c
a
Giải:
1) log ac (bc)
2) a
logb c
log a b log a c
1 log a c
log a
c b
. Đặt a
. Ta có:
log
3) Nếu 4a 2 9b 2 4 ab thì lg
bc
log a bc
log a b log a c
log a bc
log ac (bc) (đpcm)
1 log a c
log a a log a c log a ac
a logb c a t
log c
log a
t
a b c b (đpcm)
t
log
a
log
a
log
a
c bt c b bt b b b a t
2a 3b lg a lg b
4
2
2
2
2
2
2
Ta có: 4a 9b 4 ab 4 a 12ab 9b 16ab 2a 3b
2
2
2a 3b
16ab
ab
4
2a 3b
2 a 3b lg a lg b
2 a 3b
(đpcm)
lg
lg a lg b lg
lg ab 2 lg
4
4
2
4
Trang 10
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
1
4) Nếu a 2 4b 2 12ab thì log 2013 ( a 2b) 2 log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b)
2
2
2
a 2b
Ta có: a 2 4b 2 12 ab a 2 4ab 4b 2 16ab a 2b 16 ab
ab
4
2
a 2b
log 2013
log 2015 ab 2 log 2015 a 2b 2 log 2015 2 log 2015 a log 2015 b
4
1
log 2015 (a 2b) 2log 2015 2 (log 2015 a log 2015 b) (đpcm)
2
1
1
1
5) Nếu a 101lg b ; b 101 lg c thì c 101lg a
Ta có: a 10
b 10
1
1 lg b
lg a lg10
1
1 lg c
lg b lg10
1
1 lg b
1
1 lg c
1
1
lg a 1
lg b 1
1 lg b
lg a
lg a
1
(2)
1 lg c
(1)
1
1
lg a 1
1
lg a
1
Từ (1) và (2)
lg c 1
10lg c 101lg a c 101lg a (đpcm).
lg a
1 lg c
lg a 1 1 lg a
6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5( a b) 1
Ta có: a log12 18
2
log 2 18 log 2 2.3 1 2log 2 3
1 2a
a 2 log 2 3 1 2 log 2 3 log 2 3
(1)
2
log 2 12 log 2 2 .3 2 log 2 3
a2
3
log 2 54 log 2 2.3 1 3log 2 3
1 3b
b log 24 54
b 3 log 2 3 1 3log 2 3 log 2 3
3
log 2 24 log 2 2 .3 3 log 2 3
b 3
Từ (1) và (2)
7) log 2a
1 2a 1 3b
1 2a b 3 1 3b a 2 ab 5( a b) 1 (đpcm)
a 2 b 3
b
c
log 2a
c
b
2
2
1
2
2
b
b
c
c
c
c
Ta có : log log a log a log a log a log a2
c
c
b
b
b
b
2
a
8) Trong ba số: log 2a
b
(đpcm)
c
a
b
; log 2b và log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
b
c c
a a
Áp dụng công thức ở ý 7) ta có: log 2a
b
c
b
a
c
; log 2b log 2b
log 2a
b
b c
c c
c a
; log 2c
a
2
b
a
log 2c
a
a b
c
a
b
b
c
a
b
c
a
log .log 2b .log 2c log 2a .log 2b .log 2c log a .log b .log c 12 1
b
c c
a a
b c
c a
a b
c a
a b
bc
c
a
b
Trong ba số không âm: log 2a ; log 2b và log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
b
c
a
b
c
a
2
a
b
Trang 11
(2)
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = log 1 5 4 5
3
8
25
1
4) D = 532log5 4
7) G =
3) C = log
2) B = log 2 8.log 1 4
25
5) E = 9 2
log5 6
1 log9 4
3
4
49
log7 8
2 log2 3
3
log 3 2 2log 27 3
6) F = 4log2 3 9
8) H = log3 6.log8 9.log 6 2
log
27
5 125
1
.log 1 5 5
9
5
1
10) J = 2 log 1 6 log 1 400 3log 1 3 45
2 3
3
3
9) I
11) J
(27
1
log 2 3
log
3
2
log 3 4.log 6 8
log 6 4.log 9 8
log 25 49
5
1
log 4 9
)(81
8log4 9 )
1
3 5 log16 25.5log5 3
1
1
1
1
log 5
log 3
log 2
12) K log 6 log 6 27 3 log 21 16 9 7 4 9 log 3 tan
3
12
4
2
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
log
1) A = log a b logb a 2 log a b log ab b logb a
2) B =
a3
a.log 3 a 4
a
log 1 a 2
a
Bài 3: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = log 1 28 biết log 7 2 a
2) B = log 6 16 biết log12 27 a .
3) C = log 49 32 biết log 2 14 a
2
4) D = log 54 168 biết log 7 12 a và log12 24 b
121
6) F = log 3 7
biết log 49 11 a và log2 7 b .
8
5) E = log 30 1350 biết log 30 3 a và log 30 5 b
7) G = log3 135 biết log 2 5 a và log 2 3 b .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
1) A = log
b
ab
a
biết log a b 5 .
2) B = c
log
c
log a
a
Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1)
log a c
1 log a b
log ab c
2) Nếu a 2 b 2 c 2 thì log b c a log c b a 2 log c b a.log c b a
ab 1
3) Nếu a 2 b 2 7 ab thì log 7
log 7 a log 7 b
3
2
1
4) Nếu a 2 9b 2 10 ab thì log a 3b log 2 log a log b
2
Trang 12
b3c
biết log a b 5 và log a c 3
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
II. ĐẠO HÀM
a x ' a x ln a
2) a u ' u ' a u ln a eu ' u ' e u
x
x
e ' e
x ' x 1
1) u ' u 1 .u '
u'
n
u ' n n 1
n u
1
log a x ' x ln a
u'
u'
3) log a u '
ln u '
u ln a
u
1
ln x ' x
Chú ý : 4) u v ' u v .( v ln u ) ' (Tổng quát của (1) và (2))
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y 3 x x
2) y e x e3 x 1 5cos x sin x
3) y x 2 2 x 2 e x
4) y ln x 2 1 log 2 x 2 x 1
5) y 3 ln 2 x
x4
6) y log 2
x4
1 x
ln(2 x 1)
ln x 1 ln x
7) y log
8) y
9) y
2 x
x 1 ln x
2x 1
ex e x
10) y x x
11) y ln x 1 x 2 log 3 (sin 2 x)
12) y log x (2 x 1)
13) y (2 x 1) x 1
e e
Giải:
1
1) y 3 x x
y'
3
3
1
2 x
x x
2
2 x 1
6 x.
3
x x
2
(áp dụng công thức
u ' n uu'
n
n
n 1
)
2) y e x e3 x 1 5cos x sin x
y'
ex
2 ex
3.e3x 1 ( sin x cos x).5cos x sin x ln 5
ex
3e3 x 1 (sin x cos x).5cos x sin x ln 5
2
3) y x 2 2 x 2 e x y ' 2 x 2 e x x 2 2 x 2 e x x 2e x
4) y ln x 2 1 log 2 x 2 x 1
y'
2x
2x 1
2
2
x 1 x x 1 ln 2
1
2
x
5) y 3 ln 2 x y '
3
3 x ln x
3 3 ln 4 x
8
2.(ln x).
2
x 4
8
x4
6) y log 2
y' x4
2
x4
x 16 ln 2
ln 2
x4
Trang 13
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
1
1
'
.2 x
. 1 x
1 x
1 x
2 x
x
1
2
x
x
4x
y'
1 x
1 x
1 x
2x
ln10
ln10
4 x.
ln10
2 x
2 x
2 x
1
1
1
.x ln x 1 ln x 1 ln x
1 ln x
2
x
y' x 2
x
2
2
2
x
x
x 1 ln x
1 ln x
1 x
7) y log
2 x
8) y
ln x 1 ln x
x 1 ln x
1
x 1 ln10
2
1
. 2x 1
.ln 2 x 1
2 ln 2 x 1
ln(2 x 1)
2x 1
2
x
1
9) y
y'
2x 1
2x 1
2 x 1 2 x 1
ex e x
10) y x x
e e
e
y'
x
2
e x e x e x
e
x
e
x 2
2
1
4
e
x
e x
2
x
1 x 2 2 cos 2 x 1 2 cot 2 x
ln 3
x 1 x 2 sin 2 x ln 3
1 x2
2
1
ln x ln 2 x 1 2 x ln x 2 x 1 ln 2 x 1
ln 2 x 1
x
12) y log x (2 x 1)
y ' 2x 1
2
2
ln x
ln x
x 2 x 1 ln x
11) y ln x 1 x 2 log 3 (sin 2 x )
13) y (2 x 1) x 1 ln y ln 2 x 1
y'
x 1
x 1 ln 2 x 1 (*)
2 x 1
y'
ln 2 x 1
y
2x 1
(đạo hàm 2 vế của (*) )
2 x 1
x 1
y ' ln 2 x 1
. 2 x 1
2x 1
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1) y '' 2 y ' 2 y 0 với y e x sin x
1
2) xy ' 1 e y với y ln
1 x
1
1 x ln x
1 ln x
5) 2 x 2 y ' x 2 y 2 1 với y
x (1 ln x)
4) y xy ' x 2 y '' 0 với y sin(ln x ) cos(ln x )
3) xy ' y ( y ln x 1) với y
6) 2 y xy ' ln y ' với y
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1
2 2
Giải: 1) y '' 2 y ' 2 y 0 với y e x sin x
y ' e x sin x e x cos x e x cos x sin x
Ta có: y e sin x
x
x
x
y '' e cos x sin x e sin x cos x 2e cos x
x
y '' 2 y ' 2 y 2e x cos x 2e x cos x sin x 2e x sin x 0 (đpcm)
1
2) xy ' 1 e y với y ln
1 x
Trang 14
GV: THANH TÙNG
0947141139
1
Ta có: y ln
y'
1 x
3) xy ' y ( y ln x 1) với y
1
1 x
2
1
1 x
/>
x
1
xy ' 1
1
1 x
1 x
1
xy ' 1 e y (đpcm)
1
ln
1 x
e y e 1 x 1
1 x
1
1
1 x
1
x
. Ta có: y
y'
2
2
1 x ln x
1 x ln x x 1 x ln x
1
1 x ln x
1 x
xy '
2
1 x ln x
xy ' y( y ln x 1) (đpcm)
1
x
1
ln
y y ln x 1
1
1 x ln x 1 x ln x 1 x ln x 2
4) y xy ' x 2 y '' 0 với y sin(ln x ) cos(ln x )
1
1
cos(ln x) sin(ln x)
y ' x cos(ln x) x sin(ln x)
x
Ta có: y sin(ln x) cos(ln x)
1
1
x sin(ln x) x cos(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) 2cos(ln x)
y ''
x2
x2
y xy ' x 2 y '' sin(ln x) cos(ln x) cos(ln x) sin(ln x) 2 cos(ln x) 0 (đpcm)
5) 2 x 2 y ' x 2 y 2 1 với y
Ta có: y '
1 ln x
x (1 ln x)
1
1
.x 1 ln x 1 ln x x. 1 ln x
x
x
x 2 1 ln x
2
1 ln x ln x 1 ln x
x 2 1 ln x
2
1 ln 2 x
x 2 1 ln x
2
2 1 ln 2 x
1 ln 2 x
2
2
2 x y ' 2 x . 2
2
2
x 1 ln x
1 ln x
2 x 2 y ' x 2 y 2 1 (đpcm).
2
2
2
2 1 ln x
2 2
1 ln x
1 ln x
2
1
1
x y 1 x . 2
2
x (1 ln x) 2
(1 ln x) 2
1 ln x
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1
2 2
x
1
x2 1
1
x 2 x x2 1
Ta có: y ' x x 2 1 x.
2
x2 1
x x2 1
6) 2 y xy ' ln y ' với y
=x
2x2 1
2
2 x 1
x x2 1
2
2 x x 1
x
2
x 1
2 x2 1
2
2 x 1
1
2
x
2 x 1
2 x 2 1
2
x x2 1
2 x 1
xy ' ln y ' x x x 2 1 ln x x 2 1 x 2 x x 2 1 ln x x 2 1
2 y xy ' ln y ' (đpcm)
2 y x 2 x x 2 1 2 ln x x 2 1 x 2 x x 2 1 ln x x 2 1
Trang 15
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
3 x 1
3) y xe
1) y x x 1
2) y (2 x 1)e
5) y e3 x 1.cos 2 x
6) y (sin x cos x)e 2 x
2x
x2 2 x 2
ln( x 1)
8) y
x 1
4) y
7) y 1 ln x ln x
10) y x 2 ln x 2 1
9) y e 2 x ln(cos x)
1
x x
3
11) y ( x 2 x ) log 2 (2 x e x x ) 12) y ln sin(3x 1)
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
2
x2
2
2) y ' y e x với y ( x 1)e x
4) y 'cos x y sin x y '' 0 với y esin x
2 xy
6) y ' 2
e x ( x 2 1) với y ( x 2 1)(e x 2013)
x 1
1) xy ' (1 x ) y với y xe
3) y ''' 13 y ' 12 y 0 với y e4 x 2e x
1
5) y '' 2 y ' y e x với y x 2 e x
2
III. GIỚI HẠN
x
1
1
1) lim 1 lim 1 x x e
x
x 0
x
ex 1
1
x 0
x
ln(1 x)
1
x 0
x
2) lim
3) lim
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ : Tính các giới hạn sau:
2 x 1
x
x 1
2) lim
x x 2
x
e 1
7) lim
x 0
x 1 1
x
1) lim
x 1 x
5 x 3
e
e3
6) lim
x 0
2x
e x e x
4) lim
x 0 sin x
ln x 1
3) lim
x e x e
8) lim
x 0
ln(1 2 x)
tan x
9) lim
x 10
lg x 1
x 10
Giải:
x
1) L1 lim
x 1 x
x
x
1
x
Ta có: L1 lim
lim 1
x 1 x
x 1 x
1
L1 lim 1
t
t
1 t
lim
t
x
1
1 t
1
1
t
Đặt :
lim
t
x (1 t )
1
1
1 x t
x ; t
1
1 1
1 1
t t
Trang 16
t
1 1
1.e e
ln(1 x 3 )
5) lim
x 0
2x
GV: THANH TÙNG
x 1
2) L2 lim
x x 2
2 x 1
0947141139
3
lim 1
x
x2
1
3
x 3t 2
Đặt x 2 t
x ; t
2 x 1
1
L2 lim 1
x
t
/>
6 t 3
t 6
3
1 1 6 3
lim 1 . 1 e .1 e6
x
t t
ln x 1
x e x e
3) L3 lim
x t e
ln(t e) ln e
Đặt t x e
L3 lim
lim
t 0
t 0
t
x e; t 0
t
te
ln
ln 1
e lim e . 1 1
t 0
t
t
e e
e
1
ex x
2x
2x
2x
e x e x
e lim e 1 lim e 1 lim e 1 . 1 . 2 1. 1 . 2 2
4) L4 lim
lim
x 0 sin x
x 0 sin x
x 0 e x sin x
x0
sin x x x0 2 x sin x e x
1 1
2 x.
.e
2x
x
ln(1 x 3 ) x 2
ln(1 x 3 )
ln(1 x3 )
lim
lim
. 1.0 0
x 0
x 0
x 0
2
2x
x3
2
x3 . 2
x
5) L5 lim
e5 x 1 3
e5 x 1 5e3
e5 x 3 e3
5e3 5e3
6) L6 lim
lim
.e lim
.
1.
x 0
x0
x 0
2
2x
5
x
2
2
2
5 x.
5
e x 1 x 1 1
ex 1
ex 1
7) L7 lim
lim
lim
.
x 0
x 0
x
x 1 1 x 0
x
x 1 1 1.0 0
ln(1 2 x) 1
ln(1 2 x)
ln(1 2 x)
ln(1 2 x)
1
8) L8 lim
lim
lim
lim
.
.2 cos x 1. .2.1 2
x 0
x0
x0
x 0
sin x
sin x
1
sin x
tan x
1
2x
2 x.
.
cos x
x 2cos x
x
lg x 1
9) L9 lim
x 10 x 10
t
t 10
lg
lg 1
x t 10
lg(t 10) lg10
10
10 1 1
L9 lim
lim
lim
.
Đặt: t x 10
t 0
t 0
t 0
t
t
t
10 10
x 10; t 0
10
B. BÀI LUYỆN
Tính các giới hạn sau:
1
1) lim 1
x
x
x 1
x
e2 x 1
x 0
3x
2) lim
ex e
x 1 x 1
3) lim
Trang 17
esin 2 x esin x
x 0
x
4) lim
1
5) lim x e x 1
x
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
*) Tính đơn điệu:
*) Các bất đẳng thức:
a b a c
1) 0 a 1
bc
log a b log a c
0 a 1
0 a 1
0 b 1
b 1
3) log a b 0
và log a b 0
a 1
a 1
b 1
0 b 1
a b a c
2) a 1
bc
log a b log a c
a b 0
4) 0 a b
a b 0
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
1) 0,01
3
2)
2
và 1000
4) log3 2 và log 2 3
7) 0, 7
5
6
và 0, 7
8) 2
626
9
13) log 2011 2012 và log 2012 2013
và
2
và
2
3
3)
3
và 3
4
3 1 và
5
6)
7
5) log 2 3 và log3 11
1
3
2log 2 5 log 1 9
10) 2
2 2
2
5
2
3
3 1
và 1
9) log 0,4 2 và log 0,2 0,34
1
1
và log 1
3 80
2 15 2
15) log 3 4 và log10 11
11) 3log 6 1,1 và 7 log 6 0,99
12) log 1
14) log13 150 và log17 290
Giải:
1) 0, 01
2)
2
3
2 2
và 1000
và
2
3
0,01 3 102
. Ta có:
2 3 3
3
10 2 3 ; 1000 103
. Ta có:
1 và 2 2 3
2
2
2 2
2
0, 01
3
1000
3
4) log3 2 và log 2 3
1
1
4
3
4
3 1 3 1 3
3 1 3 1 ;
. Ta có:
4 3 1
1
1
0 3 1 1;
4 3
. Ta có: log 3 2 log3 3 1 log 2 2 log 2 3 log3 2 log 2 3
5) log 2 3 và log3 11
. Ta có: log 2 3 log 2 4 2 log3 9 log3 11 log 2 3 log 2 11
3)
4
3 1 và
3
3 1
Trang 18
3
3 1
GV: THANH TÙNG
5
6)
7
7) 0, 7
8) 2
3
5
2
5
6
0947141139
5
5
0
0
2
5
5
2
. Ta có:
1
7
0 5 1 7
7
và 1
và 0, 7
và 3
5 2 5 4 1 2
5 1
6 36 36 3
6
3
. Ta có:
0 0, 7 1
1
3
2
. Ta có:
3
2
2log 2 5 log 1 9
2 và
2
Ta có:
3
2
3
23 8
3
6
3
3
2
3
1
0, 7 3
3
2
3
2
3
3
2
32 9
log 0,4 2 log0,2 0,34
626
9
2log 2 5 log 1 9
2
2
2
log 2 25log 2 9
2
log 2
25
9
25
625
626
2
9
9
9
2log 2 5 log 1 9
2
626
9
log6 1,1
30 1
log 1,1 0 3
. Ta có: 6
3log6 1,1 7 log 6 0,99
log 6 0,99
0
7 1
log 6 0,99 0 7
11) 3log 6 1,1 và 7 log 6 0,99
12) log 1
3
5
0, 7 6
2 1 log 0,4 2 0
0 0, 4 1;
. Ta có:
0 0, 2 1; 0 1 0,34 log 0,2 0,34 0
9) log 0,4 2 và log 0,2 0,34
10)
/>
1
1
và log 1
80
2
2 15
1
1
log 1 80 log 31 80 log 3 80 log 3 81 4
1
1
Ta có: 3
log 1
log 1
1
1
3 80
2 15 2
log
log 21 15 2 log 2 15 2 log 2 16 4
1
2 15 2
13) log 2011 2012 và log 2012 2013
Ta luôn có : log n n 1 log n 1 n 2 với n 1 (*) . Thật vậy :
2
2
+) Ta có : n 1 n n 2 1 n n 2 1 log n1 n 1 log n1 n n 2
hay 2 log n1 n log n1 n 2 (1)
+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : log n1 n log n1 n 2 2 log n1 n.log n1 n 2 (2)
( (2) không xảy ra dấu '' " vì log n 1 n log n1 n 2 )
+) Từ (1) và (2) 2 2 log n1 n.log n1 n 2 1 log n 1 n.log n1 n 2
1
log n 1 n 2 log n n 1 log n 1 n 2 (đpcm)
log n 1 n
Áp dụng (*) với n 2011 log 2011 2012 log 2012 2013
Trang 19
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
. Ta có: log13 150 log13 169 2 log17 289 log17 290 log13 150 log17 290
14) log13 150 và log17 290
15) log 3 4 và log10 11
Ta luôn có : log a ( a 1) log a 1 ( a 2) với 0 a 1 (*) .Thật vậy :…
(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )
Áp dụng liên tiếp (*) ta được :
log 3 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 log 8 9 log 9 10 log10 11 hay log 3 4 log10 11 (đpcm)
1
B=
6
log 5 3.log15 4
A
14
7
log 1 .log 0,3
5
2
3
Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau:
1
log6 2 log 5
2
6
3
31
2
Giải:
A
5 1; 3 1 log 5 3 0
15 1; 4 1 log 4 0
15
log 5 3.log15 4
1
14
14
Ta có: 0 1;
0
1 log 1
0 A
14
7
3
5
5
3
log 1 .log 0,3
5
2
3
7
7
0 0, 3 1;
1 log 0,3 0
2
2
log 5 3.log15 4
14
7
log 1 .log 0,3
5
2
3
1
B=
6
1
log6 2 log 5
2
6
1
6
31
2
3
1
log6 2 log 5
2
6
1
2
Ta có: log 6 2 log 6 5 log 6 2 log 6 5 log 6
2
5
1
6
log6
125 3 124
1
Mà: 3
8
8
6
2
5
61
log6
2
5
6
1
log6 2 log 5
2
6
3
log6
5
2
3
5 3 5
125
. Mặt khác:
3
2
8
2
31
1
B=
2
6
1
log6 2 log 5
2
6
3
31 3 124
2
8
3
31
0
2
Ví dụ 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
1)
2 ; 23
log 64
5
4
log9 2
; 2 6 ; 23
2) 2 log 4 5 ; log 3
; log
4
4
2
3
; log 9
1
4
Giải:
1)
2 ; 23
Ta có:
log64
5
4
1
2
22 ;
Mà: 2
log9 2
; 2 6 ; 23
5
log
23 64 4
1
2
6 2
2
Từ (1) và (2) : 2
1
1
5
log
22 2 4
log9 2
2 6 2 2 23
1
5
Mặt khác: 2 2 2
4
log 2
3 9
5
3log 6
2 2 4
2
26
2 2
1
1
log9 2
5 5 2
2
; 23
23
4 4
log3 2
log3 2
23
2 23
5
3 log64 4
5
4
26 2
1
5 2
hay
4
log 2
log64
5
4
(1)
(2)
thứ tự giảm dần là: 2
Trang 20
log 2
3 9
; 2
6
;
5
3 log64 4
2 ; 2
2
2
GV: THANH TÙNG
2) 2 log 4 5 ; log 3
0947141139
; log
4
4
2
3
Ta có: 2 log 4 5 log 2 5 ; log
; log 9
4
2
3
/>
1
4
2log 2
2
4
16
1
1
1
log 2
; log 9 log 2 log 3
3
3
4
2
3
2
1
1
2 4 log3 2 log 3 4
1
16
Mà: log 3 0 log 2 5
log 3 log 3 log 2 5 log 2
4
2
4
3
16
16
5 3 log 2 5 log 2 3
1
4
hay log 9 log3 2 log 4 5 log 2
thứ tự giảm dần là: log
4
4
3
Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
ln a ln b
ab
1)
ln
với a 1 ; b 1 .
2
2
3) log a b log a c (b c) với 1 a b và c 0
5) a
logb c
b
logc a
c
loga b
4
2
3
; 2 log 4 5 ; log 3
1
; log 9
4
4
2) log a b log a c b với a, b 1 và c 0
4) log a (a 1) log a 1 (a 2) với 0 a 1
3
3 abc với a, b, c dương và khác 1.
ln a ln b
ab
ln
với a 1 ; b 1 .
2
2
ab
Vì a 1 ; b 1 nên ln a , ln b và ln
không âm. Ta có :
2
ab
ab
ab 1
+)
ab ln
ln ab ln
ln a ln b
2
2
2
2
Giải: 1)
(1)
+) ln a ln b 2 ln a ln b (áp dụng BĐT Cauchy)
2 ln a ln b ln a ln b 2 ln a ln b
ab 1
ln a ln b
2
4
2) log a b log a c b với a, b 1 và c 0
Từ (1) và (2) ln
ln a ln b
2
hay
Vì a, b 1 và c 0 0 log b a log b a c
2
hay ln a ln b
ln a ln b
ab
ln
2
2
1
2
ln a ln b
2
(đpcm)
1
1
log a b log a c b (đpcm)
logb a logb a c
Dấu " " xảy ra khi : c 0
3) log a b log a c (b c) với 1 a b và c 0
Ta có : log a b log a c (b c) log a b 1 log a c (b c ) 1 log a
b
bc
log a c
a
ac
b bc
b
bc
(*)
1 nên log a log a
a ac
a
ac
bc
bc
Mặt khác áp dụng kết quả ý 2) ta được : log a
(2*)
log a c
ac
ac
Từ (*) và (2*) log a b log a c (b c) (đpcm)
. Dấu " " xảy ra khi : c 0 hoặc a b .
Với 1 a b và c 0
Trang 21
(2)
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
4) log a ( a 1) log a 1 ( a 2) với 0 a 1
Theo kết quả ý 3) ta có : log a b log a c (b c) với 1 a b và c 0
Áp dụng với b a 1 và c 1 ta được : log a ( a 1) log a 1 ( a 2)
5) a
logb c
(đpcm)
b logc a c log a b 3 3 abc với a, b, c 1
log c
log a
log c
log a
log a log a b
log a
Ta có : a b c b a b cloga b c b c loga b 2 c b .cloga b 2 c b
Vì a, b 1 nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm logb a và log a b ta được :
log a b log b a 2 log a b.log b a 2
Từ (1) và (2) a
logb c
cloga b 2 c 2 2c hay a
logb c
Chứng minh tương tự ta được : a
(2)
cloga b 2c
logb c
blogc a 2a
blogc a c loga b 2b
2 a
logb c
blogc a cloga b 2 a b c hay a
logb c
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : a b c 3 3 abc
Từ (*) và (2*) a
logb c
b
logc a
c
log a b
blogc a clog a b a b c (*)
(2*)
3
3 abc (đpcm)
Ví dụ 5: Không sử dụng máy tính hãy chứng minh rằng:
5
1) 2 log 2 3 log 3 2
2
2) log 1 3 log 3
2
1
2
2
Giải:
1) 2 log 2 3 log 3 2
5
2
Áp dụng BĐT Cauchy ta được : log 2 3 log 3 2 2 log 2 3.log 3 2 2
(1)
( (1) không có dấu " " vì log 2 3 log 3 2 )
Ta có : log 2 3 log 3 2
5
1
5
log 2 3
0
2
log 2 3 2
2 log 22 3 5 log 2 3 2 0 2 log 2 3 1 log 2 3 2 0 (*)
2 log 2 3 1 0
5
Mặt khác :
(2)
(*) đúng log 2 3 log 3 2
log
3
2
0
2
2
5
Từ (1) và (2) 2 log 2 3 log 3 2
(đpcm)
2
2) log 1 3 log 3
2
1
2
2
Ta có : log 1 3 log 3
2
1
log 2 3 log 3 2
2
(1)
Chứng minh như ý 1) ta được : log 2 3 log3 2 2 log 2 3 log 3 2 2 (2)
Từ (1) và (2) log 1 3 log 3
2
1
2 (đpcm)
2
Trang 22
(1)
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
Ví dụ 6: Chứng minh rằng các hàm số:
2x 2 x
1) y f ( x)
đồng biến trên
2
2) y f ( x) 3x x x 2 1 nghịch biến trên
Giải:
1) y f ( x)
2x 2 x
2
Ta có: f '( x)
2x ln 2 2 x ln 2
2x 2 x
đồng biến trên
0 với x y f ( x)
2
2
2) y f ( x) 3x x x 2 1
(đpcm)
x x
1
2
Ta có: f '( x) 3x ln 3 x x 2 1 3x 1
3 x x 1 ln 3 2
2
x 1
x 1
x2 1 x2 x x x x2 1 0
Mà :
f '( x) 0 với x
1
1
ln 3
0
ln 3 1
x2 1
x2 1
Vậy hàm số y f ( x) 3x x x 2 1 nghịch biến trên
Ví dụ 7: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1
1) f '( x ) f ( x ) 0 với f ( x ) x3 ln x
x
3) f '( x) g '( x) biết f ( x ) x ln( x 5) ; g ( x) ln( x 1)
1
4) f '( x) g '( x ) biết f ( x ) .52 x 1 ; g ( x) 5 x 4 x ln 5
2
(đpcm)
2) f '( x) 0 biết f ( x ) e 2 x 1 2e1 2 x 7 x 5
Giải:
1) f '( x)
1
f ( x) 0 với f ( x ) x3 ln x
x
1
Ta có: f ( x) x3 ln x f '( x) 3 x 2 ln x x3 . x 2 3ln x 1
x
1
1
f '( x ) f ( x ) 0 x 2 3 ln x 1 .x 3 ln x 0 x 2 4 ln x 1 0
x
x
Điều kiện : x 0
1
1
1
1
1
4
x 0 (loại) hoặc ln x ln e
x e 4 4 . Vậy nghiệm của phương trình là: x 4
4
e
e
2) f '( x) 0 biết f ( x ) e 2 x 1 2e1 2 x 7 x 5
Ta có: f ( x) e2 x 1 2e1 2 x 7 x 5 f '( x) 2e 2 x 1 4e1 2 x 7
f '( x) 0 2e 2 x 1 4e1 2 x 7 0 2e2 x 1
4
2 x 1
2
7 0 2 e2 x 1 7e 2 x 1 4 0
e
1
2 x 1
e
1
1
1 e
1 e
2 e 2 x 1 2 x 1 ln x ln . Vậy nghiệm của phương trình là: x ln
2 x 1
2
2
2 2
2 2
4
e
Trang 23
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
3) f '( x) g '( x) biết f ( x ) x ln( x 5) ; g ( x) ln( x 1)
Điều kiện : x 5
Ta có: f ( x) x ln( x 5) f '( x) 1
1
x4
1
; g ( x) ln( x 1) g '( x)
x 5 x 5
x 1
x4
1
2
x 4 x 1 x 5 x 2 6 x 9 0 x 3 0 (*)
x 5 x 1
Do (*) đúng với x 5 .Nên nghiệm của bất phương trình là: x 5
1
4) f '( x) g '( x) biết f ( x ) .52 x 1 ; g ( x) 5x 4 x ln 5
2
1
Ta có: f ( x ) .52 x 1 f '( x ) 52 x 1 ln 5 ; g ( x) 5 x 4 x ln 5 g '( x) 5 x ln 5 4 ln 5 5 x 4 ln 5
2
2
4
f '( x) g '( x) 52 x 1 ln 5 5 x 4 ln 5 52 x 1 5 x 4 5. 5 x 5 x 4 0 5 x 1 50 x 0
5
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 0
Với x 5 : f '( x ) g '( x )
Ví dụ 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1
1) y ( x 2 4) 2
2) y (6 x x 2 ) 3
5) y log 3 ( x 2 3 x )
3) y 3 1 x
6) y log x2 4 x 4 2012
4) y (3x 9) 2
7) y log 1 ( x 3) 1
3
8) y log 3
2
x 3x 2 4 x
9) y 2
x 3 8 x
log 0,5 ( x 1)
x2 2x 8
x2 1
10) y log 1 log 5
x3
5
Giải:
x 2
. Điều kiện : x 2 4 0
x 2
1) y ( x 2 4) 2
TXĐ: D ( ; 2) (2; )
1
. Điều kiện : 6 x x 2 0 x 2 x 6 0 3 x 2 TXĐ: D 3; 2
2) y (6 x x 2 ) 3
3) y 3 1 x
TXĐ: x
4) y (3x 9)2
. Điều kiện : 3x 9 0 3x 32 x 2
x 0
. Điều kiện : x 2 3 x 0
x 3
5) y log 3 ( x 2 3 x )
6) y log x2 4 x 4 2013
TXĐ: D \ 2
TXĐ: D ( ; 0) (3; )
x 2
2
x 2 4 x 4 0 x 2 0
. Điều kiện : 2
x 1
2
x 4 x 4 1
x 4 x 3 0
x 3
TXĐ: D \ 1; 2;3
7) y log 1 ( x 3) 1
3
1
1
10
10
0 x3 3 x
TXĐ: D 3;
3
3
3
3 3
Điều kiện : log 1 ( x 3) 1 0 log 1 ( x 3) 1 log 1
3
8) y log 3
3
x 2 3x 2 4 x
Điều kiện : log 3
x 2 3x 2 4 x 0 x 2 3x 2 4 x 1 x 2 3x 2 x 3
Trang 24
GV: THANH TÙNG
0947141139
/>
x 3
x 3 0
x 1
2
x 1
x
3
x
2
0
x 2
x 1
2 x 3
x 3 0
x 2
x 3
x 3
2
x 2 3 x 2 x 3
x 7
3
9) y 2
x 3 8 x
log 0,5 ( x 1)
x2 2x 8
TXĐ: D ;1 2;
x 3 8 x 0
Điều kiện : log 0,5 ( x 1)
0
2
x 2x 8
2
x 3 8 x
x 3 8 x
2
x 2x 8 0 x2 2x 8 0
log x 1 0
x 1 1
0,5
2
11
x 2
11
x 2
11
x
TXĐ: D ;
2
2
x 4
x 2
x2 1
x2 1
x2 1
x2 1
10) y log 1 log 5
.
Đkiện
:
log
log
0
0
log
1
log
1
log
log 5 5
1
5
5
5
5
x3
x3
x3
x3
5
5
3 x 1
x2 x 2
0
x 3
2 x 1
x2 1
x 2
1
5 2
TXĐ: D 2; 1 2; 7
x3
2 x 7
x 5 x 14 0
x 3
2 x 7
x3
Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
1) f ( x) 3 x
x
2) f ( x) 0,5
sin 2 x
3) f ( x) 2 x 1 23 x
2
4) f ( x ) 5sin x 5cos
2
2
x x
Giải: 1) f ( x) 3
1 1
1 1 1
Cách 1: Ta có: x x x x x
4 4
2 4 4
1
f ( x) 3 x
x
3 4 4 3 max f ( x) 4 3 khi x
1
4
1 x x
1 2 x x x
1
Cách 2: Đk: x 0 Ta có: f '( x) 1
ln 3
.3
ln 3 0 1 2 x 0 x
3
4
2 x
2 x
1
Ta có : lim f ( x) lim 3 x x lim x x 0 bảng biến thiên:
x
x
x
3
Từ bảng biến thiên ta có: max f ( x) 4 3 khi x
Trang 25
1
4
x
