Độ đo xác suất trên không gian Metric

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƢỜNG ĐẠI HọC SƢ PHẠM Hà NỘI
2 KHOA TOÁN
********************

VŨ TRƢỜNG GIANG

ĐỘ ĐO XÁC SUẤT
TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

hà nội – 2009
Vũ Trường Giang

1

K31B CN Toán


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy
cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn
thành. Em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo Nguyễn
Trung Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận này.
Em xin trân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong

khoa và các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu
khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu xót. Rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009
Sinh viên

Vũ Trường Giang


LờI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học này là thành quả của
riêng cá nhân tôi, nó không trùng lặp với bất kì đề tài nào đã được công bố.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009
Sinh viên

Vũ Trường Giang


mục lục
Lời nói đầu....................................................................................................3
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị....................................................................6
1.1. Tập Borel........................................................................................6
1.2. Độ đo xác suất Borel.....................................................................8
1.3. Sự hội tụ yếu của độ đo..................................................................15

1.4. Metric Prokhorov...........................................................................20
Chƣơng 2. Định lý Riesz và định lý Prokhorov.........................................29
2.1. Định lý Prokhorov..........................................................................29
2.2. Định lý Riesz..................................................................................38
2.3. Định lý Riesz trong không gian không compact............................44
Kết luận.........................................................................................................50
Tài liệu tham khảo........................................................................................51


lời nói đầu
Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếm
một vị trí quan trọng. Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứu
trên lý thuyết của giải tích, đại số, hình học vào ứng dụng trong các ngành
khoa học khác và thực tế cuộc sống.
Lý thuyết xác suất là một bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong các
ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống. Nó là công cụ
để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học,
tâm lý – xã hội. Do đó bộ môn này được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các
trường đại học, cao đẳng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất em đã chọn đề
tài: “Độ đo xác suất trên không gian metric”. Nghiên cứu đề tài này giúp
chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về độ đo xác suất trên không gian metric
tổng quát và trên một số không gian đặc biệt.
Nội dung của khóa luận bao gồm
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này trình bày về khái niệm và các tính chất của tập
Borel, độ đo xác suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo và metric Prokhorov.
Chƣơng 2: Định lý Prokhorov và định lý Riesz
Nội dung của chương nay là định lý Prokhorov, định lý Riesz và định
lý Riesz trong không gian không compact.

Chƣơng 1. kiến thức chuẩn bị
1.1.Tập Borel
Định nghĩa 1.1


X,d 
Cho

là không gian metric. đại
số Borel

B
B 
X

là

đại
số

nhỏ nhất trong X mà có chứa tất cả các tập con mở của X. Các phần tử của B
được gọi là tập Borel của X.
Định nghĩa 1.2
Không gian metric



được gọi là tách được nếu nó có tập con đếm

X,d 

được trù mật, tức là tồn tại x1,
x2,...

trong X sao cho
- bao

x1, x2,...X ( A

đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A trong X.
Bổ đề 1.1. Nếu X là không gian metric tách được, khi đó trùng với

 đại số sinh bởi tất cả các các hình cầu mở (hoặc đóng) của X.
Chứng minh. Kí hiệu
A đại số sinh bởi các hình cầu mở (hoặc đóng) của
X.

Hiển nhiên A B .
Giả sử D là tập đếm được trù mật trong X. U X là
mở. Với

xU ,
lấy


r
r
sao cho B x,r

0,

 U (

là

x

và

bán

kính

xB yx ,r / 2

r)

B x,r là hình cầu mở hoặc đóng với tâm


và

lấy

yx D B x,r / 3 .
Khi
đó

rx r / 2. Khi đó

B x,r . Đặt
U B yx ,rx : x U


là hợp đếm được. Thành ra U
A
Bổ đề 1.2. Cho



suy
ra

B A .

là không gian metric tách được. C B là đếm
được.

X,d 

Nếu C tách rời các hình cầu đóng với các điểm, nghĩa là với mọi hình cầu
đóng B
và

x B thì
tồn tại

CC sao B 
cho

C và

x C , khi đó
 đại số

sinh bởi C là đại số Borel.
Chứng minh.
Hiển nhiên

CB ,
trong đó

hình cầu đóng trong X . Khi đó



C

là đại số sinh bởi C. Lấy
B là

B  CC:

là giao của đếm được

B C
các phần tử của C. Theo bổ đề trên ta
nhận được

B  C .

Định nghĩa 1.3
Nếu f : ST và A ,A
S
T
tương ứng là

đại số trong S và T, khi
đó f

được gọi là đo được nếu

Ax S: fS
 x  A A
f

1

với mọi AA T .


Mệnh đề 1.1. Cho

X,d 



là không gian
metric.

B
X

là đại số nhỏ
nhất

sao cho với mọi hàm (giá trị thực) liên tục trên X là đo được.


1.2. Độ đo xác suất Borel
Định nghĩa 1.4.


X,d 
Cho

là không gian metric. Một độ đo Borel hữu hạn trên X là ánh

xạ : B X
[ 0,)

sao cho

1. μ  0 ,

2.

A

A1, A2 ,...B rời

nhau μ



μ A ,



i 1

3.



i

i 1

i

X1.

Bổ đề 1.3. Cho X là không gian metric và là độ đo hữu hạn trên X.
Cho
A1, A2,... là dãy các tập Borel. Khi đó ta có

(1) Nế
A1 A2
u

... và



A i 1

Ai , thì


(2) Nế A1 A2
u
... và

A i
Ai , thì

1

 Alimn

 An  .
 Alimn

 An  .

Bổ đề 1.4. Nếu là một độ đo Borel hữu hạn trên X và A là một họ các
tập Borel rời nhau của X, khi đó có nhiều nhất đếm được các phần tử của A
có độ đo μ khác 0.

Chứng minh.

Với

Am  AA : A1 /

m1, đặt

m.

Với mọi

A1, A2 ,...Am phân biệt ta có


X k A A A ...
   A k / m,

i 
i 1 

Do đó Am có nhiều nhất

1

2

mXphần tử. Vậy

k



 AA : A0
m1

Am

là đếm được.

 t 0 với mọi t trừ
Ví dụ. Nếu là một độ đo Borel trên  , khi
nhiều
đó
nhất đếm được t  .
Mệnh đề 1.2. Mọi độ đo Borel hữu hạn trên X là chính quy, tức là với mọi
BB .

 Bsup C: C B, C ®ãng( chÝnh
quy trong)

U : U
 B, U më
inf

(chÝnh quy ngoµi).

Chứng minh. Tập R được xác định bởi

Asup C: C A, C
®ãngvµ

AR
Ainf

U : U A, U

më.
Ta chứng tỏ rằng R chứa các tập Borel. Bước 1: R là _đại số:
R . Giả
sử
AR

và 0.
LấyC
mở
với

 A
  C

và

đóng

và

U

 A
U 

C A
U
và

.
Khi
đó


c

c

U A 
đóng,
c
c
C ,U

c

C mở

 Ac

X  AX C
 C ,

c

 Ac X   AX  U

 U c .
Do đó Ac R .
Giả sử A1,
A2,...
R

và 0. Với mỗi i lấy


Ui mở,
Ci

đóng với

Ci A Ui
,

i A  C 2i / 2.

i U

 A 
i

2 ,

Khi đó i Ci i Ai  i là mở và
Ui ,  i Ui


 
  

 Ui   Ai \  Ai 
  Ui
 i  
 i
i 1 
1

i



 
 Ui \ Ai  


U
i

i 1




i 1



UA  




i 1



i

i

\ Ai 

2 i .




i 1

 
k 
Hơn nữa   Ci lim k  Ci , do đó với k
đủ

lớn
nào đó,
i 1 
i 1 


 k 
k

  Ci   Ci / 2. Khi đó C i 1 Ci i 1
Ai , C đóng và
i 1



i 1












  
 Ai C Ai   Ci

/ 2
i 1 
i  i 1 
1

  
  Ai \  Ci / 2
i 1 i 1 


 Ai \ Ci  / 2
i 1



 Ai \ Ci / 2
i 1




  Ai  Ci  /
2  / 2 / 2 .
i 1



Do đó 

A

. Vậy R là _đại số

R

i 1

i

Bước 2. R chứa tất cả các tập mở. Ta chứng tỏ rằng R chứa tất cả các tập
mở.

Giả

sử

A X

là

đóng.

Un x X : d x, A1 / nx X
: a A ví i d  a, x1 / n,
Khi đó
Un

là mở, U1 U2
... , và

Đặt

n
1,2,... .




đó

U A, do A là đóng. Do
i

i 1

 AlimnUn infn Un  . Như vậy

Ainf U : U A,U mëinf
Un   A .
n

Do đó AR .
Kết luận: R là _đại số mà chứa tát cả các tập mở,
do đó
Hệ quả 1.1. Nếu
vµ 

 A



R B .

là các độ đo hữu hạn trên không gian metric X và

với mọi A đóng (hoặc A mở), khi đó .

 A
Định nghĩa 1.5. (Độ đo Radon)


Một độ đo Borel hữu hạn trên X được gọi là độ đo Radon nếu với
mọi

0 tồn tại tập
compact

K X
sao cho

X \ K , hay nói
cách khác

XX

  .
Hệ quả 1.2. Nếu là độ đo Radon trên không gian metric X, khi đó

Asup K : K A, K
_compact

với mọi tập Borel A trong X.
sao cho

Chứng minh. Với mỗi 0 lấy tập
compact K

X \ K
.

Khi đó

 A K  A \
c

K

 AK   A


và

A Ksup C: C
KA,C ®ãng
sup K

: K A, K compact,

Vì mọi tập con đóng chứa trong tập compact là compact. Kết hợp lại ta có
điều phải chứng minh.



Hiển nhiên, nếu

là một không gian metric compact, khi đó mọi độ đo

X,d 
Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon. Không gian metric tách được đầy đủ đôi
khi được gọi là không gian Polish.
Định lý 1.1. Nếu



là không gian metric tách được đủ, khi đó mọi độ đo

X,d 
Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon.
Bổ đề 1.5. Nếu

X,d 



là không gian metric đủ, khi đó một tập đóng K trong


X là compact khi và chỉ khi hoàn toàn bị chặn, tức là với mọi 0 tập
K bị phủ bởi hữu hạn hình cầu (mở hoặc đóng) bán kính bé hơn hoặc
bằng .
Chứng minh.

]

Hiển nhiên: phủ K bởi tất cả -hình cầu với tâm trong K

có phủ con hữu hạn.


] Giả là một dãy trong K. Với mỗi m1 có hữu hạn 1/ mn
hình
sử  xn 
cầu phủ K, ít nhất một trong số chúng chứa
xn
lấy hình cầu

n1 N1 .
hình

Lấy
cầu

N2  n n1 : xn
 B2 B1

B2

bán

1
/2

kính

là vô hạn, và lấy n2 N2 .
Lấy

sao

cho

B3 , bán kính

là vô hạn, n3 B3 . Và cứ tiếp
tục như

B3 B2
B1

 là dãy con của  x

Theo cách
đó x



là vô hạn, và lấy

B1

với

1
N3  n n2 : xn
/ 3,

vậy.

N1  n : xn

1 sao
cho

B1 với bán
kính

với n nhiều vô hạn. Với m
1


nk

n n

k

dãy Cauchy. Do X là không gian đủ,

nl
k

 

xn

k

 là

B với mọi l
k, x

và vì
x



nk

k

hội tụ trong X và do K đóng, giới

k

hạn thuộc K. Như vậy  xn n có dãy con hội tụ và K là compact.
Chứng minh định lý 1.1. Ta chứng minh rằng với mọi 
tồn tại tập

0
compact K sao cho

X \ K

. Giả sử

D
 a1,a2 ,..
.

là một tập con đếm


được trù mật của X. Khi đó với mỗi



0
,

Xlimnn với mọi



k

B ak ,
1







k

1

B ak ,X .
Do đó

0. 0, khi đó với
Cho

mọi

m1 tồn nm sao cho
tại
n
 
k1
m



B ak ,1 / X2 m.
m 


Đặt
 nm

K  B ak ,1/ m.
m1 k1


Khi đó K là đóng và với mỗi 0,
nm

nm

K  B ak ,1/ m B ak ,
k1

k1

nếu ta chọn m 1/ . Vậy theo bổ đề K là compact. Hơn nữa
 

X \ K   X \  B ak ,1 /

m   X \  B ak ,1 / m 

n
k  m
 m1
m1




1





nm

   B ak ,1 /
 m
k1

X 

m1







nm



k1



2 .


m
1

m


1.3. Sự hội tụ yếu của độ đo


X,d 
Cho

là không gian metric và kí hiệu

Cb X f : X lµliªn tôc vµbÞchÆn .
 : f
Mọi f Cb là khả tích với độ đo Borel hữu hạn bất kì trên X.

X

Định nghĩa 1.6 Cho
rằng

 i 

i

,1, là các độ đo Borel hữu hạn trên X. Ta nói
2,...

hội tụ yếu tới 
nếu

fd

i

khi i

với mọi

f Cb X .


fd

Kí hiệu  . (Có nhiều nhất một giới hạn như vậy,
i
điều đó được kéo
theo từ việc metric hóa bởi metric Prokhorov, mà sẽ được đề cập tới ở phần
tiếp theo.)
Định lí 1.2 Cho

X,d 



là không gian
metric,

,1, là các độ đo Borel
2,...

xác suất trên X . Các khẳng định sau đây là tương đương.


(a) i 
(b)

gd

i

với
mọi



gUCb
X{



f:X

 : f

là liên tục

gd

đều và bị
chặn}
(c)

limsupi i

CC
(d)

liminfi i U

(e) i  A

với mọi C X đóng

U với mọi U X mở

với mọi tập Borel A trong X với


A

0.
là hiển nhiên

(A A \
0
A ).
Chứng minh.

 a b

A


 b c: Giả sử C là tập đóng
khác rỗng. Đặt
m1. (Trong
đó

Um x :
d x,C1 / m ,

d  x, AinfaA nếu A  và “
d  x, ”.) Khi
d  x,a

c

đó U m là đóng và

fm UCb
Do đó tồn tại

X

inf
,
dx, y1 / m

c

xC yUm

với 0 fm
1



d x,U

c

trên X , fm  trên C, và fm 
1
0



m

c
là hàm cần tìm.) Vì
trên U m . (Thật vậy fm
c
 d  x,Um d 

x,C

i  C1C di fmdi ,

từ giả thuyết (b) ta có
limsup i  C limsup fmdi fmd 1Um
i 

Vì 
U



dUm .

i 

C (từ C là đóng) ta thấy

m1 m

 Clim Um limsup i  C .
m

 c  d  : Sử dụng phần bù

i 