Hệ toạ độ cực

Khoá luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

----------

ĐÀO THỊ THANH HUYỀN

HỆ TỌA ĐỘ CỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S Đinh Thị Kim Thuý

Hà Nội, năm 2010
Đào Thị Thanh Huyền

1

K32G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Đào Thị Thanh Huyền

2

K32G – Toán


LỜI CẢM ƠN
Bản khoá luận này là bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa
học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn do chưa có nhiều kinh nghiệm
trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt
tình của cô Đinh Thị Kim Thuý.
Qua đây, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới cô Thuý cũng
như sự chỉ bảo quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo trong tổ Hình
học, các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giảng
dạy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời, em
cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, tới cô Nguyệt, bạn bè và người thân. . .
đã động viên, ủng hộ, giúp đỡ em trong thời gian qua.
Do điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức, năng lực của bản
thân nên khoá luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự chỉ bảo,
nhận xét, đóng góp của thầy cô cũng như bạn bè sinh viên để khoá luận này
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Đào Thị Thanh Huyền



LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành là do sự cố gắng nỗ
lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ của cô Thuý, các
thầy cô khoa Toán, cô Nguyệt…

Khóa luận này là do em viết và những kiến thức trích dẫn trong khoá
luận là trung thực, không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Đào Thị Thanh Huyền



MỤC LỤC
Nội dung

Trang

A. MỞ ĐẦU............................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài..................................................................................1
2. Lịch sử nghiên cứu.............................................................................. 1
3. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu...........................................2
4. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................2
5. Cấu trúc khoá luận...............................................................................2
B. NỘI DUNG
§1. Hệ tọa độ cực....................................................................................3
1. Mở đầu.................................................................................................3
2. Định nghĩa hệ toạ độ cực.....................................................................4
2.1. Định nghĩa........................................................................................4
2.2. Ví dụ.................................................................................................6
3. Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ đề các vuông góc...................7
4. Bài tập thêm.........................................................................................12
5. Hướng dẫn giải bài tập thêm...............................................................13

§2. Phƣơng trình cực của một đƣờng cong........................................16
1. Khái niệm............................................................................................ 16
2. Phương trình cực của các đường tròn..................................................19
3. Phương trình của các đường coníc trong hệ toạ độ cực......................21
4. Phương trình cực của các đường xoắn ốc............................................23
5. Bài tập thêm.........................................................................................25
6. Hướng dẫn giải bài tập thêm...............................................................27


§3. Dựng đƣờng cong cho bởi phƣơng trình cực
Tiếp tuyến của đƣờng cong........................................................30
1. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực.......................................30
1.1. Đồ thị của phương trình cực.............................................................30
1.2. Nhận xét........................................................................................... 33
2. Tiếp tuyến của đường cong.................................................................35
3. Bài tập thêm.........................................................................................40
4. Hướng dẫn giải bài tập thêm...............................................................41
§4. Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực..............................................44
1. Đổi biến số trong tích phân kép...........................................................44
2. Độ dài cung trong hệ toạ độ cực..........................................................46
2.1. Định lý..............................................................................................46
2.2. Áp dụng............................................................................................ 47
3. Diện tích trong hệ toạ độ cực..............................................................49
3.1. Khái niệm hình quạt......................................................................... 49
3.2. Công thức tính diện tích................................................................... 50
3.3. Áp dụng............................................................................................ 52
4. Bài tập thêm.........................................................................................54
5. Hướng dẫn giải bài tập thêm...............................................................55
KẾT LUẬN............................................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................... 57

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Từ xa xưa, trước những yêu cầu của thực tiễn, Toán học ra đời chỉ tồn
tại dưới hình thức là những kinh nghiệm. Cùng với thời gian, qua nhiều tìm
tòi, phát minh, các kinh nghiệm ngày càng đa dạng và phong phú hơn, được
các nhà Toán học tổng kết, đồng thời phát triển thành các lý thuyết Toán học
mà ngày nay là cơ sở, nền tảng để nghiên cứu các môn học khác.
Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành nên Toán học. Đây là
môn học thú vị nhưng tương đối khó, có tính hệ thống chặt chẽ, logic và trừu
tượng cao. Nhiều bài toán trong Hình học, việc tìm ra lời giải còn gặp nhiều
khó khăn hoặc nếu có thì thường rất dài. Lựa chọn một công cụ thích hợp là
việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức. Trong
quá trình học tập, nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, em được tiếp cận
với Hệ tọa độ cực, một bộ phận của Hệ tọa độ, có tác dụng không nhỏ trong
việc giải toán và làm đơn giản một số vấn đề Hình học phức tạp.
Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này và sự giúp đỡ của cô
Đinh Thị Kim Thuý, em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề
“HỆ TỌA ĐỘ CỰC” nhằm mục đích làm rõ hơn thế nào là Hệ tọa độ cực,
tính chất và một số ứng dụng của nó vào việc giải toán trong Hình học.
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay, chưa có một đề tài nào nghiên cứu một cách đầy đủ và hệ
thống về Hệ tọa độ cực. Do vậy, việc lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khoá
luận này là một việc làm có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.


3. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu các kiến thức về Hệ tọa độ cực và một số
ứng dụng của nó vào việc giải các bài toán Hình học, giúp cho người học

hiểu biết thêm phần nào về Hệ tọa độ cực.
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ tọa độ cực, một số bài toán trong Hình học.
- Khách thể: Người học (học sinh, sinh viên…)
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo và các
tài liệu có liên quan.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh và hệ thống hóa.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mục đích, kết luận và danh mục sách tham khảo, cấu trúc
khoá luận bao gồm:
§1. Hệ tọa độ cực
§2. Phương trình cực của một đường cong
§3. Dựng đường cong cho bởi phương trình cực
Tiếp tuyến của đường cong
§4. Một vài ứng dụng của hệ toạ độ cực


B. NỘI DUNG
§1. Hệ tọa độ cực
1. Mở đầu
Như ta đã biết, một hệ toạ độ cực trong mặt phẳng cho thấy mối liên hệ
giữa một cặp hai số sắp thứ tự với một điểm trong mặt phẳng. Điều này đơn
giản, nhưng có tác dụng lớn trong việc tìm hiểu nhiều bài toán trong Hình
học, đặc biệt là nghiên cứu các tính chất của đường cong, bằng các phương
pháp của đại số và giải tích.
Chúng ta thường quen thuộc với Hệ toạ độ Đề các vuông góc, trong đó ta
đặt trong mặt phẳng hai trục vuông góc. Tuy nhiên, thường xảy ra trường hợp
là đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc toạ độ, như là đường đi
của một hành tinh xung quanh quỹ đạo của nó, được xác định bởi lực hấp dẫn
của mặt trời. Đường cong như vậy được mô tả tốt nhất như chuyển động điểm

mà vị trí của nó được chỉ rõ bởi hướng đến gốc toạ độ và khoảng cách đến
gốc toạ độ. Đó chính xác là những gì mà hệ toạ độ cực sẽ miêu tả.

M



O

Hình 1.1

x


2. Định nghĩa hệ toạ độ cực
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Mặt phẳng định hướng
a, Định nghĩa:
Trong mặt phẳng, xét điểm O tuỳ ý, xung quanh O có 2 chiều quay.
Nếu ta chọn một trong hai chiều là chiều dương, chiều còn lại là chiều âm thì
ta nói mặt phẳng đã được định hướng.
b, Quy ƣớc:
Thông thường, ta quy ước chiều quay quanh O (như trên) là dương nếu
chiều quay này là ngược chiều kim đồng hồ và là âm nếu chiều quay này là
cùng chiều kim đồng hồ.
2.1.2. Góc định hướng giữa 2 vectơ
a, Định nghĩa:




Trong mặt phẳng định hướng, cho 2 vectơ a và b (đều khác vectơ không):


TH1: a và b cùng chung gốc O. Khi đó, góc định hướng giữa 2 vectơ, có



vectơ đầu là
là góc thu được khi quay
và vectơ cuối là b , kí hiệu là
a
a,b


vectơ đầu xung quanh O tới trùng vectơ cuối b .
a


TH2: a và b không chung gốc:

( )

Từ một
 
OA =
OB =

điểm (gọi là điểm gốc) O nào đó trên mặt phẳng ấy, dựng vectơ
 
(như hình bên).

a,
b

a
A



b

O

Hình 1.2

B


Khoá luận tốt nghiệp


ta xác định được một góc định
Với mỗi vectơ đầu a , vectơ cuối
b


 

( ) với số đo: ( a,b ) =sđ ( OA,OB ) .

hướng, kí hiệu a,b

b, Nhận xét:


- Gọi α là giá trị đầu thu được khi quay a theo góc hình học bé nhất


quanh O tới trùng b thì a,b = α + k 2π , k ∈Z .


và thì giá trị này là âm
- Góc θ là góc định hướng giữa cặp
b
vectơ a


hay dương tuỳ theo khi ta quay a quanh O tới b theo chiều âm hay dương

( )

của mặt phẳng.
Ta thường quy ước:


+, góc θ
nếu a quay quanh O tới b theo chiều ngược chiều kim
>
0

đồng hồ.
+,

đồng hồ.

góc



nếu a quay quanh O tới b theo chiều cùng chiều kim

θ

<
0

(như trong lượng giác)
2.1.3. Hệ toạ độ
cực
- Giả sử mặt phẳng của ta đã được định hướng. Chọn một điểm O cố định



và một trục Ox nào đó với vectơ chỉ phương đơn vị là i . Khi đó, ta có hệ toạ


độ cực Oi , và điểm O được gọi là gốc cực (cực) của hệ toạ độ.
Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta đặt:

• Khoảng cách được tính bởi khoảng cách định hướng r đo bởi gốc
cực O tới điểm cuối M gọi là bán kính:
r = OM

Khoá luận tốt nghiệp

 
• Góc θ gọi là góc định hướng giữa cặp và
.
i
vectơ
O
M
Khi đó, cặp số
được gọi là toạ độ cực của điểm M đối với hệ toạ
(r,θ )

độ cực
Oi



đã chọn.


Khoá luận tốt nghiệp
- Toạ độ cực (r,θ ) của mỗi điểm M khác với điểm O không duy nhất.
Nếu (r,
θ )

là một toạ độ cực của điểm M thì (r,θ + 2kπ ) cũng là toạ
, (k ∈ Z)

độ cực của điểm M, hay nói cách khác: Mỗi điểm của mặt phẳng đều có nhiều
tọa độ cực.
- Thuật ngữ “khoảng cách định hướng” là để nói lên rằng ta thường gặp những
tình huống trong đó r là số âm. Trong trường hợp này thường được hiểu:
thay vì di chuyển từ gốc theo hướng đã xác định bằng hướng cuối của

θ , ta chuyển qua gốc O một khoảng theo hướng ngược lại.
(−r)

- Giá trị

r = chính là gốc cực, không cần đến giá trị của θ .
0

Chẳng hạn, các cặp (0; 0) ; (0;
của điểm

π

) ; (0; −

6

π

) ;…đều là các toạ độ cực

4

gốc cực O.
2.2. Ví Dụ

π
Ví dụ 1: Cho điểm P có tọa độ cực (2;
) . Vẽ hình minh hoạ và xác định
một
4

vài toạ độ cực khác của điểm P.
Lời giải:
P

2

O


4

x

P

-

Hình 1.3


Khoá luận tốt nghiệp

Điểm P trong hình vẽ 1.3 có toạ độ cực là: (2;
Nhưng nó cũng có toạ độ cực là: (2;
4

π

4

π

).

+ 2π ) ; (2;
4

π

− 4π ) ; …


Ngoài ra, một toạ độ cực khác của P trong hình vẽ 1.3 là: (−2; 5π ) .
M (2,

Ví dụ 2: Cho tọa độ cực của hai
điểm

π

π

P(3,

) và
6

4

) . Tìm tọa độ

cực
3

khác của hai điểm này với r có dấu ngược nhau.
Lời giải:
Tọa độ của một điểm trong Hệ tọa độ cực có dấu của r ngược nhau là
những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O
P(3,

π

)

3

M (2,

π

)

6
N (−2,

7π

O

)

6

Q(−3,

4π

)

3

Hình 1.4

Nhìn vào hình 1.4 ta có hai điểm

P(3,

và Q(−3,
π
) 4π
)
3

3

M (2,

π

) và
6

N (−2,
6

7π

),

là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O.

3. Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vuông góc




Giả sử có hệ toạ độ cực Oi . Ta chọn vectơ đơn vị j vuông góc với


vectơ i sao cho hệ toạ độ



là hệ tọa độ đêcác vuông góc thuận.


Oi
j

Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi
(r,θ )

là toạ độ cực của nó, còn (x, y) là toạ

độ đêcác vuông góc của điểm M. Khi đó:

OM = (x, y) ;



j
i
=
(0;1)
= (1;0

) ;

và θ là góc định hướng giữa cặp
véctơ: i



và OM .


M

y
r


j



i

O

x

Hình 1.5
Ta có: r2 = x2 + y 2 .
1, Nếu M = O thì r và θ là một số thực bất kì.
2, Nếu M ≠ thì r
O
=
- Nếu r
=

x2  y 2 hoặc r = x2 + y 2
−

x2  y 2 thì θ được xác định bởi công thức:
cosθ =

x
x2  y 2 ;

y
x2  y 2
sin θ =

- Nếu r = x 2 + thì θ được xác định bởi công thức:
−

y

2

cosθ
=−

Vậy:
+) r,θ đã biết
thì:

x

;
x2
2

+ y
x = r
cosθ

 y= r
sin θ
r 2 =
x2
2
+ y

sinθ
=−

y
x2 + y 2


cho ta cách tìm x, y.
+) x, y đã biết thì:



y
tanθ
=

x

cho phép ta có thể tìm được r,θ .

Chú ý:
- Khi sử dụng các phương trình này, ta cần phải cẩn thận xác định chính xác
dấu của r và chọn θ thích hợp với góc phần tư mà (x, y) nằm trong đó.
r,θ theo công thức:

- Đôi khi ta đổi biến x,y sang hai biến mới

x = x0 + r cosθ

(tọa độ cực tịnh tiến).
y
=
y
0

+ r sinθ

(tọa độ cực co dãn).

Hay cũng có thể là: x = ar
cos θ


 y = br
sin θ

(gọi chung là tọa độ cực suy rộng).
Ví dụ 1: Tọa độ vuông góc của điểm M là (−1; 3) . Hãy tìm tọa độ cực

của điểm M.
Lời giải:
Từ giả thiết M (-1;

3 ) suy ra x = -1; y = 3

nên
và tan θ y
=

x

r = 12
± +

2

3 =
±2

=3 = − 3.
−1

Vì điểm này nằm trong góc phần tư thứ hai, nên sử dụng kiến thức về
2π
hình học ta có: r =2 và θ =
. Do đó, tọa độ cực của điểm M này là
2π
(2;
).

3

3

M (−1, 3)

3
2π

13

O

− 3


M (1, − 3)

Hình 1.6

Một tọa độ cực khác của điểm M cũng thỏa mãn là: (-2;

−

π
)
3


Ví dụ 2: Tìm tọa độ đề các vuông góc của các điểm cho bởi các toạ độ cực

sau:

π

π

a, (2; )
4

c, (0; )
2

π

d, (0; −π )

b, (2; − )
2
Lời giải :
a, Giả sử: điểm M có tọa độ cực (2;

π

4

) => r= 2; θ =
4

π

suy ra tọa độ đề các vuông góc (x,y) của điểm M là:


x = r
cosθ


 x 2=
2 cos ⇔

π
=
2

4

⇔

 y
= r
sin θ

x

 y= 2
π
sin


M ( 2; 2)


y
=

4

Vậy điểm M ( 2; 2)
Làm tương tự, ta có kết quả:
b, M(0,-2).

y

2
x

O

Hình 1.7

c, Tia oy.
d, Tia đối tia ox.

Ví dụ 3: Cho a là một số dương và giả sử có các điểm F=(a,0) và F’=(-a,0).
2

Tập hợp tất cả các điểm P sao cho tích khoảng cách PF và PF’ bằng a : được
gọi là đường lemniscate.
a, Hãy tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ tọa độ
Đềcác vuông góc.

b, Tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ toạ độ cực.