Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Lời cảm ơn!
Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ
bảo rất tận tình của thầy Vương

Thông. Em xin chân thành cảm ơn và

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán,
các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm
2010 Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Đỗ Hồng
Thắm

1

K32B- Toán


Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy

Vương Thông cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong suốt quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một
số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu
của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác. Nếu sai em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm


Mục lục
Trang
Mở đầu.............................................................................................................................1

Chương 1. Những kiến thức liên quan đến đề tài...................................................2
Phần 1. Đa thức một ẩn..........................................................................2
1. Xây dựng vành đa thức một ẩn..................................................... 2
1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn.................................................2
1.2. Bậc của đa thức một ẩn............................................................3
2. Phép chia với dư............................................................................3
3. Nghiệm của đa thức.......................................................................3
3.1. Định nghĩa................................................................................ 3
3.2. Nghiệm bội...............................................................................4
3.3. Định lý Bezout..........................................................................4
3.4. Công thức Viéte........................................................................4
3.5. Lược đồ Horner........................................................................ 5
4. Phần tử đại số, phần tử siêu việt....................................................5
5. Đại số các đa thức......................................................................... 6

Phần 2. Đa thức nhiều ẩn........................................................................8
1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn...................................................8
1.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn..............................................8
1.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn..........................................................8
2. Đa thức đối xứng...........................................................................9
2.1. Định nghĩa................................................................................ 9
2.2. Tính chất...................................................................................9
Chương 2. Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức...........11
Phần 1. Đối với đa thức một ẩn..............................................................11
1. Bài toán 1. Trục căn thức ở mẫu.....................................................11


2. Bài toán 2. Nhận biết đa thức không phân tích được..........................15
3. Bài toán 3. Chứng minh các đa thức chia hết cho nhau......................17
4. Bài toán 4. Sử dụng định lý Viéte.......................................................21
4.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm .. 21
4.2. Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình
bậc ba, bậc bốn khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó..................24
4.3. Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương
trình

f x, m 
0

thỏa mãn K điều kiện nào đó..........................................30

5. Bài toán 5. Chứng minh đẳng thức.....................................................34
6. Bài toán 6. Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số...........................36
7. Bài toán 7. Phân tích đa thức thành nhân tử.......................................40
Phần 2. Đối với đa thức nhiều ẩn...........................................................45

1. Bài toán 1. Trục căn thức ở mẫu.........................................................45
2. Bài toán 2. Phân tích đa thức thành nhân tử.......................................47
3. Bài toán 3. Chứng minh hằng đẳng thức trong trường hợp có điều kiện
hoặc không có điều kiện................................................50
4. Bài toán 4. Chứng minh bất đẳng thức...............................................52
5. Bài toán 5. Xác định phương trình bậc hai.........................................56
6. Bài toán 6. Giải hệ phương trình........................................................59
7. Bài toán 7. Giải phương trình căn thức...............................................62
8. Bài toán 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình.............................65
Chương 3. Kết luận....................................................................................69
Tài liệu tham khảo.......................................................................................70

1. Lý do chọn đề tài

Mở đầu


Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều
ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế.
Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí
tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy.
Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó đa thức là một khái
niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số
mà còn trong Giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng.
Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức mới chỉ được trình bày sơ lược,
chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết. Tài liệu về đa thức còn
ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên
việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn.
Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ,

chỉ bảo tận tình của thầy

Vương Thông em đã mạnh dạn chọn đề tài:

“Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm
khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống một số bài toán về đa thức.
Bên cạnh đó, cũng thấy rõ vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trường
phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về những bài toán trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa
thức một ẩn và đa thức nhiều ẩn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa.


Chương 1
Những kiến thức liên quan đến đề tài
Phần 1
Đa thức một ẩn
1. Xây dựng vành đa thức một ẩn
1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị ( kí hiệu là 1 ). Khi đó, ta có tập
hợp:
p a0 , a1 ,..., an ,.../ ai
 A, ai 0

hầu hết, i  , cùng với hai
phép toán:

- Phép cộng:
(a0 , a1 ,..., an ,...) (b0 , b1,..., bn ,...) ( a0 b0, a1 b1,..., an
bn,...)

- Phép nhân:
(a0 , a1 ,..., an ,...).(b0 , b1,..., bn,...) (c0, c1,..., cn,...)

với
ck

ai b j , k 0,1,..., n,...
i j k

lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1 (1, 0, 0,..., 0,...) . Ta gọi P là
vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức.
Ta có thể chuyển cách viết đa thức về dạng sau:
Xét ánh xạ

f:

A P

a  (a, 0,..., 0,...)

là một đơn cấu vành. Do vậy, ta đồng nhất a 
phần tử
f (a) (a, 0,..., 0,...) . Khi đó, A là vành con của P.

Kí hiệu: Ta có:

với


x
(0,1,
0,...,
0,...),

2

x (0, 0,1, 0,..., 0,...),
3

x (0, 0, 0,1, 0,..., 0,...),


…

(0,..., 0,1, 0,..., 0,...)
n
x  
n

Khi đó, mỗi phần tử  có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
,

a0 a1x n  x  .
... an x

Thay cho P viết  và gọi là vành đa thức của ẩn x , lấy hệ tử trong

x

A.Mỗi phần tử thuộc  gọi là đa thức của ẩn x được kí hiệu là:
f

x

x  , g x,...

1.2. Bậc của đa thức
Cho

f x a0 a1x
... an x

n

 x  .

- Nếu an  thì n được gọi
0

là bậc của đa thức f x . Kí hiệu:

deg f xn.

- Nếu f x 0 (đa thức không),
 ta nói

.


x
f

không có bậc hoặc có bậc là

2. Phép chia với dư
Cho



x
x  , g 
x   x 
f

là vành đa thức,

với g x 0 , tồn tại
duy nhất
f xg x.q  x

Trong đó:
- Nếu

A là một trường. Khi đó,

r  x 

q x  , r 

x    x 

sao cho:


r x  0

thì ta
nói

- Nếu r x

 x  .

f x g trong

 x

thì ta có: deg r x deg và ta gọi q x  là
g  x

0

thương, r 

là dư trong phép chia f 

cho g 

x

x

x

trong   x 
.

3. Nghiệm của đa thức
3.1. Định nghĩa
Cho K là một trường nào đó, A là trường con của K. Một phần tử

gọi là nghiệm
của đa thức


x 
  x
f

nếu và chỉ nếu f 0 .


số

Ta cũng có thể nói là nghiệm của phương trình đại f x 
0

trong K.
Nếu

deg f x 
n

thì phương trình f x 

gọi là phương trình đại số

0

bậc n  n 1.
3.2. Nghiệm bội
Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử
gọi là nghiệm
bội k của đa thức f 
x 

  x

nếu và chỉ nếu f x  x
k

và không chia

hết cho x k 1 ,

k  .

3.3. Định lý Bezout



- Định lý Bezout:
Cho vành đa thức
chia f 

cho x
  là

x

f

x,

f

x   x  , . Khi

đó, dư trong phép

.

- Hệ quả:
Phần tử là nghiệm
của đa thức
khi và chỉ khi f x x


3.4. Công thức Viéte
Cho

trong  x  .

f

x   x  , A là một

trường,




xn a xn 1 ...  a
a

f

x a

0


x
f

1

x

n1

 x  , deg f

x n .
Giả

sử

n

có n nghiệm 1 , 2 ,...,n với .
f

xa0 x 1 x 2 ...x n .

Khi ta nhân các thừa số vào với nhau và nhóm các hệ số theo dạng
đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức
Viéte như sau:
a
1 2 ...  1 ;
a0



n
a

a2


 ...   ;


1

2

1

3



n1

n
0

f

x , ta được công thức


…

k

1 2 ... k ...  n k
1 n k 2 ... n  1

ak
;
a0

…

12 ...
n 

n

1

an
.
a0

3.5. Lược đồ Horner
Cho

là đa thức bậc n .

x 
  x

f xa xn a xn 1 ... a
f

trường,  .
0

Chia f 

q 
b0 x
x



nghĩa là:

n1

 a1
x


b1 x

n

2

n

... bn2 x bn1 ,bi , i
0, n 1




n

a0
x

n

1

n1

trong  x  , giả sử thương của phép chia
đó

cho x
 

x

là:

1

x a , là

... an1x x

an 



n

1

b0
x



n2


b 1x

 

... bn2 x bn1 f

.

Đồng nhất hệ số ta lập được bảng sau, gọi là lược đồ Horner:

a0

a1

…

an




b0 a0

b1 a1
b0

…

f

an 

bn1

4. Phần tử đại số, phần tử siêu việt
Giả sử A là một trường con của một trường K. Một phần tử c K ,
c được
gọi là phần tử đại số trên trường A nếu tồn tại đa thức

x0, f x  
A  x :
f


f c
0

a0 
a1c

hoặc tồn tại a0 , a1,..., an
A

n
1

không đồng thời bằng không tất cả:

nếu không phải là phần tử đại số trên A thì

0 , c
K

...
 anc

được gọi là phần tử siêu việt trên A.

5. Đại số các đa thức
5.1. Định nghĩa
Cấu trúc đại số là bộ (tập X , ,., nhân vô hướng) thỏa mãn:
+, X , ,.lập thành một
vành
+, X ,
,K

lập thành một K _ môđun ( K là vành giao hoán có đơn vị).



Có A  x  là vành giao hoán có đơn vị, ta xác định thêm phép nhân vô hướng
sau:
a A, f

 x 

n

a x A  x 

i

i

i
0

f n
a.a xi

x
  i
0

i

Ta có: A _ đại số các đa thức

Ax.

Giả sử có K _ không gian vectơ X , hữu hạn chiều, giả sử e1, e2 ,..., en là
cơ
n

sở x X , x aiei .
i1

Khi đó với

n

x, y X ,

giả sử

n

x  ai ei ; y


b

j

ej

j 1

i1

 n
 n
  n
xy  ai ei   b j e j
 ai bj e i e j

 j
 i, j 1

5.2. Phép hợp thành đa thức
Cho hai đa thức
f
x

i1

1

n

a x A
 x m  x; g

b x A  x 
j

i


i
10



j 0

j


i ai , đây là đa thức hợp thành
 
x n
i0

 f  g 
x f 
g
của đa thức f , g .
m

g  f x  
 j
 b
f x

A  x  , đây là đa thức hợp thành.

j 0

Bậc của đa thức hợp thành luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích hai bậc.

5.3. Phép đạo hàm đa thức
Cho một đa thức

n

f

i
a x A  x 
x 
i
i0

Ta xác định được

f  x 


n


ia
i

i

0

cũng là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong

xi1

A và gọi là đa thức đạo hàm của đa thức f

x .


Phần 2
Đa thức nhiều ẩn
1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
1.1. Xây dựng vành đa thức nhiểu ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1), ta xây dựng được vành
đa thức một ẩn
vành:

A1 A x1 là vành giao hoán có đơn vị. Xây dựng được

 , A1

A2 A1 x2 A  x1 x2 A  x1 , x2 gọi là vành đa

x1 , x2

thức của hai ẩn Tương tự, ta có:
A3 A2 x3 A x1 gọi là vành đa thức của ba ẩn x1 , x2 , x3
, x2 , x3 

Lặp lại nhiều lần phép dựng trên, ta sẽ được vành:
An An1 xn A  x1 , x2 ,..., xn ,

gọi là vành đa thức n ẩn x1, x2 ,...,

trên A.

xn

Các phần tử của A x1 , x2 ,..., xn , ký hiệu f x1 , x2 ,..., xn  , g x1 , x2 ,..., xn
là
,...
có dạng:

x1 , x2 ,...,
xn 
f

ai1

x c i
x1



ai 2
2

ain

...xn
c x

a11

1 1

a1

x2

2

...x
n

a1
n



cx
a21

a2

x2

2

...x
n

a2
n

2 1

trong đó

ci A, aij ,

amn

m 1

ai1, ai 2 ,..., ain

 a j1 , a j 2 ,..., ajn  , i

a

... c 2 m ...x
x2 n
a
x m1



j,i 1, m, j 1, n.


1.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn
Giả sử

f x1, x2 ,..., xn  A  x1 ,

là một đa thức khác 0

x2 ,..., xn 

x1 , x2 ,...,
xn 
f

c ...x
a
x 11 n

a1
n

1 1

với các c 0, i 
i
1,..., m

đa thức f x1, x2 ,...,
xn 

Nếu trong đa thức

x1, x2 ,...,
xn 

amn

m 1

và ai1,..., ain aj1,..., khi i

đối với ẩn

số mũ cao nhất mà

xi

xi

f

j . Ta gọi là bậc của



ajn 

hạng tử của đa thức.

f

...x
...
am1 n
c x

x1, x2 ,..., xn  ẩn

có được trong các

không có mặt thì bậc của

xi

đối với nó là 0.

Gọi ai1 ai 2

... ain

là bậc của hạng tử thứ i của f x1, x2 ,..., xn .

Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó.
Đa thức 0 là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của f x1, x2 ,...,
xn 

x1, x2 ,...,
xn 
f

có bậc bằng nhau và bằng k thì

gọi là một đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k . Đặc

biệt, một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là
dạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương.
2. Đa thức đối xứng
2.1. Định nghĩa
Một đa thức nhiều ẩn đối xứng nếu:


f x1, x2 ,..., xn  A  x1 ,
x2 ,..., xn 



f x1, x2 ,...,
xn

được gọi là đa thức

 


f ix ,i x ,...,
i

x
1

1

2

n







với i , i ,..., i là hoán vị của 1, 2,..., n .

2
n

Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi
khi thay đổi biến cho nhau trong dạng khai triển của nó.
Những đa thức đối xứng sau được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản


n

1 xi x1 x2 ... xn
i1

2 

x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 x2 xn ...
xn1 xn
xi x j
i j

3 
...



x1 x2 x3 x1 x2 x4 ... xn2 xn1 xn

xx x

i
j k
i j k

n x1 x2 ...xn
2.2. Tính chất
Định lý 1 : Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành một vành con của
vành

A  x1 , x2 ,..., xn .

Định lý 2 : Mọi đa thức đối xứng f x , x ..., x A x , x đều đưa
 1 2
 1 2, n 

,..., xn 

được về dạng đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản và cách biểu diễn đó
là duy nhất.
Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng
cơ bản (có hai phương pháp):
- Phương pháp với hạng tử cao nhất.
- Phương pháp hệ tử bất định.


Chương 2
Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến
đa thức
Phần 1
Đối với đa thức một ẩn
1. Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu
1

Giả sử cần trục căn thức dạng  với  là đa thức của với
 hệ



số hữu tỉ, có
dạng

n

a, a 



.

1.1. Cơ sở lý luận
Dựa vào dạng viết chính tắc của các phần tử trong mở rộng đơn đại
n 
a .
số  
 

1.2. Thuật toán


Bước 1: Tìm m x .

Bước 2: Do 0 ,
thay x 

ta có mẫu là đa thức
 x 

nên 
x

không chia hết cho m  trong   x .

x

x  , m x  1 . Khi đó, theo thuật toán Euclid ta



tìm được đa thức
u x  , v x    x sao cho:
u


x  .x v
x.m x1 .

Bước 3: Thay x , ta được:


u

Từ đó suy ra:
1.3. Ví dụ minh
họa

1

 .
 v  .m x 1

u






(vì m
0 ).

Ví dụ 1 :Trục căn thức ở mẫu phân số sau:

1
2 4 3 2
1
3


Giải
3 2
Ta thấy 

3
3 2  mx x 2 .
Đa thức tối tiểu của số 
là

1

Ký hiệu đa thức x2x2 x 1 . Khi đó, phân số là



Vì 3 2 nên dễ thấy m 



x

0



và


 2 

.

3

nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn

x

tại đa thức u x  , v x    x sao cho:

x  .x v
x.m x 1

u

nghĩa là:


3

3
Nhưng khi đó: 1 u 3 2  .3 2  v
  2  .m  2

u  2  . 2  ,
3

3

1
1

u
2 4  2 1

3 2
3

3

2
   
3

Như vậy. để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức
u x  , v x . Điều này có thể thực hiện được theo thuật toán Euclid như sau:
8 2x 2 x 1
2x 1
3
2

4x 2x 2x


4m
x4x3

2

2x 2x 8
2

2x x 1

x 7


2
2x x 1 x 7
2x 13
2
2x 14x

13x 1
13x 91

92